В данном параграфе изучаются уравнения Эйлера (1.3), (1.4) с общими гамильтонианами (1.6). Выведем условия на коэффициенты $a_i,b_i,c_i,r_i,q_i$, при которых из уравнений Эйлера следуют два уравнения (см. (1.7)):
$$\begin{array}{c}{\dot{z}}_{+}=w_{+}{z}_{+},{\dot{z}}_{-}=w_{-}{z}_{-}\\ z_{\epsilon }={\alpha }_1{M}_1+\epsilon {\alpha }_2{M}_2+{\beta }_1{K}_1+\epsilon {\beta }_2{K}_2+n_3{\gamma }_1+\epsilon n_3{\gamma }_2\\ w_{\mathrm{z}}=\epsilon x{M}_3+\epsilon y{K}_3,\epsilon =\pm 1\end{array}$$

В этом случае многочлен второй степени $J_4=z_{+}{z}_{-}$является интегралом уравнений (1:3) или (1.4). Специальный случай уравнений (4.1) получается, если $z=z_{+}$- комІІлекснозначная функция, $w_{+}$- чисто мнимая функция; тогда $z_{-}={\overline{z}}_{+},w_{-}-{\overline{w}}_{+}$п интегралі $J_4=z\overline{z}$.
I. Для алгебр Ли класса А (1.1) уравнения (4.1) после подстановки ${\dot{z}}_e$ в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений $M_i,K_i$ приводят к системе алгебраических связей на коэффициенты:
$$\begin{array}{c}{\alpha }_1(n_2{a}_3-n_3{a}_2)+x{\beta }_1(n_2{c}_3-n_3{c}_2)=x{\alpha }_2,\\ {\alpha }_1(n_2{b}_3-n_3{b}_2)+{\beta }_1(n_2{c}_3-n_3{c}_2)=y{\beta }_2,\\ {\alpha }_1(n_2{c}_3-n_3{c}_2)+{\beta }_1(x{n}_2{b}_3-n_3{a}_2)=y{\alpha }_2,\\ {\alpha }_1(n_2{c}_3-n_3{c}_2)+{\beta }_1(-x{n}_3{b}_2+n_2{a}_3)=x{\beta }_2,\\ {\alpha }_2(n_3{a}_1-n_1{a}_3)+x{\beta }_2(n_3{c}_1-n_1{c}_3)=x{\alpha }_1,(42{\beta }_1,\\ {\alpha }_2(n_3{b}_1-n_1{b}_3)+{\beta }_2(n_3{c}_1-n_1{c}_3)=y{\beta }_1,\\ {\alpha }_2(n_3{c}_1-n_1{c}_3)+{\beta }_2(-x{n}_1{b}_3+n_3{a}_1)=y{\alpha }_1,\\ {\alpha }_2(n_3{c}_1-n_1{c}_3)+{\beta }_2(x{n}_3{b}_1-n_1{a}_3)=x{\beta }_1,\\ {\alpha }_1{q}_2+x{\beta }_1{r}_2=-x{\gamma }_2,{\alpha }_1{r}_2+{\beta }_1{q}_2=-y{\gamma }_2,\\ {\alpha }_2{q}_1+x{\beta }_2{r}_1=x{\gamma }_1,{\alpha }_2{r}_1+{\beta }_2{q}_1=y{\gamma }_1,r_3=q_3=0.\end{array}$$

Укажем явное разрешение системы (4.2) относительно коөффициентов $a_i,b_i,c_i,r_i,q_i$. Исключим из первых четырех гар уравнений (4.2) (эти восемь уравнений юбразуют замкнутую подсистему) неизвестные вида $n_i{c}_j-n_j{c}_i$; получим четыре замкнутых уравнения относительно трех неизвестных ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_i=a_i-x{b}_i$. Разрешая эти уравнения, получаем одну связь на коэффициенты ${\alpha }_i,{\beta }_i$ :
$${\alpha }_1{\beta }_1{n}_2+{\alpha }_2{\beta }_2{n}_1=0,$$

