Рассмотрим динамическую систему (1.3) в конечномерном непериодическом случае, матрицы $a$ и $m$ имеют вид (1.5) при $a_{1}, \ldots, a_{p-1}=0, a_{j}=0$ при $j>n$. Пусть $\lambda_{\mathrm{I}}, \ldots, \lambda_{n}, \psi^{1}, \ldots, \psi^{n}$ – собственные числа и собственные функции оператора $\mathrm{L}=a+m E, \mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ – векторы с координатами $\left(\mathbf{e}_{i}\right)_{j}=\delta_{i j}$. Пусть $\mathbf{e}_{1}=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \psi^{k}$. Введем резольвенту $\mathrm{R}(\lambda)=(\lambda-\mathrm{L})^{-1}$ одератора L. Справедливы равенства
\[
\mathrm{R}(\lambda) \psi^{k}=\frac{1}{\lambda-\lambda_{k}} \psi^{k}, \quad \mathrm{R}(\lambda) \mathbf{e}_{1}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{\lambda-\lambda_{k}} \psi^{k} .
\]

Из уравпения Лакса (1.4) следует дифференциальное уравнетие
\[
\dot{\mathrm{R}}(\lambda)=[\mathrm{R}(\lambda), \mathrm{A}], \quad \mathrm{A}=-b-m^{p} E .
\]

Определим функцию
\[
f(\lambda)=\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_{k}\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{1}\right)}{\lambda-\lambda_{k}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\rho_{k}}{\lambda-\lambda_{k}},
\]

где $\rho_{k}=\alpha_{k}\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{1}\right)$.
Пусть $\mathrm{Q}$ – диагональная матрица с элементами $\mathrm{Q}_{k k}=$ $=z^{k}$, где $z=\exp (2 \pi i / p), z^{p}=1$.

Лемма 1. Матрица $\mathrm{L}=a+m E$, ее характеристический многочлен $P(\lambda)=\operatorname{det}(\mathrm{L}-\lambda 1)$, матрица $\mathrm{R}(\lambda) \quad$ и функция $f(\lambda)$ удовлетворяют равенствам
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{QLQ}^{-1}=z^{-1} \mathrm{~L}, \quad P(\lambda)=z^{-n} P(z \lambda), \\
\mathrm{QR}(\lambda) \mathrm{Q}^{-1}=z \mathrm{R}(z \lambda), \quad f(\lambda)=z f(z \lambda) . \\
\end{array}
\]

Действительно, ненулевые элементы матрицы $\mathrm{QLQ}^{-1}$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\left(\mathrm{QLQ}^{-1}\right)_{k, k+1} & =z^{k} \mathrm{~L}_{k, k+1} z^{-k-1}=z^{-1} \mathrm{~L}_{k, k+1}, \\
\left(\mathrm{QLQ}^{-1}\right)_{k, k+1-p} & =z^{k} \mathrm{~L}_{k, k+1-p} z^{-k+p-1}=z^{p-1} \mathrm{~L}_{k, k+1} .
\end{aligned}
\]

Поэтому первое равенство (2.4) выполнено в силу $z^{p}=$ $=1$. Отсюда следует
\[
\begin{array}{l}
P(\lambda)=\operatorname{det}(\mathrm{L}-\lambda \cdot 1)=\operatorname{det}\left(\mathrm{QLQ}^{-1}-\lambda \cdot 1\right)= \\
=z^{-n} \operatorname{det}(\mathrm{L}-\lambda z \cdot 1),
\end{array}
\]

что доказывает второе равенство (2.4).
Умножим тожодество $(\lambda-\mathrm{L}) \mathrm{R}(\lambda)=1$ на матриды $\mathrm{Q}$ и $\mathrm{Q}^{-1}$ и используем первое равенство (2.4), получим
\[
\left(\lambda-\mathrm{QLQ}^{-1}\right) \mathrm{QR}(\lambda) \mathrm{Q}^{-1}=(z \lambda-\mathrm{L}) z^{-1} \mathrm{QR}(\lambda) \mathrm{Q}^{-1}=1 .
\]

Следовательно, $\mathrm{QR}(\lambda) \mathrm{Q}^{-1}=z \mathrm{R}(z \lambda)$. В силу диагональности матрицы $\mathrm{Q}$ имеем
\[
f(\lambda)=\left(\mathrm{QR}(\lambda) \mathrm{Q}^{-1} e_{1}, e_{1}\right)=\left(z \mathrm{R}(z \lambda) e_{1}, e_{1}\right)=z f(z \lambda) .
\]

Лемма 1 доказана.

