I. Матрицы $Q_{1}(t), Q_{2}(t)$ для периодических вращений модели пульсара являются периодическими фунжциями времени с одинаковым периодом. Таким решениям соответствуют замкнутые траектории системы (2.12); обратно, если замкнутые траектории системы (2.12) образуют трехмернюе множество, то некоторое его всюду плотное подмножество соответствует периодическим вращениям $Q_{1}(t)$, что и приводит к периодическому изменению внешнего электромапнитного поля пулысара.

Покажем, что при выполнении уюловий $I_{i k}=\left(g_{i}+I_{i}\right) \delta_{i k}$ и $J_{4}=0$ на открытом множестве поверхностей уровня ипнтегралов $J_{1}=k_{1}, J_{2}=k_{2}, J_{3}=k_{3}$ существует 12 замкнутых траекторий системы (2.12).
Интеграл $J_{1}=H$ (3.2) при $I_{i k}=\left(g_{i}+I_{i}\right) \delta_{\text {ih }}$ пмеет вид
\[
\begin{array}{c}
2 J_{1}=\sum_{i=1}^{3}\left(a_{i} M_{i}^{2}+2 c_{i} M_{i} K_{i}+b_{i} K_{i}^{2}+x g_{i} u_{i}^{2}\right), \\
a_{i}=g_{i} s_{i}, c_{i}=\gamma_{i} s_{i}, b_{i}=\left(g_{i}+I_{i}\right) s_{i}, s_{i}=\left(\left(g_{i}+I_{i}\right) g_{i}-\gamma_{i}^{2}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Система (2.12) ла уровне $J_{4}=0$ имеет три инвариантғых подмногообразия $V_{k}^{4}: u_{k}=M_{i}=M_{j}=K_{i}=K_{j}=0 \quad(i, j$, $k=1,2,3$ ). На многообразии $V_{1}^{4}$ уравнения (2.12) и интегралы (3.2) – (3.3) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\vec{K}_{3}=x\left(g_{2}-g_{1}\right) u_{1} u_{2}, \quad \dot{u}_{1}=u_{2} B_{3}, \quad \dot{u}_{2}=-u_{1} B_{3}, \quad \dot{M}_{3}=0, \\
2 J_{1}=a_{3} M_{3}^{2}+2 c_{3} M_{3} K_{3}+b_{3} K_{3}^{2}+x g_{1} u_{1}^{2}+x g_{2} u_{2}^{2}, \quad \text { (4.2) } \\
J_{2}=M_{3}^{2}, \quad J_{3}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}, \quad B_{2}=c_{3} M_{3}+b_{3} K_{3} .
\end{array}
\]

Поверхность уровня интеграла $J_{2}=k_{2}$ состоит из двух компонент $M_{3}=\varepsilon k_{2}^{1 / 2}, \varepsilon= \pm 1$. На каждой компоненте многообразие уровня интегралов $J_{1}=k_{1}, J_{3}=k_{3}$ является пөресечением әллипсоида ( $J_{1}=k_{1}$ ) и цилиндра ( $\left.J_{3}=k_{3}\right)$, имеющих общую ось $K_{3}$, и либо состоит из двух замюнутых траекторий системы (4.2), либо пусто (число этих замкнутых траекторий одинаково для обеих компонент $M_{3}=\varepsilon k_{2}^{1 / 2}$ ). Всепо на трех пивариантных подмногообразиях $V_{k}^{4}$ в зависимости от соотнюшения $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ получаем $12,8,4$ или 0 замкнутых траекторий, причем при $2 J_{1}>J_{2} \max \left(a_{i}-c_{i}^{2} / b_{i}\right)+x J_{3} \max \left(g_{i}\right)$ имеется ровно 12 замкнутых траекторий.

Указанные замюнутые траектории описывают вращение пульсара вокруг непюдвижной оси. Максимальное число таких траекторий (4 для каждой/ из трех осей) соответствует двум возможным направлениям полного момента импулыса пульсара и двум возможным направлениям вращения жидкого ядра относительно обюлочки.