и выражения для ${\sigma }_i$ через ${\alpha }_j,{\beta }_k,x,y$ :
$$\begin{array}{l}{n}_3(a_1-x{b}_1)=(xC+yB){\left(2{\alpha }_2{\beta }_2\right)}^{-1},\\ n_3(a_2-x{b}_2)=(xC-yB){\left(2{\alpha }_1{\beta }_1\right)}^{-1},\\ n_1(a_3-x{b}_3)=(-xA+yD){\left(2{\alpha }_2{\beta }_2\right)}^{-1},\\ A={\alpha }_1{\beta }_2+{\alpha }_2{\beta }_1,B={\alpha }_1{\alpha }_2-x{\beta }_1{\beta }_2;C={\alpha }_1{\beta }_2-{\alpha }_2{\beta }_1,\\ D={\alpha }_1{\alpha }_2+x{\beta }_1{\beta }_2.\end{array}$$

Рассмотрим следующие две пары уравнений (4.2): первое и третье, пятое и седьмое; после подстановки в них $x{b}_i=a_i-{\sigma }_i$ в силу (4.4) лепко находим выражения
$$\begin{array}{c}{n}_2{a}_3-n_3{a}_2=(x{\alpha }_1{\alpha }_2-x{\beta }_1(xA+yB{)}_{2}2{\alpha }_1){({\alpha }_1^2-x{\beta }_1^2)}^{-1},\\ n_3{a}_1-n_1{a}_3=(x{\alpha }_1{\alpha }_2-x{\beta }_2(xA+yB)/2{\alpha }_2){({\alpha }_2^2-x{\beta }_2^2)}^{-1},\\ n_2{c}_3-n_3{c}_2=(xC+yB)2^{-1}{({\alpha }_1^2-x{\beta }_1^2)}^{-1}\\ n_3{c}_1-n_1{c}_3=(-xC+yB)2^{-1}{({\alpha }_2^2-x{\beta }_2^2)}^{-1}.\end{array}$$

Из оставшихся двух пар уравнений выражаем $r_i,q_i$ через параметры ${\gamma }_i,{\alpha }_j,{\beta }_k,x,y$ :
$$\begin{array}{l}{r}_1={\gamma }_1\frac{{\alpha }_{2}y-{\beta }_{2}x}{{\alpha }_2^2-x{\beta }_2^2},r_2=-{\gamma }_2\frac{{\alpha }_{1}y-{\beta }_{1}x}{{\alpha }_1^2-x{\beta }_1^2},\\ q_1={\gamma }_1\frac{{\alpha }_{2}x-x{\beta }_{2}y}{{\alpha }_2^2-x{\beta }_2^2},q_2=-{\gamma }_2\frac{{\alpha }_{1}x-x{\beta }_{1}y}{{\alpha }_1^2-x{\beta }_1^2},r_3=q_3=0.\end{array}$$

Уравнения (4.4)-(4.5) не меняются при преобразовании ${\alpha }_i\to C{\alpha }_i,{\beta }_i\to C{\beta }_i$, поэтому их правые части на уровне связи (4.3) зависят от четырех свободных параметров. Коэффициенты $a_i,b_i,c_i$ при $xeq0$ определены уравнениями (4.4) — (4.5) с точностью до преобразований с двумя параметрами $T_1,T_2$ :
$$a_i\to a_i+n_i\chi T_1,b_i\to b_i+n_i{T}_1,c_i\to c_i+n_i{T}_2.$$

Поэтому 9 коэффициентов $a_i,b_i,c_i$, удовлетворяющих связям (4.3) — (4.5), имеют 6 свободных параметров. Параметры ${\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1$ принимают произвольные вещественные значения, параметры ${\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2,x,y$ могут быть либо одновременно веңественными, либо одновременно мнимыми при этом выражения (4.4) — (4.6) являются вещественными; значения параметров ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ в остальном произвольны. В результате проведенных рассуждений доказана
Теорема 2. Уравнения ऽйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А при $xeq0$, для которых коэффициенты $a_i$, $b_i,c_i,r_i,q_i$ выражаются в силу (4.4) — (4.6) через параметры ${\alpha }_i,{\beta }_i,x,y,{\gamma }_i$, удовлетворяющие одной связи (4.3), имеют дополнительный первый интеграл
$$J_4=z_{+}{z}_{-}={({\alpha }_1{M}_1+{\beta }_1{K}_1+n_3{\gamma }_1)}^2-{({\alpha }_2{M}_2+{\beta }_2{K}_2+n_3{\gamma }_2)}^2$$

и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах $O_1(J_2=c_2,J_3=c_3)$.

