71. Релятивистские волновые уравнения
Описывается формальный метод получения релятивистских волновых уравнений, обсуждаются уравнеиия Клейна-Гордона и Дирака и свойства их решений.

Область релятивистских эффектов в атомной физике. Скорость большинства электронов в атоме сравнительно невелика. Например, в атоме гелия скорость электронов равна примерно 0,02 скорости света. Однако на внутренних оболочках тяжелых атомов скорость электронов значительно увеличивается и составляет уже несколько десятых скорости света. При этих условиях изменение массы электрона становится заметным и должно быть принято во внимание.

Однако даже при малых скоростях электрона для многих явлений атомной физики приходится принимать во внимание релятивистские эффекты. Наиболее важной величиной, имеющей релятивистскую природу, является спин, который надо принимать во внимание независимо от скорости частиц.

Последовательный учет спина возможен только в рамках релятивистской теории. Многие вопросы взаимодействия атомов с внешними полями, частицами и т.д. требуют также релятивистского рассмотрения.

Общие замечания о релятивистских уравнениях. Принцип относительности требует, чтобы уравнения, которые описывают явления природы и выражают их законы, имели одинаковый вид во всех системах координат. Иначе говоря, эти уравнения должны быть ковариантными при переходе от одной системы координат к другой по формулам преобразования координат. Если некоторое уравнение ковариантно относительно преобразований Лоренца, то оно является реляти-
вистским, справедливым во всех инерционных системах координат.
Если же уравнение ковариантно относительно преобразований Галилея, то оно является нерелятивистским уравнением, справедливым лишь при скоростях движения, много меньших скорости света. Это обусловлено тем, что сами преобразования Галилея от одной инерциальной системы координат к другой справедливы лишь тогда, когда относительная скорость систем координат мала. Уравнение Шредингера (16.16) сохраняет свой вид лишь при преобразовании Галилея. Это видно непосредственно, если учесть, что из преобразований Галилея
\[
x^{\prime}=x-v t, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \quad t^{\prime}=t
\]

сразу следует, что
$\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}, \quad \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{\prime 2}}, \quad \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial y^{\prime 2}}$,
$\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial z^{\prime 2}}$.
Тогда
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla_{\mathrm{r}}^{2}+E_{\mathrm{n}}\right) \Psi
\]

превращается в новой системе координат (штрихованной) в уравнение
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t^{\prime}}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla_{\mathrm{r}}^{2}+E_{\mathrm{n}}\right) \Psi,
\]
т.е. сохраняет свой вид. Напомним, что штрихованные аргументы функций в (71.4) получаются из нештрихованных аргументов в уравнении (71.3) по формулам (71.1).

Преобразования Лоренца имеют вид
\[
x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z,
\]

$t^{\prime}=\frac{t-\left(v / c^{2}\right) x}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$.
Если (71.3) преобразовать к штрихованным величинам с помощью (71.5), то в результате получается уравнение, совершенно не похожее на (71.3). Это и и означает, что уравнение Шредингера (71.3) нековариантно относительно преобразований Лоренца и, следовательно, не является релятивистским уравнением. Это можно увидеть и непосредственно без проведения преобразования следующим образом. Время $t^{\prime}$ и координата $x^{\prime}$ входят в преобразование Лоренца (71.5) совершенно симметрично. Это особенно отчетливо видно, если вместо переменной $t$ пользоваться переменной $x_{4}=i c t$ и записать первое и четвертое уравнения (71.5) в виде
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{x+(i v / c) x_{4}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, \\
x_{4}^{\prime}=\frac{x_{4}-(-i v / c) x}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} .
\end{array}
\]

Координаты $y$ и $z$ в преобразованиях (71.5) выделены благодаря специальному выбору направления координатных осей по отношению к направлению относительной скорости систем координат. Координаты $y$ и $z$ эквивалентны координате $x$. Из (71.6) видно, что координаты и время входят в преобразование Лоренца совершенно симметрично. Отсюда следует, что в релятивистски инварианном дифференциальном уравнении производные по времени и по координатам должны входить равноправно, в частности они должны иметь одинаковый порядок.

