I. Предположим, что для уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А константы гамильтониана $H$ (1.6) удовлетворяют условиям $c_{i}=q_{i}=0$. Рассмотрим решения уравнений (1.7), для которых функции $z_{\varepsilon}, w_{\varepsilon}, v_{\varepsilon}$ имеют вид ( $\varepsilon= \pm 1$ )
\[
z_{\varepsilon}=\alpha_{1} M_{1}^{2}+2 \varepsilon \alpha_{3} M_{1} M_{2}+\alpha_{2} M_{2}^{2}+\beta K_{3}^{2}+2 \gamma_{1} K_{1}+2 \gamma_{2} K_{2}+\sigma,
\]
\[
w_{\varepsilon}=2 \varepsilon x M_{3}, \quad v_{\varepsilon}=2 \varepsilon y K_{3} .
\]
Уравнения (1.7) после подстановки производной $\dot{z}_{\mathfrak{e}}$ (2.1) в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений $M_{i}, K_{i}$ приводят к следующей системе алгебраических связей на коэффициенты:
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{3}\left(n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}\right)=x \alpha_{1}, \quad \alpha_{3}\left(n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}\right)=x \alpha_{2}, \\
\alpha_{1}\left(n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}\right)+\alpha_{2}\left(n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}\right)=2 x \alpha_{3}, x \beta=-y n_{3}, \\
\alpha_{1}\left(n_{2} b_{3}-n_{3} b_{2}\right)+\beta\left(x n_{1} b_{2}-n_{2} a_{1}\right)=0, \alpha_{3}\left(n_{3} b_{1}-n_{1} b_{3}\right)=y n_{1}, \\
\alpha_{2}\left(n_{3} b_{1}-n_{1} b_{3}\right)+\beta\left(n_{1} a_{2}-x n_{2} b_{1}\right)=0, \alpha_{3}\left(n_{2} b_{3}-n_{3} b_{2}\right)=y n_{2}, \\
\varepsilon \alpha_{3} n_{3} r_{1}+\left(n_{1} \beta x-n_{3} \alpha_{1}\right) r_{2}=\gamma_{2}\left(x n_{1} b_{3}-n_{3} a_{1}\right), \\
\left(n_{3} \alpha_{2}-n_{2} \beta x\right) r_{1}-\varepsilon n_{3} \alpha_{3} r_{2}=\gamma_{1}\left(n_{3} a_{2}-x n_{2} b_{3}\right), \\
\gamma_{2}\left(x n_{3} b_{1}-n_{1} a_{3}\right)=2 x \gamma_{1}, \gamma_{1}\left(n_{2} a_{3}-x n_{3} b_{2}\right)=2 x \gamma_{2}, \\
x n_{3}\left(\gamma_{2} r_{1}-\gamma_{1} r_{2}\right)=\varepsilon x \sigma .
\end{array}
\]
Первые три уравнения системы (2.2) образуют замкнугую подсистему, из которой легко находятся коэффициенгы $x$ и $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, определенные с точностью до несущестзенного общего множителя. Затем из следующих пяти уравнений находятся коэффициенты $y, \beta$ и три связи на коэффициенты $b_{i}, b_{j}$, которые имеют вид
\[
\frac{x b_{1}}{n_{1}}=\frac{2 a_{2}}{n_{2}}-\frac{a_{3}}{n_{3}}, \frac{x b_{2}}{n_{2}}=\frac{2 a_{1}}{n_{1}}-\frac{a_{3}}{n_{3}^{4}}, \frac{2 b_{3}}{n_{3}}=\frac{b_{1}}{n_{1}}+\frac{b_{2}}{n_{2}} .
\]
Из $_{3}$ оставпихся пяти уравнений (2.2) находятся коәффициенты $r_{i}, \gamma_{i}, \sigma$. Окончательно система (2.2) сводится к трем связям (2.3) и соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=n_{3} a_{1}-n_{1} a_{3}, \alpha_{2}=n_{2} a_{3}-n_{3} a_{2}, \alpha_{3}=\left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right)^{1 / 2}, x=\alpha_{3}, \\
\beta_{\ell}=-n_{3}^{2}\left(\frac{b_{1}}{n_{1}}-\frac{b_{3}}{n_{3}}\right), \quad y=-\frac{x \beta}{n_{3}}, \sigma=\sigma_{1}+2 \varepsilon \sigma_{2}, \\
\sigma_{1}=-x n_{3}^{2}\left(n_{1} n_{2} \alpha_{1} \alpha_{2}\right)^{-1}\left(n_{2}^{2} \alpha_{1} r_{1}^{2}+n_{1}^{2} \alpha_{2} r_{2}^{2}\right), \quad \sigma_{2}=-\frac{x n_{3}^{2} r_{1} r_{2}}{x}, \\
\gamma_{1}=n_{3} r_{1}+\frac{\varepsilon n_{1} n_{3} x r_{2}}{n_{2} \alpha_{1}}, \quad \gamma_{2}=-n_{3} r_{2}-\frac{\varepsilon n_{2} n_{3} x r_{1}}{n_{1} \alpha_{2}} .
