I. Покажем, что интегрируемые гамильтоновы системы (1.11) (обобщенные цепочки Тода) вкладываются в пекоторые гамильтоновы системы большей размерности, которые также допускают представление Лакса со спектральным параметром. Рассмотрим уравнение (1.7) в алгебре Ли (5) с векторами $\mathrm{L}(t)$ и $\mathrm{A}(t)$ следующего вида:
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}(t)=\sum_{i=0}^{n} a_{i}(t) e_{-\omega_{i}}+E p(t)+E^{2} \sum_{i=0}^{n} c_{i}(t) e_{\omega_{i}}+ \\
+\frac{1}{2} E^{3} \sum_{i, j=0}^{n} m_{i j}(t)\left[e_{\omega_{i}}, e_{\omega_{j}}\right] \\
A(t)=-E^{-1} \sum_{i=0}^{n} a_{i}(t) e_{-\omega_{i}},
\end{array}
\]

где вектор $p(t) \in H$ (картановская подалгебра), $m_{i j}=-m_{j i}$, $E$-спектральный параметр. Уравнение Лакса (1.7),

(3.1) эквивалентно динамической системе
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(p, \omega_{i}\right), \quad \dot{p}=-\sum_{i=0}^{n} c_{i} a_{i} \omega_{i}, \quad \dot{c}_{i}=\sum_{j=0}^{n} m_{i j}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right) a_{j}, \\
\dot{m}_{i j}=0 .
\end{array}
\]

Система (3.2) при $m_{i j}=0$ совпадает с системой (1.13), описывающей обобщенные цепочки Тода. При $m_{i j}=$ $=$ const $
eq 0$ система (3.2) с помощью замены $a_{i}=$ $=\exp \left(q, \omega_{i}\right)$ преобразуется к гамильтонову виду
\[
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{c}_{i}=\sum_{j=0}^{n} \mu_{i j} \frac{\partial H}{\partial c_{j}},
\]

где гамильтониан $H$ определяется формулой
\[
H=\frac{1}{2}(p, p)+\sum_{i=0}^{n} c_{i}(t) \exp \left(q, \omega_{i}\right)
\]

и $\mu_{i j}=-\mu_{j i}, \mu_{i j}=m_{i j}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right)$. Симплектическая 2-форма, сохраняемая системой (3.3), является суммой стандартной 2 -формы $\sum d p_{i} \wedge d q_{i}$ в пространстве переменных $p_{i}, q_{i}$ и 2-формы, определенной постоянной кососимметрической матрицей $\mu_{i j}$ в подпространстве переменных $c_{i}$. Простейшим первым интегралом системы (3.3) является гамильтониан $H$ (3.4). Гамильтонова система (3.3) является интегрируемой в тәта-функциях Римана, так как она допускает представление Лакса со спектральным параметром (1.7), (3.1).

Укажем явный вид динамической системы (3.3) в случае алгебры Ли типа $A_{n}$, где корни $\omega_{i}=e_{i+1}-e_{i}$. Ненулевые элементы матрицы $\mu_{i j}$ имеют вид $\mu_{i, i+1}=\alpha_{i}, \mu_{i+1, i}=$ $=-\alpha_{i}$. Гамильтонова система (3.3) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{i}=c_{i} \exp \left(q_{i+1}-q_{i}\right)-c_{i-1} \exp \left(q_{i}-q_{i-1}\right), \\
\dot{c}_{i}=\alpha_{i} \exp \left(q_{i+2}-q_{i+1}\right)-\alpha_{i-1} \exp \left(q_{i}-q_{i-1}\right) .
\end{array}
\]

При $\alpha_{i}=0$ получаем обычную цепочку Тода, где $c_{i}=$ $=$ const. $\mathrm{C}$ помощью преобразований
\[
q_{i} \rightarrow \bar{q}_{i}+\ln d_{i}, \quad c_{i} \rightarrow \bar{c}_{i}=c_{i} d_{i} / d_{i+1}, \quad \alpha_{i} \rightarrow \bar{\alpha}_{i}=\alpha_{i} d_{i} / d_{i+2},
\]

сохраняющих вид системы (3.5), и замены времени $t$ все коэффициенты $\alpha_{i}$ (ненулевые) можно сделать равными 1.
II. Покажем, что алгебраические аналоги системы Вольтерра (§2) также вкладываются в некоторые динамические системы большей размерности, допускающие представление Лакса со спектральным параметром. Пусть векторы $\mathrm{L}(t), \mathrm{A}(t) \in \mathbb{C}$ определяются формулами
\[
\begin{aligned}
\mathbf{E}(t)=\sum_{i, j, k}\left(a_{i}^{-1}(t) e_{\omega_{i}}\right. & +\frac{1}{2} E m_{i j}(t)\left[e_{\omega_{i}}, e_{\omega_{j}}\right]+ \\
& \left.+\frac{1}{2} E^{2} l_{i j k}(t) \cdot\left[\left[e_{\omega_{i}}, e_{\omega_{j}}\right], e_{\omega_{k}}\right]\right), \\
\mathrm{A}(t) & =E^{-1} \sum_{s} k_{s} a_{s}(t) e_{-\omega_{s}}
\end{aligned}
\]

