I. В данном параграфе рассматриваются ассоциативные алгебры функций следующих двух классов. К первому классу относятся алгебры гладких (или непрерывных) функций $\mathscr{F}(\mathscr{M}, \mathbb{R})$ на произвольном многообрӑзии $\mathscr{A}$ (с поточечными операциями сложения и умножения функций). Ко второму классу относятся алгебры гладких или непрерывных функций $f(x, y)$ на произведении $\mathscr{M} \times \mathscr{M}$, где на многообразии $\mathscr{M}$ задана гладкая мера $\mu(x)$. Сложение функций является поточечным, а умножение определяется формулой
\[
f \circ g(x, y)=\int_{\mathcal{N}} f(x, z) g(z, y) d \mu(z) .
\]

Каждой функции $f(x, y)$ поставим в соответствие интегральный оператор $F$, действующий на функциях $\varphi(x)$ из $\mathscr{F}^{-}(\mathscr{M}, \mathbb{R}):$
\[
(F \varphi)(x)=\int_{\mathcal{N}} f(x, y) \varphi(y) d \mu(y) .
\]

Произведению функций $f \circ g$ соответствует произведение интегральных операторов $F \cdot G$. Поэтому ассоциативные алгебры второго класса будут обозначаться $\operatorname{Int}(\mathcal{M}, \mathbb{R})$. Если множество $\mathscr{A}=\mathbb{Z}$ состоит из $n$ точек, то алгебра $\operatorname{Int}\left(\mathbb{Z}_{n}, \mathbb{R}\right)$ совпадает с алгеброй матриц $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$.
$B$ алгебре $\operatorname{Int}(\mathscr{A}, \mathbb{R})$ естественно определяется структура бесконечномерной алгебры Ли
\[
\begin{aligned}
{[f, g](x, y) } & =f \circ g-g \circ f= \\
& =\int_{\mathcal{M}}(f(x, z) g(z, y)-g(x, z) f(z, y)) d \mu(z) .
\end{aligned}
\]

Интегральный оператор, соответствующий функции $[f, g]$, является коммутатором интегральных операторов $F$ и $G$.
II. Пусть $h: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{M}$ – диффеоморфизм многообразия $\mathscr{M}$, сохраняющий меру $\mu$. Тогда отображение $\mathrm{H: \mathscr {F }}(\mathscr{M}) \rightarrow$ $\rightarrow \mathscr{F}(\mathscr{M})$, определенное формулой $(\mathrm{H} f)(x)=f(h(x))$, очевидно, является автоморфизмом алгебры $\mathscr{F}(\mathscr{M})$. В алгебре $\mathscr{F}(\mathscr{M})$ определен функционал
\[
t(f)=\int_{\mathscr{M}} f(x) d \mu(x)
\]

удовлетворяющий свойствам (1.2). Теорема 1 из § 2 полностью применима к алгебре $\mathscr{F}(\mathscr{A})$. Дифференциальные уравнения (2.1) – (2.3) в этой алгебре принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)=f(t, x)\left(\sum_{k=1}^{p-1} f\left(t, h^{k}(x)\right)-\sum_{k=1}^{p-1} f\left(t, h^{-k}(x)\right),\right. \\
\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)=f^{c}(t, x)\left(\prod_{k=1}^{p-1} f\left(t, h^{k}(x)\right)-\prod_{=1}^{p-1} f\left(t, h^{-k}(x)\right)\right),
\end{array}
\]

где $c=1$ отвечает уравненио (2.2) и $c=2$ отвечает уравнению (2.3). Операторы Јакса, соответствующие этим уравнениям, имеют вид
\[
\begin{aligned}
\mathrm{L}_{1}=f(t, x) \mathrm{H}^{1-p}+\lambda \mathrm{H}, \quad \mathrm{L}_{2}=f(t, x) \mathrm{H}+\lambda \mathrm{H}^{1-p}, \\
\mathrm{~L}_{3}=f(t, x)\left(\mathrm{H}^{1-p}+\lambda \mathrm{H}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения (3.5), (3.6) согласно теореме 1 и лемме 1 имеют счетное множество первых интегралов, определепных формулой
\[
I_{k}=T\left(\mathrm{~L}_{i}^{k p}\right)=\int_{\mathscr{M}} \varphi_{i k}(x) d \mu(x), \quad i=1,2,3,
\]

