В данном параграфе изучаются уравнения Эйлера (1.3), (1.4) с общими гамильтонианами (1.6). Выведем условия на коэффициенты $a_{i}, b_{i}, c_{i}, r_{i}, q_{i}$, при которых из уравнений Эйлера следуют два уравнения (см. (1.7)):
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}_{+}=w_{+} z_{+}, \quad \dot{z}_{-}=w_{-} z_{-} \\
z_{\varepsilon}=\alpha_{1} M_{1}+\varepsilon \alpha_{2} M_{2}+\beta_{1} K_{1}+\varepsilon \beta_{2} K_{2}+n_{3} \gamma_{1}+\varepsilon n_{3} \gamma_{2} \\
w_{\mathrm{z}}=\varepsilon x M_{3}+\varepsilon y K_{3}, \quad \varepsilon= \pm 1
\end{array}
\]
В этом случае многочлен второй степени $J_{4}=z_{+} z_{-}$является интегралом уравнений (1:3) или (1.4). Специальный случай уравнений (4.1) получается, если $z=z_{+}$- комІІлекснозначная функция, $w_{+}$- чисто мнимая функция; тогда $z_{-}=\bar{z}_{+}, w_{-}-\bar{w}_{+}$п интегралі $J_{4}=z \bar{z}$.
I. Для алгебр Ли класса А (1.1) уравнения (4.1) после подстановки $\dot{z}_{e}$ в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений $M_{i}, K_{i}$ приводят к системе алгебраических связей на коэффициенты:
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}\left(n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}\right)+x \beta_{1}\left(n_{2} c_{3}-n_{3} c_{2}\right)=x \alpha_{2}, \\
\alpha_{1}\left(n_{2} b_{3}-n_{3} b_{2}\right)+\beta_{1}\left(n_{2} c_{3}-n_{3} c_{2}\right)=y \beta_{2}, \\
\alpha_{1}\left(n_{2} c_{3}-n_{3} c_{2}\right)+\beta_{1}\left(x n_{2} b_{3}-n_{3} a_{2}\right)=y \alpha_{2}, \\
\alpha_{1}\left(n_{2} c_{3}-n_{3} c_{2}\right)+\beta_{1}\left(-x n_{3} b_{2}+n_{2} a_{3}\right)=x \beta_{2}, \\
\alpha_{2}\left(n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}\right)+x \beta_{2}\left(n_{3} c_{1}-n_{1} c_{3}\right)=x \alpha_{1}, \quad\left(42 \beta_{1},\right. \\
\alpha_{2}\left(n_{3} b_{1}-n_{1} b_{3}\right)+\beta_{2}\left(n_{3} c_{1}-n_{1} c_{3}\right)=y \beta_{1}, \\
\alpha_{2}\left(n_{3} c_{1}-n_{1} c_{3}\right)+\beta_{2}\left(-x n_{1} b_{3}+n_{3} a_{1}\right)=y \alpha_{1}, \\
\alpha_{2}\left(n_{3} c_{1}-n_{1} c_{3}\right)+\beta_{2}\left(x n_{3} b_{1}-n_{1} a_{3}\right)=x \beta_{1}, \\
\alpha_{1} q_{2}+x \beta_{1} r_{2}=-x \gamma_{2}, \quad \alpha_{1} r_{2}+\beta_{1} q_{2}=-y \gamma_{2}, \\
\alpha_{2} q_{1}+x \beta_{2} r_{1}=x \gamma_{1}, \quad \alpha_{2} r_{1}+\beta_{2} q_{1}=y \gamma_{1}, \quad r_{3}=q_{3}=0 .
\end{array}
\]
Укажем явное разрешение системы (4.2) относительно коөффициентов $a_{i}, b_{i}, c_{i}, r_{i}, q_{i}$. Исключим из первых четырех гар уравнений (4.2) (эти восемь уравнений юбразуют замкнутую подсистему) неизвестные вида $n_{i} c_{j}-n_{j} c_{i}$; получим четыре замкнутых уравнения относительно трех неизвестных $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{i}=a_{i}-x b_{i}$. Разрешая эти уравнения, получаем одну связь на коэффициенты $\alpha_{i}, \beta_{i}$ :
\[
\alpha_{1} \beta_{1} n_{2}+\alpha_{2} \beta_{2} n_{1}=0,
\]
и выражения для $\sigma_{i}$ через $\alpha_{j}, \beta_{k}, x, y$ :
\[
\begin{array}{l}
n_{3}\left(a_{1}-x b_{1}\right)=(x C+y B)\left(2 \alpha_{2} \beta_{2}\right)^{-1}, \\
n_{3}\left(a_{2}-x b_{2}\right)=(x C-y B)\left(2 \alpha_{1} \beta_{1}\right)^{-1}, \\
n_{1}\left(a_{3}-x b_{3}\right)=(-x A+y D)\left(2 \alpha_{2} \beta_{2}\right)^{-1}, \\
A=\alpha_{1} \beta_{2}+\alpha_{2} \beta_{1}, B=\alpha_{1} \alpha_{2}-x \beta_{1} \beta_{2} ; C=\alpha_{1} \beta_{2}-\alpha_{2} \beta_{1}, \\
D= \alpha_{1} \alpha_{2}+x \beta_{1} \beta_{2} .
