I. Важнейшим пнтегралом динамической системы (2.12) является интеграл полной энергии $E$ (без постоянной травитадионной энергии), который складывается из кинетической энерпии жидкости $E_{1}$, внутренней энергии магнитного поля $E_{2}$ и кинетической эш ргии вращения твердого тела $E_{3}$ :
\[
\begin{array}{c}
E_{1}=\int \frac{\rho \mathrm{v}^{2}}{2} d x^{1} d x^{2} d x^{3}=\frac{1}{2} m_{1} \operatorname{Tr}\left(\dot{F} \dot{F}^{t}\right)+\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{3} I_{i k}^{0} A^{i} A^{k}, \\
E_{2}=\int \frac{\mathbf{I}^{2}}{8 \pi} d x^{1} d x^{3} d x^{3}=\frac{1}{30} \operatorname{Tr}\left(h^{t} F^{t} F h\right) d_{1} d_{2} d_{3}, \\
E_{3}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{3} I_{i j}^{1} A^{i} A^{j}, \quad E=E_{1}+E_{2}+E_{3} .
\end{array}
\]

Используя в этих формулах обозначения § 2 , получаем:
\[
\begin{array}{c}
2 H=2 E / m_{1}=(\mathbf{M}, \mathbf{A})+(\mathbf{K}, \mathbf{B})+(\mathbf{u}, \mathbf{w})= \\
=\sum_{i, k=1}^{3}\left(I_{i k} A^{i} A^{k}-2 \gamma_{i} A^{i} B^{i}+g_{i}\left(B^{i}\right)^{2}+x g_{i}\left(u^{i}\right)^{2}\right), \\
g_{i}=d_{j}^{2}+d_{k}^{2}, \quad \gamma_{i}=2 d_{j} d_{k}, i, j, k=1,2,3,
\end{array}
\]

Очевидно $, M^{i}=\partial H / \partial A^{i}, K^{i}=\partial H / \partial B^{i}, \quad w^{i}=\partial H / \partial u^{i} . \mathrm{He}-$ посредственной проверкой легко убедиться, что функция $J_{1}=H$ – щервый интеграл системы (2.12). Эта система имеет также еще следующие три первых интеграла:
\[
J_{2}=(\mathbf{M}, \mathbf{M}), \quad J_{3}=(\mathbf{u}, \mathbf{u}), \quad J_{4}=(\mathbf{K}, \mathbf{u}) .
\]

С точностью до множителя интетрал $J_{2}$ есть квадрат полного момента количества движения, $J_{3}$ – квадрат вектора $\mathrm{h}$ напряженности магнитного поля в лагранжевых координатах, $J_{4}$ – скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора h. Совместный уровень трех интегралов (3.3) определяет шестимерное многообразие $\mathscr{K}^{6}=T\left(S^{2}\right) \times S^{2}$ – произведение касательного пучка к двумерной сфере на двумерную сферу $S^{2}$.

Система (2.12) представляет собой спедиалыный случай уравнений Эйлера в сопряженном пространстве $L^{*}$ к алтебре Ли $L$, являющейся суммой алгебры Ли прушпы $G_{3}$ движений трехмерного евклидова прострапства и алгебры Ли SO(3). Многообразия $\mathscr{M}^{6}$ являются орбитами коприсоединенного представления групшы Ли $G=G_{3} \times$ $\times \mathrm{SO}(3)$ в пространстве $L^{*}$, поэтому на этих многоюразиях стандартным образом [120] определяется симплектическая структура; система (2.12) на $\mathscr{A}^{6}$ гамильтонова с гамильтоніином $H$.

В случае шаровой полости ( $d_{1}=d_{2}=d_{3}$ ) мапнитное поле не влияет на динамику системы и уравнения (2.12) сводятся к обычным уравнениям Эйлера вращения некоторого эффективного твердого тела. В случае осевой симметрии твердого тела и полости
\[
d_{1}=d_{2}, r^{i}=\left(0,0, r^{3}\right), I_{i k}=I_{i} \delta_{i}^{k}, I_{1}=I_{2}
\]

уравнения (2.12) имеют дополнительный первый интепрал $J_{5}=M^{3}+K^{3}$ и инвариантны относительно группы одновременных поворотов в плоскостях $\left(M^{1}, M^{2}\right),\left(K^{1}, K^{2}\right)$ и $\left(u^{1}, u^{2}\right)$. Поэтому система (2.12) на совместном уровне первых интепралов (3.3) и $J_{5}$ и после факторизации по указанной грушле сводится к гамильтоновой системе на четырехмерном многообразии, которая, вообще говоря, неинтетрируема.
II. Рассмотрим важный случай нулевого полного момента количества движения системы $J_{2}=0$. Предположим, что центр масс находится в центре әллипсоида ( $r^{i}=0$ ) и тензор инерции твердого тела диаюнален: $I_{i k}^{1}=I_{i} \delta_{i}^{k}$,