Если $x=0$, то из уравнений (3.2) следует, что коэффициенты $a_i,b_i,c_i$ должны удовлетворять следующим.

связям $(i,j,k=1,2,3)$ :
$$\begin{array}{l}{n}_j(n_i{a}_i^{-1}-n_j{a}_j^{-1}){(n_j{c}_i-n_i{\dot{c}}_j)}^{-1}=\\ =n_k(n_i{a}_i^{-1}-n_k{a}_k^{-1}){(n_k{c}_i-n_i{c}_k)}^{-1},\\ n_i{n}_j^2{n}_k^2{b}_i-n_i^3{(n_j{c}_k-n_k{c}_j)}^2{a}_i^{-1}=\\ =n_i^2{n}_j{n}_k^2{b}_j-n_j^3{(n_i{c}_k-n_k{c}_i)}^2{a}_j^{-1}.\end{array}$$

При этом коэффициенты ${\alpha }_i,{\beta }_i,x,y$ имеют вид
$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1& =C{(n_3{a}_1-n_1{a}_3)}^{1/2},{\alpha }_2=C{(n_2{a}_3-n_3{a}_2)}^{1/2},x={\alpha }_1{\alpha }_2{C}^{-2},\\ y& =(n_1{a}_2+n_2{a}_1){(n_3{c}_1-n_1{c}_3)}^{1/2}{(n_2{c}_3-n_3{c}_2)}^{1/2}{\left(n_1{n}_2{a}_1{a}_2\right)}^{-1/2},\\ {\beta }_1& =-y{\alpha }_2{n}_1{n}_3^{-1}{(n_1{a}_2+n_2{a}_1)}^{-1},{\beta }_2=-{\beta }_1{\alpha }_1{n}_2{\alpha }_2^{-1}{n}_1^{-1}.\end{array}$$

При выполнении соотношений (4.8)-(4.9) уравнения (1.3) имеют дополнительный интеграл (4.7) и являются поэтому вполне интегрируемыми. Связи (4.8) при $n_i=1$ определяют интегрируемые случаи В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова для уравнений Кирхгофа.
II. Для алгебр Ли класса В (1.2) уравнения (4.1) в силу уравнений Эйлера (1.4) приводят к следующей системе алгебраических связей на коэффициенты:
$$\begin{array}{rlrl}{\alpha }_2(n_3{a}_1-n_1{a}_3)& =x{\alpha }_1,& {\alpha }_1(n_2{a}_3-n_3{a}_2)& =x{\alpha }_2,\\ {\beta }_2(m_3{b}_1-m_1{b}_3)& =y{\beta }_1,& {\beta }_1(m_2{b}_3-m_3{b}_2)& =y{\beta }_2,\\ {\alpha }_2{n}_3{c}_2-{\beta }_2{m}_1{c}_3& =x{\beta }_1,& -{\alpha }_2{n}_1{c}_3+{\beta }_2{m}_3{c}_1& =y{\alpha }_1,\\ -{\alpha }_1{n}_3{c}_2+{\beta }_1{m}_2{c}_3& =x{\beta }_2,& {\alpha }_1{n}_2{c}_3-{\beta }_1{m}_3{c}_2& =y{\alpha }_2,\end{array}$$

и уравнениям, явно выражающим коәффициенты $r_i,q_i$ :
$$\begin{array}{c}{r}_1=y{n}_3{\gamma }_1/m_3{\beta }_2,r_2=-y{n}_3{\gamma }_2/m_3{\beta }_1,\\ q_1=x{\gamma }_1/{\alpha }_2,q_2=-x{\gamma }_2/{\alpha }_1,r_3=q_3=0.\end{array}$$