\end{array}
\]
Рассмотрим следующие две пары уравнений (4.2): первое и третье, пятое и седьмое; после подстановки в них $x b_{i}=a_{i}-\sigma_{i}$ в силу (4.4) лепко находим выражения
\[
\begin{array}{c}
n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}=\left(x \alpha_{1} \alpha_{2}-x \beta_{1}(x A+y B)_{2} 2 \alpha_{1}\right)\left(\alpha_{1}^{2}-x \beta_{1}^{2}\right)^{-1}, \\
n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}=\left(x \alpha_{1} \alpha_{2}-x \beta_{2}(x A+y B) / 2 \alpha_{2}\right)\left(\alpha_{2}^{2}-x \beta_{2}^{2}\right)^{-1}, \\
n_{2} c_{3}-n_{3} c_{2}=(x C+y B) 2^{-1}\left(\alpha_{1}^{2}-x \beta_{1}^{2}\right)^{-1} \\
n_{3} c_{1}-n_{1} c_{3}=(-x C+y B) 2^{-1}\left(\alpha_{2}^{2}-x \beta_{2}^{2}\right)^{-1} .
\end{array}
\]
Из оставшихся двух пар уравнений выражаем $r_{i}, q_{i}$ через параметры $\gamma_{i}, \alpha_{j}, \beta_{k}, x, y$ :
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=\gamma_{1} \frac{\alpha_{2} y-\beta_{2} x}{\alpha_{2}^{2}-x \beta_{2}^{2}}, \quad r_{2}=-\gamma_{2} \frac{\alpha_{1} y-\beta_{1} x}{\alpha_{1}^{2}-x \beta_{1}^{2}}, \\
q_{1}=\gamma_{1} \frac{\alpha_{2} x-x \beta_{2} y}{\alpha_{2}^{2}-x \beta_{2}^{2}}, \quad q_{2}=-\gamma_{2} \frac{\alpha_{1} x-x \beta_{1} y}{\alpha_{1}^{2}-x \beta_{1}^{2}}, \quad r_{3}=q_{3}=0 .
\end{array}
\]
Уравнения (4.4)-(4.5) не меняются при преобразовании $\alpha_{i} \rightarrow C \alpha_{i}, \beta_{i} \rightarrow C \beta_{i}$, поэтому их правые части на уровне связи (4.3) зависят от четырех свободных параметров. Коэффициенты $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ при $x
eq 0$ определены уравнениями (4.4) – (4.5) с точностью до преобразований с двумя параметрами $T_{1}, T_{2}$ :
\[
a_{i} \rightarrow a_{i}+n_{i} \chi T_{1}, \quad b_{i} \rightarrow b_{i}+n_{i} T_{1}, \quad c_{i} \rightarrow c_{i}+n_{i} T_{2} .
\]
Поэтому 9 коэффициентов $a_{i}, b_{i}, c_{i}$, удовлетворяющих связям (4.3) – (4.5), имеют 6 свободных параметров. Параметры $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ принимают произвольные вещественные значения, параметры $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}, x, y$ могут быть либо одновременно веңественными, либо одновременно мнимыми при этом выражения (4.4) – (4.6) являются вещественными; значения параметров $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ в остальном произвольны. В результате проведенных рассуждений доказана
Теорема 2. Уравнения ऽйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А при $x
eq 0$, для которых коэффициенты $a_{i}$, $b_{i}, c_{i}, r_{i}, q_{i}$ выражаются в силу (4.4) – (4.6) через параметры $\alpha_{i}, \beta_{i}, x, y, \gamma_{i}$, удовлетворяющие одной связи (4.3), имеют дополнительный первый интеграл
\[
J_{4}=z_{+} z_{-}=\left(\alpha_{1} M_{1}+\beta_{1} K_{1}+n_{3} \gamma_{1}\right)^{2}-\left(\alpha_{2} M_{2}+\beta_{2} K_{2}+n_{3} \gamma_{2}\right)^{2}
\]
и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах $O_{1}\left(J_{2}=c_{2}, J_{3}=c_{3}\right)$.
