I. Рассмотрим уравнение (1.1) в специальном случае
\[
\mathrm{L}=\alpha \mathrm{L}^{2}+\beta \mathrm{L}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}]
\]

в пространстве дифференциальных операторов, причем
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}=-d_{x}^{2}+u_{x}(t, x), \\
\mathrm{A}=\frac{1}{2} \alpha x d_{x}^{3}+v d_{x}+w+\gamma\left(4 d_{x}^{3}-6 u_{x} d_{x}-3 u_{x x}\right) .
\end{array}
\]
2*

Здесь $\alpha, \beta, \gamma$ – постоянные, а функции $v(t, x), w(t, x)$ необходимо найти из уравнения (3.1). Уравнение (3.1), (3.2) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений (коәффициенты при операторах $d_{x}^{2}, d_{x}, 1$ ):
\[
\begin{array}{c}
v_{x}+\alpha u_{x}+\frac{3}{4} \alpha x u_{x x}+\frac{1}{2} \beta=0, \\
w_{x}+\frac{1}{2} v_{x x}+\alpha u_{x x}+\frac{3}{4} \alpha x u_{x x x}=0, \\
u_{t x}=\gamma\left(6 u_{x} u_{x x x}-u_{x x x x}\right)+\alpha\left(u_{x}^{2}-u_{x x x}\right)+\beta u_{x}- \\
-\frac{\alpha}{2} x u_{x x x x}-v u_{x x}-w_{x x} .
\end{array}
\]

Из первых двух уравнений (3.3) находим
\[
v=-\frac{1}{4} \alpha u-\frac{3}{4} \alpha x u_{x}-\frac{1}{2} \beta x, \quad w=\frac{1}{4} \alpha u_{x}-\frac{3}{8} \alpha x u_{x x} .
\]

Третье уравнение (3.3) принимает вид
\[
\begin{aligned}
u_{t x} & =\gamma\left(6 u_{x} u_{x x}-u_{x x x x}\right)+\alpha u_{x}^{2}+\beta u_{x}- \\
& -\frac{1}{8} \alpha x u_{x x x}-\frac{1}{2} \alpha u_{x x x}+\frac{1}{4} u_{x x}\left(3 \alpha x u_{x}+\alpha u+2 \beta x\right) .
\end{aligned}
\]

Новое дифференциальное уравнение (3.5) эквивалентно операторному уравнению (3.1), (3.2), (3.4) и при $\alpha=0, \beta=0, \gamma
eq 0$ переходит в уравнение Кортевегаде Фриза.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение (3.5) имеет следующее точное решение солитон
\[
u(t, x)=-2 \lambda(t) \operatorname{th}(\lambda(t) x-\varphi(t)),
\]

где $\lambda(t)$ и $\varphi(t)$ – произвольные функции времени, удовлетворяющие уравнениям
\[
\dot{\lambda}=-\frac{1}{2} \alpha \lambda^{3}+\frac{1}{2} \beta \lambda, \quad \dot{\varphi}=4 \gamma \lambda^{3} .
\]

Из вида производной
\[
u_{x}(t, x)=-2 \lambda^{2}(t) \operatorname{ch}^{-2}(\lambda(t) x-\varphi(t))
\]

следует, что солитон (3.6), (3.8) движется по оси $x$ с переменной скоростью, изменяя при этом свою «ширину» и «глубину». Только в единственном случае $\lambda(t) \equiv \sigma^{1 / 2}$, $\sigma=\beta / \alpha>0$ солитон (3.6), (3.8) движется без изменения своей формы.

II. Уравнение (3.5) может быть решено методом обратной задачи рассеяния, однако применение этого метода здесь является весьма нестандартным. Выведем уравнения для данных рассеяния, цолагая, что функция $u(t, x)$ имеет следующую асимптотику при $|x| \rightarrow \infty$ :
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow-\infty: \quad u(t, x) \rightarrow g(t), \\
x \rightarrow+\infty: \quad u(t, x) \rightarrow h(t) .
\end{array}
\]