Из первых двух пар уравнений (4.10) легко находятся коэффициенты $x,y$ и ${\alpha }_i,\tau {\beta }_i$ (с неизвестным множителем $\tau$ ). После этого из третьей и четвертой пары уравнений (4.10) находятся величины $c_i$ и множитель $\tau$. Окончательно получаем, что коэффициенты $a_i,b_i,c_i$ связаны тремя соотношениями:
$$\begin{array}{rl}{c}_i& =(n_i{\phi }_i-mi{\phi }_i^{-1})q{\phi }_1{\phi }_2{\phi }_3,i=1,2,3,\\ {\phi }_i& ={\left((n_j{a}_k-n_k{a}_j)/(m_j{b}_k-m_k{b}_j)\right)}^{1/2},\\ q& =(m_i{b}_j-m_j{b}_i){(n^j{m}_i{\phi }_j^2-n_i{m}_j{\phi }_i^2)}^{-1}\end{array}$$
(легко проверить, что $q$ не зависит от индексов $i,j,ieqj$ ).

Остальные коэффициенты с точностью до общего множителя при ${\alpha }_i,{\beta }_i$ имеют вид
$$\begin{array}{c}{\alpha }_1={(n_3{a}_1-n_1{a}_3)}^{1/2},{\alpha }_2={(n_2{a}_3-n_3{a}_2)}^{1/2},x={\alpha }_1{\alpha }_2,\\ {\beta }_1=n_3{m}_3^{-1}{\phi }_3{(m_3{b}_1-m_1{b}_3)}^{1/2},{\beta }_2=n_3{m}_3^{-1}{\phi }_3{(m_2{b}_3-m_3{b}_2)}^{1/2},\\ y={(m_3{b}_1-m_1{b}_3)}^{1/2}{(m_2{b}_3-m_3{b}_2)}^{1/2}.\end{array}$$

Таким образом, при $a_i,b_i,c_i$, удовлетворяющих связям (4.12), и $r_i,q_i$, заданных соотношениями (4.11), уравнения (4.1) имеют решения $z_{\epsilon },w_2$, определенные формулами (4.13).

Проведенные рассуждения доказывают следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнения Эйлера (1.4) для алгебр Ли класса В при выполнении связей (4.12), (4.11) имеют дополнительный первый интеграл $J_4=z_{+}{z}_{-}$вида (4.7) и являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах $O$.
III. Интегрируемый случай (4.12) для алгебры Ли SO(4) $(n_i=m_i=1)$, содержащий шесть произвольных параметров $a_i,b_i$, является обобщением трехпараметрического семейства интегрируемых случаев В. А. Стеклова [106, п. 42]. Формулы работы [106, п. 42] настолько сложны, что никакое исследование этого интегрируемого случая не было проведено. Укажем некоторые свойства более общего интегрируемого случая (4.12) (при $r_i=$ $=q_i=0)$.

Из условия вещественности коэффициентов $c_i$, удовлетворяющих соотношениям (4.12), следует, что при $a_i>$ $>a_j>a_k$ либо $b_i>b_j>b_k$, либо $b_i<b_j<b_k$. Пусть $a_1>$ $>a_2>a_3$, тогда в силу (4.13) ${\alpha }_1,{\beta }_1$ вещественны, ${\alpha }_2,{\beta }_2$, $x,y$ мнимые. Интеграл $J_4$ при этом имеет вид
$$\begin{array}{rl}{J}_4& ={({(a_1-a_3)}^{1/2}{M}_1+{\left(\frac{(a_1-a_2)(b_1-b_3)}{b_1-b_2}\right)}^{1/2}{K}_1)}^2+\\ & +{({(a_2-a_3)}^{1/2}{M}_2+{\left(\frac{(a_1-a_2)(b_2-b_3)}{b_1-b_2}\right)}^{1/2}{K}_2)}^2.\end{array}$$