Если $x=0$, то из уравнений (3.2) следует, что коэффициенты $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ должны удовлетворять следующим.
связям $(i, j, k=1,2,3)$ :
\[
\begin{array}{l}
n_{j}\left(n_{i} a_{i}^{-1}-n_{j} a_{j}^{-1}\right)\left(n_{j} c_{i}-n_{i} \dot{c}_{j}\right)^{-1}= \\
=n_{k}\left(n_{i} a_{i}^{-1}-n_{k} a_{k}^{-1}\right)\left(n_{k} c_{i}-n_{i} c_{k}\right)^{-1}, \\
n_{i} n_{j}^{2} n_{k}^{2} b_{i}-n_{i}^{3}\left(n_{j} c_{k}-n_{k} c_{j}\right)^{2} a_{i}^{-1}= \\
=n_{i}^{2} n_{j} n_{k}^{2} b_{j}-n_{j}^{3}\left(n_{i} c_{k}-n_{k} c_{i}\right)^{2} a_{j}^{-1} .
\end{array}
\]
При этом коэффициенты $\alpha_{i}, \beta_{i}, x, y$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\alpha_{1} & =C\left(n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}\right)^{1 / 2}, \quad \alpha_{2}=C\left(n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}\right)^{1 / 2}, \quad x=\alpha_{1} \alpha_{2} C^{-2}, \\
y & =\left(n_{1} a_{2}+n_{2} a_{1}\right)\left(n_{3} c_{1}-n_{1} c_{3}\right)^{1 / 2}\left(n_{2} c_{3}-n_{3} c_{2}\right)^{1 / 2}\left(n_{1} n_{2} a_{1} a_{2}\right)^{-1 / 2}, \\
\beta_{1} & =-y \alpha_{2} n_{1} n_{3}^{-1}\left(n_{1} a_{2}+n_{2} a_{1}\right)^{-1}, \quad \beta_{2}=-\beta_{1} \alpha_{1} n_{2} \alpha_{2}^{-1} n_{1}^{-1} .
\end{aligned}
\]
При выполнении соотношений (4.8)-(4.9) уравнения (1.3) имеют дополнительный интеграл (4.7) и являются поэтому вполне интегрируемыми. Связи (4.8) при $n_{i}=1$ определяют интегрируемые случаи В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова для уравнений Кирхгофа.
II. Для алгебр Ли класса В (1.2) уравнения (4.1) в силу уравнений Эйлера (1.4) приводят к следующей системе алгебраических связей на коэффициенты:
\[
\begin{aligned}
\alpha_{2}\left(n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}\right) & =x \alpha_{1}, & \alpha_{1}\left(n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}\right) & =x \alpha_{2}, \\
\beta_{2}\left(m_{3} b_{1}-m_{1} b_{3}\right) & =y \beta_{1}, & \beta_{1}\left(m_{2} b_{3}-m_{3} b_{2}\right) & =y \beta_{2}, \\
\alpha_{2} n_{3} c_{2}-\beta_{2} m_{1} c_{3} & =x \beta_{1}, & -\alpha_{2} n_{1} c_{3}+\beta_{2} m_{3} c_{1} & =y \alpha_{1}, \\
-\alpha_{1} n_{3} c_{2}+\beta_{1} m_{2} c_{3} & =x \beta_{2}, & \alpha_{1} n_{2} c_{3}-\beta_{1} m_{3} c_{2} & =y \alpha_{2},
\end{aligned}
\]
и уравнениям, явно выражающим коәффициенты $r_{i}, q_{i}$ :
\[
\begin{array}{c}
r_{1}=y n_{3} \gamma_{1} / m_{3} \beta_{2}, \quad r_{2}=-y n_{3} \gamma_{2} / m_{3} \beta_{1}, \\
q_{1}=x \gamma_{1} / \alpha_{2}, \quad q_{2}=-x \gamma_{2} / \alpha_{1}, \quad r_{3}=q_{3}=0 .