Из второго равенства (2.4) следует, что матрица $\mathrm{L}$ вместе с любым собственным числом $\lambda$ имеет $p$ собственных чисел $z^{k} \lambda, k=1,2, \ldots, p$, где $z=\exp (2 \pi i / p)$. Гоэтому число функционально независимых собствепных чисел матрицы $L$ не превосходит $[n / p]$ и по крайней мере $l=n-p[n / p]$ собственных чисел $\lambda_{i}=0$. Подставляя разложение (2.3) в равенство (2.6), находим
\[
f(\lambda)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\rho_{k}}{\lambda-\lambda_{k}}=z \sum \frac{\rho_{k}}{z \lambda-\lambda_{k}}=\sum \frac{\rho_{k}}{\lambda-z^{-1} \lambda_{k}} .
\]

Отсюда следует равенство коэффициентов $\rho_{k}, \rho_{j}$, для которых собственные числа $\lambda_{k}, \lambda_{j}$ связаны соотношением $\lambda_{k}=z_{2}^{m} \lambda_{j}$. Нулевым собственным числам $\lambda_{k}$ соответствует одно слагаемое $l \rho_{k} / \lambda$. Переменные $\rho_{k}$ удовлетворяют связи $\rho_{1}+\ldots+\rho_{n}=1$, которая следует из асимптотики резольвенты $\mathrm{R}(\lambda)=\lambda^{-1}$ id при $\lambda \rightarrow \infty$ и формулы (2.3). Поэтому число независимых коэффициентов $\rho_{k}$, как и число собственных чисел $\lambda_{j}$, не превосходит $[n / p]$. В силу указанной связи существуют такие кординаты $r_{h}$, что $\rho_{k}=r_{k}\left(\sum_{j=1}^{n} r_{j}\right)^{-1}$.

Покажем, что переменные $r_{k}, \lambda_{j}$ определяют интегрируемую редукцию системы (1.3). Для этого продифференцируем функцию $f(\lambda)$ (2.3) по времени, используя равенство (2.2), получим
\[
\begin{aligned}
\dot{f}(\lambda)=\left(\dot{\mathrm{R}}(\lambda) \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=( & \left.(\mathrm{RA}-\mathrm{AR}) \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)= \\
& =\left(\mathrm{RA} \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)-\left(\mathbf{R e}_{1}, \mathrm{~A}^{t} \mathbf{e}_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Из формул (1.5), (1.8) получаем $A \mathbf{e}_{1}=-b_{11} \mathbf{e}_{1}, \mathrm{~A}^{t} \mathbf{e}_{1}=$ $=-b_{11} \mathbf{e}_{1}-E \mathbf{e}_{p+1}$; поэтому из формул (2.7) следует равенство
\[
\dot{f}(\lambda)=\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathbf{e}_{1}, E \mathbf{e}_{p+1}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_{h} E\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{p+1}\right)}{\lambda-\lambda_{k}} .
\]

Обозначим $\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{i}\right)=\psi_{i}^{k}$. В силу определения $\mathrm{L} \psi^{k}=\lambda_{k} \psi^{h}$ имеем систему уравнений
\[
E \psi_{2}^{k}=\lambda_{k} \psi_{1}^{k}, \ldots, E \psi_{p}^{k}=\lambda_{k} \psi_{p-1}^{k}, \quad a_{p} \psi_{1}^{k}+E \psi_{p+1}^{k}=\lambda_{k} \psi_{p}^{k},
\]

из которой следует соотношение
\[
\psi_{p+1}^{h}=\left(\lambda_{k}^{p} E^{-p}-a_{p} E^{-1}\right) \psi_{1}^{k} .
\]

После подстановки этого выражения в формулу получаем
\[
\dot{f}(\lambda)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_{k}\left(\lambda_{k}^{p} E^{1-p}-a_{p}\right) \psi_{1}^{k}}{\lambda-\lambda_{k}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(\lambda_{k}^{p} E^{1-p}-a_{p}\right) \rho_{k}}{\left\lfloor^{\lambda-\lambda_{k}}\right.} .
\]

Дифференцируя разложение (2.3) по времени и сравнивая с формулой (2.11), получаем систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{\rho}_{k}=\left(\lambda_{k}^{p} E^{1-p}-a_{p}\right) \rho_{k} .
\]

Покажем, что справедливо равенство $a_{p}=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{p} E^{1-p} \rho_{k}$. Действительно, в силу определений имеем
\[
\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathrm{L}^{p} \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathrm{L}^{p} \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \psi^{k}, \mathbf{e}_{1}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\lambda_{k}^{p} \rho_{k}}{\lambda-\lambda_{k}},
\]

Для оператора $\mathrm{L}=a+m E$ справедлива формула $\left(L^{p} \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=a_{p} E^{p-1}$. Асимптотика резольвенты при $\lambda \rightarrow \infty$ имеет вид $\mathrm{R}(\lambda)=\lambda^{-1} \mathrm{id}$. Поэтому из (2.13) следует, что
\[
\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{p} \rho_{k}=a_{p} E^{p-1} .
\]

В силу равенства (2.14) п уравнений (2.12) получаем систему дифференциальных уравнений для переменных $r_{k}$ :
\[
\dot{r}_{k}=\lambda_{k}^{p} E^{1-p} r_{k}, \quad \dot{\lambda}_{k}=0 .
\]

Полученные уравнения представляют собой интегрируемую редукцию динамической системы (1.3), в силу которой
\[
r_{k}(t)=r_{k}^{0} \exp \left(-\lambda_{k}^{p} E^{1-p} t\right), \quad \lambda_{k}=\text { const. }
\]

Число независимых переменных $r_{k}, \lambda_{k}$ равно $2[n / p]$ в силу тождеств (2.4). При $p=2$ система (1.3) сводится к системе Вольтерра (1.1). В. этом случае переменные $r_{k}$, $\lambda_{k}$ образуют систему координат в пространстве неизвестных $a_{1}, \ldots, a_{n-1}$ и формулы (2.16) определяют интегрирование системы Вольтерра, осуществленное в работе $[30]$.
111