В уравнение же (71.3) входят первая производная по времени и вторые производные по координатам. Такое
уравнение не может быть релятивистски инвариантным.
Запишем уравнение Шредингера (71.3) в операторной форме:
$\hat{E} \Psi=\hat{H} \Psi$,
где $\hat{E}$-оператор полной энергии, $\hat{H}$-оператор Гамильтона. Формально уравнение Шредингера может быть получено следующим образом. Запишем нерелятивистское соотношение, которое существует между энергией частицы, ее импульсом и потенциальной энергией:
$E=p^{2} /(2 m)+E_{\mathbf{n}}$,
где $\quad p^{2} /(2 m)$-кинетическая энергия частицы, $E_{\mathrm{n}}$-ее потенциальная энергия. Заменим в соотношении (71.8) классические величины операторами, которые в квантовой механике представляют соответствующие величины:
$E \rightarrow \hat{E}=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf{p} \rightarrow \hat{\mathbf{p}}=\frac{\hbar}{i}
abla$,
$E_{\mathrm{n}} \rightarrow \hat{E}_{\mathrm{n}}=E_{\mathrm{n}}$.
В результате вместо (71.8) между классическими величинами получается равенство между операторами
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+E_{\mathrm{n}} \text {. }
\]

Применяя обе части равенства (71.10) к волновой функции $\Psi$, находим уравнение Шредингера (71.3), нерелятивистский характер которого является следствием нерелятивистского характера соотношения (71.8) между классическими величинами. Указанный метод перехода от классических соотношений к квантовым уравнениям может быть обобщен для получения релятивистски инвариантных квантовых уравнений.

Уравнение Клейна-Гордона. Релятивистское соотношение, связывающее полную энергию частицы с ее импульсом и массой покоя частицы, имеет вид
\[
E^{2}=c^{2} p^{2}+m_{0}^{2} c^{4}
\]

где $m_{0}$-масса покоя частицы. Заменив в (71.11) величины $E$ и $p$ операторами (71.9), получаем уравнение для частицы, движущейся в отсутствие внешних полей:
\[
-\hbar^{2} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial t^{2}}=\left(-c^{2} \hbar^{2}
abla^{2}+m_{0}^{2} c^{4}\right) \Psi
\]

Оно является релятивистски инвариантным, поскольку получено из релятивистского соотношения (71.11). Это становится очевидным, если уравнение (71.2) разделить на $c^{2} \hbar^{2}$, перенести все члены в левую часть и ввести обозначение $k_{0}^{2}=m_{0}^{2} c^{2} / \hbar^{2}$ :
$
abla^{2} \Psi-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial t^{2}}-k_{0}^{2} \Psi=0$.
Первые два члена совпадают с соответствующими членами волнового уравнения Даламбера, релятивистская инвариантность которого хорошо известна из электродинамики. Релятивистская инвариантность члена $k_{0}^{2} \Psi$ очевидна, поскольку это скаляр: $k_{0}=$ const. Уравнение (71.13) называют уравнением Клейна-Гордона.

Для того чтобы получить выражение для плотности заряда и плотности тока, можно поступить аналогично тому, как это было сделано в нерелятивистской теории при выводе формул (16.20). Умножим (71.13) слева на $\Psi^{*}$ и вычтем из него почленно комплексно-сопряженное уравнение:
$\Psi^{*}
abla^{2} \Psi-\Psi
abla^{2} \Psi^{*}-\frac{1}{c^{2}}\left(\Psi^{*} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial t^{2}}-\right.$ $\left.-\Psi \frac{\partial^{2} \Psi^{*}}{\partial t^{2}}\right)=0$.
Учитывая, что
$\Psi^{*}
abla^{2} \Psi-\Psi
abla^{2} \Psi^{*}=$
$\operatorname{div}\left(\Psi^{*}
abla \Psi-\Psi
abla \Psi^{*}\right)$,
$\Psi^{*} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial t^{2}}-\Psi \frac{\partial^{2} \Psi^{*}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi \cdot \frac{\partial \Psi}{\partial t}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\right)$,
(71.156)
и вводя обозначения
$\rho=\frac{i q \hbar}{2 m_{0} c^{2}}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial t}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\right) \quad(q=-e)$,
$\mathbf{j}=\frac{i q \hbar}{2 m_{0}}\left(\Psi
abla \Psi^{*}-\Psi^{*}
abla \Psi\right)$,
можно уравнение (71.14) переписать:
$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0$.
Уравнение (71.18) совпадает с уравнением сохранения заряда в электродинамике, если под $\mathbf{j}$ понимать плотность тока, а под $\rho$-плотность заряда. Отсюда можно заключить, что выражения для плотности заряда и плотности тока для уравнения Клейна-Гордона даются формулами (71.16) и (71.17).
Выражение (71.17) для плотности тока совпадает с формулой (16.20a) для плотности тока в нерелятивистской теории. Выражение же (71.16) не совпадает с соответствующим выражением (16.20б) нерелятивистской теории. Однако в нерелятивистском случае, когда $v \ll c$, такое совпадение имеет место. Чтобы в этом убедиться, заметим, что при малых скоростях
$E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=m_{0} c^{2}\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}+\ldots\right)$,
и поэтому с точностью до величины второго порядка относительно $(v / c)$ $\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t} \mathrm{e}^{-i E t / \hbar} \Psi_{0}(\mathbf{r})=-i \frac{E}{\hbar} \Psi=$

