В данном параграфе мы покажем, что в случае симметричного твердого тела ( $I_{1}=I_{2}$ ) интегрируемый случай, исследованный в § 2-4, оказывается связанным с классической системой Неймана [160] на сфере $S^{2}$ и интегрируемым случаем Клебша [111] для уравнений Кирхгофа. При этом динамика твердого тела выражается в тэта-функциях Римана от двух переменных $\theta\left(z_{1}, z_{2}\right)$.

Пусть $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ — координаты в неподвижной системе отсчета $F$, в которой квадратичная форма (3.9) диагональна; $r^{1}, r^{2}, r^{3}$ — координаты в системе отсчета $S$, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции твердого тела диагонален: $I_{i k}=$ $=I_{i} \delta_{i h}$. Пусть $\alpha(t), \beta(t), \gamma(t)$ — орты неподвижной системы отсчета $F$, рассматриваемые в системе $S$.

В § 3 показано, что поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с шроизвольным квадратичным потенциалом разделяется на независимое движение центра масс в поле с данным потенциалом и на вращение твердого тела вокруг неподвижного центра масс в поле с однородным квадратичным потенциалом. Далее рассматривается только вращение твердого тела вокруг центра масc.

Функция Лагранжа, описывающая вращение твердого тела вокруг нешодвижной точки $O(0,0,0)$ в ньютоновском гравитационном поле с однородным потенциалом (3.9), имеет вид
\[
L=\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right)-U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ — вектор угловой скорости вращения твердого тела (в системе отсчета $S$ ); потенциальная энергия $U(\alpha, \beta, \gamma)$ в силу (3.15) определяется формулой
\[
\begin{array}{l}
2 U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=-a_{1}\left(I_{1} \alpha_{1}^{2}+I_{2} \alpha_{2}^{2}+I_{3} \alpha_{3}^{2}\right)- \\
\quad-a_{2}\left(I_{1} \beta_{1}^{2}+I_{2} \beta_{2}^{2}+I_{3} \beta_{3}^{2}\right)-a_{3}\left(I_{1} \gamma_{1}^{2}+I_{2} \gamma_{2}^{2}+I_{3} \gamma_{3}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Пусть $\mathbf{q}(t)$ — единичный вектор, нашравленный по оси симметрии тензора инерции тела (и соответствующий собственному значению $I_{3}$ ). Ориентацию твердого тела в системе $F$ определим углами Эйлера $\theta, \psi, \varphi$, причем $\theta-$ угол между векторами $\mathbf{q}(t)$ и $\beta, \psi$ — угол црецессии, $\varphi$ угол поворота твердого тела вокруг оси $\mathbf{q}(t)$. Вектор $\mathbf{q}(t)$ в системе отсчета $F$ имеет координаты
\[
\begin{aligned}
q_{1}=(\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha})=\sin \theta \sin \psi, \quad q_{2}=(\mathbf{q}, \beta) & =-\sin \theta \cos \psi, \\
q_{3} & =(\mathbf{q}, \boldsymbol{\gamma})=\cos \theta .
\end{aligned}
\]

В системе отсчета $S$ вектор q является постоянным и имеет координаты $(0,0,1)$; поэтому справедливы равенства
\[
q_{1}=(\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha})=\alpha_{3}, \quad q_{2}=(\mathbf{q}, \boldsymbol{\beta})=\beta_{3}, \quad q_{3}=(\mathbf{q}, \boldsymbol{\gamma})=\gamma_{3} .
\]

Функция $U(\alpha, \beta, \gamma)$ (5.2) для симметричного твердого тела ( $I_{1}=I_{2}$ ) в силу ортонормированности векторов $\alpha, \beta, \boldsymbol{\gamma}$ и формул (5.4) имеет вид
\[
\begin{array}{r}
2 U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=c_{1}+\left(I_{1}-I_{3}\right)\left(a_{1} \alpha_{3}^{2}+a_{2} \beta_{3}^{2}+a_{3} \gamma_{3}^{2}\right)= \\
=c_{1}+(A \mathbf{q}, \mathbf{q}),
\end{array}
\]

где оператор $A$ имеет компоненты $A_{i j}=\left(I_{1}-I_{3}\right) a_{i} \delta_{i j}$ и $c_{1}=-I_{1}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$.

Функция Јагранжа (5.1) для симметричного твердого тела в силу (5.5) принимает вид
\[
L_{1}=\frac{1}{2} I_{1}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\psi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})^{2}-\frac{1}{2}(A \mathbf{q}, \mathbf{q}) .
\]

Лагранжиан $L_{1}$ по физическому смыслу и вследствие формул (5.3), (5.6) не зависит от поворотов вокруг оси симметрии, т. е. $L_{1}$ не зависит от угла $\varphi$. Поэтому соответствующий импульс $p_{\varphi}$ сохраняется:
\[
p_{\varphi}=\frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{\varphi}}=I_{3}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}),
\]

Функция Рауса $L_{2}=L_{1}-p_{q} \dot{\varphi}$, представленная в координатах вектора $\mathbf{q}(t) .((\mathbf{q}, \mathbf{q})=1)$, имеет вид
\[
L_{2}=\frac{1}{2} I_{1}(\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}})+p_{\varphi} \dot{\psi} \cos \theta-\frac{1}{2}(\mathbf{q}, A \mathbf{q})-\frac{1}{2 I_{3}} \boldsymbol{p}_{\varphi}^{2} .
\]

Лагранжиан $L_{2}$ при $p_{\varphi}=0$ совпадает с лагранжианом системы Неймана [160] на сфере $S^{2}$. В общем случае лагранжевы уравнения, соответствующие лагранжиану (5.8), имеют вид
\[
\ddot{I_{1}} \ddot{\mathbf{q}}=-A \mathbf{q}-p_{\boldsymbol{q}}(\dot{\mathbf{q}} \times \mathbf{q})+\lambda \mathbf{q} .
\]

Здесь $\lambda(t)=(A \mathbf{q}, \mathbf{q})-I_{1}(\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}})-$ множитель Лагранжа, определяемый из условия сохранения системой (5.9). связи $(\mathbf{q}, \mathbf{q})=1$.

