I. В данном параграфе мы выведем двумерные уравнения (1.5) и (1.6) из следующего уравнения Лакса:
\[
\mathrm{L}_{y}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{AL}^{-1}+\left(p \partial_{x}-\alpha \partial_{t}\right) \mathrm{L}^{-2}\right] .
\]
Здесь $\alpha$ – произвольная постоянная, $p(t, x, y)$ – неизестная функция. Одномерный дифференциальный оператор L имеет тот же вид, что и в работах $[40,41]$, посвященных уравнению Синус Гордона:
\[
\mathrm{L}=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \partial_{x}+\left(\begin{array}{ll}
0 & v \\
u & 0
\end{array}\right),
\]
где $u$ п $v$ – неизвестные функции от $t, x, y$. Оператор А является матридей, зависящей от $t, x, y$ :
\[
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) .
\]
Уравнение (4.1) после умножения справа на $L^{2}$ принимает вид
\[
\mathrm{L}_{y} \mathrm{~L}^{2}=(\mathrm{LA}-\mathrm{AL}) \mathrm{L}+\mathrm{L} p \partial_{x}-p \partial_{x} \mathrm{~L}+\alpha \mathrm{L}_{t} .
\]
Для указанных операторов справедливы равенства
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}_{y}=\left(\begin{array}{cc}
0 & v_{y} \\
u_{y} & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{L}^{2}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \partial_{x}^{2}+\left(\begin{array}{cc}
u v & -v_{x} \\
u_{x} & u v
\end{array}\right) \\
\mathrm{LA}-\mathrm{AL}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -2 b \\
2 c & 0
\end{array}\right) \partial_{x}+\left(\begin{array}{cc}
c v-b u-a_{x} & (d-a) v-b_{x} \\
(a-d) u+c_{x} & b u-c v-d_{x}
\end{array}\right), \\
\mathrm{L} p \partial_{x}-p \partial_{x} \mathrm{~L}=p_{x}\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \partial_{x}-p\left(\begin{array}{cc}
0 & v_{x} \\
u_{x} & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
Операторное уравнение (4.4) после подстановки выражений (4.5) эквивалентно следующей системе уравнений:
\[
\begin{aligned}
v_{y} & =-2 b, \quad u_{y}=-2 c, \\
b_{x} & =(d-a) v, \quad c_{x}=(d-a) u, \\
a_{x}-p_{x} & =b u+c v, d_{x}+p_{x}=-b u-c v, \\
u v v_{y} & =c v^{2}+b u v-a_{x} v+\alpha v_{t}-p v_{x}, \\
u v u_{y} & =b u^{2}-c u v+d_{x} u+\alpha u_{t}-p u_{x} .
\end{aligned}
\]
Уравнения (4.8) эквивалентны уравнениям
\[
(a-p)_{x}=b u+c v, \quad(a+d)_{x}=0 .
\]
Уравнения (4.9), (4.10) после подстановки уравнений (4.6) и (4.8) принимают вид
\[
\alpha v_{t}=(p v)_{*}, \quad \alpha u_{t}=(p u)_{x} .
\]
В итоге получаем, что уравнение (4.4) эквивалентно системе уравнений (4.6), (4.7), (4.11), (4.12). Эта система уравнений при предположении
\[
u=k v, c=k b, k=\mathrm{const}
\]
сводится к пяти уравнениям
\[
\begin{array}{c}
v_{y}=-2 b, b_{x}=(d-a) v, \quad(a-p)_{x}=2 k b v, \\
(a+d)_{x}=0, \quad \alpha v_{t}=(p v)_{x} .
\end{array}
\]
Из первых четырех уравнений (4.14) получаем выражение функций $a, b, d, p$ через функцию $v$ :
\[
\begin{array}{c}
a=(4 v)^{-1} v_{x y}+\gamma, \quad b=-\frac{1}{2} v_{y}, \quad d=-(4 v)^{-1} v_{x y}+\gamma \\
p=k \partial_{x}^{-1}\left(v v_{y}\right)+(4 v)^{-1} v_{x y}+\gamma
\end{array}
\]
где $\gamma$ – произвольная функция от $t, y$. Подставляя выражение для функции $p$ (4.15) в последнее уравнение (4.14), получаем окончательное уравнение для функции $v(t, x, y)$ :
\[
\alpha v_{t}=k\left(v \partial_{x}^{-1}\left(v v_{y}\right)\right)_{x}+\frac{1}{4} v_{x x y}+\gamma(t, y) v_{x} .
\]
Проведенные построепия доказывают, что уравнение (4.16) эквивалентно операторному уравнению (́.1)-(4.3) при условиях (4.13), (4.15). При $k>0$ уравнение (4.16) эквивалентно уравнению (1.6). В этом случае формулы (4.1) – (4.3) определяют представление Лакса для уравнения (1.6). При $k<0$ уравнение (4.16) эквивалентно уравнению (1.5). Таким образом, для модифицированного двумерного уравнепия (1.5) получено второе представлепие Лакса (4.1) – (4.3). Прп $k=0$ уравнение (4.16) является линейным:
\[
\alpha v_{t}=\frac{1}{4} v_{x x y}+\gamma(t, y) v_{x} .
\]
При $k=-1$ оператор L (4.2) является кососимметрическим. При $k=1$ оператор L (4.2) не обладает симметрией. В следующем параграфе указано представление Лакса с эрмитовым оператором L для уравнений (1.5), (1.6), (4.16).