$=-i \frac{m_{0} c^{2}}{\hbar} \Psi$,
благодаря чему (71.16) принимает вид $\rho \approx q \Psi^{*} \Psi$
что совпадает с нерелятивистской формулой (16.20б). Таким образом, как и нужно было ожидать, релятивистские формулы в случае $v \ll c$ переходят в нерелятивистские формулы.

Однако релятивистская формула (71.16) для плотности заряда приводит к следующей трудности. Из смысла плотности заряда следует, что отношение плотности заряда к единичному заряду $q$ должно дать концентрацию частиц
\[
N=\frac{\rho}{q}=\frac{i \hbar}{2 m_{0} c^{2}}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial t}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\right) .
\]

По физическому смыслу концентрации частиц ясно, что она должна быть неотрицательной величиной. Между тем уравнение Клейна-Гордона является уравнением второго порядка по времени и, следовательно, $\Psi$ и $\partial \Psi / \partial t$ в некоторой точке могут быть заданы независимо. Это значит, что $N$ может быть и отрицательной. Следовательно, выражение (71.21)
Дирак Поль Адриен Морис (1902-1984) Английский физик, один из создателей квантовой теории. Разработал релятивистскую теорию электрона, внес большой вклад в развитие квантовой теории поля, квантовой статистики, квантовой теории излучения
нельзя рассматривать как концентрацию частиц. Поэтому в течение ряда лет уравнение Клейна-Гордона не получало признания в качестве уравнения для описания поведения частиц. В дальнейшем стало ясно, что его можно рассматривать как уравнение квантовой теории поля и избежать трудности с отрицательной плотностью.
Волновая функция в уравнении Клейна-Гордона имеет лишь одну компоненту, т.е. является скаляром. Если у волновой функции несколько компонент, то у частицы, к которой относится эта волновая функция, кроме степеней свободы, связанных с перемещениями частицы, имеются внутренние степени свободы. Эти внутренние степени свободы представляют ее спин. То, что волновая функция в уравнении Клейна-Гордона имеет лишь одну компоненту, означает отсутствие у частицы внутренних степеней свободы, т.е. спина. Или, иначе, спин частицы, описываемой уравнением Клейна-Гордона, равен нулю. Такие частицы часто называют скалярными. Поскольку спин электрона равен $1 / 2$, уравнение Клейна-Гордона неприменимо для электрона. По-видимому, оно пригодно для $\pi$-мезонов, спин которых равен нулю. Трудность с отрицательной плотностью частиц при этом преодолевается методами квантовой теории поля.
Уравнение Дирака. Трудность с отрицательной концентрацией частиц и неприменимость уравнения Клейна-Гордона к частицам со спином $1 / 2$ заставляет искать другое уравнение, которое было бы пригодно для электрона. Такое уравнение было получено Дираком.
Для того чтобы избежать трудностей с отрицательной концентрацией частиц, необходимо избежать наличия производных по времени в выражении для плотности заряда. Но это возможно лишь в том случае, когда само волновое уравнение содержит только первую производную по времени. Пользуясь требованием релятивистской инвариантности, заключаем, что и производные по координатам должны также входить в уравнение только в виде первых производных. Принцип суперпозиции состояний требует, чтобы уравнение было линейным. В результате получается, что искомое волновое уравнение должно быть линейным дифференциальным уравнением первого порядка как по времени, так и по пространственным координатам.

Чтобы его получить, естественно воспользоваться приемом, с помощью которого было получено уравнение Клейна-Гордона, но при этом учесть только что изложенные выводы. Исходим из релятивистского соотношения между полной энергией и импульсом (71.11), которое удобно записать в виде
\[
E=c \sqrt{p^{2}+m_{0}^{2} c^{2}} .
\]

Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по формулам (71.9), то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам, поскольку оператор производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, необходимо произвести «линеаризацию» правой части уравнения (71.22) посредством «извлечения» корня. Введем обозначения
\[
p_{0}=m_{0} c, \quad p_{1}=p_{x}, \quad p_{2}=p_{y}, \quad p_{3}=p_{z}
\]

и напишем формально
\[
E=c \sum_{\mu=0}^{3} \alpha_{\mu} p_{\mu},
\]

