I. Уравнение (1.3) является континуальным пределом при $p \rightarrow \infty$ всего семейства динамических систем (1.3) из гл. V. Важнейшие свойства этих динамических систем сохраняются также и у уравнения (1.3).
Теорема 1. Интегро-дифференциальное уравнение (1.3) обладает следующими свойствами: 1) является гамильтоновым; 2) допускает эквивалентное представление Лакса; 3) имеет счетный набор первых интегралов $I_{n}$, поторые определяются явными формулами.
Доказательство. 1) Уравнение (1.3) представляется также в виде
\[
\begin{array}{c}
v_{t}(t, x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi-x) \exp v(t, \xi) d \xi, \\
\varphi(y)=1, \quad 0<y<c ; \quad \varphi(y)=0, \quad y>c, \quad \varphi(-y)=-\varphi(y) .
\end{array}
\]
В силу представления (2.1) пмеем
\[
\begin{array}{c}
v_{t}(t, x)=\mathrm{I} \frac{\delta H}{\delta v}, \\
H=\int_{-\infty}^{\infty} \exp v(t, \xi) d \xi, \quad(\mathrm{I}(f))(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi-x) f(\xi) d \xi .
\end{array}
\]
Оператор I трансляционно инвариантен и в силу нечетности функции $\varphi(x)$ является кососимметрическим:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{I}(f)(x) g(x) d x=-\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{I}(g)(x) f(x) d x .
\]
Поэтому представление (2.2) определяет гамильтонов вид уравнения (2.1).
2) Пусть $\mathrm{P}_{c}$ – оператор сдвига графика функции $\varphi(x)$ на $c:\left(\mathrm{P}_{c} \varphi\right)(x)=\varphi(x+c), d / d x$ – одератор дифференцирования. Очевидно справедливы равенства
\[
\left[\varphi \mathrm{P}_{c}, \psi \mathrm{P}_{b}\right]=\left(\varphi \mathrm{P}_{c}(\psi)-\psi \mathrm{P}_{b}(\varphi)\right) \mathrm{P}_{c+b},\left[\frac{d}{d x}, \mathrm{P}_{c}\right]=0 .
\]
Рассмотрим уравнение Лакса
\[
\frac{d \mathrm{~L}}{d t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L}=\frac{d}{d x}+a(t, x) \mathrm{P}_{-c}, \quad \mathrm{~A}=-\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi-\mathrm{P}_{c},
\]
где $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ – линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси $\mathbb{R}^{1}(-\infty<x<+\infty)$. Используя равенства (2.3), нетрудно проверить, что уравнение (2.4) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
Уравнение Лакса (2.4) можно представить также в алгебре Ли интегральных операторов на прямой $\operatorname{Int}\left(\mathbb{R}^{1}, \mu\right)$, ядра которых являются обобщенными функциями. Пусть обобщенные функции $L(t, x, y)$ и $A(t, x, y)$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
L(t, x, y)=a(t, x) \delta(x-c-y)+\delta^{\prime}(x-y), \\
A(t, x, y)=-\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi\right) \delta(x-y)-\delta(x+c-y) .
\end{array}
\]
По определению обобщенных функций $\delta(x-y)$ и
$\delta^{\prime}(x-y)$ имеем [48]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(z-x) f(z) d z=f(x), \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(z-x) f(z) d z=-f^{\prime}(x) .
\]
В силу этих равенств нетрудно проверить, что уравнение Лакса
\[
\frac{\partial L(t, x, y)}{\partial t}=\int_{-\infty}^{\infty}(L(t, x, z) A(t, z, y)-A(t, x, z) L(t, z, y)) d z
\]
эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
3) Для вывода формул первых интегралов уравнения (1.3) определим следующие линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси $\mathbb{R}^{1}$ :
\[
\mathrm{L}_{1}=\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\mathrm{P}_{\varepsilon}, \quad \mathrm{A}_{1}=-\varepsilon \sum_{k=0}^{p-1} a(t, x+k \varepsilon)-\mathrm{P}_{p \varepsilon},
\]
где $p$-целое число. Уравнение Лакса $\dot{\mathrm{L}}_{1}=\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right]$ в силу равенств (2.3) эквивалентно уравнению
\[
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a(t, x+k \varepsilon)-\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a(t, x-k \varepsilon)\right) .
\]
Уравнение (2.9) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ переходит в интегро-дифференциальное уравнение (1.3). Поэтому первые интегралы уравнения (2.9) в пределе переходят в первые интегралы уравнения (1.3).
Лемма 1. Уравнение Лакса вида
\[
\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L}=\sum_{i=1}^{n} \varphi_{i}(t, x) \mathrm{P}_{\mathrm{c}_{i}}, \quad \mathrm{~A}=\sum_{i=1}^{m} \psi_{i}(t, x) \mathrm{P}_{b_{i}}
\]
имеет первый интеграл
\[
I=\operatorname{Tr}(\mathrm{L})=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{k}(t, x) d x
\]
где индекс $k$ определен условием $c_{k}=0$.
