Рассмотрим два класса А и В шестимерных алгеб́р Ли $L$, для которых коммутаторы в некотором базисе $X_{i}$, $Y_{k}(i, j, k=1,2,3)$ имеют следующий вид:
в классе $\mathrm{A} X_{j}$
\[
\begin{array}{c}
{\left[X_{i}, Y_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} n_{k} X_{k}, \quad\left[X_{i}, Y_{j}\right]=\varepsilon_{i j h} n_{k} Y_{k},} \\
{\left[Y_{i}, Y_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} n_{k} \gamma X_{k},}
\end{array}
\]

в классе В
\[
\left[X_{i}, X_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} n_{k} X_{k},\left[X_{i}, Y_{j}\right]=0, \quad\left[Y_{i}, Y_{j}\right]=\varepsilon_{i j_{k}} m_{k} Y_{k} .
\]

Здесь $\varepsilon_{i j k}$ – антисимметричный тензор, $n_{k}, m_{k}, x$ – структурные константы. В классе А содержатся алгебры Ли: $\mathrm{SO}(4) \quad\left(n_{i}=1, x=1\right), \quad \mathrm{SO}(3.1) \quad\left(n_{1}=n_{2}=1, \quad n_{3}=-1\right.$, $x=-1), \quad \operatorname{SO}(2.2) \quad\left(n_{1}=n_{2}=1, \quad n_{3}=-1, \quad x=1\right)$, $E_{3}\left(n_{i}=1, x=0\right), L_{3}\left(n_{1}=n_{2}=1, n_{3}=-1, x=0\right)$ и др. Алгебры Ли $E_{3}$ и $L_{3}$ соответствуют груплам Ли движений трехмерного евклидова и псевдоевклидова пространства. В классе В содержатся алгебры Ли $\mathrm{SO}(4)=\mathrm{SO}(3) \oplus \mathrm{SO}(3)$ $\left(n_{i}=1, m_{i}=1\right), \mathrm{SL}(2, \mathbb{R}) \oplus \mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\left(n_{1}=m_{1}=n_{2}=m_{2}=\right.$ $\left.=1, n_{3}=m_{3}=-1\right)$, $\mathrm{SO}(3)+\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\left(\dot{n}_{i}=1, m_{1}=m_{2}=\right.$ $=1, m_{3}=-1$ ) п др.

Пусть $X_{j}^{*}, Y_{i}^{*}$ – базис в сопряженном пространстве $L^{*}$, двойственный базису $X_{i}, Y_{i}$. Векторы из $L^{*}$ представляем в виде $\mathbf{I}(t)=\sum_{i=1}^{3}\left(M_{i}(t) X_{i}^{*}+K_{i}(t) Y_{i}^{*}\right)$. Уравнения Эйлера определены в пространстве $L^{*}$ и имеют вид:
в классе A
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\overline{\mathbf{M}} \times \boldsymbol{\omega}+\mathbf{K} \times \mathbf{u}, \quad \dot{\mathbf{K}}=\overline{\mathbf{K}} \times \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{x} \overline{\mathbf{M}} \times \mathbf{u}, \\
\omega_{i}=\frac{\partial H}{\partial M_{i}}, \quad u_{i}=\frac{\partial H}{\partial K_{i}}, \quad \bar{M}_{i}=n_{i} M_{i}, \quad \bar{K}_{i}=n_{i} K_{i},
\end{array}
\]

где $X \times Y$ означает векторное произведение трехмерных векторов,
в классе В
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\overline{\mathbf{M}} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\mathbf{K}}=\overline{\mathbf{K}} \times \mathbf{B}, \\
A_{i}=\frac{\partial H}{\partial M_{i}}, \quad B_{i}=\frac{\partial H}{\partial K_{i}}, \quad \bar{M}_{i}=n_{i} M_{i}, \quad \bar{K}_{i}=m_{i} K_{i} .
\end{array}
\]

Уравнения Эйлера (1.3), (1.4) имеют следующие первые интегралы:
$A: J_{1}=H, \quad J_{2}=\sum_{i=1}^{3}\left(x n_{i} M_{i .}^{2}+n_{i} K_{i}^{2}\right), \quad J_{3}=\sum_{i=1}^{3} n_{i} M_{i} K_{i}$,
B: $J_{1}=H, \quad J_{2}=\sum_{i=1}^{3} n_{i} M_{i}^{2}, \quad J_{3}=\sum_{i=1}^{3} m_{i} K_{i}^{2}$.
Пусть $G$ – группа Ли, имеющая алгебру Ли $L$, и $O$ орбиты коприсоединенного представления $G$ в $L^{*}$. Орбиты $O$ определяются условиями $J_{2}=C_{2}, J_{3}=C_{3}$ и являются четырехмерными симплектическими мнотообразиями, инвариантными относительно уравнений Эйлера (1.3), (1.4). Системы (1.3), (1.4) на орбитах 0 гамильтоновы с гамильтонианом $H\left(M_{i}, K_{i}\right)$. В дальнейшем рассматриваются гамильтонианы $H$ вида
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3}\left(a_{i} M_{i}^{2}+2 c_{i} M_{i} K_{i}+b_{i} K_{i}^{2}+2 r_{i} K_{i}+2 q_{i} M_{i}\right) .
\]

Уравнения Эйлера (1.3) для алгебры Ли $E_{3}\left(n_{i}=1\right.$, $x=0$ ) совпадают с уравнениями Кирхгофа движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; их частным случаем являются уравнения вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки [116]: известны классические интегрируемые случаи этих уравнений, найденные В. А. Стекловым [105], А. М Ляпуновым [107], С. В. Ковалевской [104] и С. А. Чаплыгиным [108].

