I. Запишем уравнение (5.7) в следующем эквнвалентном виде:
\[
v_{t}=\left(2 v \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}-s v_{x y}\right)_{x},
\]
который переходит в уравнения (1.5), (1.6) при $s=1$ и $s=-1$. Представим уравнение (6.1) в виде, не содержащем операции $\partial_{x}^{-1}$ :
\[
\left(v_{x}^{-1}\left(v_{t}-4 v^{2} v_{y}+s v_{x x y}\right)\right)_{x}=4 v v_{y} .
\]
Опрокидывающиеся солитоны уравнения будем искать в виде бегущих волн
\[
v(t, x, y)=\lambda(t, y) a(\zeta), \quad \zeta=\lambda(t, y) x-\varphi(t, y) .
\]
После подстановки формул (6.3) в уравнение (6.2) и приведения подобных членов получаем, что функции $\lambda(t, y), \varphi(t, y)$ должны удовлетворять уравнениям
\[
\lambda_{t}=m \lambda^{2} \lambda_{y}, \varphi_{t}=m \lambda^{2} \varphi_{y},
\]
где $m$ – нөкоторая постоянная. При этом уравнение (6.2) сводится к следующим двум уравнениям для функции $a(\zeta)$ :
\[
\begin{array}{c}
F^{\prime}=4 a a^{\prime}, \quad F=\left(m a^{\prime}-4 a^{2} a^{\prime}+s a^{\prime \prime \prime}\right) / a^{\prime}, \\
\left(\left(m a-4 a^{3}+3 s a^{\prime \prime}\right) / a^{\prime}\right)^{\prime}+F=4 a^{2} .
\end{array}
\]
Покажем, что система этих двух уравнений совместна и әквивалентна одному уравнению, которое имеет вид
\[
s a^{\prime 2}=a^{4}-m a^{2} .
\]
Пропнтегрировав уравнение (6.5) по $\zeta$, находим
\[
F=2 a^{2}+c_{1}, \quad s a^{\prime \prime \prime}=6 a^{2} a^{\prime}+\left(c_{1}-m\right) a^{\prime} .
\]
Интегрируя еще раз, получаем
\[
s a^{\prime \prime}=2 a^{3}+\left(c_{1}-m\right) a+c_{2} .
\]
Это уравнение лагранжево и имеет интеграл энергии $E$ :
\[
s a^{\prime 2}=a^{4}+\left(c_{1}-m\right) a^{2}+2 c_{2} a+2 E .
\]
Таким образом, уравнения (6.5), (6.9), (6.10) эквивалентны.
Уравнение (6.6) после подстановки выражений для $F$ (6.8) и $s a^{\prime \prime}$ (6.9) и проведения дифферепцирования принимает вид
\[
4\left(a^{2}+c_{1}-\frac{1}{2} m\right) a^{\prime 2}=\left(2 a^{3}+\left(3 c_{1}-2 m\right) a+3 c_{2}\right) a^{\prime \prime} .
\]
После подстановки в (6.11) выражений (6.9), (6.10) получаем равенство двух многочленов шестой степени. Эго равенство является тождеством, если произвольные постоянные удовлетворяют условиям $c_{1}=0, c_{2}=0, E=0$. В этом случае уравнение (6.10) принимает вид (6.7). При этом, согласно проведенным преобразованиям, оба уравнения (6.5), (6.6) удовлетворены. Следовательно, система двух уравнений (6.5) – (6.6) эквивалентна уравнению (6.7).
II. Решения уравнепия (6.7) при $s=1$ определяются формулами:
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } m=b^{2}>0 & a(\zeta)=b \cos ^{-1}(b \zeta+c), \\
\text { при } m=-b^{2}<0 & a(\zeta)=b \operatorname{sh}^{-1}(b \zeta+c), \\
\text { при } m=0 & a(\zeta)=(\zeta-c)^{-1} .
\end{array}
\]
При $s=-1$ необходимо предположить, что $m=b^{2}>0$; при этом уравнение (6.7) определено в полосе $|a| \leqslant|b|$ и все его решения имеют вид
\[
a(\zeta)=b \operatorname{ch}^{-1}(b \zeta+c) .
\]
Осоюые точки уравнения (6.7) $a= \pm b$ соответствуют точным решениям уравнения (6.1), не зависящим от переменной $x$ :
\[
v(t, x, y)=\lambda(t, y), \quad \lambda_{t}=4 \lambda^{2} \lambda_{y} .
\]
Решение (6.13) эквивалентно опрокидывающейся волне Римана.
Уравнения (6.1), (6.7) инвариантны относительно ғамены знака у функций $v(t, x, y)$ и $a(\zeta)$, поэтому во ьсех формулах решений можно пзменить знак.
Проведенные рассуждения после подстановки в формулах (6.3), (6.4) $\lambda_{1}=b \lambda, \varphi_{1}=b \varphi$ доказывают следующее утверждение.
Утверждение 2. Уравнение (6.1) при $s=1$ имеет точные опрокидывающиеся решения, определенные формулами
\[
\begin{array}{l}
v_{1}=\lambda \cos ^{-1}(\lambda x-\varphi), \lambda_{t}=\lambda^{2} \lambda_{y}, \quad \varphi_{t}=\lambda^{2} \varphi_{y}, \\
v_{2}=\lambda \operatorname{sh}^{-1}(\lambda x-\varphi), \lambda_{t}=-\lambda^{2} \lambda_{y}, \quad \varphi_{t}=-\lambda^{2} \varphi_{y} .
\end{array}
\]
Уравнение (6.1) при $s=-1$ имеет точное решение -опрокидывающийся солитон
\[
v=\frac{\lambda}{\operatorname{ch}(\lambda x-\varphi)}, \quad \lambda_{t}=\lambda^{2} \lambda_{y}, \quad \varphi_{t}=\lambda^{2} \varphi_{y} .
\]
Солитонное решение (6.16) являетея гладким по $x$ и быстро убывает при $|x| \rightarrow \infty$. Решения (6.14), (6.15) имеют сингулярности на оси $x$. При преобразовании Миуры $u_{x}=v^{2}+v_{x}$ солитон (6.15) переходит в функцию
\[
u_{x}=-\frac{\lambda^{2}}{\operatorname{ch}(\lambda x-\varphi)+1}=-\frac{2 \mu^{2}}{\operatorname{ch}^{2}(\mu x-\eta)},
\]
где $\mu=\lambda / 2, \eta=\varphi / 2$. Формула (6.17) определяет опрокидывающийся солитон интегрируемого уравнения (1.1)
(см. гл. II. § 3). Применение преобразований Миуры $u_{x}=$ $=v^{2} \pm v_{x}$ к функции (6.14) приводит к сингулярным опрокидывающимся решениям уравнения (1.1).