Для таких функций имеем $u_{x}(t, x) \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$.
Пусть $\psi_{n}(t, x)$ – собственная функция оператора Шрёдингера, отвечающего собственному числу $f_{n}$, и, следовательно, удовлетворяющая условиям
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\partial^{2} \psi_{n}}{\partial x^{2}}+u_{x} \psi_{n}=f_{n} \psi_{n}, \quad f_{n}=-\lambda_{n}^{2}, \lambda_{n}>0, \\
\psi_{n}(t, x)=\exp \left(\lambda_{n} x\right)(1+o(1)), x \rightarrow-\infty, \\
\psi_{n}(t, x)=b_{n}(t) \exp \left(-\lambda_{n} x\right)(1+o(1)), \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Так же как и в § 1 , доказывается, что собственные числа $f_{n}$ в силу уравнения (3.1) удовлетворяют уравнению вида (1.5):
\[
\dot{f}_{n}=\alpha f_{n}^{2}+\beta f_{n} .
\]

Отсюда находим
\[
f_{n}=\beta\left(c_{n} \exp (-\beta t)-\alpha\right)^{-1} \text {. }
\]

Функции
\[
F\left(f_{i}, f_{n}\right)=\left(\alpha f_{i}+\beta\right)\left(\alpha f_{n}+\beta\right)^{-1} f_{n} f_{i}^{-1}
\]

являются первыми интегралами уравнения (3.5). В силу уравнения (3.11) справедливо уравнение
\[
\dot{\lambda}_{n}+\frac{1}{2} \alpha \lambda_{n}^{3}-\frac{1}{2} \beta \lambda_{n}=0 .
\]

Продифференцируем равенство $\mathrm{L} \psi_{n}=f_{n} \psi_{n}$ по времени и используем уравнение (3.1); получим
\[
\mathrm{L}\left(\dot{\psi}_{n}+\mathrm{A} \psi_{n}\right)=\left(\dot{f}_{n}-\alpha f_{n}^{2}-\beta f_{n}\right) \psi_{n}+f_{n}\left(\dot{\psi}_{n}+\mathrm{A} \psi_{n}\right) .
\]

Из асимптотики (3.10) и формул (3.2), (3.4) получаем асимптотику при $x \rightarrow-\infty$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{\psi}_{n}+\mathrm{A} \psi_{n}= \\
=\left(\left(\dot{\lambda}_{n}+\frac{1}{2} \alpha \lambda_{n}^{3}-\frac{1}{2} \beta \lambda_{n}\right) x+4 \gamma \lambda_{n}^{3}-\frac{1}{4} \alpha \lambda_{n} g\right) \exp \left(\lambda_{n} x\right) \times \\
\times(1+o(1)) \text {. } \\
\end{array}
\]

В силу уравнений (3.15), (3.11) функция $\dot{\psi}_{n}+\mathrm{A} \psi_{n}$ является собственной функцией оператора L, отвечающей собственному числу $f_{n}$. Поэтому из асимптотики (3.16) и уравнения (3.14) следует равенство
\[
\dot{\psi}_{n}+\mathrm{A} \psi_{n}=\left(4 \gamma \lambda_{n}^{3}-\frac{1}{4} \alpha \lambda_{n} g\right) \psi_{n} .
\]

Подставляя это равенство в асимптотику (3.10) при $x \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$ и снова используя уравнение (3.14), получаем уравнение
\[
\dot{b}_{n}=\left(8 \gamma \lambda_{n}^{3}-\frac{1}{4} \alpha \lambda_{n}(g+h)\right) b_{n},
\]

определяющее динамику коэффициента $b_{n}(t)$.
III. Спектральные функции $\psi(k, t, x)$ оператора L удовлетворяют условиям
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+u_{x} \psi=k^{2} \psi, \quad k>0, \\
\psi(k, t, x)=\exp (-i k x)+o(1), \quad x \rightarrow-\infty, \\
\psi(k, t, x)=a(k, t) \exp (-i k x)+b(k, t) \exp (i k x)+o(1), \\
x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

В дальнейшем мы полагаем, что спектральный параметр $k$ зависит от времени в силу уравнения
\[
k_{t}=\frac{1}{2} \alpha k^{3}+\frac{1}{2} \beta k .
\]

Продифференцируем уравнение
\[
\mathrm{L} \psi=k^{2} \psi
\]

по времени и используем равенства (3.1), (3.20). Получим
\[
\mathrm{L}\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right)=k^{2}\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right) .
\]