Для интегрируемости гамильтоновой системы (1.3) (или системы (1.4)) на орбитах $O$ по Лиувиллю достаточно указать дополнительный цервый интеграл $J_{4}$. Метод построения интеграла $J_{4}$, используемый в данной главе, состоит в отыскании условий на коэффициенты гамильтониана $H$, при которых из системы уравнений (1.3) (соответственно (1.4)) следуют два уравнеңия
\[
\dot{z}_{+}=w_{+} z_{+}+v_{+} J_{3}, \quad \dot{z}_{-}=w_{-} z_{-}+v_{-} J_{3},
\]

пде функции $z_{+}, z_{-}$являются (комплекснозначными) многочленами первой или второй степени и $w_{+}=-w_{\text {-. }}$. При выполнении уравнений (1.7) система (1.3) на уровне $J_{3}=$ $=0$ (т. е. на однопараметрическом множестве орбит $O_{(}\left(J_{2}=c_{2}, J_{3}=0\right)$ ) имеет дополнительный интеграл второй или четвертой степени $J_{4}=z_{+} z_{-}$; если же $v_{+}=v_{-}=0$, то система (1.3) имеет первый интеграл $J_{4}$ во всем пространстве $L^{*}$. С помощью этой конструкции получаются все названные классические интегрируемые случаи [103-108] уравнений Эйлера на алгебре Ли $E_{3}$ и их обобщения на другие алгебры Ли (1.1), (1.2).

В § 2 показано, что существуют два семейства уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли жласса А (в частности, на SO(4)), которые алгебраически интегрируемы на уровне $J_{3}=0$. Эти два семейства определяются условиями:
\[
\begin{array}{c}
\frac{x b_{1}}{n_{1}}=\frac{2 a_{2}}{n_{2}}-\frac{a_{3}}{n_{3}}, \frac{x b_{2}}{n_{2}}=\frac{2 a_{1}}{n_{1}}-\frac{a_{3}}{n_{3}}, \frac{2 b_{3}}{n_{3}}=\frac{b_{1}}{n_{1}}+\frac{b_{2}}{n_{2}}, \\
\frac{2 x b_{i}}{n_{i}}=\frac{a_{i}}{n_{j}}+\frac{a_{k}}{n_{k}}, \quad i, j, k=1,2,3,
\end{array}
\]

причем $c_{i}=r_{i}=q_{i}=0$. При этом дополнительный интеграл $J_{4}$ является многочленом четвертой степени и интегрирование уравнений Эйлера на уровне $J_{3}=0$ проводится (в § 3) явно в эллиптических функциях (для алгебры Ли SO(4)). Отметим, что в работе [144] показано, что алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера на $\mathrm{SO}(4)$ (при $c_{i}=r_{i}=q_{i}=0$ ) во всем пространстве $L^{*}$ возможна только при специальных условиях [52]; новые интегрируемые случаи (1.8), (1.9) не удовлетворяют условиям работы [52] и поэтому являются алгебраически интегрируемыми только на уровне $J_{3}=0$. Интетрируемый стучай (1.8) при $n_{i}=1, x \rightarrow 0$ переходит в классический случай С. А. Чаплыгина [108]; обобщение случая (1.8) при $r_{i}
eq 0$ п $a_{1}=a_{2}$ при $n_{i}=1, x \rightarrow 0$ переходит в класспческий случай С. В. Ковалевской [104]. Интегрируемый случай (1.9) не имеет классических аналогов.

Частным случаем уравнений Эйлера на алгебре Ли $\mathrm{SO}(4)=\mathrm{SO}(3) \oplus \mathrm{SO}(3)$ являются уравнения вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145-148]. Эти уравнения иоследовал В. А. Стеклов [106] в качестве модели вращения Земли; В. А. Стеклов анонсировал интегрируемые случаи, обладающие дополнительным квадратичным первым интегралом $J_{4}$. С современной точки зрения интегрируемые случаи [106] образуют трехшараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера на алгебре Ји $\mathrm{SO}(4)$ (отметим, что параметр $M$ в [106, п. 3 , і. 42] является несущественным и устраняется растяжением параметров $A, B, C, a, b, c$, которые связаны тремя соотношениями п. 42). В данной главе мы указываем (в § 4) более широкое шестидараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера на SO(4), а также его обобщения, содержащие линейные члены в гамильтониане $H$. В § 5 указаны новые физические применения интегрируемых случаев на алгебре Ли SO(4).