где $\alpha_{\mu}$ пока не определены. Эти величины должны быть выбраны так, чтобы после возведения обеих частей равенства (71.24) в квадрат получилось релятивистское соотношение между энергией и импульсом в виде (71.11). Требование перехода соотношения (71.24) после его квадрирования в соотношение (71.11) дает условия, которым должны удовлетворять $\alpha_{\mu}$. Возводя обе части равенства (71.24) в квадрат, находим
\[
\begin{array}{l}
E^{2}=c^{2} \sum_{\mu^{\prime}} \sum_{\mu} \alpha_{\mu} \alpha_{\mu^{\prime}} p_{\mu} p_{\mu^{\prime}}= \\
=\left(c^{2} / 2\right) \sum_{\mu, \mu^{\prime}}\left(\alpha_{\mu} \alpha_{\mu^{\prime}}+\alpha_{\mu^{\prime}} \alpha_{\mu}\right) p_{\mu} p_{\mu^{\prime}}
\end{array}
\]

Чтобы правая часть (71.25) совпала с правой частью уравнения (71.11), которое удобно записать в виде $E^{2}=c^{2}\left(p_{0}^{2}+p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)$,
необходимо, чтобы $\alpha_{\mu}$ удовлетворяли следующим соотношениям:
$\alpha_{\mu} \alpha_{\mu^{\prime}}+\alpha_{\mu^{\prime}} \alpha_{\mu}=2 \delta_{\mu \mu^{\prime}}$,
т.е. $\alpha_{\mu}, \alpha_{\mu^{\prime}}$ должны антикоммутировать друг с другом при разных значениях индексов $\mu$ и $\mu^{\prime}$ :
$\alpha_{\mu} \alpha_{\mu^{\prime}}=-\alpha_{\mu^{\prime}} \alpha_{\mu} \quad\left(\mu
eq \mu^{\prime}\right)$.
Квадрат каждой из величин $\alpha_{\mu}$ должен быть равен единице:
$\alpha_{\mu}^{2}=1$.
Вообще говоря, для того чтобы оперировать с соотношением (71.24), не обязательно иметь явный вид величин $\alpha_{\mu}$. Достаточно знать соотношения ( 71.28 ), которым эти величины удовлетворяют. Однако явный вид величин $\alpha_{\mu}$ часто бывает полезен для решения конкретных задач. Дирак предложил в качестве $\alpha_{\mu}$ взять следующие четырехрядные матрицы:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\alpha}_{0}=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]
$\alpha_{2}=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\alpha_{3}=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right)$.
Непосредственным перемножением и сложением матриц (71.29) нетрудно убедиться, что они удовлетворяют соотношениям (71.28), понимая, что в их правой части стоит единичная матрица. Например, для $\alpha_{1}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}^{2}+\alpha_{1}^{2}=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)+ \\
+\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)= \\
=2\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Действительно,
\[
\alpha_{1}^{2}=I \text {, }
\]

где $I$-единичная четырехрядная матрица:
$I=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
Аналогично, для $\alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$ соотношение (71.27) принимает вид
\[
\alpha_{2} \alpha_{3}+\alpha_{3} \alpha_{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \times
\]
\[
\begin{array}{l}
\times\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right)+ \\
+\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right) \times \\
\times\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)+ \\
+\left(\begin{array}{llll}
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right)= \\
\end{array}
\]
$=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$,
т. е. действительно
$\alpha_{2} \alpha_{3}+\alpha_{3} \alpha_{2}=0$,
где под 0 понимается нулевая матрица:
$0=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$.
Нетрудно проверить, что матрицы $\alpha_{\mu}$ являются эрмитовыми матрицами, для которых $\alpha_{\mu}^{+}=\alpha_{\mu}$, где операция эрмитова сопряжения означает перестановку элементов матрицы в другие места, симметричные относительно главной диагонали, и взятие комплексного сопряжения к этим элементам. Например,
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)^{+}=\left(\begin{array}{ll}
a^{*} & c^{*} \\
b^{*} & d^{*}
\end{array}\right) \text {. }
\]

С учетом (71.24) уравнение Дирака для свободной частицы может быть записано следующим образом:
\[
\left[\hat{E}-c \sum_{\mu} \alpha_{\mu} \hat{p}_{\mu}\right] \Psi=0 .
\]

Поскольку $\alpha_{\mu}$ – четырехрядные матрицы, волновая функция $\Psi$ в (71.32) должна иметь четыре компоненты, которые удобно записать в виде столбца:
\[
\Psi=\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2} \\
\Psi_{3} \\
\Psi_{4}
\end{array}\right) .
\]