В асимптотике (3.19) при $x \rightarrow-\infty$ находим
\[
\begin{array}{l}
\psi_{t}+\mathrm{A} \psi= \\
=\left(-i x\left(k_{t}-\frac{1}{2} \alpha k^{3}-\frac{1}{2} \beta k\right)+4 \gamma i k^{3}+\frac{1}{4} \alpha i k g\right) \exp (-i k x) \times \\
\times(1+o(1)) .
\end{array}
\]

Поэтому из равенств (3.22), (3.23) и уравнения следует равенство
\[
\psi_{t}+\mathrm{A} \psi=\left(4 \gamma i k^{3}+\frac{1}{4} \alpha i k g\right) \psi .
\]

Подставляя в (3.24) асимптотику (3.19) при $x \rightarrow+\infty$, получаем линейные уравнения в частных производных для функций $a(k, t), b(k, t)$.
\[
\begin{array}{l}
a_{t}+a_{k}\left(\frac{1}{2} \alpha k^{3}+\frac{1}{2} \beta k\right)=\frac{1}{4} \alpha i k(g-h) a, \\
b_{t}+b_{k}\left(\frac{1}{2} \alpha k^{3}+\frac{1}{2} \beta k\right)=\left(8 \gamma i k^{3}+\frac{1}{4} \alpha i k(g+h)\right) b .
\end{array}
\]

Уравнения (3.11), (3.18), (3.25), (3.26) определяют эволюцию данных рассеяния, отвечающую уравнению (3.5). Однако асимптотические характеристики решения $g(t)$ п $h(t)$ (3.9) здесь остаются не определенными. Их можно точно определить в случае солитонных решений (см. ниже).

IV Потенциал $u_{x}(t, x)$ определяется по данным рассеяния следующими формулами [5]:
\[
\begin{array}{c}
u_{x}(x)=-2 \frac{d K(x, x)}{d x} \\
K\left(x, x_{1}\right)+F\left(x+x_{1}\right)+\int_{x}^{\infty} K(x, z) F\left(z+x_{1}\right) d z=0 \\
F(x)=\sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \exp \left(-\lambda_{n} x\right)}{i a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)}+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r(k) e^{i k x} d k, r(k)=\frac{b(k)}{a(k)},
\end{array}
\]

в которые переменная $t$ входит в виде параметра. Из уравнения (3.27) получаем формулу
\[
u(t, x)=-2 K(x, x, t)+G(t),
\]

где $G(t)$ – произвольная функция, выбор которой определяет асимптотические характеристики решения $g(t)$. и $h(t)$.

Построим точные $N$-солитонные решения уравнения (3.5). Пусть функция $b(k, t) \equiv 0$. Тогда функция $a(k, t)$. определяется уравнением
\[
a(k, t)=\prod_{n=1}^{N} \frac{k-i \lambda_{n}}{k+i \lambda_{n}} .
\]

Подставим эту формулу в уравнение (3.25) и уттем уравнения (3.14). После простых преобразований получим равенство
\[
g-h=4 \sum_{n=1}^{N} \lambda_{n} .
\]

Определим функции
\[
\beta_{n}(t)=b_{n}(t) /\left(i a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)\right), \quad n=1, \ldots, N .
\]

В соответствии с формулами Хироты [5] и формулой (3.29) потенциал $u(t, x)$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
u(t, x) & =-2 \frac{d}{d x} \ln \operatorname{det} \mathrm{A}(t, x)+G(t), \\
\mathrm{A}_{i j}(t, x) & =\delta_{i j}+\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)^{-1} \beta_{i}(t) \exp \left(-\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right) x\right),
\end{aligned}
\]

где $\mathrm{A}_{i j}(t, x)$ – компоненты матрицы $\mathrm{A}(t, x), i, j=1, \ldots$ $\ldots, N$. В силу условия $\lambda_{i}>0$ асимптотика функции $\dot{u}(t, x)$ (3.33) определяется формулами
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow-\infty: u(t, x) \rightarrow 4 \sum_{n=1}^{N} \lambda_{n}+G(t), \\
x \rightarrow+\infty: u(t, x) \rightarrow G(t) .
\end{array}
\]