Уравнения (4.2) после подстановки $K_{3}=\left(B_{3}-c_{3} M_{3}\right)$ / $/ b_{3}$ принимают вид классических уравнений Эйлера
\[
\dot{B}_{3}=-\omega u_{1} u_{2}, \quad \dot{u}_{1}=u_{2} B_{3}, \quad \dot{u}_{2}=-u_{1} B_{3},
\]

где $\omega=x b_{3}\left(g_{1}-g_{2}\right)$. Вычислим период замюнутых траекторий системы (4.2) – (4.3). Интепралы системы (4.3) запишем в виде
\[
l=B_{3}^{2}+\omega u_{1}^{2}, J_{3}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2} .
\]

Пусть $d_{2}>d_{1}$, тогда $\omega=x b_{3}\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right)>0$. Выражая $B_{3}$ и $u_{2}$ в силу (4.4) через $u_{1}$ и подставляя в (4.3), получаем
\[
\dot{u}_{1}=\left(\left(J_{3}-u_{1}^{2}\right)\left(l-\omega u_{1}^{2}\right)\right)^{1 / 2} .
\]

Решения уравнений (4.5) имеют вид [155]
\[
u_{1}=(l / \omega)^{1 / 2} \operatorname{sn} \tau, \quad \tau=\left(\omega J_{3}\right)^{1 / 2}\left(t-t_{0}\right),
\]

где sn $\tau$-эллиптическая фушкция Якоби, отвечающая параметру $k^{2}=l /\left(\omega J_{3}\right)$. После подстановки (4.6) в (4.4) получаем:
\[
B_{3}=l^{1 / 2} \mathrm{cn} \tau, u_{2}=J_{3}^{1 / 2} \mathrm{dn} \tau .
\]

Период эллиптических фушкций (4.6)-(4.7) определяется формулой
\[
T=4\left(\omega J_{3}\right)^{-1 / 2} \int_{0}^{\pi / 2}\left(1-k^{2} \sin ^{2} \alpha\right)^{-1 / 2} d \alpha .
\]

Это и есть период зампнутых траекторий системы (4.2)(4.3).
II. Найдем минимальне значение периода $T$, реаливующееся для моделей реалыных пульсаров, т. е. при $d_{1} \approx d_{2} \approx d_{3} \approx R$ и при постоянных $J_{3}, I_{3}, \rho$. Функция $T$ (4.8) достигает минимума $T_{m}$ при $k=l=0$, т. е. для малых колебаний, происходящих в окрестности оси $u_{2}\left(B_{3}=\right.$ $\left.=u_{1}=0\right)$; при этом $T_{m}=2 \pi\left(\omega J_{3}\right)^{-1 / 2}$. Такие колебания асимштотически имеют вид $(l \ll 1)$ :
\[
\begin{array}{c}
u_{1}=l^{1 / 2} \sin \left(\omega^{1 / 2} u_{2}^{0}\left(t-t_{0}\right)\right), \\
B_{3}=(l \omega)^{1 / 2} \cos \left(\omega^{1 / 2} u_{2}^{0}\left(t-t_{0}\right)\right), \quad u_{2}=u_{2}^{0} .
\end{array}
\]

После подстановки формул (4.1) и (4.3) в (4.7) при $k \ll 1$ получаем:
\[
\begin{array}{c}
T_{m}=2 \pi\left(4 \pi \rho / J_{3}\right)^{1 / 2} K\left(d_{1}, d_{2}, I_{3}\right), \\
K=\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+I_{3}\right)^{-1 / 2}\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}+I_{3}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right)^{-1}\right)^{1 / 2}, \\
I_{3}=m_{1}^{-1}\left(I_{3}^{0}+I_{3}^{1}\right) .
\end{array}
\]

Фуюкция $K$ достигает минималыного значения $K_{m}$ при
\[
\begin{aligned}
d_{2}^{2}-d_{1}^{2}= & \left(I_{3}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)\right)^{1 / 2}, K_{m}= \\
& =2^{1 / 2}\left(I_{3}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)\right)^{1 / 4}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+I_{3}\right)^{-1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Отсюда получаем минимальное значение периода
\[
T_{0}=4 \pi^{3 / 2}\left(2 \rho / J_{3}\right)^{1 / 2}\left(I_{3}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)\right)^{1 / 4}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+I_{3}\right)^{-1 / 2} .
\]

