Главная > ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ СОЛИТОНЫ (О.И. БОГОЯВЛЕНСКИЙ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

I. Уравнение (1.3) является континуальным пределом при $p \rightarrow \infty$ всего семейства динамических систем (1.3) из гл. V. Важнейшие свойства этих динамических систем сохраняются также и у уравнения (1.3).

Теорема 1. Интегро-дифференциальное уравнение (1.3) обладает следующими свойствами: 1) является гамильтоновым; 2) допускает эквивалентное представление Лакса; 3) имеет счетный набор первых интегралов $I_{n}$, поторые определяются явными формулами.

Доказательство. 1) Уравнение (1.3) представляется также в виде
\[
\begin{array}{c}
v_{t}(t, x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi-x) \exp v(t, \xi) d \xi, \\
\varphi(y)=1, \quad 0<y<c ; \quad \varphi(y)=0, \quad y>c, \quad \varphi(-y)=-\varphi(y) .
\end{array}
\]

В силу представления (2.1) пмеем
\[
\begin{array}{c}
v_{t}(t, x)=\mathrm{I} \frac{\delta H}{\delta v}, \\
H=\int_{-\infty}^{\infty} \exp v(t, \xi) d \xi, \quad(\mathrm{I}(f))(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi-x) f(\xi) d \xi .
\end{array}
\]

Оператор I трансляционно инвариантен и в силу нечетности функции $\varphi(x)$ является кососимметрическим:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{I}(f)(x) g(x) d x=-\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{I}(g)(x) f(x) d x .
\]

Поэтому представление (2.2) определяет гамильтонов вид уравнения (2.1).
2) Пусть $\mathrm{P}_{c}$ – оператор сдвига графика функции $\varphi(x)$ на $c:\left(\mathrm{P}_{c} \varphi\right)(x)=\varphi(x+c), d / d x$ – одератор дифференцирования. Очевидно справедливы равенства
\[
\left[\varphi \mathrm{P}_{c}, \psi \mathrm{P}_{b}\right]=\left(\varphi \mathrm{P}_{c}(\psi)-\psi \mathrm{P}_{b}(\varphi)\right) \mathrm{P}_{c+b},\left[\frac{d}{d x}, \mathrm{P}_{c}\right]=0 .
\]

Рассмотрим уравнение Лакса
\[
\frac{d \mathrm{~L}}{d t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L}=\frac{d}{d x}+a(t, x) \mathrm{P}_{-c}, \quad \mathrm{~A}=-\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi-\mathrm{P}_{c},
\]

где $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ – линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси $\mathbb{R}^{1}(-\infty<x<+\infty)$. Используя равенства (2.3), нетрудно проверить, что уравнение (2.4) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).

Уравнение Лакса (2.4) можно представить также в алгебре Ли интегральных операторов на прямой $\operatorname{Int}\left(\mathbb{R}^{1}, \mu\right)$, ядра которых являются обобщенными функциями. Пусть обобщенные функции $L(t, x, y)$ и $A(t, x, y)$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
L(t, x, y)=a(t, x) \delta(x-c-y)+\delta^{\prime}(x-y), \\
A(t, x, y)=-\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi\right) \delta(x-y)-\delta(x+c-y) .
\end{array}
\]

По определению обобщенных функций $\delta(x-y)$ и

$\delta^{\prime}(x-y)$ имеем [48]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(z-x) f(z) d z=f(x), \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(z-x) f(z) d z=-f^{\prime}(x) .
\]

В силу этих равенств нетрудно проверить, что уравнение Лакса
\[
\frac{\partial L(t, x, y)}{\partial t}=\int_{-\infty}^{\infty}(L(t, x, z) A(t, z, y)-A(t, x, z) L(t, z, y)) d z
\]

эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
3) Для вывода формул первых интегралов уравнения (1.3) определим следующие линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси $\mathbb{R}^{1}$ :
\[
\mathrm{L}_{1}=\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\mathrm{P}_{\varepsilon}, \quad \mathrm{A}_{1}=-\varepsilon \sum_{k=0}^{p-1} a(t, x+k \varepsilon)-\mathrm{P}_{p \varepsilon},
\]

где $p$-целое число. Уравнение Лакса $\dot{\mathrm{L}}_{1}=\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right]$ в силу равенств (2.3) эквивалентно уравнению
\[
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a(t, x+k \varepsilon)-\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a(t, x-k \varepsilon)\right) .
\]

Уравнение (2.9) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ переходит в интегро-дифференциальное уравнение (1.3). Поэтому первые интегралы уравнения (2.9) в пределе переходят в первые интегралы уравнения (1.3).
Лемма 1. Уравнение Лакса вида
\[
\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L}=\sum_{i=1}^{n} \varphi_{i}(t, x) \mathrm{P}_{\mathrm{c}_{i}}, \quad \mathrm{~A}=\sum_{i=1}^{m} \psi_{i}(t, x) \mathrm{P}_{b_{i}}
\]

