I. Важнейшим пнтегралом динамической системы (2.12) является интеграл полной энергии $E$ (без постоянной травитадионной энергии), который складывается из кинетической энерпии жидкости $E_1$, внутренней энергии магнитного поля $E_2$ и кинетической эш ргии вращения твердого тела $E_3$ :
$$\begin{array}{c}{E}_1=\int \frac{\rho {\mathrm{v}}^2}{2}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3=\frac{1}{2}{m}_1\mathrm{Tr}\left(\dot{F}{\dot{F}}^t\right)+\frac{1}{2}\sum _{i,k=1}^3{I}_{ik}^0{A}^i{A}^k,\\ E_2=\int \frac{{\mathbf{I}}^2}{8\pi }d{x}^{1}d{x}^{3}d{x}^3=\frac{1}{30}\mathrm{Tr}\left(h^t{F}^{t}Fh\right)d_1{d}_2{d}_3,\\ E_3=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^3{I}_{ij}^1{A}^i{A}^j,E=E_1+E_2+E_3.\end{array}$$

Используя в этих формулах обозначения § 2 , получаем:
$$\begin{array}{c}2H=2E/m_1=(\mathbf{M},\mathbf{A})+(\mathbf{K},\mathbf{B})+(\mathbf{u},\mathbf{w})=\\ =\sum _{i,k=1}^3(I_{ik}{A}^i{A}^k-2{\gamma }_i{A}^i{B}^i+g_i{\left(B^i\right)}^2+x{g}_i{\left(u^i\right)}^2),\\ g_i=d_j^2+d_k^2,{\gamma }_i=2d_j{d}_k,i,j,k=1,2,3,\end{array}$$

Очевидно $,M^i=\partial H/\partial A^i,K^i=\partial H/\partial B^i,w^i=\partial H/\partial u^i.\mathrm{He}-$ посредственной проверкой легко убедиться, что функция $J_1=H$ — щервый интеграл системы (2.12). Эта система имеет также еще следующие три первых интеграла:
$$J_2=(\mathbf{M},\mathbf{M}),J_3=(\mathbf{u},\mathbf{u}),J_4=(\mathbf{K},\mathbf{u}).$$

С точностью до множителя интетрал $J_2$ есть квадрат полного момента количества движения, $J_3$ — квадрат вектора $\mathrm{h}$ напряженности магнитного поля в лагранжевых координатах, $J_4$ — скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора h. Совместный уровень трех интегралов (3.3) определяет шестимерное многообразие ${\mathcal{K}}^6=T\left(S^2\right)\times S^2$ — произведение касательного пучка к двумерной сфере на двумерную сферу $S^2$.

Система (2.12) представляет собой спедиалыный случай уравнений Эйлера в сопряженном пространстве $L^{\ast }$ к алтебре Ли $L$, являющейся суммой алгебры Ли прушпы $G_3$ движений трехмерного евклидова прострапства и алгебры Ли SO(3). Многообразия ${\mathcal{M}}^6$ являются орбитами коприсоединенного представления групшы Ли $G=G_3\times$ $\times \mathrm{SO}(3)$ в пространстве $L^{\ast }$, поэтому на этих многоюразиях стандартным образом [120] определяется симплектическая структура; система (2.12) на ${\mathcal{A}}^6$ гамильтонова с гамильтоніином $H$.

В случае шаровой полости ( $d_1=d_2=d_3$ ) мапнитное поле не влияет на динамику системы и уравнения (2.12) сводятся к обычным уравнениям Эйлера вращения некоторого эффективного твердого тела. В случае осевой симметрии твердого тела и полости
$$d_1=d_2,r^i=(0,0,r^3),I_{ik}=I_i{\delta }_i^k,I_1=I_2$$

уравнения (2.12) имеют дополнительный первый интепрал $J_5=M^3+K^3$ и инвариантны относительно группы одновременных поворотов в плоскостях $(M^1,M^2),(K^1,K^2)$ и $(u^1,u^2)$. Поэтому система (2.12) на совместном уровне первых интепралов (3.3) и $J_5$ и после факторизации по указанной грушле сводится к гамильтоновой системе на четырехмерном многообразии, которая, вообще говоря, неинтетрируема.
II. Рассмотрим важный случай нулевого полного момента количества движения системы $J_2=0$. Предположим, что центр масс находится в центре әллипсоида ( $r^i=0$ ) и тензор инерции твердого тела диаюнален: $I_{ik}^1=I_i{\delta }_i^k$,