где $k$ – произвольное натуральное число и функция $\varphi_{i h}(x)$ является коэффициентом при $\mathrm{H}^{0}$ в разложении оператора $\mathrm{L}_{i}^{k p}$ по степеням автоморфизма $\mathrm{H}$.
Уравнение (2.17), (2.31) при $k=0$ принимает вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} q(t, x)}{\partial t^{2}}=\exp \left(q\left(t, h^{-1}(x)\right)\right. & -q(t, x))- \\
& -\exp (q(t, x)-q(t, h(x)))
\end{aligned}
\]

и является обобщением цепочки Тода в алгебре функций $\mathscr{F}(\mathscr{M}, \mathbb{R})$. Оператор Лакса для уравнения (3.9) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}=\lambda a(t, x) \mathrm{H}+\lambda^{-1} \mathrm{H}^{-1}+p(t, x), \\
a(t, x)=\exp (q(t, x)-q(t, h(x))), \\
p(t, x)=\frac{\partial q(t, x)}{\partial t} .
\end{array}
\]

Уравнение (3.9) обладает счетным множеством первых интегралов, которые определяются формулами
\[
I_{k}=T\left(\left(\lambda a(t, x) \mathrm{H}+\lambda^{-1} \mathrm{H}^{-1}+p(t, x)\right)^{k}\right) .
\]

Простейшие из этих интегралов имеют вид
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{\mathcal{K}} p(t, x) d \mu(x), \quad I_{2}=\int_{\mathcal{M}}\left(p^{2}(t, x)+2 a(t, x)\right) d \mu(x), \\
I_{3}=\int_{\boldsymbol{N}}\left(p^{3}(t, x)+3 p(t, x) a(t, x)+\right. \\
\left.+3 p(t, x) a\left(t, h^{-1}(x)\right)\right) d \mu(x) .
\end{array}
\]

Уравнение (3.9) является следствием принципа наименьшего действия
\[
\begin{array}{l}
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{\mathcal{K}}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\partial q(t, x)}{\partial t}\right)^{2}-\right. \\
\left.\quad-\exp \left(q\left(t, h^{-1}(x)\right)-q(t, x)\right)\right) d \mu(x) d t=0
\end{array}
\]

при произвольных вариациях $\delta q(t, x)$. Интеграл $\frac{1}{2} I_{2}$ является интегралом энергии, соответствующим вариационному принципу (3.10).
III. Пусть алгебра $\mathscr{V}$ является алгеброй гладкпх матричнозначных функций $\mathscr{F}(\mathscr{A}, M(n, \mathbb{R})$ ) на произвольном многообразии $\mathscr{M}$ п автоморфизм Н определен формулой
\[
(\mathrm{H}(a))(x)=\mathrm{Q}(h(x)) a(h(x)) \mathrm{Q}^{-1}(h(x)),
\]

где $\mathrm{Q}(x)$ – обратимая матрица, не зависящая от времени. В этом случае уравнение (2.49) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{t}(t, x) a^{-1}(t, x)\right)_{t}=c(x) a\left(t, h^{-1}(x)\right) \mathrm{Q}(x) a^{-1}(t, x)- \\
-a(t, x) \mathrm{Q}(h(x)) a^{-1}(t, h(x)) c(h(x)),
\end{array}
\]

