I. В данном параграфе мы построим двумерное уравнение для функции $u(t, x, y)$, допускающее операторное представление вида (2.1):
\[
\stackrel{\mathrm{L}}{\mathrm{L}}=\alpha \mathrm{L}^{2}+\beta \mathrm{L}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {, }
\]

где $\alpha(t, y), \beta(t, y)$ – произвольные функции от $t, y$.
Пусть L – оператор IIрёдингера (1.18), оператор A является суммой оператора (1.19) и оператора (3.2) главы I:
\[
\begin{aligned}
\mathrm{A}= & -2\left(d_{y} \mathrm{~L}+\mathrm{L} d_{y}\right)-\left(u_{y} d_{x}+d_{x} u_{y}\right)+\gamma\left(4 d_{x}^{3}-6 u_{x} d_{x}-3 u_{x x}\right)+ \\
& +\frac{1}{2} \alpha x d_{x}^{3}-\frac{1}{4}\left(3 \alpha x u_{x}+\alpha u+2 \beta x\right) d_{x}+\frac{1}{4} \alpha u_{x}-\frac{3}{8} \alpha x u_{x} .
\end{aligned}
\]

В этом случае операторное уравнение (4.1) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению:
\[
\begin{aligned}
u_{t x}=4 u_{x} u_{x y} & +2 u_{y} u_{x x}-u_{x x x y}+\gamma\left(6 u_{x} u_{x x}-u_{x x x x}\right)+ \\
+\alpha u_{x}^{2}+\beta u_{x} & -\frac{1}{8} \alpha x u_{x x x x}-\frac{1}{2} \alpha u_{x x x}+ \\
& +\frac{1}{4} u_{x x}\left(3 \alpha x u_{x}+\alpha u+2 \beta x\right) .
\end{aligned}
\]

Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (1.21), может быть решено методом одномерной обратной задачи рассеяния.

К уравнению (4.1) – (4.3) применима лемма 1, и поэтому собственные числа $f(t, y)$ оператора Шрёдингера $\mathrm{L}=-d_{x}^{2}+u_{x}$ в силу (4.3) удовлетворяют уравнению $\left(f=-\lambda^{2}\right)$
\[
f_{t}-4 f f_{y}=\alpha f^{2}+\beta f, \quad \lambda_{t}+4 \lambda^{2} \lambda_{y}+\frac{1}{2} \alpha \lambda^{3}-\frac{1}{2} \beta \lambda=0 .
\]

Уравнение (4.4), как и уравнение волны Римана (2.16), имеет решения с опрокидыванием графика функции $f(t, y)$; но имеет также и всюду однозначные гладкие решения. Например, решение типа бегущей волны (здесь $\alpha$ и $\beta$ постоянны)
\[
f(t, y)=c \exp \left(\beta t-\frac{1}{4} \alpha y\right) .
\]

Утверждение 2. Уравнение (4.3) имеет точное решение – солитон, который определяется формулой
\[
u(t, x, y)=-2 \lambda(t, y) \operatorname{th}(\lambda(t, y) x-\varphi(t, y)),
\]

где $\lambda(t, y), \varphi(t, y)$-произвольные решения уравнений
\[
\lambda_{t}+4 \lambda^{2} \lambda_{y}+\frac{1}{2} \alpha \lambda^{3}-\frac{1}{2} \beta \lambda=0, \quad \varphi_{t}+4 \lambda^{2} \varphi_{y}=4 \gamma \lambda^{3} .
\]

Доказательство аналогично доказательству утверждения 1 из § 3 и может быть заменено прямой подстановкой в уравнение (4.3).

Первое уравнение (4.7) является следствием уравнения (4.4) после подотановки $f=-\lambda^{2}$. Простейший вид солитона (4.6) определяется следующими явными решениями уравнений (4.7):
\[
\lambda=c \exp \left(\frac{1}{2} \beta t-\frac{1}{8} \alpha y\right), \quad \varphi=-\frac{8 \gamma}{\alpha} \lambda-\frac{4 \gamma \beta}{{ }_{c} \alpha^{2}} \ln \left|\alpha \lambda^{2}-\beta\right|,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ постоянны.
II. Предположим, что функция $u(t, x, y)$ при $|x| \rightarrow \infty$ имеет асимптотики (3.24); собственные функции $\psi_{n}(t, x$, $y$ ) оператора Шрёдингера удовлетворяют условиям (3.26). В асимптотике (3.26) при $x \rightarrow-\infty$ находим
\[
\begin{array}{l}
\psi_{n_{t}}+\mathrm{A} \psi_{n}=\left[x\left(\lambda_{n_{t}}+4 \lambda_{n}^{2} \lambda_{n_{y}}+\frac{1}{2} \alpha \lambda_{n}^{3}-\frac{1}{2} \beta \lambda_{n}\right)+\right. \\
\left.+4 \gamma \lambda_{n}^{3}-2 g_{y} \lambda_{n}-\frac{1}{4} \alpha \lambda_{n} g\right] \exp \left(\lambda_{n} x\right)(1+o(1)) .
\end{array}
\]

Из ле мы 2 § 2 следует, что функция $\left(\psi_{n}\right)_{t}+\mathrm{A}\left(\psi_{n}\right)$ является собственной функцией, отвечающей собственному числу $f_{n}(t, y)$. Поэтому из асимптотики (4.9) и уравнения (4.4) получаем равенство
\[
\left(\psi_{n}\right)_{t}+\mathrm{A}\left(\psi_{n}\right)=\left(4 \gamma \lambda_{n}^{3}-2 g_{y} \lambda_{n}-\frac{1}{4} \alpha \lambda_{n} g\right) \psi_{n} .
\]