\end{array}
\]
Из первых двух пар уравнений (4.10) легко находятся коэффициенты $x, y$ и $\alpha_{i}, \tau \beta_{i}$ (с неизвестным множителем $\tau$ ). После этого из третьей и четвертой пары уравнений (4.10) находятся величины $c_{i}$ и множитель $\tau$. Окончательно получаем, что коэффициенты $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ связаны тремя соотношениями:
\[
\begin{aligned}
c_{i} & =\left(n_{i} \varphi_{i}-m i \varphi_{i}^{-1}\right) q \varphi_{1} \varphi_{2} \varphi_{3}, \quad i=1,2,3, \\
\varphi_{i} & =\left(\left(n_{j} a_{k}-n_{k} a_{j}\right) /\left(m_{j} b_{k}-m_{k} b_{j}\right)\right)^{1 / 2}, \\
q & =\left(m_{i} b_{j}-m_{j} b_{i}\right)\left(n^{j} m_{i} \varphi_{j}^{2}-n_{i} m_{j} \varphi_{i}^{2}\right)^{-1}
\end{aligned}
\]
(легко проверить, что $q$ не зависит от индексов $i, j, i
eq j$ ).
Остальные коэффициенты с точностью до общего множителя при $\alpha_{i}, \beta_{i}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}=\left(n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}\right)^{1 / 2}, \quad \alpha_{2}=\left(n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}\right)^{1 / 2}, \quad x=\alpha_{1} \alpha_{2}, \\
\beta_{1}=n_{3} m_{3}^{-1} \varphi_{3}\left(m_{3} b_{1}-m_{1} b_{3}\right)^{1 / 2}, \quad \beta_{2}=n_{3} m_{3}^{-1} \varphi_{3}\left(m_{2} b_{3}-m_{3} b_{2}\right)^{1 / 2}, \\
y=\left(m_{3} b_{1}-m_{1} b_{3}\right)^{1 / 2}\left(m_{2} b_{3}-m_{3} b_{2}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]
Таким образом, при $a_{i}, b_{i}, c_{i}$, удовлетворяющих связям (4.12), и $r_{i}, q_{i}$, заданных соотношениями (4.11), уравнения (4.1) имеют решения $z_{\varepsilon}, w_{2}$, определенные формулами (4.13).
Проведенные рассуждения доказывают следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнения Эйлера (1.4) для алгебр Ли класса В при выполнении связей (4.12), (4.11) имеют дополнительный первый интеграл $J_{4}=z_{+} z_{-}$вида (4.7) и являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах $O$.
III. Интегрируемый случай (4.12) для алгебры Ли SO(4) $\left(n_{i}=m_{i}=1\right)$, содержащий шесть произвольных параметров $a_{i}, b_{i}$, является обобщением трехпараметрического семейства интегрируемых случаев В. А. Стеклова [106, п. 42]. Формулы работы [106, п. 42] настолько сложны, что никакое исследование этого интегрируемого случая не было проведено. Укажем некоторые свойства более общего интегрируемого случая (4.12) (при $r_{i}=$ $\left.=q_{i}=0\right)$.
Из условия вещественности коэффициентов $c_{i}$, удовлетворяющих соотношениям (4.12), следует, что при $a_{i}>$ $>a_{j}>a_{k}$ либо $b_{i}>b_{j}>b_{k}$, либо $b_{i}<b_{j}<b_{k}$. Пусть $a_{1}>$ $>a_{2}>a_{3}$, тогда в силу (4.13) $\alpha_{1}, \beta_{1}$ вещественны, $\alpha_{2}, \beta_{2}$, $x, y$ мнимые. Интеграл $J_{4}$ при этом имеет вид
\[
\begin{aligned}
J_{4} & =\left(\left(a_{1}-a_{3}\right)^{1 / 2} M_{1}+\left(\frac{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(b_{1}-b_{3}\right)}{b_{1}-b_{2}}\right)^{1 / 2} K_{1}\right)^{2}+ \\
& +\left(\left(a_{2}-a_{3}\right)^{1 / 2} M_{2}+\left(\frac{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(b_{2}-b_{3}\right)}{b_{1}-b_{2}}\right)^{1 / 2} K_{2}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]