Тогда в силу (2.3) $A^i={\gamma }_i{B}^i{(g_i+m_1^{-1}{I}_i)}^{-1}$ и система (2.12) принимает вид
$$\begin{array}{l}\dot{\bar{\mathbf{K}}}=\bar{\mathbf{K}}\times \mathbf{B}+\mathbf{u}\times \mathbf{w},\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{u}\times \mathbf{B},\\ B^i=\partial \overline{H}/\partial {\overline{K}}^i,w^i=\partial \overline{H}/\partial u^i,\\ 2\overline{H}=\sum _{i=1}^3(f_i^{-1}{\left({\overline{K}}^i\right)}^2+x{g}_i{\left(u^i\right)}^2),f_i=g_i-{\gamma }_i^2{(g_i+I_i{m}_{\mathbf{1}}^{-1})}^{-1}.\end{array}$$

Уравнения (3.4) аналогичны классическим уравнениям Кирхгофа движения твердого тела, имеющего три плоскости симметрии, в идеальной несжимаемой жидкости. Из теории уравнений Кирхгофа известно, что система (3.4) при выполнении условия Клебша [111]
$$f_1(g_2-g_3)+f_2(g_3-g_1)+f_3(g_1-g_2)=0$$

имеет дополнителыньий первый иитеграл
$$\begin{array}{rl}J={\left({\overline{K}}^1\right)}^2+{\left({\overline{K}}^2\right)}^2+{\left({\overline{K}}^3\right)}^2+x{f}_2(& g_1-g_3){\left(u^1\right)}^2+\\ & +x{f}_1(g_2-g_3){\left(u^2\right)}^2\end{array}$$

и поэтому полностью интегрируется.
Покажем, что при любых зпачениях полуосей эллипсоидалыной полости $d_1,d_2,d_3$ существует двухпараметрическое семейство значений тензора инерции твердоло тела $I_i$, для которых соотношение (3.5) выполнено, т. е. динамика системы интегрируема на уровне ${/}_2=0$. Пусть $d_3>d_1>d_2$; введем следующие обовначения:
$$\begin{array}{l}{\beta }_i=1+m_1^{-1}{I}_i{g}_i^{-1}>1,x_1=d_1{d}_3^{-1},x_2=d_2{d}_3^{-1},x_2<x_1<1,\\ \begin{array}{rl}{\alpha }_1=2x_2{(1+x_1^2)}^{-1},{\alpha }_2=2x_1{(1+x_2^2)}^{-1}& ,{\alpha }_3=\\ & =2x_1{x}_2{(x_1^2+x_2^2)}^{-1}.\end{array}\end{array}$$

Из формул (3.4) получаем $f_i=g_i(1-{\alpha }_i^2{\beta }_i^{-1})$. Уравнение (3.5) после подстановки (3.7) и несложоного преобразования принимает вид
$$\frac{x_1^2(1-x_1^2)}{{\beta }_2(1+x_1^2)}+\frac{x_2^2(x_2^2-1)}{{\beta }_1(x_2^2+1)}+\frac{x_1^2{x}_2^2(x_1^2-x_2^2)}{{\beta }_3(x_1^2+x_2^2)}=0.$$

Из уравнения (3.8) при $0<x_2<x_1<1$ и двух произвольных параметрах ${\beta }_2,{\beta }_3>0$ находим ${\beta }_1>0$. Решения уравнения (3.8) дошускают преобразование ${\beta }_i\to \lambda {\beta }_i$, поэтому
при достаточно большом $\lambda$ получаем двухпараметрическое семейство решений с $\overline{{\beta }_i}=\lambda {\beta }_i>1$. После этого из (3.7) находим соответствующие компоненты тензора инерции твердого тела $I_i$. В частности, уравнение (3.8) имеет решения, для которых $x_1\approx x_2\approx 1$ и ${\beta }_1\approx {\beta }_2\approx {\beta }_3$; в этом случае при больших $\lambda$ выполнены также и необходимые условия $I_i<I_j+I_k$.

Известный интегрируемый случай С. $\mathrm{\Lambda }$. Чаплылина [108] для уравнений Кирхгофа также приводит к интегрируемому случаю рассматриваемой системы. Уравнения (3.4) при условиях
$$f_1=f_2=2f_3,g_3=(g_1+g_2)/2,J_4=0$$

имеют дополнителыный первый интеграл
$$\begin{array}{rl}{J}_5={(({\left(K^2\right)}^2-{\left(K^1\right)}^2)f_3^{-1}+x(d_1^2-d_2^2){\left(u^3\right)}^2)}^2& +\\ & +4f_3^{-2}{\left(K^1\right)}^2{\left(K^2\right)}^2\end{array}$$

и поэтому полностью интеприруются. После подстановки выражений (3.4), (3.7) легко убедиться, что уравнения (3.9) имеют трехпараметрическое семейство решений $d_i$, $I_k$, удовлетворяющее всем необходимым условиям.