Для реальных пулысарюв имеем [152]: $d_{1} \approx d_{2} \approx d_{3} \approx$ $\approx R \sim 10^{6}$ см, плотность вещества жидкого ядра $\rho \sim$ $\sim 10^{14} \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, плотность вещества оболочки $\rho_{\mathrm{t}} \sim 10^{8} \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, толщипа оболочки $r \sim 10^{4} \mathrm{~cm}$, величииа магнитного поля на поверхности пульсара $|H| \sim 10^{12} \Gamma с$ (все численные значения определены только по порядку величины). Согласно определению (1.3) максимальное значение напряженности мапнитного поля на поверхности эллипсоидальной полости дается формулой $|\mathbf{H}|=R|\mathbf{h}|$. В силу определения $u=Q_{2} h Q_{2}^{t}$ имеем $J_{3}=|\mathbf{u}|^{2}=|\mathbf{h}|^{2}$, поэтому $J_{3}^{1 / 2}=$ $=|\mathbf{H}| / R$. Тензор инерции оболочки при $r \ll R$ пмеет вид
\[
I_{i k}^{1}=\frac{8}{3} \pi R^{4} r \rho_{1} \delta_{i k} .
\]

Естественпо предположить, что центр масс пулысара близок ₹ цештру эллипсоидальной полости, причем $\left|r^{i}\right|<$ $<R\left(2 r \rho_{1} / R \rho\right)^{1 / 2}$, тогда $\left|I_{i k}^{0}\right|=\gamma\left|I_{i k}^{1}\right|$, пде $\gamma<1$ (см. (2.3)). Для компоненты $I_{3}$ получаем формулу
\[
I_{3}=m_{1}^{-1}\left(I_{3}^{0}+I_{3}^{1}\right)=10(1+\gamma) \operatorname{Rr} \rho_{1} / \rho .
\]

Подставляя пайдепные выражепия в формулу (4.11), получаем:
\[
T_{0}=8 \pi^{3 / 2}(5(1+\gamma) / 4)^{1 / 4} \rho^{1 / 2} R H^{-1}\left(r \rho_{1} / R \rho\right)^{1 / 4} .
\]

При этом в силу (4.10) имеем $d_{2}=d_{1}\left(1+5(1+\gamma) r \rho_{1} /\right.$ $(R \rho)^{1 / 2}$. После подстановки укаванных выше численных значений находим $d_{2}=d_{1}\left(1+(5(1+\gamma))^{1 / 210^{-4}}\right), T_{0}=5$ с. Полученное значение $T_{0}$ аппроксимирует период $T=$ $=3,75$ с пульсара PSR 0527. Учитывая неточность определения численных значепий всех величин в формуле (4.12), полученную оценку минимального периода вращения пульсара $T_{0}$ (4.12) можно считать достаточно хорошо согласующейся с астрофизическими данными. Например, положив $H=5 \cdot 10^{12} \Gamma$ с (что весьма правдоподобно), получим $T_{0} \sim 1 \mathrm{c}$, а такое значение периода характерно для многих пульсаров, например, PSR 0628 ( $T=$ $=1,24$ c) PSR 1133 ( $T=1,19$ с) и др. [152].
III. Траектории системы (4.3), удовлетворяющие условию
\[
\begin{array}{c}
\left(d_{1}^{2}+d_{3}^{2}\right)^{-1} J_{0}>J_{3}>\left(d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\right)^{-1} J_{0}, \\
J_{0}=\left(2 J_{1}-\left(a_{3}-c_{3}^{2} / b_{3}\right) J_{2}\right) x^{-1},
\end{array}
\]

