Современное развитие теории нелинейных интегрируемых уравнений началось с работы Дж. Грина, К. Гарднера, М. Крускала и Р. Миуры (1967), в которой был предложен метод обратной задачи рассеяния, и работы П. Лакса (1968), указавшего метод конструирования интетрируемых уравнений. Дальнейшее развитие этих методов и их многочисленные применения подробно представлены в книгах В. А. Марченко (1977), В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова и Л. П. Питаевского (1980), М. Абловица и Х. Сигура (1981), Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса (1982), Р. Додда, Дж. Эйлбека, Дж. Гиббона и Х. Морриса (1982), А. Ньюэлла (1985), Л. А. Тахтаджяна и Л. Д. Фаддеева (1986).

В монографии излагаются результаты, полученные автором в 1984-1990 годах. В главе I изучается конструкция нелинейных интегрируемых уравнений и динамических систем, расширяющая конструкцию Лакса и основанная на уравнении
\[
\mathrm{L}=P(\mathrm{~L})+[\mathrm{L}, \mathrm{A}]
\]

в пространстве линейных операторов. Уравнения, построенные по этой конструкции, имеют аттракторы в фазовом пространстве и вместе с тем обладают большим набором первых интегралов; их солитонные решения имеют нестандартную динамику.

Широко известно, что из уравнения Лакса $\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$, которое называют также уравнением изоспектральной деформации, следует сохравение собственных чисел оператора L. Однако это не верно в тех случаях, когда оператор L параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирования по которым не входят в оператор L, но входят в оператор А. При этом собственные числа оператора $L$ изменяются и удовлетворяют пелинейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Частным случаем последних является классическое уравнение опрокидывающейся волны Римана. Такое поведение собственных чисел оператора $\mathrm{L}$ приводит $к$ солитонным решениям нового типа – опрокидывающимся солитонам, которые изучаются в главах II-IV части I. Нелинейные дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению Лакса с указанными операторами L и A, интегрируются методом одномерной обратной задачи рассеяния. В спедиальном случае, когда оператор $\mathrm{L}$ является матричным оператором Шрёдингера, полученные уравнения вкладываются в класс уравнений, интегрируемых с помощью обратного спектрального преобразования, указанный в работах Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса $(1976,1977)$. Нелинейное уравнение
\[
v_{t}=4 v v_{y}+2 v \int_{x}^{x} v_{y}(t, \xi, y) d \xi-v_{x x y},
\]

выведенное в главе II, имеет применения в гидродинамике и описывает двумерное взаимодействие волны Римана с поперечными длинными волнами. Несмотря на наличие опрокидывающихся солитонов, это уравнение, а также его модифицированное уравнение (глава III)
\[
v_{t}=4 v^{2} v_{y}+2 v_{x} \int_{0}^{x}\left(v^{2}(t, \xi, y)\right)_{y} d \xi-v_{x x y}
\]

имеют счетное множество первых интегралов, определяемых явными локальными формулами.

Явление опрокидывания приводит к возникновению многозначности решений, которая, однако, в отличие от задач газовой динамики не означает ограничение области применимости выведенных уравнений, так как не связана с пересечением траекторий частиц. Другие применения многозначных функций и функционалов указаны в работах С. ІІ. Новикова (1981, 1982).

В части II книги исследуются алгебраические конструкции нелинейных динамических систем и уравнений, допускающих эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром. Такие динамические системы и уравнения в большинстве случаев являются интегрируемыми в тэта-функциях римановых поверхностей с помощью алгебро-геометрических методов (Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков, 1976).

Счетное множество интегрируемых динамических систем, каждая из которых в континуальном пределе переходит в уравнение Кортевега – де Фриза, построено в главе V. В этом множестве содержится классическая модель Вольтерра (дискретное уравнение КдФ или ленгмюровская цепочка). Полученные динамические системы так же, как модель Вольтерра, имеют применения в физике шлазмы и в математической экологии. Континуальный предел всего построенного семейства динамических систем является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, которое исследуется в главе VI. Это уравнение допускает представление Лакса, обладает счетным набором первых интегралов, определяющихся явными формулами и имеет применения в качестве кинетического уравнения в физике плазмы.

Алгебраические конструкции интегрируемых дифференциальных уравнений в алгебрах гладких функций на многообразиях и в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах исследованы в главе VII. C помощью этих конструкций построены интегрируемые уравнения Эйлера в прямых суммах алгебр Ли $\mathrm{gl}(n, \mathbb{R})$ и so $(n, \mathbb{R})$, имеющие применения в динамике твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Алгебраические аналоги цепочки Тода и системы Вольтерра, связанные с простыми алгебрами Ли, построены в главе VIII; все эти системы допускают представление Лакса со спектральным параметром. В главе VIII построены также опрокидывающиеся решения в уравнениях, являющихся континуальными пределами цепочки Тода, систем Ферми – Паста – Улама и их двумеризаций.

Часть III монографии посвящена изучению задач механики и математической физики, которые сводятся $к$ уравнениям Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли. К таким задачам относятся (глава IX): динамика твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; вращение твердого тела вокруг неподвижной точки под действием гравитационных и электромагнитных сил; вращение твердого тела, имеющего эллипсоидальные полости, заполненные идеальной несжимавмой или магнитной жидкостью; различные задачи, связанные с вращением спутника вокруг центра масс, движущегося по заданной орбите.

Глава X посвящена доказательству теоремы о том, что поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в тэта-фунциях римановых поверхностей. Эта задача естественно возникает при изучении динамики твердого тела в поле удаленных притягивающих объектов; ее интегрируемость является следствием фундаментального физического факта – равенства инертной и гравитационной масc.

В главе XI исследуются интегрируемые случаи уравнений Эйлера на некоторых шестимерных коалгебрах Ли. Указаны физические применепия уравнений Эйлера на алгебре Ли SO(4) и в прямой сумме алгебр Ли SO(3), связанные с динамикой твердого тела, имеющего эллипсоидальные полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

Магнитогидродинамическая модель вращения пульсаpa, связанная с уравнениями Эйлера на алгебре Ли $\mathrm{SO}(3)+E_{3}$, изучается в главе XII. Указаны конкретные применения этой модели, для которых предсказываемый период вращения пульсара согласуется с астрофизическими данными.

Мне приятно выразить свою признательность сотрудникам Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР за полезные дискуссии по результатам работы.