Условия (4.12) ( $n_{i}=m_{i}=1$ ) не меняются при перенумерации осей. Поэтому уравнения (4.1) при тех же значениях коэффициентов $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ имеют еще две другие пары решений, отвечающие перенумерациям переменных $2 \rightarrow 3$, $3 \rightarrow 2$ и $1 \rightarrow 3,3 \rightarrow 1$, которым соответствуют два других интеграла уравнений Эйлера ,(1.4):
\[
\begin{aligned}
J_{5}= & \left(\left(a_{1}-a_{2}\right)^{1 / 2} M_{1}+\left(\frac{\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(b_{1}-b_{2}\right)}{b_{1}-b_{3}}\right)^{1 / 2} K_{1}\right)^{2}- \\
& -\left(\left(a_{2}-a_{3}\right)^{1 / 2} M_{3}+\left(\frac{\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(b_{2}-b_{3}\right)}{b_{1}-b_{3}}\right)^{1 / 2} K_{3}\right)^{2}, \\
J_{6}= & \left(\left(a_{1}-a_{2}\right)^{1 / 2} M_{2}+\left(\frac{\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(b_{1}-b_{2}\right)}{b_{2}-b_{3}}\right)^{1 / 2} K_{2}\right)^{2}+ \\
& +\left(\left(a_{1}-a_{3}\right)^{1 / 2} M_{3}+\left(\frac{\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(b_{1}-b_{3}\right)}{b_{2}-b_{3}}\right)^{1 / 2} K_{3}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]
Интегралы $J_{5}$ и $J_{6}$ линейно выражаются через интегралы $J_{1}, J_{2}, J_{3}, J_{4}$ : при выполнении связей (4.12) справедливы тождества:
\[
\begin{array}{l}
2 J_{1}-\left(a_{2}-c_{2} \varphi_{1} \varphi_{3}^{-1}\right) J_{2}-\left(b_{2}-c_{2} \varphi_{3} \varphi_{1}^{-1}\right) J_{3}- \\
-p_{1}\left(c_{2} \varphi_{3}^{-1} J_{4}-c_{3} \varphi_{2}^{-1} J_{5}\right)=0, \\
2 J_{1}-\left(a_{1}-c_{1} \varphi_{2} \varphi_{3}^{-1}\right) J_{2}-\left(b_{1}-c_{1} \varphi_{3} \varphi_{2}^{-1}\right) J_{3}- \\
-p_{2}\left(c_{1} \varphi_{3}^{-1} J_{4}+c_{3} \varphi_{1}^{-1} J_{6}\right)=0 \text {, } \\
p_{1}=\left(\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(b_{2}-b_{3}\right)\right)^{-1 / 2}, \quad p_{2}=\left(\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(b_{1}-b_{3}\right)\right)^{-1 / 2} \text {. } \\
\end{array}
\]
Орбиты $O\left(J_{2}=c_{2}, J_{3}=c_{3}\right)$ в случае алгебры Ли $\mathrm{SO}(4)$ являются компактными многообразиями $\mathscr{M}^{4}=S^{2} \times S^{2}$. Множества минимумов интегралов $J_{4}, J_{6}$ и седел интеграла $J_{5}$ определяются двумя условиями и образуют на многообразии $\mathscr{M}^{4}$ три двумерных тора $\mathrm{T}_{i}^{2}$. Пересечения этих торов с поверхностью уровня гамильтониана $J_{1}=$ const являются замкнутыми траекториями уравнений (1.4), которые могут быть проинтегрированы явно в әллиптических функциях времени. Эти траектории на трехмерном многообразии $\mathscr{M}^{3}$ совместного уровня интегралов $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ являются в силу тождеств (4.16) множествами минимумов, максимумов и седел функции $J_{4}$.
В предельной ситуации $b_{1}=b_{2}=b_{3}=b$ существуют интегрируемые случаи, определяемые двумя связями
\[
c_{1} c_{2} c_{3}\left(c_{3}^{-2}-c_{1}^{-2}\right)=a_{1}-a_{3}, \quad c_{1} c_{2} c_{3}\left(c_{2}^{-2}-c_{3}^{-2}\right)=a_{3}-a_{2}
\]
и содержащие поэтому пять свободных параметров: Коәффициенты $\alpha_{i}, x$ имеют вид (4.13), $\beta_{1}=c_{3} \alpha_{1} / c_{2}, \beta_{2}=c_{3} \alpha_{2} / \mathrm{c}_{1}$, $y=0$. Аналогично предыдущему уравнения Эйлера (1.4)
при выполнении связей (4.17) имеют дополнительный интеграл
\[
J_{4}=\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(M_{1}+c_{3} K_{1} / c_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(M_{2}+c_{3} K_{2} / c_{1}\right)^{2}
\]
и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю (на орбитах $O$ ).