движутся вокруг оси $u_{2}\left(B_{3}=u_{1}=0\right)$, как и траектории (4.8). Для таких траекторий за период одного колебания матрица $Q_{2}$ не изменяется, так как $Q_{2}=-B Q_{2}$ и $\oint_{3} B d t=0 ; \quad$ при этом матрица $Q_{1}(t+T) Q_{1}^{-1}(t)$ определяет поворот вогруг оси $x_{3}$ на угол $\Delta \varphi=T M_{3} / I_{3}$. Условие $\Delta \varphi=2 \pi p / q$ ( $p$ и $q$ – целые числа) определяет значения момента импульса $|\overrightarrow{\mathbf{M}}|=m_{1}\left|M_{3}\right|=2 \pi p m_{1} I_{3} / q T$, обеспечивающие строгую периодичность вращения пулысара (с периодом $q T$ ).
$\bigcap_{\text {ри }} J_{3} \chi \min \left(g_{i}\right)<J_{1}<J_{3} \chi \max \left(g_{i}\right)$ и $J_{2} \ll 1$ на поверхности уровня $J_{i}=k_{i}$ существуют 8 замкіутых траекторий, вдоль которых величины $K_{3}, B_{3}, A_{3}=a_{3} M_{3}+c_{3} K_{3}$ меняют знак. Таким траекториям отвечает немонотонное вращение пульсара воюруг оси $x_{3}$, при котором угловая скорость оболочки и внутреннего вращения жидкості периодически меняют знак (частным случаем являютоя колебания (4.9) при $\left.\left|M_{3}\right|<(\omega l)^{1 / 2} c_{3}\left(a_{3} b_{3}-c_{3}^{2}\right)^{-1}\right)$. Этот вид движеғия реализуется только при наличии внутреннего магнитного поля и $d_{1}
eq d_{2}$.

Мапниторотационные колебания несжимаемой жидкости в цилиндрически-симметричном случае (объект бесконечен по оси $x_{3}$ ) изучались в работе [156]. Существование некоторых периодических траекторий системы (2.12). можно установить, иснользуя работу [117], так как при $J_{2}=0$ система (2.12) переходит в уравнения Кирхгофа.
IV. Важное значение имеют таюже решения, которые на многообразии $\mathscr{M}^{6}$ уровня интегралов $J_{2}=k_{2}, J_{3}=k_{3}$, $J_{4}=k_{4}$ обладают минималыной полной энертией $J_{1}$. Такие решения в силу положительной определенности энергии $J_{1}$ существуют на каждом многообразии уровня интегралов $J_{2}, J_{3}, J_{4}$ и соолветствют некоторым стационарным точкам системы (2.12). В стационарных точках системы (2.12) выполнены следующие условия:
\[
\mathbf{A}=\lambda \mathbf{M}, \quad \mathbf{B}=\alpha \mathbf{u}, \quad \mathbf{w}=\alpha \mathbf{K}+\beta \mathbf{u} .
\]

Соотношения (4.13) после подстановки формул принимают вид
\[
\begin{aligned}
u_{i}=\alpha \lambda z_{i} M_{i}, \quad K_{i} & =\left(\chi g_{i}-\beta\right) \lambda z_{i} M_{i}, z_{i}=\gamma_{i}\left(\left(\alpha^{2}-\chi\right) g_{i}+\beta\right)^{-1}, \\
\lambda^{-1} M_{i} & =\sum_{k=1}^{3} J_{i k} M_{k}, J_{i k}=I_{i k}-\gamma_{i} \alpha^{2} z_{i} \delta_{i k} .
\end{aligned}
\]

Отыскание особых точек сводится, таким образом, к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы $J_{i k}$. Твердотельное вращение $(\alpha=0)$ и чисто внутреннее вращение жидкости $(\lambda=0)$ реализуются только для вырожаделного множества особых точек, лежащих на двухпараметрическом множестве многообразий $\mathscr{M}^{6}$ В общем случае $(4.13)-(4.14)$ матрицы $Q_{1}(t)$ ш $Q_{2}(t)$ описывают периодические вращения с нернодами $T_{1}$ и $T_{2}$. Если периоды $T_{1}$ п $T_{2}$ соизмеримы, то решение является строго периодическим.