где $c(x)=c_{1}(x) \mathrm{Q}^{-1}(x)$. Согласно утверждению 1 уравнение (3.11) обладает счетным множеством первых интегралов (2.53). Два простейших интеграла $I_{k}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=\operatorname{Tr} \int_{\mathcal{M}} a_{t}(t, x) a^{-1}(t, x) d \mu(x), \\
I_{2}=\operatorname{Tr} \int_{\mathscr{M}}\left(\left(a_{t}(t, x) a^{-1}(t, x)\right)^{2}+\right. \\
\left.+2 a\left(h^{-1}(x)\right) \mathrm{Q}(x) a^{-1}(x) c(x)\right) d \mu(x) .
\end{array}
\]

Уравнение (3.11) в случае скалярных функций $a(t, x)$ при $c \mathrm{Q}=1$ сводится к уравнению (3.9) с помощью замены $a(t, x)=\exp q(t, x)$.

Укажем некоторые предельные случаи уравнения (3.11). Пусть $\mathscr{M}=\mathbb{R}$ и $h(x)=x+\varepsilon$. Уравнение (3.11). при $\mathrm{Q}(x)=k \cdot 1$ представляется в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{t} a^{-1}\right)_{t}=k \varepsilon\left(\left[a_{x} a^{-1}, c\right]-c_{x}\right)+ \\
+k \varepsilon^{2}\left(c a_{x x} a^{-1}-a_{x} a^{-1} a_{x} a^{-1} c+a_{x} a^{-1} c_{x} \frac{1}{2} c_{x x}\right)+o\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрим два случая.
1) Функция $c(x)$ – произвольная гладкая матричнозначная функция на $\mathbb{R}$. Положим $k=\varepsilon^{-1}$. Уравнение (3.12) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в уравнение
\[
\left(a_{t} a^{-1}\right)_{t}=\left[a_{x} a^{-1}, c\right]-c_{x} .
\]
2) Функция $c(x)=\mu \cdot 1=$ const. Положим $k=\varepsilon^{-2}$. Уравнение (3.11) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в уравнение
\[
\left(a_{t} a^{-1}\right)_{t}=\mu\left(a_{x} a^{-1}\right)_{x} .
\]

Тип уравнения (3.13) определяется знаком $\mu$. При $\mu=$ $=+1$ уравнение (3.13) в новых переменных $\xi=t+x$ и

$\eta=t-x$ принимает вид $\left(a_{\xi} a^{-1}\right)_{\eta}+\left(a_{\eta} a^{-1}\right)_{\xi}=0$, т. е. совпадает с уравнением главного кирального поля на группе Ли GL(и. 라). При $\mu=-1$ переход к новым переменным $\xi$ и ๆ сохраняет вид уравнения (3.13).
IV. Рассмотрим в алгебре Int $(\mathscr{A}, \mathbb{R})$ интегро-дифференцитьное уравнение, имеющее вид уравнения Эйлера
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial f(t, x, y)}{\partial t}=[f, g]=\int_{\mathscr{M}}( & f(t, x, z) g(t, z, y)- \\
& -g(t, x, z) f(t, z, y)) d \mu(z) .
\end{aligned}
\]

Уравнение (3.14) всегда имеет бесконечный набор первых интегралов. Действительно, из уравнения (3.14) по индукции нетрудно получить уравнения ( $k=1,2, \ldots$ )
\[
\frac{\partial f^{k}(t, x, y)}{\partial t}=\left[f^{k}, g\right]
\]
циативной алгебры (3.1). Из уравнений (3.15), очевидно, следует, что функционалы
\[
I_{k}=\int_{\mathcal{M}} f^{h}(t, x, x) d \mu(x)
\]

являются первыми интегралами уравнения (3.14).
В дальнейших построениях существенно используется $\delta$-функция $\delta(x-y)$, определенная условиями [48]
\[
\begin{array}{l}
(\delta \circ f)(x, y)=\int_{\mathscr{K}} \delta(x-z) f(z, y) d \mu(z)=f(x, y), \\
(f \circ \delta)(x, y)=\int_{\mathscr{M}} f(x, z) \delta(z-y) d \mu(z)=f(x, y) . \\
\end{array}
\]

