Рассмотрим два класса А и В шестимерных алгеб́р Ли $L$, для которых коммутаторы в некотором базисе $X_i$, $Y_k(i,j,k=1,2,3)$ имеют следующий вид:
в классе $\mathrm{A}{X}_j$
$$\begin{array}{c}[X_i,Y_j]={\epsilon }_{ijk}{n}_k{X}_k,[X_i,Y_j]={\epsilon }_{ijh}{n}_k{Y}_k,\\ [Y_i,Y_j]={\epsilon }_{ijk}{n}_k\gamma X_k,\end{array}$$

в классе В
$$[X_i,X_j]={\epsilon }_{ijk}{n}_k{X}_k,[X_i,Y_j]=0,[Y_i,Y_j]={\epsilon }_{i{j}_k}{m}_k{Y}_k.$$

Здесь ${\epsilon }_{ijk}$ — антисимметричный тензор, $n_k,m_k,x$ — структурные константы. В классе А содержатся алгебры Ли: $\mathrm{SO}(4)(n_i=1,x=1),\mathrm{SO}(3.1)(n_1=n_2=1,n_3=-1$, $x=-1),\mathrm{SO}(2.2)(n_1=n_2=1,n_3=-1,x=1)$, $E_3(n_i=1,x=0),L_3(n_1=n_2=1,n_3=-1,x=0)$ и др. Алгебры Ли $E_3$ и $L_3$ соответствуют груплам Ли движений трехмерного евклидова и псевдоевклидова пространства. В классе В содержатся алгебры Ли $\mathrm{SO}(4)=\mathrm{SO}(3)\oplus \mathrm{SO}(3)$ $(n_i=1,m_i=1),\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\oplus \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})(n_1=m_1=n_2=m_2=$ $=1,n_3=m_3=-1)$, $\mathrm{SO}(3)+\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})({\dot{n}}_i=1,m_1=m_2=$ $=1,m_3=-1$ ) п др.

Пусть $X_j^{\ast },Y_i^{\ast }$ — базис в сопряженном пространстве $L^{\ast }$, двойственный базису $X_i,Y_i$. Векторы из $L^{\ast }$ представляем в виде $\mathbf{I}(t)=\sum _{i=1}^3(M_i(t)X_i^{\ast }+K_i(t)Y_i^{\ast })$. Уравнения Эйлера определены в пространстве $L^{\ast }$ и имеют вид:
в классе A
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{M}}=\bar{\mathbf{M}}\times \mathit{\omega }+\mathbf{K}\times \mathbf{u},\dot{\mathbf{K}}=\bar{\mathbf{K}}\times \mathit{\omega }+\mathit{x}\bar{\mathbf{M}}\times \mathbf{u},\\ {\omega }_i=\frac{\partial H}{\partial M_i},u_i=\frac{\partial H}{\partial K_i},{\overline{M}}_i=n_i{M}_i,{\overline{K}}_i=n_i{K}_i,\end{array}$$

где $X\times Y$ означает векторное произведение трехмерных векторов,
в классе В
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{M}}=\bar{\mathbf{M}}\times \mathbf{A},\dot{\mathbf{K}}=\bar{\mathbf{K}}\times \mathbf{B},\\ A_i=\frac{\partial H}{\partial M_i},B_i=\frac{\partial H}{\partial K_i},{\overline{M}}_i=n_i{M}_i,{\overline{K}}_i=m_i{K}_i.\end{array}$$

Уравнения Эйлера (1.3), (1.4) имеют следующие первые интегралы:
$A:J_1=H,J_2=\sum _{i=1}^3(x{n}_i{M}_{i.}^2+n_i{K}_i^2),J_3=\sum _{i=1}^3{n}_i{M}_i{K}_i$,
B: $J_1=H,J_2=\sum _{i=1}^3{n}_i{M}_i^2,J_3=\sum _{i=1}^3{m}_i{K}_i^2$.
Пусть $G$ — группа Ли, имеющая алгебру Ли $L$, и $O$ орбиты коприсоединенного представления $G$ в $L^{\ast }$. Орбиты $O$ определяются условиями $J_2=C_2,J_3=C_3$ и являются четырехмерными симплектическими мнотообразиями, инвариантными относительно уравнений Эйлера (1.3), (1.4). Системы (1.3), (1.4) на орбитах 0 гамильтоновы с гамильтонианом $H(M_i,K_i)$. В дальнейшем рассматриваются гамильтонианы $H$ вида
$$H=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^3(a_i{M}_i^2+2c_i{M}_i{K}_i+b_i{K}_i^2+2r_i{K}_i+2q_i{M}_i).$$

Уравнения Эйлера (1.3) для алгебры Ли $E_3(n_i=1$, $x=0$ ) совпадают с уравнениями Кирхгофа движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; их частным случаем являются уравнения вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки [116]: известны классические интегрируемые случаи этих уравнений, найденные В. А. Стекловым [105], А. М Ляпуновым [107], С. В. Ковалевской [104] и С. А. Чаплыгиным [108].