имеет первый интеграл
\[
I=\operatorname{Tr}(\mathrm{L})=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{k}(t, x) d x
\]

где индекс $k$ определен условием $c_{k}=0$.
Доказательство. Уравнение Јакса (2.10) после приравнивания коэффициентов при различных сдвигах

$\mathbf{P}_{c_{\boldsymbol{k}}}$ в операторах $\mathrm{L}$ и $[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ в силу формул (2.3) переходит в систему уравнений
\[
\frac{\partial \varphi_{k}(t, x)}{\partial t}=\sum\left(\varphi_{i}(t, x) \psi_{j}\left(t, x+c_{i}\right)-\psi_{j}(t, x) \varphi_{i}\left(t, x+b_{j}\right)\right),
\]

где суммирование осуществляется по всем индексам $i, j$, удовлетворяющим условию $c_{i}+b_{j}=c_{k}$. Если $c_{k}=0$, то уравнение (2.12) принимает вид
\[
\frac{\partial \varphi_{k}(t, x)}{\partial t}=\sum\left(\varphi_{i}(t, x) \psi_{j}\left(t, x+c_{i}\right)-\psi_{j}(t, x) \varphi_{i}\left(t, x-c_{i}\right)\right) .
\]

Из уравнения (2.13) следует, что при $c_{k}=0$
\[
\frac{d}{d t} \operatorname{Tr}(\mathrm{L})=\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{k}(t, x) d x=0 .
\]

Лемма 1 доказана.
Из уравнения Лакса (2.8) следуют уравнения $\left(\mathrm{L}_{1}^{N}\right)^{\cdot}=$ $=\left[\mathrm{L}_{1}^{N}, \mathrm{~A}_{1}\right]$, поэтому уравнение (2.9) имеет счетное миожество первых интегралов вида $\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}_{1}^{\mathrm{N}}\right)$. Ненулевые интегралы возникают только если в разложение оператора $\mathrm{L}_{1}^{\mathrm{N}}$ входит оператор нулевого сдвига $\mathrm{P}_{0}$, т. е. если существуют такие целые числа $k$ и $l, k+l=N$, что $k(1-p)+l=0$. Отсюда находим $N=k+l=k p$. Поэтому счетное множество ненулевых первых интегралов $I_{n}$ уравнения (2.9) определяется формулами
\[
I_{n}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}_{1}^{n p}\right)=\operatorname{Tr}\left(\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\mathrm{P}_{\varepsilon}\right)^{n p} .
\]

Согласно определению (2.11) для вычисления интеграла $I_{n}$ необходимо вычислить коэффициент цри операторе $\mathrm{P}_{0}$ в разложении $\mathrm{L}_{1}^{n p}$. Оператор $\mathrm{P}_{0}$ возникает в $\mathrm{L}_{1}^{n p}$ от умножения в произвольном порядке $n$ раз оператора $\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}$ и $n(p-1)$ раз оператора $\mathrm{P}_{\varepsilon}$. При $n=1$ интеграл $I_{1}$ имеет вид
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon a(t, x+k \varepsilon) d x
\]

и в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon]$ переходит в интеграл
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{\infty}^{x+c} a\left(t, x_{1}\right) d x_{1}=c \int_{-\infty}^{\infty} a(t, x) d x .
\]

При произвольном $n$ первый интеграл $I_{n}$ определяется формулой
\[
I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} d x\left(\sum_{k_{1}, \ldots, k_{n}} \varepsilon^{n} \prod_{m=1}^{n} a\left(t, x+\sum_{i=1}^{m} k_{i} \varepsilon+(m-1)(1-p) \varepsilon\right)\right),
\]

где суммирование осуществляется по всем наборам из $n$ целых неотрицательных чисел $k_{i}$, удовлетворяющих условию $k_{1}+\ldots+k_{n}=n(p-1)$. Формулы (2.16) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.3).
\[
\begin{aligned}
I_{n}= & \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{x}^{x+n c} d x_{1} \int_{x_{1}-c}^{x+(n-1) c} d x_{2} \ldots \\
& \ldots \int_{x_{n-2}-c}^{x+2 c} d x_{n-1} \int_{x_{n-1}-c}^{x+c}\left(\prod_{m=1}^{n} a\left(t, x_{m}\right)\right) d x_{n} .
\end{aligned}
\]

Простейший из этих интегралов $I_{1}$ определен формулой (2.15) и связан с гамильтонианом $H$ (2.2) соотношением $I_{1}=c H$. Теорема 1 доказана.