Для обобщенной функции $a(x, y)=\alpha(x) \delta(x-y)$ в силу (3.17) имеем
\[
\begin{array}{l}
(a \circ f)(x, y)=\int_{\mathcal{M}} \alpha(x) \delta(x-z) f(z, y) d \mu(z)=\alpha(x) f(x, y), \\
(f \circ a)(x, y)=\int_{\mathcal{M}} f(x, z) \alpha(z) \delta(z-y) d \mu(z) \approx f(x, y) \alpha(y) .
\end{array}
\]

Утверждение 2. Интегро-дифференциальные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f(t, x, y)}{\partial t}=(\alpha(y)-\alpha(x)) \int_{\mathcal{M}} f(t, x, z) f(t, z, y) d \mu(z), \\
\frac{\partial f(t, x, y)}{\partial t}= \\
=\int_{\mathcal{M}}\left(\frac{\beta(t, y)-\beta(t, z)}{\alpha(y)-\alpha(z)}-\frac{\beta(t, x)-\beta(t, z)}{\alpha(x)-\alpha(z)}\right) f(t, x, z) f(t, z, y) d \mu(z)
\end{array}
\]

имеют дополнительный к набору (3.16) бесконечный набор первых интегралов $(\alpha(x)$ и $\beta(t, x)$ – произвольные функции на множестве $\mathfrak{M}$ из рассматриваемого функционального пространства).

Действительно, определим две обобщенные функдии $a(x, y)=\alpha(x) \delta(x-y)$ и $b(t, x, y)=\beta(t, x) \delta(x-y)$. По определению имеем
\[
\begin{aligned}
(a \circ b)(t, x, y)= & \int_{\mathscr{M}} \alpha(x) \delta(x-z) \beta(t, z) \delta(z-y) d \mu(z)= \\
& =\alpha(x) \beta(t, y) \delta(x-y)=\alpha(x) \beta(t, x) \delta(x-y) .
\end{aligned}
\]

Очевидно, $a \circ b=b \circ a$ и $[a, b]=0$. Рассмотрим в алгебре $\operatorname{Int}(\mathscr{M}, \mathbb{R})$ следующее дифференциальное уравнение с произвольным спектральным параметром $E$ :
\[
(f+a E)^{\cdot}=[f+a E, g+b E] .
\]

Уравнение (3.20) эквивалентно уравнению (3.14) $f=$ $=[f, g]$ и двум условиям (коэффициенты в уравнении (3.20) при $E^{1}$ и $E^{2}$ ):
\[
[f, b]+[a, g]=0, \quad[a, b]=0 .
\]

Второе условие (3.21), как показано выше, выполнено. Первое условие (3.21) в силу формул (3.18) эквивалентно соотношению
\[
g(t, x, y)=\frac{\beta(t, x)-\beta(t, y)}{\alpha(x)-\alpha(y)} f(t, x, y) .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (3.14), приходим ко второму уравнению (3.19). Первое уравнение (3.19) является специальным случаем второго при $\beta(t, x)=\alpha^{2}(x)$. Уравнения (3.19) имеют инвариантное подмногообразие кососимметрических функций $f(t, x, y)=$ $=-f(t, y, x)$.

Проведенные рассуждения доказывают, что уравнения (3.19) эквивалентны уравнению (3.20) со спектральным параметром $E$. Поэтому уравнения (3.19) имеют бесконечный набор дополнительных первых интегралов $J_{N, k}$, являющихся коэффициентами при $E^{k}$ в разложении многочлена
\[
J_{N}=\int_{\mathcal{M}}(f+a E)^{N}(t, x, x) d \mu(x), \quad J_{N}=\sum_{k=0}^{N} J_{N, k} E^{k}
\]