Слагаемое $-p_{\varphi}(\dot{\mathbf{q}} \times \mathbf{q})$ в (5.9) описывает силы, аналогичные воздействию на электрический заряд монополя Дирака [161], и возникает из вариации слагаемого $p_{\varphi} \dot{\psi} \cos \theta$ в лагранжиане (5.8), который связан с редукцией лагранжиана (5.6) по группе симметрии, соответствующей циклической координате $\varphi$.

Интегрируемость системы (5.9) по Лиувиллю и в тәта-функциях от двух переменных $\theta\left(z_{1}, z_{2}\right)$ при $p_{\varphi}=0$ следует из интегрируемости классической системы Неймана [160]. При $p_{\Phi}
eq 0$ уравнения (5.9) совпадают с уравнениями, возникшими из совершенно другой задачи — динамики бегущих волн для вектора намагниченности в уравнении Ландау — Лифшица. Эти уравнения, как показано в [162], сводятся к интегрируемому случаю Клебша для уравнения Кирхгофа. С помощью отображения
\[
\dot{\mathbf{q}} \rightarrow M=\dot{\mathbf{q}} \times \mathbf{q}-I_{1}^{-1} p_{\varphi} \mathbf{q}
\]

уравнения (5.9) преобразуются к виду
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{q} \times I_{1}^{-1} A \mathbf{q}, \quad \dot{\mathbf{q}}=\mathbf{q} \times \mathbf{M}
\]

и описывают специальный интегрируемый случай Клебша на уровне первого интеграла $(\mathbf{M}, \mathbf{q})=-p_{\varphi} I_{1}^{-1}$. Приведем явные формулы, описывающие динамику траекторий системы (5.11) в тэта-функциях $\theta\left(z_{1}, z_{2}\right)$ [105, 163]. Гамильтониан $H$ и интеграл Клебша $J_{4}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
2 H=(\mathbf{M}, \mathbf{M})+\left(\mathbf{q}, I_{1}^{-1} A \mathbf{q}\right), \\
J_{4}=\left(\mathbf{M}, I_{1}^{-1} A \mathbf{M}\right)-I_{1}^{-3} A_{1} A_{2} A_{3}\left(\mathbf{q}_{1}, I_{1} A^{-1} \mathbf{q}\right) .
\end{array}
\]

Обозначим через $s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}$ корни уравнения $f(s)=0$,
\[
f(s)=\left[s^{2}-s\left(\operatorname{Tr}\left(I_{1}^{-1} A\right)-2 H\right)-J_{4}\right]^{2}-
\]
\[
-4 I_{1}^{-2} p_{\varphi}^{2}\left(s-I_{1}^{-1} A_{1}\right)\left(s-I_{1}^{-1} A_{2}\right)\left(s-I_{1}^{-1} A_{3}\right) .
\]

Введем риманову поверхность $\Gamma$ рода 2 , заданную уравнением
\[
y^{2}=P(z), \quad P(z)=z\left(z-d_{1}^{2}\right)\left(z-d_{2}^{2}\right)\left(z-d_{3}^{2}\right)\left(z-d_{1}^{2} d_{2}^{2} d_{3}^{2}\right),
\]

где величины $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ определены равенствами
\[
\begin{aligned}
d_{k}=\left(\sqrt{\frac{s_{3}-I_{1}^{-1} A_{k}}{f^{\prime}\left(s_{3}\right)}}+i \sqrt{\frac{s_{4}-I_{1}^{-1} A_{k}}{f^{\prime}\left(s_{4}\right)}}\right)\left(\sqrt{\frac{s_{1}-I_{1}^{-1} A_{k}}{f^{\prime}\left(s_{1}\right)}}+\right. \\
\left.+i \sqrt{\frac{s_{2}-I_{1}^{-1} A_{k}}{f^{\prime}\left(s_{2}\right)}}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Формулы, описывающие динамику траекторий системы (5.11), имеют вид $[105,163]$
\[
q_{k}=i_{k} \frac{\theta\left[r_{k}\right]\left(\mathbf{z}_{0}+\mathbf{U} t\right) \theta\left[m_{k}\right]\left(\mathbf{w}_{0}\right)-\theta\left[r_{k}\right]\left(\mathbf{w}_{0}\right) \theta\left[m_{k}\right]\left(\mathbf{z}_{0}+\mathbf{U} t\right)}{\theta\left[n_{k}\right]\left(\mathbf{z}_{0}+\mathbf{U} t\right) \theta\left[p_{k}\right]\left(\mathbf{w}_{0}\right)-\theta\left[n_{k}\right]\left(\mathbf{w}_{0}\right) \theta\left[p_{k}\right]\left(\mathbf{z}_{0}+\mathbf{U} t\right)} .
\]

Здесь тэта-функции $\theta\left(z_{1}, z_{2}\right)$ и вектор $\mathbf{U}$ построены по кривой $\Gamma$ (5.13), их характеристики $r_{k}, m_{k}, n_{k}, p_{k}$ зависят oт взаимного расположения корней многочлена (5.13), постоянные векторы $\mathrm{z}_{0}, \mathbf{w}_{0}$ определяются по начальным условиям (см. [105]).

Формулы (5.14) определяют в силу (5.3) зависимость от времени углов Эйлера $\theta$, $\psi$. Зависимость от времени угла Эйлера $\varphi$ определяется интегрированием соотшошения (5.7).