Доказательство. Уравнение Јакса (2.10) после приравнивания коэффициентов при различных сдвигах
$\mathbf{P}_{c_{\boldsymbol{k}}}$ в операторах $\mathrm{L}$ и $[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ в силу формул (2.3) переходит в систему уравнений
\[
\frac{\partial \varphi_{k}(t, x)}{\partial t}=\sum\left(\varphi_{i}(t, x) \psi_{j}\left(t, x+c_{i}\right)-\psi_{j}(t, x) \varphi_{i}\left(t, x+b_{j}\right)\right),
\]
где суммирование осуществляется по всем индексам $i, j$, удовлетворяющим условию $c_{i}+b_{j}=c_{k}$. Если $c_{k}=0$, то уравнение (2.12) принимает вид
\[
\frac{\partial \varphi_{k}(t, x)}{\partial t}=\sum\left(\varphi_{i}(t, x) \psi_{j}\left(t, x+c_{i}\right)-\psi_{j}(t, x) \varphi_{i}\left(t, x-c_{i}\right)\right) .
\]
Из уравнения (2.13) следует, что при $c_{k}=0$
\[
\frac{d}{d t} \operatorname{Tr}(\mathrm{L})=\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{k}(t, x) d x=0 .
\]
Лемма 1 доказана.
Из уравнения Лакса (2.8) следуют уравнения $\left(\mathrm{L}_{1}^{N}\right)^{\cdot}=$ $=\left[\mathrm{L}_{1}^{N}, \mathrm{~A}_{1}\right]$, поэтому уравнение (2.9) имеет счетное миожество первых интегралов вида $\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}_{1}^{\mathrm{N}}\right)$. Ненулевые интегралы возникают только если в разложение оператора $\mathrm{L}_{1}^{\mathrm{N}}$ входит оператор нулевого сдвига $\mathrm{P}_{0}$, т. е. если существуют такие целые числа $k$ и $l, k+l=N$, что $k(1-p)+l=0$. Отсюда находим $N=k+l=k p$. Поэтому счетное множество ненулевых первых интегралов $I_{n}$ уравнения (2.9) определяется формулами
\[
I_{n}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}_{1}^{n p}\right)=\operatorname{Tr}\left(\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\mathrm{P}_{\varepsilon}\right)^{n p} .
\]
Согласно определению (2.11) для вычисления интеграла $I_{n}$ необходимо вычислить коэффициент цри операторе $\mathrm{P}_{0}$ в разложении $\mathrm{L}_{1}^{n p}$. Оператор $\mathrm{P}_{0}$ возникает в $\mathrm{L}_{1}^{n p}$ от умножения в произвольном порядке $n$ раз оператора $\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}$ и $n(p-1)$ раз оператора $\mathrm{P}_{\varepsilon}$. При $n=1$ интеграл $I_{1}$ имеет вид
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon a(t, x+k \varepsilon) d x
\]
и в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon]$ переходит в интеграл
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{\infty}^{x+c} a\left(t, x_{1}\right) d x_{1}=c \int_{-\infty}^{\infty} a(t, x) d x .
\]
При произвольном $n$ первый интеграл $I_{n}$ определяется формулой
\[
I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} d x\left(\sum_{k_{1}, \ldots, k_{n}} \varepsilon^{n} \prod_{m=1}^{n} a\left(t, x+\sum_{i=1}^{m} k_{i} \varepsilon+(m-1)(1-p) \varepsilon\right)\right),
\]
где суммирование осуществляется по всем наборам из $n$ целых неотрицательных чисел $k_{i}$, удовлетворяющих условию $k_{1}+\ldots+k_{n}=n(p-1)$. Формулы (2.16) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.3).
\[
\begin{aligned}
I_{n}= & \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{x}^{x+n c} d x_{1} \int_{x_{1}-c}^{x+(n-1) c} d x_{2} \ldots \\
& \ldots \int_{x_{n-2}-c}^{x+2 c} d x_{n-1} \int_{x_{n-1}-c}^{x+c}\left(\prod_{m=1}^{n} a\left(t, x_{m}\right)\right) d x_{n} .
\end{aligned}
\]
Простейший из этих интегралов $I_{1}$ определен формулой (2.15) и связан с гамильтонианом $H$ (2.2) соотношением $I_{1}=c H$. Теорема 1 доказана.
Все интегралы (2.17) сходятся, если функция $|a(t, x)|$ при $|x| \rightarrow \infty$ убывает как $|x|^{-(1+\varepsilon)}, \varepsilon>0$.