по степеням спектрального параметра $E$. При вычислении интегралов (3.23) и общих интегралов вида (3.16) используется определение
\[
\left.\int_{\mathscr{M}} f(t, x, y) \delta(x, y)\right|_{x=y} d \mu(x)=\int_{\mathcal{M}} f(t, x, x) d \mu(x) .
\]

Простейшие из интегралов $J_{N, k}$ имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
J_{N, 1}=N \int_{\mathcal{M}} \alpha\left(x_{1}\right) f\left(t, x_{1}, x_{2}\right) f\left(t, x_{2}, x_{3}\right) \ldots \\
\ldots f\left(t, x_{N-1}, x_{1}\right) d x_{1} \ldots d x_{N-1}, \\
J_{N, 2}=N \int_{\mathcal{N}} \alpha^{2}\left(x_{1}\right) f\left(t, x_{1}, x_{2}\right) f\left(t, x_{2}, x_{3}\right) \ldots \\
\ldots f\left(t, x_{N-2}, x_{1}\right) d x_{1} \ldots d x_{N-2}+\int_{\mathcal{M}}\left[\sum_{k, n}^{N-2} f\left(t, x_{1}, x_{2}\right) \ldots\right. \\
\ldots f\left(t, x_{k-1}, x_{k}\right) \alpha\left(x_{k}\right) f\left(t, x_{k}, x_{k-1}\right) \ldots f\left(t, x_{m-1}, x_{m}\right) \times \\
\left.\quad \times \alpha\left(x_{m}\right) f\left(t, x_{m}, x_{m+1}\right) \ldots f\left(t, x_{N-2}, x_{1}\right)\right] d x_{1} \ldots d x_{N-2} .
\end{array}
\]

Интегро-дифференциальные уравнения вида (3.19) могут иметь применения в теории уравнения Больцмана и теории общих кинетических уравнений.

Наряду с уравнением (3.20) рассмотрим также в алгебре $\operatorname{Int}(\mathscr{A}, \mathbb{R})$ уравнение $\left(a E^{2}+f E+h\right)^{*}=\left[a E^{2}+f E+\right.$ $+h, g+b E]$, которое при выполнении условий (3.21), (3.22) эквивалентно двум интегро-дифференциальным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f(t, x, y)}{\partial t}=\int_{\boldsymbol{M}}\left(\frac{\beta(t, y)-\beta(t, z)}{\alpha(y)-\alpha(z)}-\frac{\beta(t, x)-\beta(t, z)}{\alpha(x)-\alpha(z)}\right) \times \\
\times f(t, x, z) f(t, z, y) d \mu(z)+h(t, x, y)(\beta(t, y)-\beta(t, x)),
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial h(t, x, y)}{\partial t}=\int_{\mathscr{M}}[ & h(t, x, z) \frac{\beta(t, z)-\beta(t, y)}{\alpha(z)-\alpha(y)} f(t, z, y)- \\
& \left.\quad-\frac{\beta(t, x)-\beta(t, z)}{\alpha(x)-\alpha(z)} f(t, x, z) h(t, z, y)\right] d \mu(z) .
\end{aligned}
\]

Полученная система интегро-дифференциальных уравнений также имеет бесконечиый набор первых интегралов $J_{N_{k}}$ типа (3.23). Рассматривая уравнение $\left(a E^{2}+f E+h\right)=$ $=\left\lfloor a E^{2}+f E+h, f+a E\right\rfloor$, приходим к системе уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f(t, x, y)}{\partial t}=(\alpha(y)-\alpha(x)) h(t, x, y), \\
\frac{\partial h(t, x, y)}{\partial t}=\int_{\mathscr{M}}(h(t, x, z) f(t, z, y)- \\
\quad-f(t, x, z) h(t, z, y)) d \mu(z),
\end{array}
\]

которая, очевидно, эквивалентна одному интегро-дифференциальному уравнению с производными второго порядка по $t$ и также обладает бесконечным набором первых интегралов типа $J_{N k}$.