\end{array}
\]
Коэффициенты $\alpha, \beta, x, y$ определены с точностью до общего множителя. При выполнении условий (2.3) система (1.3) на уровне $J_{3}=0$ имеет дополнительный ин-. теграл
\[
\begin{array}{c}
J_{4}=\left(\alpha_{1} M_{1}^{2}+\alpha_{2} M_{2}^{2}+\beta K_{3}^{2}+2 n_{3}\left(r_{1} K_{1}-r_{2} K_{2}\right)+\sigma_{1}\right)^{2}- \\
-4 \alpha_{1} \alpha_{2} N^{2}, \\
N=M_{1} M_{2}+\left(n_{1}^{2} n_{3} \alpha_{2} r_{2} K_{1}-n_{2}^{2} n_{3} \alpha_{1} r_{1} K_{2}\right) / n_{1} n_{2} \alpha_{3}^{2}- \\
-n_{3}^{2} \gamma r_{1} r_{2} \alpha_{3}^{-2},
\end{array}
\]
п поэтому вполне интегрируема на однопараметрическом множестве орбит $O\left(J_{2}=c_{2}, J_{3}=0\right)$. Во всем пространстве $L^{*}\left(M_{i}, K_{i}\right)$ функция $J_{4}$ удовлетворяет уравнению
\[
J_{4}=8 \alpha_{1} \alpha_{2} n_{3}\left(b_{1} / n_{1}-b_{3} / n_{3}\right) N K_{3} J_{3} .
\]
Если $a_{1} / n_{1}=a_{2} / n_{2}$, то в силу (2.3) $b_{i} / n_{i}=b_{j} / n_{j}$, следовательно, $f_{4}=0$ и система (3) интегрируема при любых значениях интеграла $J_{3}$. При $x=0, b_{i}=0$ получаем классический случай С. В. Ковалевской [104], а при $x=0$, $b_{i}
eq 0$ – случай С. А. Чаплыгина [108] для уравнений Кирхгофа.
Если $a_{1} / n_{1}
eq a_{2} / n_{2}$, то функция $J_{4}$ при $\left|J_{3}\right| \ll 1$ является адиабатическим инвариантом системы (1.3). В полученном семействе уравнений Эйлера, интегрируемых при $J_{3}=0$, пять коэффициентов $a_{1}, a_{2}, a_{3}, r_{1}, r_{2}$ гамильтониана H (1.6) произвольны.
II. Второе семейство интегрируемых случаев уравнений Эйлера (1.3) получается при условиях $(\varepsilon= \pm 1)$
\[
\begin{array}{c}
z_{\varepsilon}=\alpha_{1} K_{1}^{2}+2 \varepsilon \alpha_{3} K_{1} K_{2}+\alpha_{2} K_{2}^{2}+\beta K_{3}^{2}, \\
w_{\varepsilon}=\varepsilon x M_{3}, \quad v_{\varepsilon}=\varepsilon y K_{3} .
\end{array}
\]
После подстановки $\dot{z}_{\varepsilon}$, в силу системы (1.3), уравнения (1.7) сводятся к системе алгебраических связей на коэффициенты
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{3}\left(x n_{3} b_{1}-n_{1} a_{3}\right)=x \alpha_{1}, \alpha_{3}\left(n_{2} a_{3}-x n_{3} b_{2}\right)=x \alpha_{2}, \\
\alpha_{1}\left(n_{2} a_{3}-x n_{3} b_{2}\right)+\alpha_{2}\left(x n_{3} b_{1}-n_{1} a_{3}\right)=2 x \alpha_{3}, \\
x \beta=-y n_{3}, \beta\left(n_{1} a_{2}-x n_{2} b_{1}\right)-\alpha_{1}\left(n_{3} a_{2}-x n_{2} b_{3}\right)=0 \\
\alpha_{3}\left(n_{3} a_{1}-x n_{1} b_{3}\right)=y n_{1}, \\
\beta\left(x n_{1} b_{2}-n_{2} a_{1}\right)+\alpha_{2}\left(n_{3} a_{1}-x n_{1} b_{3}\right)=0 \\
\alpha_{3}\left(x n_{2} b_{1}-n_{3} a_{2}\right)=y n_{2} .
\end{array}
\]
Система (2.8) решается аналогично системе (2.2) и сво. дится к трем связям на коэффициенты $a_{i}, b_{i}(i, j, k=$ $=1,2,3)$ :
\[
2 \chi b_{i} / n_{i}=a_{j} / n_{j}+a_{k} / n_{k}
\]
и соотношениям
\[
\begin{array}{r}
\alpha_{1}=x n_{3} b_{1}-n_{1} a_{3}, \alpha_{2}=n_{2} a_{3}-x n_{3} b_{2}, \quad \alpha_{3}=\left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right) .2, \\
x=\alpha_{3}, \quad 2 \beta=n_{3}^{2}\left(a_{2} / n_{2}-a_{1} / n_{1}\right), \quad y=-x \beta / n_{3} .
