I. Классической задачей механики является исследование поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с некоторым потенциалом $\varphi\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)$. В общем случае динамика центра масс твердого тела и его вращение вокруг центра масс не разделяются и определяются лагранжевой системой уравнений с шестью степенями свободы. Известным исключением является динамика однородного шара или динамика произвольного числа притягивающихся по закону Ньютона шаровых тел с однородным распределением плотности $[129,130]$. В этом случае потенциальная эпергия системы не зависит от поворотов любого шарового тела вокруг его центра. Следовательно, динамика центров масс тел определяется той же системой уравнений, что и динамика притягивающихся материальных точек, а вращение каждого тела вокруг его центра пропсходит по инерции и независимо от других тел.
$B$ случае линейного потенциала $\varphi=a_{1} x^{1}+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}$ (постоянное поле сил) движение центра масс твердого тела происходит равноускоренно по прямой. Вращение твердого тела вокруг центра масс происходит независимо по инерции и определяется классическим интегрируемым случаем Эйлера.

Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в некотором поле сил является модельной задачей, так как в природе нет неподвижных точек и неподвижных тел. В случае вращения твердого тела вокруг точки, неподвияной в лабораторной системе отсчета, правильные уравнения движения должны учитывать неинерциальность этой системы отсчета (например, на поверхности Земли или на борту спутника).

Основной результат данной главы состоит в доказательстве теоремы 2 о том, что уравнения поступательновращательного движения произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным потенциалом, являющимся многочленом второй степени
\[
\varphi=\frac{1}{2} \sum_{i<j}^{3}\left(a_{i j} x^{i} x^{j}+b_{i} x^{i}\right),
\]

вполне интегрируемы по Лиувиллю [125 – 127]. В этом случае движение центра масс и вращение твердого тела вокруг центра масс оказываются независимыми. Динамика центра масс эквивалентна динамике гармонического осциллятора и поэтому интегрируется в элементарных функциях. Вращения твердого тела вокруг центра масс эквивалентно вращению вокруг неподвижной точки $O\left(x^{i}=0\right)$ в гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом
\[
\varphi=\frac{1}{2} \sum_{i<j}^{3} a_{i j} x^{i} x^{j} .
\]

Соответствующие уравнения динамши пнтегрируются явно в $\theta$-функция Римана от четырех неременных, ограниченных на некоторое трехмерное подмногообразие (многообразие Прима).
II. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с линейным потенциалом $\varphi=a_{1} x^{1}+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}$ (уравнения Эйлера – Пуассона) в общем случае не интегрируемы [114]. Только в трех исключительных случаях, найденных Эйлером [93], Лагранжем [103] и Ковалевской [104], возможно интегрирование динамики, при этом в первых двух случаях уравнения интегрируются в эллиптических функциях, а в случае Ковалевской – в тәта-функциях Римана от двух переменных.

Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки $O$ в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом (1.2) является классической задачей механики. В этой задаче был известен единственный интегрируемый случай Бруна [112], в котором ньютоновское поле (потенциал $\varphi$ (1.2)) обладает осевой симметрией (ось проходит через точку $O$ ); при этом квадратичный потенциал $\varphi$ эквивалентен потенциалу $\varphi=a\left(x^{1}\right)^{2}$ и уравнения, описывающие вращение твердого тела $T$, сводятся к интегрируемому случаю Клебша [111] для уравнений Кирхгофа. При этом динамика траекторий является квазишериодической на двумерных торах $T^{2}$. В малоизвестных работах Бруна [128] указаны два дополнительных интеграла уравнений вращения твердого тела в поле с общим квадратичным потенциалом вида (1.2); в работе Горячева [140] переоткрыт один из этих интегралов и в случае потенциала $\varphi=a\left(\left(x^{1}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)$ найдены два дополнительных первых интеграла. В названных работах гамильтонова структура уравнений динамики и вопрос об их интегрируемости по Лиувиллю не рассматривались. В исследуемой задаче совместный уровень всех первых интегралов является трехмерным многообразием, как и в самом общем случае уравнений Эйлера Пуассона. Поэтому в отличие от интегрируемых случаев уравнений Эйлера – Пуассона и всех классических интегрируемых случаев $[114,119]$ здесь метод последнего множителя Якоби, который исшользовали классики для доказательства интегрируемости, неприменим. По рассматриваемой задаче выполнена также работа [149].
III. В данной главе показано, что уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом являютея уравнениями Эйлера в сопряженном шространстве $\kappa$ некоторой девятимерной алгебре Ли $L_{9}^{\prime}$ и, следовательно, гамильтоновы на шестимерных орбитах $M^{6}$. Возникающие гамильтоновы системы на симплектических многообразиях имеют три первых интеграла $J_{1}, J_{2}, J_{3}$, которые находятся в инволюции ( $J_{1}$ – гамильтониан), и поэтому вполне интегрируемы по Лиувиллю.

Теорема 2 является отражением фундаментального физического факта – равенства инертной и гравитационной масс, вследствие чего кинетическая энергия вращения твердого тела и его потенциальная энергия в ньютоновском поле с потенциалом (1.2) зависят от одних и тех же параметров – моментов инерции твердого тела. Уравнения вращения электрически заряженного твердого тела вокруг неподвижной точки в электрическом поле с квадратичным потенциалом вида (1.2) в общем случае неинтегрируемы.

В условиях теоремы 2 нет никаких дополнительных предположений, кроме предположения о квадратичном виде ньютоновского гравитационного потенциала $\varphi(x)$. Доказательство интегрируемости динамики твердого тела не зависит от того, удовлетворяет ли потенциал $\varphi(x)$ уравнению Лапласа. При выполнении уравнения Лапласа $\Delta \varphi(x)=0$ имеем $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$, поэтому общая траектория центра масс является трехмерной неограниченной кривой. В этом случае существуют также и ограниченные (при всех $t$ ) траектории центра масс, которые необходимо являются плоскими (задача о гармоническом осцилляторе).

Теорема 2 применима для описания поступательновращательного движения произвольного твердого тела в окрестности точек экстремума (внешнего) ньютоновского потенциала, где квадратичное приближение (1.1) является достаточно точным. Другой областью применений теоремы 2 является исследование динамики твердого тела в поле притяжения произвольных удаленных объектов при условии, что расстояние до этих объектов $R$ много больше характерного размера тела $l$.