Тогда в силу (2.3) $A^{i}=\gamma_{i} B^{i}\left(g_{i}+m_{1}^{-1} I_{i}\right)^{-1}$ и система (2.12) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{\overline{\mathbf{K}}}=\overline{\mathbf{K}} \times \mathbf{B}+\mathbf{u} \times \mathbf{w}, \quad \dot{\mathbf{u}}=\mathbf{u} \times \mathbf{B}, \\
B^{i}=\partial \bar{H} / \partial \bar{K}^{i}, w^{i}=\partial \bar{H} / \partial u^{i}, \\
2 \bar{H}=\sum_{i=1}^{3}\left(f_{i}^{-1}\left(\bar{K}^{i}\right)^{2}+x g_{i}\left(u^{i}\right)^{2}\right), \quad f_{i}=g_{i}-\gamma_{i}^{2}\left(g_{i}+I_{i} m_{\mathbf{1}}^{-1}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Уравнения (3.4) аналогичны классическим уравнениям Кирхгофа движения твердого тела, имеющего три плоскости симметрии, в идеальной несжимаемой жидкости. Из теории уравнений Кирхгофа известно, что система (3.4) при выполнении условия Клебша [111]
\[
f_{1}\left(g_{2}-g_{3}\right)+f_{2}\left(g_{3}-g_{1}\right)+f_{3}\left(g_{1}-g_{2}\right)=0
\]

имеет дополнителыньий первый иитеграл
\[
\begin{aligned}
J=\left(\bar{K}^{1}\right)^{2}+\left(\bar{K}^{2}\right)^{2}+\left(\bar{K}^{3}\right)^{2}+x f_{2}( & \left.g_{1}-g_{3}\right)\left(u^{1}\right)^{2}+ \\
& +x f_{1}\left(g_{2}-g_{3}\right)\left(u^{2}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

и поэтому полностью интегрируется.
Покажем, что при любых зпачениях полуосей эллипсоидалыной полости $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ существует двухпараметрическое семейство значений тензора инерции твердоло тела $I_{i}$, для которых соотношение (3.5) выполнено, т. е. динамика системы интегрируема на уровне $/_{2}=0$. Пусть $d_{3}>d_{1}>d_{2}$; введем следующие обовначения:
\[
\begin{array}{l}
\beta_{i}=1+m_{1}^{-1} I_{i} g_{i}^{-1}>1, x_{1}=d_{1} d_{3}^{-1}, x_{2}=d_{2} d_{3}^{-1}, x_{2}<x_{1}<1, \\
\begin{aligned}
\alpha_{1}=2 x_{2}\left(1+x_{1}^{2}\right)^{-1}, \alpha_{2}=2 x_{1}\left(1+x_{2}^{2}\right)^{-1} & , \alpha_{3}= \\
& =2 x_{1} x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\end{array}
\]

Из формул (3.4) получаем $f_{i}=g_{i}\left(1-\alpha_{i}^{2} \beta_{i}^{-1}\right)$. Уравнение (3.5) после подстановки (3.7) и несложоного преобразования принимает вид
\[
\frac{x_{1}^{2}\left(1-x_{1}^{2}\right)}{\beta_{2}\left(1+x_{1}^{2}\right)}+\frac{x_{2}^{2}\left(x_{2}^{2}-1\right)}{\beta_{1}\left(x_{2}^{2}+1\right)}+\frac{x_{1}^{2} x_{2}^{2}\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)}{\beta_{3}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}=0 .
\]

Из уравнения (3.8) при $0<x_{2}<x_{1}<1$ и двух произвольных параметрах $\beta_{2}, \beta_{3}>0$ находим $\beta_{1}>0$. Решения уравнения (3.8) дошускают преобразование $\beta_{i} \rightarrow \lambda \beta_{i}$, поэтому
при достаточно большом $\lambda$ получаем двухпараметрическое семейство решений с $\overline{\beta_{i}}=\lambda \beta_{i}>1$. После этого из (3.7) находим соответствующие компоненты тензора инерции твердого тела $I_{i}$. В частности, уравнение (3.8) имеет решения, для которых $x_{1} \approx x_{2} \approx 1$ и $\beta_{1} \approx \beta_{2} \approx \beta_{3}$; в этом случае при больших $\lambda$ выполнены также и необходимые условия $I_{i}<I_{j}+I_{k}$.

Известный интегрируемый случай С. $\Lambda$. Чаплылина [108] для уравнений Кирхгофа также приводит к интегрируемому случаю рассматриваемой системы. Уравнения (3.4) при условиях
\[
f_{1}=f_{2}=2 f_{3}, \quad g_{3}=\left(g_{1}+g_{2}\right) / 2, \quad J_{4}=0
\]

имеют дополнителыный первый интеграл
\[
\begin{aligned}
J_{5}=\left(\left(\left(K^{2}\right)^{2}-\left(K^{1}\right)^{2}\right) f_{3}^{-1}+x\left(d_{1}^{2}-d_{2}^{2}\right)\left(u^{3}\right)^{2}\right)^{2} & + \\
& +4 f_{3}^{-2}\left(K^{1}\right)^{2}\left(K^{2}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

и поэтому полностью интеприруются. После подстановки выражений (3.4), (3.7) легко убедиться, что уравнения (3.9) имеют трехпараметрическое семейство решений $d_{i}$, $I_{k}$, удовлетворяющее всем необходимым условиям.