Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
I. Важнейшим пнтегралом динамической системы (2.12) является интеграл полной энергии $E$ (без постоянной травитадионной энергии), который складывается из кинетической энерпии жидкости $E_{1}$, внутренней энергии магнитного поля $E_{2}$ и кинетической эш ргии вращения твердого тела $E_{3}$ : Используя в этих формулах обозначения § 2 , получаем: Очевидно $, M^{i}=\partial H / \partial A^{i}, K^{i}=\partial H / \partial B^{i}, \quad w^{i}=\partial H / \partial u^{i} . \mathrm{He}-$ посредственной проверкой легко убедиться, что функция $J_{1}=H$ — щервый интеграл системы (2.12). Эта система имеет также еще следующие три первых интеграла: С точностью до множителя интетрал $J_{2}$ есть квадрат полного момента количества движения, $J_{3}$ — квадрат вектора $\mathrm{h}$ напряженности магнитного поля в лагранжевых координатах, $J_{4}$ — скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора h. Совместный уровень трех интегралов (3.3) определяет шестимерное многообразие $\mathscr{K}^{6}=T\left(S^{2}\right) \times S^{2}$ — произведение касательного пучка к двумерной сфере на двумерную сферу $S^{2}$. Система (2.12) представляет собой спедиалыный случай уравнений Эйлера в сопряженном пространстве $L^{*}$ к алтебре Ли $L$, являющейся суммой алгебры Ли прушпы $G_{3}$ движений трехмерного евклидова прострапства и алгебры Ли SO(3). Многообразия $\mathscr{M}^{6}$ являются орбитами коприсоединенного представления групшы Ли $G=G_{3} \times$ $\times \mathrm{SO}(3)$ в пространстве $L^{*}$, поэтому на этих многоюразиях стандартным образом [120] определяется симплектическая структура; система (2.12) на $\mathscr{A}^{6}$ гамильтонова с гамильтоніином $H$. В случае шаровой полости ( $d_{1}=d_{2}=d_{3}$ ) мапнитное поле не влияет на динамику системы и уравнения (2.12) сводятся к обычным уравнениям Эйлера вращения некоторого эффективного твердого тела. В случае осевой симметрии твердого тела и полости уравнения (2.12) имеют дополнительный первый интепрал $J_{5}=M^{3}+K^{3}$ и инвариантны относительно группы одновременных поворотов в плоскостях $\left(M^{1}, M^{2}\right),\left(K^{1}, K^{2}\right)$ и $\left(u^{1}, u^{2}\right)$. Поэтому система (2.12) на совместном уровне первых интепралов (3.3) и $J_{5}$ и после факторизации по указанной грушле сводится к гамильтоновой системе на четырехмерном многообразии, которая, вообще говоря, неинтетрируема. Тогда в силу (2.3) $A^{i}=\gamma_{i} B^{i}\left(g_{i}+m_{1}^{-1} I_{i}\right)^{-1}$ и система (2.12) принимает вид Уравнения (3.4) аналогичны классическим уравнениям Кирхгофа движения твердого тела, имеющего три плоскости симметрии, в идеальной несжимаемой жидкости. Из теории уравнений Кирхгофа известно, что система (3.4) при выполнении условия Клебша [111] имеет дополнителыньий первый иитеграл и поэтому полностью интегрируется. Из формул (3.4) получаем $f_{i}=g_{i}\left(1-\alpha_{i}^{2} \beta_{i}^{-1}\right)$. Уравнение (3.5) после подстановки (3.7) и несложоного преобразования принимает вид Из уравнения (3.8) при $0<x_{2}<x_{1}<1$ и двух произвольных параметрах $\beta_{2}, \beta_{3}>0$ находим $\beta_{1}>0$. Решения уравнения (3.8) дошускают преобразование $\beta_{i} \rightarrow \lambda \beta_{i}$, поэтому Известный интегрируемый случай С. $\Lambda$. Чаплылина [108] для уравнений Кирхгофа также приводит к интегрируемому случаю рассматриваемой системы. Уравнения (3.4) при условиях имеют дополнителыный первый интеграл и поэтому полностью интеприруются. После подстановки выражений (3.4), (3.7) легко убедиться, что уравнения (3.9) имеют трехпараметрическое семейство решений $d_{i}$, $I_{k}$, удовлетворяющее всем необходимым условиям.
|
1 |
Оглавление
|