Поэтому уравнение Дирака (71.32) является системой четырех линейных уравнений относительно четырех компонент волновой функции $\Psi$. Произведя перемножения на матрицы $\alpha_{\mu}$, указанные в (71.32), можно эту систему уравнений записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{E}-m_{0} c^{2}\right) \Psi_{1}-c\left(\hat{p}_{x}-i \hat{p}_{y}\right) \Psi_{4}- \\
-c \hat{p}_{z} \Psi_{3}=0,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{E}-m_{0} c^{2}\right) \Psi_{2}-c\left(\hat{p}_{x}+i \hat{p}_{y}\right) \Psi_{3}+ \\
+c \hat{p}_{z} \Psi_{4}=0,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{E}+m_{0} c^{2}\right) \Psi_{3}-c\left(\hat{p}_{x}-i \hat{p}_{y}\right) \Psi_{2}- \\
-c \hat{p}_{z} \Psi_{1}=0, \\
\left(\hat{E}+m_{0} c^{2}\right) \Psi_{4}-c\left(\hat{p}_{x}+i \hat{p}_{y}\right) \Psi_{1}+ \\
+c \hat{p}_{z} \Psi_{2}=0 .
\end{array}
\]

Уравнение Дирака (71.32) удобно также переписать по-другому. Введем векторную матрицу $\boldsymbol{\alpha}$, компонентами которой по осям координат являются $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, т.е.
\[
\boldsymbol{a}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \text {. }
\]

Тогда [см. (71.32)]
\[
\left[\hat{E}-c(\boldsymbol{\alpha} \cdot \hat{\mathbf{p}})-m_{0} c^{2} \rho_{3}\right] \Psi=0,
\]

где матрица $\alpha_{0}$ обозначена через $\rho_{3}$, как это принято ( $\rho_{3}=\alpha_{0}$ ). Выписывая в явном виде операторы $\hat{E}$ и $\hat{\mathbf{p}}$, имеем $-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \Psi-\frac{\mathrm{c} \hbar}{i}(\boldsymbol{\alpha} \cdot
abla) \Psi-m_{0} c^{2} \rho_{3} \Psi=0$.

Эрмитова сопряженная волновая функция
\[
\Psi^{*}=\left(\Psi_{1}^{*}, \quad \Psi_{2}^{*}, \quad \Psi_{3}^{*}, \quad \Psi_{4}^{*}\right) .
\]

Сопряженная волновая функция $\Psi *$ ставится слева от четырехрядных матриц, чтобы соблюсти правила умножения матриц. Кроме того, необходимо везде перейти к комплексно-сопряженным величинам. Поэтому уравнение (71.37) относительно сопряженной функции имеет вид
\[
+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{+}+\frac{c \hbar}{i}\left(
abla \Psi^{+} \cdot \boldsymbol{\alpha}\right)-m_{0} c^{2} \Psi^{+}=0 .
\]

Расписав это уравнение по компонентам, получим систему уравнений, которая совпадает с системой (71.34), если в последней перейти к комплексно-сопряженным величинам.

Для того чтобы получить выражения для плотности заряда и плотности тока, умножим уравнение (71.39) справа на ( $i q / \bar{h}) \Psi$, а уравнение (71.37) – слева на $(i q / \hbar) \Psi^{+}$и из первого уравнения вычтем второе уравнение. В результате получаем уравнение
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t}\left(q \Psi^{+} \Psi\right)+\operatorname{div}\left(q c \Psi^{+} \alpha \Psi\right)=0 \\
(q=-e),
\end{array}
\]

которое имеет вид уравнения непрерывности в классической электродинамике. Отсюда заключаем, что выражения для плотности заряда и тока записываются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\rho=q \Psi^{+} \Psi, \\
\mathbf{j}=q c \Psi^{+} \boldsymbol{\alpha} \Psi .
\end{array}
\]

Эти выражения для плотности заряда и тока сохраняют свой вид и при наличии внешнего поля, поскольку в этом случае в левую часть уравнений (71.37) и (71.39) добавляется соответствующий член, который после умножения уравнений на сопряженную функцию и вычитания сокращается.

Из выражения (71.41a) находим концентрацию частиц:
\[
\begin{array}{l}
N=\rho / q=\Psi^{+} \Psi=\left(\Psi_{1}^{*}, \Psi_{2}^{*}, \Psi_{3}^{*}, \Psi_{4}^{*}\right) \times \\
\times\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2} \\
\Psi_{3} \\
\Psi_{4}
\end{array}\right)= \\
=\Psi_{1}^{*} \Psi_{1}+\Psi_{2}^{*} \Psi_{2}+\Psi_{3}^{*} \Psi_{3}+\Psi_{4}^{*} \Psi_{4} .
\end{array}
\]

Это неотрицательная величина. Значит, трудность с отрицательной энергией, свойственная уравнению Клейна-Гордона, преодолена.