Все интегралы (2.17) сходятся, если функция $|a(t, x)|$ при $|x| \rightarrow \infty$ убывает как $|x|^{-(1+\varepsilon)}, \varepsilon>0$.
II. Рассмотрим задачу рассеяния для оператора $L$ (2.4). Пусть $\varphi(k, t, x)$ – собственная функция, удовлетворяющая уравнению
\[
\frac{d \varphi}{d x}(k, t, x)+a(t, x) \varphi(k, t, x-c)=k \varphi(k, t, x) .
\]

Уравнение (2.18) является линейным уравнением со сдвигом аргумента. В простейшем случае $a(t, x)=a=$ = const пространство комплекснозначных решений уравнения (2.18) является бесконечномерным и порождается решениями вида $\varphi(k, t, x)=\exp \lambda_{i} x$, где показатель $\lambda_{i}$ удовлетворяет уравнению
\[
\lambda+\alpha \exp (-\lambda c)=k \text {. }
\]

Уравнение (2.19) при любом $k$ имеет счетное множество комплексных решений $\lambda_{i}$.

Пусть функция $a(t, x)$ при $|x| \rightarrow \infty$ имеет асимптотику $a(t, x) \rightarrow \alpha$. Обозначим $\varphi_{i}(k, t, x)$ и $\psi_{j}(k, t, x)$ решения уравнения (2.18), имеющие асимптотики
\[
\begin{array}{ll}
\varphi_{i}(k, t, x)=\exp \left(\lambda_{i} x\right), & x \rightarrow-\infty ; \\
\psi_{j}(k, t, x)=\exp \left(\lambda_{j} x\right), & x \rightarrow+\infty,
\end{array}
\]

где $\lambda_{i}, \lambda_{j}$ – корни уравнения (2.19). Предположим, что функции $\varphi_{i}(k, t, x)$ и $\psi_{i}(k, t, x)$ образуют два базиса в линейном пространстве решений уравнения (2.28). В этом случае справедливы равенства
\[
\varphi_{i}(k, t, x)=\sum_{j} \mathrm{~B}_{i j}(k, t) \psi_{j}(k, t, x),
\]

где $\mathrm{B}_{i j}(k, t)$ – матрица рассеяния.
Собственная функция $\varphi_{i}(k, t, x)$ в силу уравнения Лакса (2.4) удовлетворяет уравнению
\[
(\mathrm{L}-k)\left(\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}\right)=0, \quad \dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}=\sum_{j} c_{i j} \varphi_{j} .
\]

В силу асимптотики (2.20), формул (2.4) и того, что $a(t, x) \rightarrow \alpha$ при $|x| \rightarrow \infty$, получаем асимптотические равенства
\[
\dot{\varphi}_{i}+A \varphi_{i} \cong-\left(\alpha c+\exp \lambda_{i} c\right) \exp \lambda_{i} x,
\]

из которых следуют, ввиду линейной независимости функций $\varphi_{j}$, точные равенства
\[
\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}=-\left(\alpha c+\exp \lambda_{i} c\right) \varphi_{i} .
\]

Подставляя в уравнения (2.23) выражения (2.21), получаем
\[
\sum_{j}\left(\dot{\mathrm{B}}_{i j} \psi_{j}-\mathrm{B}_{i j}\left(\alpha c+\exp \lambda_{j} c\right) \psi_{j}\right)=-\left(\alpha c+\exp \lambda_{i} c\right) \sum_{j} \mathrm{~B}_{i j} \psi_{j} .
\]

Отсюда находим уравнения, определяющие эволюцию данных рассеяния:
\[
\dot{\mathbf{B}}_{i j}(k, t)=\mathrm{B}_{i j}(k, t)\left(\exp \lambda_{j} c-\exp \lambda_{i} c\right) .
\]

Поэтому в рассматриваемом случае динамика данных рассеяния полностью интегрируется:
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{B}_{i j}(k, t)=\mathrm{B}_{i j}(k, 0) \exp \left(t\left(\exp \lambda_{j} c-\exp \lambda_{i} c\right)\right), \\
\mathrm{B}_{i j}(k, t) \mathrm{B}_{j i}(k, t)=B_{i j}(k, 0) \mathrm{B}_{j i}(k, 0), \\
\mathrm{B}_{i i}(k, t)=\mathrm{B}_{i i}(k, 0) .
\end{array}
\]

Проведенные построения допускают очевидное обобщение на случай двух различных асимптотик $a(t, x) \rightarrow \alpha_{ \pm}$при $x \rightarrow \pm \infty$.
III. Покажем, что бесконечная система дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} \varphi_{i}(t, x)}{\partial t \partial x}=\exp \left(\varphi_{i+1}(\right. & \left., x+c)-\varphi_{i}(t, x)\right)- \\
& -\exp \left(\varphi_{i}(t, x)-\varphi_{i-1}(t, x-c)\right)
\end{aligned}
\]

вкладывается в систему, допускающую представление Лакса. Система (2.26) после подстановки
\[
v_{i}(t, x)=\varphi_{i+1}(t, x+c)-\varphi_{i}(t, x)
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru