Классические уравнения вращения свободного трехмерного твердого тела вокруг центра масс были выведены Леонардом Эйлером в 1758 году [93]:
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega} .
\]
Здесь М, а-векторы момента количества движения и угловой скорости твердого тела во вращающейся системе отсчета, координаты которых связаны соотношениями $\mathrm{M}_{i}=\sum_{k=1}^{3} \mathrm{I}_{i k} \omega_{k}$, где $\mathrm{I}_{i k}$ – компоненты тензора цнерции твердого тела.
Постановка вопроса о $n$-мерных обобщениях уравнений Эйлера была дана Артуром Кәли в 1846 году в работе «О свойствах косых детерминантов» [94].
В 1875 году В. Фрам в работе [95] построил $n$-мерные обобщения уравнений (1.1) и представил их в виде
\[
T_{i k} \frac{d r_{i k}}{d t}=\sum_{\mu}\left(T_{k \mu}-T_{i \mu}\right) r_{i \mu} r_{k \mu},
\]
где переменные величины $r_{i k}$ кососимметричны ( $r_{i k}=$ $=-r_{k i}$ ), а постоянные $T_{i k}$ симметричны $\left(T_{i k}=T_{k i}\right), i, k$, $\mu=1,2, \ldots, n$. В. Фрам нашел ряд первых интегралов уравнений (1.2) и указал их вывод из принципа наименьшего действия. Также В. Фрам отметил, что при $n=4$ для интегрируемости уравнений (1.2) достаточно найти еще один дополнительный первый интеграл.
В 1891 году Ф. ШІоттки в работе [96] открыл первый интегрируемый случай динамики четырехмерного твердого тела. В этом случае коэффициенты $T_{i k}$ (1.2) удовлетворяют условиям
\[
T_{i k}=A_{i}+A_{k} .
\]
Ф. Шоттки удалось свести интегрирование системы (1.2), (1.3) при $n=4$ к квадратурам.
В 1901 году Анри Пуанкаре в работе [97] вывел следующие уравнения в сопряженном пространстве к произвольной алгебре Ли:
\[
\frac{d}{d t} \frac{d T}{d \eta_{s}}=\sum_{k, i} C_{s k, i} \frac{d T}{d \eta_{i}} \eta_{k}+\Omega_{s},
\]
где $C_{s k, i}$ – структурные константы в коммутационных соотношениях дифференциальных операторов, представляющих рассматриваемую алгебру Ли
\[
X_{i} X_{k}-X_{k} X_{i}=\sum_{s} C_{i k, s} X_{s} .
\]
A. Пуанкаре вывел уравнения (1.4) из принципа наименьшего действия и отметил, что уравнения Эйлера вращения твердого тела являются частным случаем уравнений (1.4), причем величины $\Omega_{s}$ определяют момент сил, действующих на твердое тело.
В 1923 году Герман Вейль в книге «Пространство, Время, Материя» вывел «в качестве упражнения по тензорному исчислению» уравнения свободного вращения $n$-мерного твердого тела:
\[
\left(T_{i}+T_{k}\right) \frac{d v_{i k}}{d t}=\left(T_{k}-T_{i}\right)(v v)_{i k},
\]
где $v_{i k}$ – компоненты кососимметричной матрицы $v$.
Уравнения вращения четырехмерного твердого тела были выведены с помощью алгебры кватернионов в 1942 году В. Бляшке в кните «Неевклидова геометрия и механика» [99].
В 1951 году О. Боттемой и X. Бефом в работе [100] были переоткрыты уравнения вращения $n$-мерного твердого тела, которые были представлены ими в виде
\[
\dot{\omega}_{i j}\left(A_{i}+A_{j}\right)+\left(A_{i}-A_{j}\right) \omega_{i m} \omega_{j m}=0,
\]
где $\omega_{i j}=-\omega_{j i}$. О. Боттема и X. Беф указали простейдие первые интегралы уравнений (1.7) и исследовали в работе [101] стационарные вращения четырехмерного твердого тела, не зная, что в 1891 году Ф. Шоттки была решена общая задача (при $n=4$ ).
В 1966 году В. И. Арнольд в работе [102] определил уравнения Эйлера в сопряженном пространстве $L^{*}$ к произвольной алгебре Ли $L$ в виде
\[
\dot{\mathbf{M}}=\operatorname{ad}_{a(\mathbf{M})}^{*} \mathbf{M},
\]
где вектор $\mathbf{M} \in L^{*}$ п $a(\mathbf{M})$ – линейный самосопряженный оператор из пространства $L^{*}$ в $L$. В работе [102] показано, что гидродинамические уравнения Эйлера представляются в виде уравнений (1.8) в коалтебре Ли группы Ли диффеоморфизмов евклидова пространства.
После работы [102] появилось большюе количество работ, в которых изучались уравнения вида (1.8) (их библиография имеется в обзорах $[164,165]$ ). При этом результаты В. Фрама [95], Ф. Шоттки [96], А. Пуанкаpe [97], Г. Вейля [98] оказались в определенной степени забытыми, были вновь переоткрыты и существенно продвинуты.