Чтобы выяснить, чему равен спин частиц, описываемых уравнением Ди-
рака, рассмотрим частицу, движущуюся в центрально-симметричном поле. В этом случае потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния $r$ до центра, т.е. имеет вид $E_{\mathrm{n}}(r)$. Уравнение Дирака при наличии центрально-симметричного поля $E_{n}(r)$ получается из (71.36) с добавлением члена, представляющего потенциальную энергию:
\[
\left[\hat{E}-c(\boldsymbol{\alpha} \cdot \hat{\mathbf{p}})-m_{0} c^{2} \rho_{3}-E_{n}\right] \Psi=0 .(71.43)
\]

Гамильтониан частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, записывается следующим образом:
\[
\hat{H}=c(\boldsymbol{\alpha} \cdot \hat{\mathbf{p}})+m_{0} c^{2} \rho_{3}+E_{\mathrm{\pi}}(r) .
\]

Некоторая величина является интегралом движения в том случае, если представляющий ее оператор коммутирует с гамильтонианом. Рассмотрим орбитальный момент импульса частицы
$\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{I}}=\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}$
при движении с гамильтонианом (71.44). Вычислим коммутатор $\hat{L}_{z}$ с $\hat{H}$ : $\hat{H} \hat{L}_{z}-\hat{L}_{z} \hat{H}=(c \hbar / i)\left(\alpha_{1} \hat{p}_{y}-\alpha_{2} \hat{p}_{x}\right)
eq 0$.

Таким образом, коммутатор орбитального момента $\mathbf{L}_{l}$ с гамильтонианом не равен нулю. Это означает, что орбитальный момент частицы, описываемой уравнением Дирака, не сохраняется. Следовательно, частица имеет внутренний момент, или спин. В центрально-симметричном поле сохраняется полный момент частицы, т. е. сумма ее орбитального момента и спина. Нетрудно проверить, что с гамильтонианом (71.44) коммутирует оператор
$\mathbf{L}_{J}=\mathbf{L}_{l}+(\hbar / 2) \boldsymbol{\sigma}$
где $\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}\right)$ – векторная четырехрядная матрица, компоненты которой

\[
\begin{array}{l}
\sigma_{x}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right), \\
\sigma_{y}=\left(\begin{array}{llll}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0
\end{array}\right), \\
\sigma_{z}=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Оператор
$\hat{\mathbf{L}}_{s}=(\hbar / 2) \sigma$
является оператором спина. Собственные значения $Z$-й составляющей оператора спина равны $\pm \hbar / 2$ :
\[
\begin{array}{c}
\hat{\mathbf{L}}_{s} \Psi=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right) \times \\
\times\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2} \\
\Psi_{3} \\
\Psi_{4}
\end{array}\right)=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1} \\
-\Psi_{2} \\
\Psi_{3} \\
-\Psi_{4}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда замечаем, что спин частиц, описываемых уравнением Дирака, равен $1 / 2$. Квадрат полного спина
$\hat{L}_{s}^{2}=\left(\hbar^{2} / 4\right)\left(\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}+\sigma_{z}^{2}\right)=s(s+1) \hbar^{2}=$ $=3 \hbar^{2} / 4, \quad s=1 / 2$.
Поэтому уравнение Дирака применимо для электрона. Кроме того, это уравнение применимо для нейтрона и протона, спин которых также равен $1 / 2$.

Все правила вычислений, которые были изложены в нерелятивистской
квантовой теории, сохраняют свою силу и для волновых функций Дирака, имеющих четыре компоненты. Математически наличие четырех компонент у волновой функции проявляется в том, что в вычислениях возникают дополнительные суммирования по индексам этих компонент. Например, условие нормировки волновой функции имеет вид
$\int \Psi^{+} \Psi \mathrm{d} V=1$.
В компонентах это условие записывается следующим образом:
\[
\int\left(\Psi_{1}^{*} \Psi_{1}+\Psi_{2}^{*} \Psi_{2}+\Psi_{3}^{*} \Psi_{3}+\Psi_{4}^{*} \Psi_{4}\right) \mathrm{d} V=1,
\]
т. е. добавляется суммирование по индексам компонент волновой функции. Вычислим среднее значение $Z$-й проекции спина. По определению среднего,
\[
\begin{array}{l}
\left\langle L_{s z}\right\rangle=\int \Psi^{+} \hat{L}_{s z} \Psi \mathrm{d} V=(\hbar / 2) \times \\
\times \int \Psi^{+} \sigma_{z} \Psi \mathrm{d} V=(\hbar / 2) \int\left(\Psi_{1}^{*} \Psi_{1}-\right. \\
\left.-\Psi_{2}^{*} \Psi_{2}+\Psi_{3}^{*} \Psi_{3}-\Psi_{4}^{*} \Psi_{4}\right) \mathrm{d} V,
\end{array}
\]

где использовано выражение $\sigma_{z}$ по (71.48). В вычисление снова вошло суммирование по компонентам волновой функции.

