I. Пусть $\mathrm{L}$ – симметрическая матрица следующего вида:

а матрица А является кососимметрической и имеет ненулевые элементы
\[
A_{i, i+1}=x_{i}, \quad A_{i+1, i}=-x_{i} .
\]

Рассмотрим для этих матриц операторное уравнение вида
\[
\mathrm{L}_{t}=\mathrm{LL}_{y}+\mathrm{L}_{y} \mathrm{~L}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] .
\]

Уравнение (4.3) эквиваленгно следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{i} a_{i+1}\right)_{y}=x_{i} a_{i+1}-a_{i} x_{i+1}, \\
a_{i t}=\left(a_{i}\left(p_{i}+p_{i+1}\right)\right)_{y}+x_{i}\left(p_{i}-p_{i+1}\right), \\
p_{i t}=\left(p_{i}^{2}+a_{i}^{2}+a_{i-1}^{2}\right)_{y}+2 a_{i-1} x_{i-1}-2 a_{i} x_{i} .
\end{array}
\]

Уравнения (3.4) после подстановки $x_{i}=a_{i} b_{i}$ принимают вид
\[
a_{i y} a_{i}^{-1}+a_{i+1, y} a_{i+1}^{-1}=b_{i}-b_{i+1} .
\]

Решение этих уравнений определяется формулой
\[
-b_{i}=\beta+2 \sum_{k=1}^{k=i-1} a_{k y} a_{k}^{-1}+a_{i y} a_{i}^{-1},
\]

где $\beta$ – произвольная функция от $\bar{t}, y$.
Уравнения (3.5), (3.6) после подстановки выражений (3.8) и замены $\tilde{a}_{i}=a_{i}^{2}, \quad \tilde{t}=2 t$ принимают вид (волну над $\tilde{a}_{i}, \tilde{t}$ далее опускаем)
\[
\begin{array}{l}
p_{i t}=p_{i} p_{i y}+a_{i} \sum_{k=1}^{k=i} a_{k y} a_{k}^{-1}-a_{i-1} \sum_{k=1}^{k=i-2} a_{k y} a_{k}^{-1}+\beta\left(a_{i}-a_{i-1}\right), \\
a_{i t}=p_{i+1} a_{i y}+a_{i}\left(p_{i}+p_{i+1}\right)_{y}+a_{i}\left(p_{i+1}-p_{i}\right)\left(\beta+\sum_{k=1}^{k=i-1} a_{k y} a_{k}^{-1}\right) .
\end{array}
\]

Полученная система уравнений (4.9) эквивалентна операторному уравнению (3.3). Поэтому согласно основной лемме § 2 главы II собственные числа $f_{k}(t, y)$ матрицы $\mathrm{L}$ (3.1) в силу системы (3.9) удовлетворяют уравнениям
\[
f_{h t}=2 f_{k} f_{k y}
\]

и являются поэтому инвариантами Римана. Таким образом, спстема (3.9), описывающая эволюцию $2 n-1$ функции $p_{i}, a_{j}$, обладает $n$ инвариантами Римана (3.10). При $\beta=0$ система (3.9) входит в класс систем гидродинамического типа $[92,174,175]$.

При отсутствии зависимости от переменной $y$ система переходит в известную систему для цепочки Тода. Система также имеет представление вида (1.12).
II. Укажем другой вид системы (3.9). Из уравнениї (3.7) после подстановки
\[
a_{i}=\exp \left(q_{i+1}-q_{i}\right)
\]

получаем
\[
-b_{i}=\left(q_{i}+q_{i+1}\right)_{y}+2 \beta, \quad x_{i}=b_{i} \exp \left(q_{i+1}-q_{i}\right) .
\]

Уравнения (3.5), (3.6) после подстановки (3.11), (3.12) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
p_{i t}=2 p_{i} p_{i y}+4\left(q_{i+1, y}+\beta\right) e^{2\left(q_{i+1}-q_{i}\right)}- \\
-4\left(q_{i-1, y}+\beta\right) e^{2\left(q_{i}-q_{i-1}\right)}, \\
q_{i t}=2 p_{i} q_{i y}+p_{i y}+2 \sum_{k=1}^{k=1} p_{k y}+2 \beta p_{i}+\gamma,
\end{array}
\]

где $\beta$ и $\gamma$ – произвольные функции от $t, y$. Любое решение системы (3.13) после подстановок (3.11), (3.12) определяет решение уравнений (3.5), (3.6), например, можно положить $\gamma=0$.

При отсутствии зависимости от $y$ система (3.13) совпадает со стандартным видом цепочки Тода. При $\beta=\gamma=0$ уравнение (3.13) определяют достаточно изящную систему гидродинамического тина, обладающую $n$ инвариантами Римана (3.10).
III. Операторное уравнение (3.3) совпадает с уравнением Јакса
\[
\mathrm{L}_{t}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}-\mathrm{L} \partial_{y^{4}}-\partial_{y} \mathrm{~L}\right] .
\]

Поэтому построенные системы уравнений (3.9), (3.13) эквивалентны также уравнению Лакса (3.14).

Система (3.9), (3.13) связана с системой (1.9) так же, как цепочка Тода связана с системой Вольтерра. Действительно, нетрудно проверить, что из операторного уравнения (1.3) матрицы $L$ следует уравнение для матрицы $\mathrm{L}_{1}=\mathrm{L}^{2}$ :
\[
2 \mathrm{~L}_{1 t}=\mathrm{L}_{1} \mathrm{~L}_{1 y}+\mathrm{L}_{1 y} \mathrm{~L}_{1}+\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right],
\]

где матрица $\mathrm{A}_{1}=2 A-\left[\mathrm{L}, \mathrm{L}_{y}\right]$. Уравнение (3.15), очевидно, совпадает с уравнением (3.3). При этом матрица $L_{1}$ симметрична и имеет ненулевые элементы $\mathrm{L}_{1 i i}, \mathrm{~L}_{1 i, i+2}=\mathrm{L}_{1 i+2, i}$, матрица $\mathrm{A}_{1}$ кососимметрична и имеет ненулевые элементы $A_{1 i, i+2}=-A_{1 i+2, i}$. Поэтому при отображении $L_{1}=L^{2}$ система (1.9) преобразуется на инвариантное подмногообразие системы (3.9).