Условия (4.12) ( $n_i=m_i=1$ ) не меняются при перенумерации осей. Поэтому уравнения (4.1) при тех же значениях коэффициентов $a_i,b_i,c_i$ имеют еще две другие пары решений, отвечающие перенумерациям переменных $2\to 3$, $3\to 2$ и $1\to 3,3\to 1$, которым соответствуют два других интеграла уравнений Эйлера ,(1.4):
$$\begin{array}{rl}{J}_5=& {({(a_1-a_2)}^{1/2}{M}_1+{\left(\frac{(a_1-a_3)(b_1-b_2)}{b_1-b_3}\right)}^{1/2}{K}_1)}^2-\\ & -{({(a_2-a_3)}^{1/2}{M}_3+{\left(\frac{(a_1-a_3)(b_2-b_3)}{b_1-b_3}\right)}^{1/2}{K}_3)}^2,\\ J_6=& {({(a_1-a_2)}^{1/2}{M}_2+{\left(\frac{(a_2-a_3)(b_1-b_2)}{b_2-b_3}\right)}^{1/2}{K}_2)}^2+\\ & +{({(a_1-a_3)}^{1/2}{M}_3+{\left(\frac{(a_2-a_3)(b_1-b_3)}{b_2-b_3}\right)}^{1/2}{K}_3)}^2.\end{array}$$

Интегралы $J_5$ и $J_6$ линейно выражаются через интегралы $J_1,J_2,J_3,J_4$ : при выполнении связей (4.12) справедливы тождества:
$$\begin{array}{l}2J_1-(a_2-c_2{\phi }_1{\phi }_3^{-1})J_2-(b_2-c_2{\phi }_3{\phi }_1^{-1})J_3-\\ -p_1(c_2{\phi }_3^{-1}{J}_4-c_3{\phi }_2^{-1}{J}_5)=0,\\ 2J_1-(a_1-c_1{\phi }_2{\phi }_3^{-1})J_2-(b_1-c_1{\phi }_3{\phi }_2^{-1})J_3-\\ -p_2(c_1{\phi }_3^{-1}{J}_4+c_3{\phi }_1^{-1}{J}_6)=0\text{, }\\ p_1={\left((a_2-a_3)(b_2-b_3)\right)}^{-1/2},p_2={\left((a_1-a_3)(b_1-b_3)\right)}^{-1/2}\text{. }\end{array}$$

Орбиты $O(J_2=c_2,J_3=c_3)$ в случае алгебры Ли $\mathrm{SO}(4)$ являются компактными многообразиями ${\mathcal{M}}^4=S^2\times S^2$. Множества минимумов интегралов $J_4,J_6$ и седел интеграла $J_5$ определяются двумя условиями и образуют на многообразии ${\mathcal{M}}^4$ три двумерных тора ${\mathrm{T}}_i^2$. Пересечения этих торов с поверхностью уровня гамильтониана $J_1=$ const являются замкнутыми траекториями уравнений (1.4), которые могут быть проинтегрированы явно в әллиптических функциях времени. Эти траектории на трехмерном многообразии ${\mathcal{M}}^3$ совместного уровня интегралов $J_1,J_2,J_3$ являются в силу тождеств (4.16) множествами минимумов, максимумов и седел функции $J_4$.

В предельной ситуации $b_1=b_2=b_3=b$ существуют интегрируемые случаи, определяемые двумя связями
$$c_1{c}_2{c}_3(c_3^{-2}-c_1^{-2})=a_1-a_3,c_1{c}_2{c}_3(c_2^{-2}-c_3^{-2})=a_3-a_2$$

и содержащие поэтому пять свободных параметров: Коәффициенты ${\alpha }_i,x$ имеют вид (4.13), ${\beta }_1=c_3{\alpha }_1/c_2,{\beta }_2=c_3{\alpha }_2/{\mathrm{c}}_1$, $y=0$. Аналогично предыдущему уравнения Эйлера (1.4)

при выполнении связей (4.17) имеют дополнительный интеграл
$$J_4=(a_1-a_3){(M_1+c_3{K}_1/c_2)}^2+(a_2-a_3){(M_2+c_3{K}_2/c_1)}^2$$

и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю (на орбитах $O$ ).