I. В данной главе мы продолжим изучение двумерного уравнения
\[
u_{x t}=4 u_{x} u_{x y}+2 u_{y} u_{x x}-s u_{x x x y}
\]

интегрируемость которого доказана в гл. II. Применим к уравнению (1.1) преобразование Миуры, которое выберем в виде
\[
u_{x}=v^{2}+\sigma v_{x}, \quad u=\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)+\sigma v,
\]

где $\sigma=$ const. Вторая формула (1.2) определяет связь первообразной ‘ $\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)$ с функцией $u(t, x, y)$.

Прямая проверка доказывает, что при выполнени соотношений (1.2) справедливо тождество
\[
\begin{array}{l}
u_{x t}-k u_{x} u_{x y}-m u_{y} u_{x x}+s u_{x x x y}= \\
=\left(2 v+\sigma \partial_{x}\right)\left(v_{t}-k v^{2} v_{y}-m v_{x} \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}+s v_{x x y}\right)+ \\
+\left(4 s-\sigma^{2} k\right) v_{x} v_{x y}+\left(2 s-\sigma^{2} m\right) v_{y} v_{x x} .
\end{array}
\]

Эта формула показывает, что значение параметра $k / m=2$ приводит к выделенным свойствам соответствующих уравнений. В силу тождества (1.3) при $k=4, m=2$, $\sigma^{2}=s$ получаем, что из уравнения
\[
v_{t}=4 v^{2} v_{y}+2 v_{x} \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}-s v_{x x y}
\]

при преобразованиях Миуры (1.2) следует уравнение (1.1). При $s>0$ имеем $\sigma= \pm s^{1 / 2}$ и преобразование (1.2) устанавливает вещественную эквивалентность уравнений (1.4) и (1.1). При $s<0$ имеем $\sigma= \pm i|s|^{1 / 2}$ и преобразование (1.2) отображает вещественные решения уравнения (1.4) в комплексные решения уравнения (1.1).

Все уравнения (1.1) при $s
eq 0$ эквивалентны, так как преобразование $u=s u_{1}, t=s^{-1} t_{1}$ приводит уравнение (1.1) к виду с $s=1$. Напротив, никакие вещественные масштабные преобразования не меняют знак параметра $s$ в уравнении (1.4). При $s>0$ это уравнение отображается в уравнение (1.1) с помощью вещественного преобразования Миуры и поэтому будет называться его двуморным модифицированным уравнением. При $s<0$ имеем другое, вещественно не эквивалентное ему уравнение.

Уравнение (1.4) для функций $v(t, x, y)$, не зависящих от $x$, имеет вид $v_{t}=4 v^{2} v_{y}$. Это уравнение эквивалентно уравнению опрокидывающейся волны Римана; во всех его непостоянных решгениях происходит опрокидывание графика функции $v(t, y)$.

При $s>0$ достаточно рассмотреть случай $s=1$; тогда уравнение (1.4) имеет вид
\[
v_{t}=\left(2 v \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}-v_{x y}\right)_{x} .
\]

При $s<0$ достаточно положить $s=-1$, тогда из (1.4) получаем уравнение
\[
v_{t}=\left(2 v \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}+v_{x y}\right)_{x} .
\]

Первообразную $\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}$ в уравнениях (1.4)-(1.6) монгно определить, например, формулой
\[
\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}{ }^{*}(t, x, y)=\int_{0}^{x} v_{y}^{2}(t, \xi, y) d \xi .
\]

Уравпения (1.5), (1.6) для фнкций $v(t, x, y)$ вида
\[
v(t, x, y)=v(t, z), \quad z=x+c^{-1} y,
\]

переходят в два вещественно не эквивалентные модифицированные уравнения Кортевега – де Фриза
\[
c v_{t}=6 v^{2} v_{x}-s v_{x x x}, s= \pm 1 .
\]
II. Выделим в уравнении (1.4) первообразную $\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right) y$ и продифференцируем по $x$; получим уравнение, не содержащее первообразной:
\[
\left(v_{x}^{-1}\left(v_{t}-4 v^{2} v_{y}+s v_{x x y}\right)\right)_{x}=4 v v_{y} .
\]

Теорема 1. Любое решение уравнения Клейна -Гордона
\[
\varphi_{x y}=f(\varphi),
\]

где функция $f(\varphi)$ удовлетворяет уравнению
\[
s f^{\prime \prime}(\varphi)=f(\varphi),
\]

определяет решение уравнения (1.8) по формуле
\[
v(t, x, y)=\frac{1}{2} \varphi_{x}(x+c(t), y)
\]