Из (71.50) и (71.54) можно заключить, что компоненты $\Psi_{1}$ и $\Psi_{3}$ описывают состояние электрона, в котором его спин имеет составляющую в направлении положительных значений оси $Z$, а компоненты $\Psi_{2}$ и $\Psi_{4}$ описывают состояние электрона со спином в направлении отрицательных значений оси $Z$. Вообще говоря, обычно электрон находится в суперпозиции состояний и все четыре компоненты волновой функции отличны от нуля.

Так как уравнение Дирака получено из релятивистски инвариантного соотношения (71.22), то представляется вероятным, что оно релятивистски инвариантно. Это утверждение может быть строго доказано. Из требования инвариантности уравнения Дирака относительно преобразований Лоренца могут быть получены правила преобразования волновой функции при преобразованиях Лоренца. Оказывается, что компоненты волновой функции преобразуются при этом друг через друга. Однако соответствующих вычислений мы здесь приводить не будем.

Волновая функция свободного электрона. В качестве примера четырехкомпонентной волновой функции рассмотрим волновую функцию свободного электрона
$\Psi(\mathbf{r}, t)=\left(\begin{array}{c}\Psi_{1}(\mathbf{r}, t) \\ \Psi_{2}(\mathbf{r}, t) \\ \Psi_{3}(\mathbf{r}, t) \\ \Psi_{4}(\mathbf{r}, t)\end{array}\right)$.
$\mathrm{He}$ ограничивая общности, можно считать, что электрон движется вдоль оси $Z$, и положить:
$p_{x}=p_{y}=0, \quad p_{z}
eq 0$.
По аналогии с формулой (25.24a) для нерелятивистского случая будем искать решение для каждой компоненты в виде плоских волн:
$\Psi_{i}(\mathbf{r}, t)=A b_{i} \mathrm{e}^{-i\left(E t-p_{z} z\right) / \hbar}$,
где $A$-общая для всех компоненг нормировочная постоянная. В случае нормировки на длину периодичности $L$ имеем $A=L^{-3 / 2}$. Коэффициенты $b_{i}$ определяются из условия, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Дирака. Равенство
\[
\begin{array}{l}
\Psi^{+} \Psi=A^{*} A\left(b_{1}^{*} b_{1}+b_{2}^{*} b_{2}+b_{3}^{*} b_{3}+\right. \\
\left.+b_{4}^{*} b_{4}\right)
\end{array}
\]

показывает, что коэффициенты $b_{i}$ должны удовлетворять следующему условию нормировки:
\[
b_{1}^{*} b_{1}+b_{2}^{*} b_{2}+b_{3}^{*} b_{3}+b_{4}^{*} b_{4}=1 \text {. }
\]

Подставляя (71.57) в (71.34) и сокращая обе части всех уравнений на общий множитель $A \exp [-i(E t-$ $\left.\left.-p_{z} z\right) \hbar\right]$, находим для определения коэффициентов $b_{i}$ следуюшую систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\left(E-m_{0} c^{2}\right) b_{1}-c p_{z} b_{3}=0, \\
\left(E-m_{0} c^{2}\right) b_{2}+c p_{z} b_{4}=0, \\
\left(E+m_{0} c^{2}\right) b_{3}-c p_{z} b_{1}=0, \\
\left(E+m_{0} c^{2}\right) b_{4}+c p_{z} b_{2}=0 .
\end{array}
\]

Однородная система линейных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее детерминант равен нулю:
\[
E^{2}-m_{0}^{2} c^{4}-c^{2} p_{z}^{2}=0,
\]