\end{array}
\]
Система (1.3) при выполнении условий (2.7) и $J_{2}=0$ имеет дополнительный интеграл
\[
J_{4}=\left(\alpha_{1} K_{1}^{2}+\alpha_{2} K_{2}^{2}+\beta K_{3}^{2}\right)^{2}-4 \alpha_{1} \alpha_{2} K_{1}^{2} K_{2}^{2}
\]
и является поэтому вполне интетрируемой (при $J_{3}=0$ ). Во всем пространстве $L^{*}$ функция $J_{4}$ удовлетворяет урав нению
\[
J_{4}=4 n_{3}\left(a_{2} / n_{2}-a_{1} / n_{1}\right) K_{1} K_{2} K_{3} J_{3}
\]
и является адиабатическим инвариантом при $\left|J_{3}\right| \ll 1$.
Таким образом, доказана
Теорема 1. Существуют два семейства (2.3), (2.9) уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А $(x
eq 0)$, которые вполне интегрируемы по Лиубиллю на однопараметрическом множестве орбит $O\left(J_{2}=c_{2}, J_{3}=0\right)$ и имеют дополнительные интеграль четвертой степени (2.5), (2.11). При $a_{1} / n_{1}=a_{2} / n_{2}$ полученные уравнения Эйлера интегрируемы во всем пространстве $L^{*}$.
Для алгебр Ли SO(4) и SO (3.1) уравнения (2.3), (2.9) имеют открытое множество положительных решений $a_{i}>0, b_{i}>0$. Семейство интегрируемых случаев (2.9) не допускает включения линейных слагаемых в гамильтониан $H$ (1.6) и при $x \rightarrow 0$ приводит к вырожденным уравнениям. Интегрируемость\” во всем пространстве $L^{*}$ шри $a_{1} / n_{1}=a_{2} / n_{2}$ для семейства (2.9) очевидна, а для семейства (2.3) при $r_{i}
eq 0$ следует только из существования интеграла (2.5), как и в случае Ковалевской [104].
Отметим, что уравнения Эйлера (1.3) при условиях
\[
\begin{array}{l}
c_{i}=r_{i}=q_{i}=0 \text { ता } \\
\left(\frac{a_{1}}{n_{1}}-x \frac{b_{3}}{n_{3}}\right)\left(\frac{a_{2}}{n_{2}}-x \frac{b_{1}}{n_{1}}\right)\left(\frac{a_{3}}{n_{3}}-x \frac{b_{2}}{n_{2}}\right)= \\
=\left(\frac{a_{1}}{n_{1}}-x \frac{b_{2}}{n_{2}}\right)\left(\frac{a_{2}}{n_{2}}-x \frac{b_{3}}{n_{3}}\right)\left(\frac{a_{3}}{n_{3}}-x \frac{b_{1}}{n_{1}}\right)
\end{array}
\]
имеют дополнительный первый интеграл
\[
J_{4}=y_{1} K_{1}^{2}+y_{2} K_{2}^{2}+y_{3} K_{3}^{2},
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\frac{y_{1}}{n_{1}}=\left(\frac{a_{2}}{n_{2}}-x \frac{b_{1}}{n_{1}}\right)\left(\frac{a_{3}}{n_{3}}-x \frac{b_{1}}{n_{1}}\right), \\
\frac{y_{2}}{n_{2}}=\left(\frac{a_{2}}{n_{2}}-x \frac{b_{1}}{n_{1}}\right)\left(\frac{a_{3}}{n_{3}}-x \frac{b_{2}}{n_{2}}\right), \\
\frac{y_{3}}{n_{3}}=\left(\frac{a_{2}}{n_{2}}-x \frac{b_{3}}{n_{3}}\right)\left(\frac{a_{3}}{n_{3}}-x \frac{b_{1}}{n_{1}}\right),
\end{array}
\]
и поэтому вполне интегрируемы по Лиувиллю (существование интеграла (2.13) проверяется прямым вычислением).
Для алгебры Ли $\operatorname{SO}(4) \quad\left(n_{i}=x=1\right)$ условие (2.12) приводит к интегрируемому случаю С. В. Манакова [52]. Два семейства уравнений Эйлера, определенные условиями (2.3) и (2.9), не принадлежат пятимерному множеству (2.12) и пересекаются с ним по двумерным подмножествам (осесимметричные метрики). Поэтому из результатов работы [144] следует, что уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.3) и (2.9) не являются алгебраически интегрируемыми во всем пространстве $L^{*}$. Однако, как показано в следующем параграфе, на уровне $J_{3}=0$ алгебраическая интегрируемость все же имеет место.