где $c(t)$ – произвольная функция.
Доказательство. Уравнение (1.8) после подстановки выражения (1.11) принимает вид
\[
\left(\varphi_{x x}^{-1}\left(c^{\prime}(t) \varphi_{x x}-\varphi_{x}^{2} \varphi_{x y}+s \varphi_{x x x y}\right)\right)_{x}=\varphi_{x} \varphi_{x y} .
\]

Это равенство после подстановки формулы (1.9) и в силу $\left(c^{\prime}(t)\right)_{x}=0$ преобразуется к виду
\[
\left(\varphi_{x x}^{-1}\left(-\varphi_{x}^{2} f(\varphi)+s \varphi_{x}^{2} f^{\prime \prime}(\varphi)+s \varphi_{x x} f^{\prime}(\varphi)\right)\right)_{x}=\varphi_{x} f(\varphi) .
\]

Равенство (1.13) тождественно справедливо в силу уравнения (1.10). Теорема 1 доказана.
III. При $s=+1$ уравнения (1.9) – (1.10) принимают вид
\[
\varphi_{x y}=C_{1} e^{\Phi}+C_{2} e^{-\varphi} .
\]

С помощью масштабных преобразований уравнение (1.14) сводится к трем неэквивалентным видам:
\[
\varphi_{x y}=e^{\varphi}, \varphi_{x y}=\operatorname{sh} \varphi, \quad \varphi_{x y}=\operatorname{ch} \varphi .
\]

Первое уравнение (1.15) является уравнением Лиувилля и допускает полпое решение в виде
\[
\varphi(x, y)=\ln 2 \frac{a^{\prime}(x) b^{\prime}(y)}{(a(x)+b(y))^{2}},
\]

где $a(x)$ и $b(y)$ – произвольные функции. Поэтому сотласно теореме 1 уравнение (1.8) имеет следующие то»ные решения:
\[
v(t, x, y)=\frac{1}{2} \frac{a^{\prime \prime}(x+c(t))}{a^{\prime}(x+c(t))}-\frac{a^{\prime}(x+c(t))}{a(x+c(t))+b(y)},
\]

зависящие от трех произвольных функций $a(x), b(y)$, $c(t)$.

Связь уравнений (1.4) и (1.8) означает, что можно так выбрать первообразную $\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}$, что функция (1.17) является также решением уравнения (1.4) при $s=1$. При этом фупкция $u(t, x, y)$, определенная любым пз двух равенств $u=\partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right) \pm v$ (1.2), удовлетворяет уравнению (1.1) (в силу тождества (1.3)).
При $s=-1$ уравнения (1.9)-(1.10) принимают вид
\[
\varphi_{x y}=C_{1} \sin \varphi+C_{2} \cos \varphi .
\]

Это уравнение с помощью масштабных преобразовапий сводится к уравнению Синус Гордона
\[
\varphi_{x y}=\sin \varphi .
\]

Любые точные решения интегрируемых уравнсний Клейна – Гордона (1.15), (1.18) определяют в силу теоремы 1 по формуле (1.11), точные решения уравнений (1.8), (1.4), (1.1).
IV. Укажем периодические по $x$ нестационарные решения уравнения (1.4), имеющие вид
\[
v(t, x, y)=a(\zeta), \quad \zeta=x+\varphi(\alpha t+y),
\]

где $\varphi(\zeta)$ – произвольная дифференцируемая функцил. Уравнение (1.4) для функции (1.19) припимает вид
\[
\alpha a^{\prime}=6 a^{2} a^{\prime}-s a^{\prime \prime \prime} .
\]

Отсюда после пнтегрирования получаем
\[
s a^{\prime \prime}=-\frac{\partial}{\partial a}\left(c a+\frac{\alpha}{2} a^{2}-\frac{1}{2} a^{4}\right),
\]

где $c$ – произвольная постоянная. Уравнение (1.21) является лагранжевым и имеет интеграл энергии
\[
\frac{s}{2} a^{\prime 2}+c a+\frac{\alpha}{2} a^{2}-\frac{1}{2} a^{4}=E .
\]

Поэтому функция $a(\zeta)$ определяется обращением следующего интеграла:
\[
\int_{a_{0}}^{a}\left(s^{-1}\left(2 E-2 c a_{1}-\alpha a_{1}^{2}+a_{1}^{4}\right)\right)^{-1 / 2} d a_{1}=\zeta-\zeta_{0} .
\]

При $s>0$ и при определенных значениях параметров $\alpha, c, E$ функция (1.23) является периодической. При $s<0$ функция (1.23) при любых значениях параметров $\alpha, c, E$ является периодической (кроме сепаратиспых решений). Соответствующие решения (1.19) уравнения (1.4) являются периодическими функциями от $x$, зависимость которых от переменных $t, y$ определяется произвольной функцией $\varphi(\alpha t+y)$.