где $\omega_{0}, \ldots, \omega_{n}$ – допустимый набор корней, $k_{s}$ – константы, удовлетворяющие соотношению $k_{0} \omega_{0}+k_{1} \omega_{1}+\ldots$ $\ldots+k_{n} \omega_{n}=0, k_{0}=1$. В формулах (3.6) $m_{i j}=-m_{j i}, l_{i j k}=$ $=-l_{j i k}$ и $m_{i j}
eq 0$ только если вектор $\omega_{i}+\omega_{j}$ является корнем, т. е. если $\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right)
eq 0$; коэффициенты $l_{i j k}
eq 0$ только если $\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right)
eq 0$ и вектор $\omega_{i}+\omega_{j}+\omega_{k}$ является корнем. Уравнение Лакса (1.7), (3.6) эквивалентно условиям $k_{0} \omega_{0}+\ldots+k_{n} \omega_{n}=0, \quad l_{i j k}=$ const и следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\dot{m}_{i j}=\sum_{s}\left(l_{s i j}\left(\omega_{s}, \omega_{i}\right)-l_{s j i}\left(\omega_{s}, \omega_{j}\right)-l_{i j s}\left(\omega_{s}, \omega_{i}+\omega_{j}\right)\right) k_{s} a_{s}, \\
\dot{a}_{i}=a_{i}^{2} \sum_{s} m_{i s}\left(\omega_{s}, \omega_{i}\right) k_{s} a_{s} .
\end{array}
\]

В новых переменных $x_{i j}=m_{i j} a_{i} a_{j}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right)$ система принимает вид ( $x_{i j}=-x_{j i}$ ):
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{i j}=\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right) \sum_{s} k_{s}\left(l_{s i j}\left(\omega_{s}, \omega_{i}\right)-l_{s j i}\left(\omega_{s}, \omega_{j}\right)-\right. \\
\left.-l_{i j s}\left(\omega_{s}, \omega_{i}+\omega_{j}\right)\right) a_{i} a_{j} a_{s}+x_{i j}\left(\sum_{s} k_{s}\left(x_{i s}+x_{j s}\right)\right) \\
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\sum_{s} k_{s} x_{i s}\right) .
\end{array}
\]

При $l_{i j s}=0$ динамические системы (3.7), (3.8) эквивалентны системам (2.7), (2.10). Система (3.8) после подстановки
\[
a_{i}=\exp \left(\sum_{s} k_{s} q_{i s}\right), \quad q_{i s_{-}}=-q_{s i}, \quad \dot{q}_{i s}=x_{i s}
\]

переходит в систему уравнений второго порядка
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{i j}=\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right) \sum_{s} k_{s}\left(l_{s i j}\left(\omega_{s}, \omega_{i}\right)-l_{s j i}\left(\omega_{s}, \omega_{j}\right)-l_{i j s}\left(\omega_{s}, \omega_{i}+\omega_{j}\right)\right) \times \\
\times \exp \left(\sum_{m} k_{m}\left(q_{i m}+q_{j m}+q_{s m}\right)\right)+\dot{q}_{i j}\left(\sum_{s} k_{s}\left(\dot{q}_{i s}+\dot{q}_{j s}\right)\right) .
\end{array}
\]

III. Построенные динамические системы (3.2) п (3.7) включаются в два класса $T_{h}$ и $B_{k}$ динамичских систем, допускающих представление Лакса в алгебре Ли (G) со спектральным параметром $E$. Для динамических систем класса $T_{k}$, содержащего алгебрапческие обобщения цепочки Тода, вектор $\mathrm{A}(t)$ пмеет внд (3.1), а вектор $\mathrm{L}(t)$ наряду с (3.1) включает разложения по коммутаторам всех корневых векторов $e_{\omega_{i}}$ в количестве, не превосходящем $k$. Например, алгебраические обобщения депочки Тода (1.13) $\left(m_{i j}=0\right)$ принадлежат ктассу $T_{1}$. Системы (3.2), (3.3) принадлежат классу $T_{2}$.

Для динамических систем класса $B_{k}$, содержащего системы (3.7), вектор $\mathrm{A}(t)$ имеет вид (3.6), а вектор $\mathrm{L}(t)$ содержит дополнительно к формулам (3.6) еще коммутаторы корневых векторов $e_{\omega_{i}}$ в количестве, не превосходящем $k$. Например, гамильтонова система (2.5) принадлежит в силу (2.2) ктассу $B_{2}$; динамическая система (3.7) принадлежнт классу $B_{3}$ п т. д.

Динамические системы из двух указанных классов $T_{k}$ и $B_{k}$ в силу существования представления Лакса со спектральным параметром $E$ являются пнтегрпруемыми в тэтафункциях Римана соответствующих римановых поверхностей $\operatorname{det}(\mathrm{L}(t, E)-w \cdot 1)=0$.