II. Рассмотрим задачу рассеяния для оператора $L$ (2.4). Пусть $\varphi(k, t, x)$ – собственная функция, удовлетворяющая уравнению
\[
\frac{d \varphi}{d x}(k, t, x)+a(t, x) \varphi(k, t, x-c)=k \varphi(k, t, x) .
\]
Уравнение (2.18) является линейным уравнением со сдвигом аргумента. В простейшем случае $a(t, x)=a=$ = const пространство комплекснозначных решений уравнения (2.18) является бесконечномерным и порождается решениями вида $\varphi(k, t, x)=\exp \lambda_{i} x$, где показатель $\lambda_{i}$ удовлетворяет уравнению
\[
\lambda+\alpha \exp (-\lambda c)=k \text {. }
\]
Уравнение (2.19) при любом $k$ имеет счетное множество комплексных решений $\lambda_{i}$.
Пусть функция $a(t, x)$ при $|x| \rightarrow \infty$ имеет асимптотику $a(t, x) \rightarrow \alpha$. Обозначим $\varphi_{i}(k, t, x)$ и $\psi_{j}(k, t, x)$ решения уравнения (2.18), имеющие асимптотики
\[
\begin{array}{ll}
\varphi_{i}(k, t, x)=\exp \left(\lambda_{i} x\right), & x \rightarrow-\infty ; \\
\psi_{j}(k, t, x)=\exp \left(\lambda_{j} x\right), & x \rightarrow+\infty,
\end{array}
\]
где $\lambda_{i}, \lambda_{j}$ – корни уравнения (2.19). Предположим, что функции $\varphi_{i}(k, t, x)$ и $\psi_{i}(k, t, x)$ образуют два базиса в линейном пространстве решений уравнения (2.28). В этом случае справедливы равенства
\[
\varphi_{i}(k, t, x)=\sum_{j} \mathrm{~B}_{i j}(k, t) \psi_{j}(k, t, x),
\]
где $\mathrm{B}_{i j}(k, t)$ – матрица рассеяния.
Собственная функция $\varphi_{i}(k, t, x)$ в силу уравнения Лакса (2.4) удовлетворяет уравнению
\[
(\mathrm{L}-k)\left(\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}\right)=0, \quad \dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}=\sum_{j} c_{i j} \varphi_{j} .
\]
В силу асимптотики (2.20), формул (2.4) и того, что $a(t, x) \rightarrow \alpha$ при $|x| \rightarrow \infty$, получаем асимптотические равенства
\[
\dot{\varphi}_{i}+A \varphi_{i} \cong-\left(\alpha c+\exp \lambda_{i} c\right) \exp \lambda_{i} x,
\]
из которых следуют, ввиду линейной независимости функций $\varphi_{j}$, точные равенства
\[
\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}=-\left(\alpha c+\exp \lambda_{i} c\right) \varphi_{i} .
\]
Подставляя в уравнения (2.23) выражения (2.21), получаем
\[
\sum_{j}\left(\dot{\mathrm{B}}_{i j} \psi_{j}-\mathrm{B}_{i j}\left(\alpha c+\exp \lambda_{j} c\right) \psi_{j}\right)=-\left(\alpha c+\exp \lambda_{i} c\right) \sum_{j} \mathrm{~B}_{i j} \psi_{j} .
\]
Отсюда находим уравнения, определяющие эволюцию данных рассеяния:
\[
\dot{\mathbf{B}}_{i j}(k, t)=\mathrm{B}_{i j}(k, t)\left(\exp \lambda_{j} c-\exp \lambda_{i} c\right) .
\]
Поэтому в рассматриваемом случае динамика данных рассеяния полностью интегрируется:
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{B}_{i j}(k, t)=\mathrm{B}_{i j}(k, 0) \exp \left(t\left(\exp \lambda_{j} c-\exp \lambda_{i} c\right)\right), \\
\mathrm{B}_{i j}(k, t) \mathrm{B}_{j i}(k, t)=B_{i j}(k, 0) \mathrm{B}_{j i}(k, 0), \\
\mathrm{B}_{i i}(k, t)=\mathrm{B}_{i i}(k, 0) .
\end{array}
\]
Проведенные построения допускают очевидное обобщение на случай двух различных асимптотик $a(t, x) \rightarrow \alpha_{ \pm}$при $x \rightarrow \pm \infty$.
III. Покажем, что бесконечная система дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} \varphi_{i}(t, x)}{\partial t \partial x}=\exp \left(\varphi_{i+1}(\right. & \left., x+c)-\varphi_{i}(t, x)\right)- \\
& -\exp \left(\varphi_{i}(t, x)-\varphi_{i-1}(t, x-c)\right)
\end{aligned}
\]
вкладывается в систему, допускающую представление Лакса. Система (2.26) после подстановки
\[
v_{i}(t, x)=\varphi_{i+1}(t, x+c)-\varphi_{i}(t, x)
\]