Для интегрируемости гамильтоновой системы (1.3) (или системы (1.4)) на орбитах $O$ по Лиувиллю достаточно указать дополнительный цервый интеграл $J_4$. Метод построения интеграла $J_4$, используемый в данной главе, состоит в отыскании условий на коэффициенты гамильтониана $H$, при которых из системы уравнений (1.3) (соответственно (1.4)) следуют два уравнеңия
$${\dot{z}}_{+}=w_{+}{z}_{+}+v_{+}{J}_3,{\dot{z}}_{-}=w_{-}{z}_{-}+v_{-}{J}_3,$$

пде функции $z_{+},z_{-}$являются (комплекснозначными) многочленами первой или второй степени и $w_{+}=-w_{\text{-. }}$. При выполнении уравнений (1.7) система (1.3) на уровне $J_3=$ $=0$ (т. е. на однопараметрическом множестве орбит $O_{(}(J_2=c_2,J_3=0)$ ) имеет дополнительный интеграл второй или четвертой степени $J_4=z_{+}{z}_{-}$; если же $v_{+}=v_{-}=0$, то система (1.3) имеет первый интеграл $J_4$ во всем пространстве $L^{\ast }$. С помощью этой конструкции получаются все названные классические интегрируемые случаи [103-108] уравнений Эйлера на алгебре Ли $E_3$ и их обобщения на другие алгебры Ли (1.1), (1.2).

В § 2 показано, что существуют два семейства уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли жласса А (в частности, на SO(4)), которые алгебраически интегрируемы на уровне $J_3=0$. Эти два семейства определяются условиями:
$$\begin{array}{c}\frac{x{b}_1}{n_1}=\frac{2a_2}{n_2}-\frac{a_3}{n_3},\frac{x{b}_2}{n_2}=\frac{2a_1}{n_1}-\frac{a_3}{n_3},\frac{2b_3}{n_3}=\frac{b_1}{n_1}+\frac{b_2}{n_2},\\ \frac{2x{b}_i}{n_i}=\frac{a_i}{n_j}+\frac{a_k}{n_k},i,j,k=1,2,3,\end{array}$$

причем $c_i=r_i=q_i=0$. При этом дополнительный интеграл $J_4$ является многочленом четвертой степени и интегрирование уравнений Эйлера на уровне $J_3=0$ проводится (в § 3) явно в эллиптических функциях (для алгебры Ли SO(4)). Отметим, что в работе [144] показано, что алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера на $\mathrm{SO}(4)$ (при $c_i=r_i=q_i=0$ ) во всем пространстве $L^{\ast }$ возможна только при специальных условиях [52]; новые интегрируемые случаи (1.8), (1.9) не удовлетворяют условиям работы [52] и поэтому являются алгебраически интегрируемыми только на уровне $J_3=0$. Интетрируемый стучай (1.8) при $n_i=1,x\to 0$ переходит в классический случай С. А. Чаплыгина [108]; обобщение случая (1.8) при $r_{i}eq0$ п $a_1=a_2$ при $n_i=1,x\to 0$ переходит в класспческий случай С. В. Ковалевской [104]. Интегрируемый случай (1.9) не имеет классических аналогов.

Частным случаем уравнений Эйлера на алгебре Ли $\mathrm{SO}(4)=\mathrm{SO}(3)\oplus \mathrm{SO}(3)$ являются уравнения вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145-148]. Эти уравнения иоследовал В. А. Стеклов [106] в качестве модели вращения Земли; В. А. Стеклов анонсировал интегрируемые случаи, обладающие дополнительным квадратичным первым интегралом $J_4$. С современной точки зрения интегрируемые случаи [106] образуют трехшараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера на алгебре Ји $\mathrm{SO}(4)$ (отметим, что параметр $M$ в [106, п. 3 , і. 42] является несущественным и устраняется растяжением параметров $A,B,C,a,b,c$, которые связаны тремя соотношениями п. 42). В данной главе мы указываем (в § 4) более широкое шестидараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера на SO(4), а также его обобщения, содержащие линейные члены в гамильтониане $H$. В § 5 указаны новые физические применения интегрируемых случаев на алгебре Ли SO(4).