что является выражением релятивистской связи между полной энергией и импульсом частицы [см. (71.11)]. Из (71.61) следует, что
$E= \pm c \sqrt{p_{z}^{2}+m_{0}^{2} c^{2}}$,
т.е. уравнение Дирака допускает для электрона как положительные полные энергии, так и отрицательные.
\[
\text { В случае } E>0
\]
$E=c \sqrt{p_{z}^{2}+m_{0}^{2} c^{2}}$
и получаем следующие два линейно независимых решения:
\[
b_{1}=(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1+m_{0} c^{2} / E}, \quad b_{2}=0,
\]
\[
b_{3}=(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1-m_{0} c^{2} / E}, \quad b_{4}=0,
\]
\[
b_{1}=0, \quad b_{2}=(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1+m_{0} c^{2} / E},
\]
\[
b_{3}=0, \quad b_{4}=-(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1-m_{0} c^{2} / E} .
\]

Множитель $1 / \sqrt{2}$ появляется из условия нормировки (71.59).
В случае $E<0$
\[
E=-c \sqrt{p_{z}^{2}+m_{0}^{2} c^{2}}
\]

и также получается два линейно независимых решения:

\[
\begin{array}{l}
b_{1}=(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1-m_{0} c^{2} /|E|}, \quad b_{2}=0, \\
b_{3}=-(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1+m_{0} c^{2} /|E|}, \quad b_{4}=0, \\
b_{1}=0, \quad b_{2}=(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1-m_{0} c^{2} /|E|},
\end{array}
\]
\[
b_{3}=0, \quad b_{4}=(1 / \sqrt{2}) \sqrt{1+m_{0} c^{2} /|E|} .
\]

Чтобы выяснить физический смысл состояний а) и б), воспользуемся формулой (71.50) для собственных значений проекций спина на ось $Z$. Учитывая, что в состоянии a) компоненты $\Psi_{2}$ и $\Psi_{4}$ обращаются в нуль, а в состоянии б) нулю равны компоненты $\Psi_{1}$ и $\Psi_{3}$, заключаем, что волновые функции а) описывают состояние, когда спин электрона ориентирован вдоль положительного направления оси $Z$, а состояние б) соответствует ориентировке спина электрона вдоль отрицательного направления оси $Z$. Таким образом, четыре линейно независимых решения (71.64) и (71.66) соответствуют четырем возможным комбинациям двух знаков полной энергии электрона и двум возможным направлениям ориентировки спина.

Отрицательные значения полной энергии электрона с первого взгляда представляются не имеющими физического смысла. Однако более глубокий анализ показал физическую содержательность этого понятия и привел к открытию античастицы для электрона, названной позитроном.

В нерелятивистском случае, когда $v / c \ll 1$, $m_{0} c^{2} / E=\sqrt{1-v^{2} / c^{2}} \approx 1-v^{2} /\left(2 c^{2}\right)$,
и поэтому волновые функции (71.64) и (71.66) принимают с точностью до величин $v / c$ вид для $\mathscr{E}>0$ и $\mathscr{E}<0$ : $b_{1} \approx 1, \quad b_{2}=0, \quad b_{3} \approx v /(2 c), \quad b_{4}=0$,
\[
\begin{array}{l}
b_{1}=0, \quad b_{2} \approx 1, \quad b_{3}=0, \quad b_{4} \approx-v /(2 c), \\
b_{1} \approx v /(2 c), \quad b_{2}=0, \quad b_{3}=-1, \quad b_{4}=0, \\
b_{1}=0, \quad b_{2} \approx v /(2 c), \quad b_{3}=0, \quad b_{4} \approx 1,
\end{array}
\]
т.е. в каждом из состояний существенно отличной от нуля является лишь одна компонента. Это, однако, не означает, что в нерелятивистском случае волновая функция из четырехкомпонентной превращается в однокомпонентную волновую функцию и, следовательно, спиновые эффекты пропадают. Дело в том, что отличной от нуля является в каждом из состояний различная компонента. Поэтому при определении, например, среднего значения спина вдоль оси $Z$ принимается во внимание лишь одна компонента волновой функции, но эта компонента различна для различных состояний и приводит к различному результату вычислений. Переход к нерелятивистскому случаю не означает перехода к однокомпонентной волновой функции, а позволяет выяснить относительную роль различных компонент волновой функции в нерелятивистском случае.

Второе замечание, связанное с переходом к нерелятивистскому случаю, заключается в следующем. Из (71.68a) видно, что коэффициенты $b_{3}$ и $b_{4}$ в нерелятивистском случае имеют относительно коэффициентов $b_{1}$ и $b_{2}$ порядок $v / c$ по сравнению с единицей. Это означает, что функции $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ в нерелятивистском случае малы по сравнению с функциями $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$. Это заключение имеет общий характер, как это непосредственно видно из системы уравнений (71.34): в нерелятивистском случае $E \simeq m_{0} c^{2}$ и, следовательно, $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ малы по сравнению с $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$.