В силу (3.34) необходимое условие (3.31) выполнено при любой функции $G(t)$. При $t \rightarrow \pm \infty$ решение (3.33) расцадается в сумму односолитонных решений (3.6), для которых справедливо равенотво $g(t)+h(t)=0$. Следовательно, это же равенство справедливо и для решения (3.33), что в силу (3.9) и (3.34) однозначно определяет вид функции $G(t)$ :
\[
G(t)=h(t)=-g(t)=-2 \sum_{n=1}^{N} \lambda_{n}(t) .
\]

При $N=1$ формулы (3.33), (3.35) определяют солитон (3.6), (3.7). При $\beta / \alpha=\sigma>0$ поведение $N$-солитонного решения (3.33), (3.35) существенно зависит от расположения чисел $\lambda_{n}(t)$, изменяющихся в силу уравнения (3.14) относительно точки $\sigma^{1 / 2}$. При $\lambda_{n}(0)<\sigma^{1 / 2}$ для всех $t$ справедливы неравенства $0<\lambda_{n}(t)<\sigma^{1 / 2}$; при $\lambda_{n}(0)>$ $>\sigma^{1 / 2}$ функция $\lambda_{n}(t)$ становится неограниченной при изменении $t$. Поэтому поведение $N$-солитонных решений уравнения (3.5) существенно отличается от $N$-солитонных решений уравнения Кортевега – де Фриза, которое вкладывается в уравнение (3.5) при $\alpha=0, \beta=0$

V. Рассмотрим уравнение (3.1) в случае матричных операторов $\mathrm{L}$ и А вида
\[
\begin{array}{r}
\mathrm{L}=i p_{0} d_{x}+u_{0}, \quad \mathrm{~A}=(-1-\alpha x) i p_{0} d_{x}^{2}-\left(u_{0}(1+\alpha x)+\beta x\right) d_{x}+w_{0}, \\
i p_{0}=\left(\begin{array}{cc}
i p_{1} & 0 \\
0 & i p_{2}
\end{array}\right), \quad u_{0}=\left(\begin{array}{ll}
0 & \bar{u} \\
u & 0
\end{array}\right), \quad w_{0}=\left(\begin{array}{ll}
w_{1} & w_{2} \\
w_{4} & w_{3}
\end{array}\right), \quad \text { (3.36) }
\end{array}
\]

где $u(t, x)$ – неизвестная комплекснозначная функция, $\alpha$, $\beta, p_{1}, p_{2}$ – вещественные постоянные. Из уравнения (3.1), (3.36) следует, что матричные элементы $w_{k}$ должны иметь вид
\[
\begin{array}{c}
w_{1}=i q\left((1+\alpha x)|u|^{2}+\alpha v\right), \quad q=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{-1}, \\
v_{x}=|u|^{2}, \quad w_{3}=-w_{1}, \\
w_{2}=-q\left(p_{1}(1+\alpha x) \bar{u}_{x}+\alpha p_{2} \bar{u}\right), \\
w_{4}=q\left(p_{2}(1+\alpha x) u_{x}+\alpha p_{1} u\right) .
\end{array}
\]

В этом случае операторное уравнение (3.1), (3.36) эквивалентно следующему дифферендиальному уравнению:
\[
\begin{array}{l}
-i u_{t}=p_{1} p_{2} q((1+\alpha x) u)_{x x}-i \beta(x u)_{x}+ \\
+2 q u\left((1+\alpha x)|u|^{2}+\alpha v\right) .
\end{array}
\]

Это дифференциальное уравнение при $\alpha=0, \beta=0$ совпадает с нелинейным уравнением Шрёдингера. Предыдущие построения данного параграфа применимы также и к уравнению (3.38). Поэтому уравнение (3.38) является интегрируемым негамильтоновым возмущением нелинейного уравнения IIIрёдингера.

Замечание. Аттракторы в нелинейных уравнениях, удовлетворяющих алгебрраической конструкции (1.1), оказываются гладкими многообразиями (орбиты действия некоторой группы автоморфизмов) и поэтому не являются «странными аттракторами». Другой класс нелинейных уравнений с частными производными, обладающих аттракторами, изучался в большом цикле работ, начавшемся работой [90] (см. обзор [91]).