Подставив в это равенство асимптотику (3.26) при $x \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$ и использовав формулы (3.24), (4.2), (4.4), получим уравнение
\[
\left(b_{n}\right)_{t}+4 \lambda_{n}^{2}\left(b_{n}\right)_{y}=\left(8 \gamma \lambda_{n}^{3}-2 \lambda_{n}\left(g_{y}+h_{y}\right)-\frac{1}{4} \alpha \lambda_{n}(g+h)\right) b_{n},
\]

определяющее динамику коэффициента $b_{n}(t, y)$.
III. В силу уравнения (4.3) спектральные функции $\psi(k, t, x, y)$ оператора Шрёдингера $\mathrm{L}$ удовлетворяют условиям (3.31) при дополнительном предположении, что параметр $k$ изменяется в силу уравнения
\[
k_{t}=\frac{1}{2} \alpha k^{3}+\frac{1}{2} \beta k .
\]

Дифференцирование уравнения $\mathrm{L} \psi=k^{2} \psi$ по времени и подстановка равенств (4.1), (4.2), (4.12) приводят к уравнению
\[
\mathrm{L}\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right)=k^{2}\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right) .
\]

В асимптотике (3.31) при $x \rightarrow-\infty$ находим (в силу уравнения (4.12))
\[
\psi_{t}+\mathrm{A} \psi=\left(4 \gamma i k^{3}+i k\left(2 g_{y}+\frac{1}{4} \alpha g\right)\right) \exp (-i k x)(1+o(1)) .
\]

Поэтому из (4.13) и (4.14) следует равенство
\[
\psi_{t}+\mathrm{A} \psi=\left(4 \gamma i k^{3}+i k\left(2 g_{y}+\frac{1}{4} \alpha g\right)\right) \psi .
\]

Подставляя в это равенство асимптотику (3.31) при $x \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$, получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
a_{t}-4 k^{2} a_{y}+\left(\frac{1}{2} \alpha k^{3}+\frac{1}{2} \beta k\right) a_{k}= \\
=i k\left(2\left(g_{y}-h_{y}\right)+\frac{1}{4} \alpha(g-h)\right) a \\
b_{t}-4 k^{2} b_{y}+\left(\frac{1}{2} \alpha k^{3}+\frac{1}{2} \beta k\right) b_{k}= \\
=i k\left(8 \gamma k^{2}+2\left(g_{y}+h_{y}\right)+\frac{1}{4} \alpha(g+h)\right) b .
\end{array}
\]

Уравнения (4.4), (4.11), (4.16), (4.17) полностью определяют эволюцию данных рассеяния, соотвелствующую дифференциальному уравнению (4.3).
IV. Обратное преобразование рассеяния определяется формулами (3.35) – (3.36). При построении $N$-солитонных решений полагаем $b(k, t, y)=0$. В этом случае функция $a(k, t, y)$ определяется при всех $t, y$ формулой (3.38). Подставляя эту формулу в уравнение (4.16) и учитывая, что все функции $\lambda_{n}(t, y)$ удовлетворяют уравнению (4.4), получим следующее уравнение:
\[
2(g-h)_{y}+\frac{1}{4} \alpha(g-h)=\sum_{n=1}^{N}\left(8\left(\lambda_{n}\right)_{y}+\alpha \lambda_{n}\right) .
\]

Так же как и в § 3 , полагаем $g+h=0$; топда из уравнения (4.18) по-лрежнему следуют равенства (3.43). Поэтому $N$-солитонные решения уравнения (4.3) определяются формулами (4.4), (4.11), (3.40)-(3.43). Простейшее односолитонное решение определяется формулами $(4.6)$ – (4.8).

Явление опрокидывания реализуется в некоторых решениях уравнения (4.4). Построенные по таким функциям $f_{k}(t, y) \quad N$-солитонные решения уравнения (4.3) обладают всеми свойствами опрокидывающихся $N$-солитонных решений, указанных в § 3.
V. Укажем интегрируемый матричный аналог двумерного уравнения (1.16). Пусть $\mathrm{U}(t, x, y)$ – матрица размера $n \times n, \mathrm{~L}=-\partial_{x}^{2}+\mathrm{U}_{x}(t, x, y)$ – матричный оператор Шрёдингера, оператор А определим формулой
\[
-\frac{1}{2} \mathrm{~A}=d_{y} \mathrm{~L}+\mathrm{L} d_{y}+\mathrm{U}_{y} d_{x}+\frac{1}{2} \mathrm{U}_{x y}+\mathrm{W} .
\]

Уравнение Лакса $\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ при условии
\[
\mathrm{W}_{x}=\frac{1}{2}\left[\mathrm{U}_{x}, \mathrm{U}_{y}\right]
\]

эквивалентно уравнению
\[
U_{t x}=2\left(U_{x}^{2}\right)_{y}+\mathrm{U}_{y} \mathrm{U}_{x x}+\mathrm{U}_{x x} \mathrm{U}_{y}-\mathrm{U}_{x x x y}-2\left\lfloor\mathrm{U}_{x}, \mathrm{~W}\right\rceil .
\]

Уравнение (4.21) и является интегрируемым матричным аналогом уравнения (1.16). Уравнение (4.21) оставляет инвариантным множество симметрических и эрмитовых матриц и на множестве диагональных матриц переходит в уравнение (1.16). Собственные числа $f(t, y)$ оператора L в силу леммы 1 и вида оператора А (4.19) удовлетворяют уравнению волны Римана (3.1). Уравнение (4.21) также интегрируется методом обратной задачи рассеяния (в ее матричном варианте [38]).