Излагается количественная теория тонкой структуры уровней энергии атома водорода и обсуждаются состояния с отрицательной энергией

Уровни энергии бесспиновой частицы в кулоиовском поле. Зависимость массы от скорости приводит к изменению уровней энергии частицы, движущейся в кулоновском поле. Чтобы проанализировать этот релятивистский эффект, рассмотрим бесспиновую частицу, движущуюся в кулоновском поле ядра. Допустим, что масса ядра, вокруг которого движется бесспиновая частица, много больше массы этой частицы. Благодаря этому ядро можно считать неподвижным. Соотношение между полной энергией, импульсом и потенциальной энергией в кулоновском поле имеет вид
\[
E=c \sqrt{\hat{p}^{2}+m_{0}^{2} c^{2}}-Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right),
\]

где $Z e$-заряд ядра, $e$-заряд частицы, $m_{0}$ – ее масса покоя. Отсюда получаем операторное равенство
\[
\left[\hat{E}+Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)\right]^{2}=c^{2} \hat{p}^{2}+m_{0}^{2} c^{4},
\]

которое приводит к уравнению Клейна-Гордона для частицы в кулоновском поле ядра:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}+\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\right)^{2}+\right.} \\
\left.+c^{2} \hbar^{2}
abla^{2}-m_{0}^{2} c^{4}\right] \Psi=0 .
\end{array}
\]

Полагая
\[
\Psi(\mathbf{r}, t)=\Psi(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\imath\left(E+m_{0} c^{2} t / \hbar\right.},
\]

получаем релятивистское уравнение стационарных состояний:
\[
\begin{array}{l}

abla^{2} \Psi+\frac{1}{c^{2} \hbar^{2}} \times \\
\times\left[\left(E+m_{0} c^{2}+\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\right)^{2}-m_{0}^{2} c^{4}\right] \Psi=0 .
\end{array}
\]

Здесь $E$-энергия электрона без энергии, соответствующей массе покоя. Решение этого уравнения проводится аналогично решению нерелятивистского уравнения Шредингера (28.1). Полагая
$\Psi=R(r) Y_{l}^{m}(\theta, \varphi)$,
находим для радиальной волновой функции $R$ [см. (30.1)]
$\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)+$
$+\left[-A+\frac{2 B}{r}-\frac{l(l+1)-\alpha^{2} Z^{2}}{r^{2}}\right] R=0$,

где
$A=\frac{m_{0}^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}\left[1-\left(1+\frac{E}{m_{0} c^{2}}\right)^{2}\right]$,
$2 B=\frac{2 m_{0} Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}}\left(1+\frac{E}{m_{0} c^{2}}\right)$,
$\alpha=e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} c \hbar\right)$-постоянная тонкой структуры. Чтобы перейти к нерелятивистскому случаю, надо учесть, что $E \ll m_{0} c^{2}$. Поэтому вместо формул (72.76) и (72.7в) получаем
$A=-2 m_{0} E / \hbar^{2}, \quad 2 B=2 m_{0} Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}\right)$,

что совпадает с выражениями этих величин в нерелятивистской теории [см. (30.2)].

Очевидно, что переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности ( $c \rightarrow \infty$ ). Следовательно, при этом переходе необходимо считать, что постоянная тонкой структуры $\alpha$ стремится к нулю, поскольку в ее выражении скорость света входит в знаменатель. Таким образом, релятивистское уравнение (72.7a) в нерелятивистском случае переходит в уравнение (30.1).
Чтобы для решения уравнения (72.7a) воспользоваться результатами решения нерелятивистского уравнения (30.1), введем число $l^{\prime}$ по формуле $l^{\prime}\left(l^{\prime}+1\right)=l(l+1)-\alpha^{2} Z^{2}$,
откуда
\[
l^{\prime}=-1 / 2 \pm \sqrt{(l+1 / 2)^{2}-\alpha^{2} Z^{2}} .
\]

С помощью $l^{\prime}$ уравнение (72.7a) записывается следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)+ \\
+\left[-A+\frac{2 B}{r}-\frac{l^{\prime}\left(l^{\prime}+1\right)}{r^{2}}\right] R=0 .
\end{array}
\]

Это уравнение совпадает с нерелятивистским уравнением (30.1). Надо лишь потребовать, чтобы в качестве $l^{\prime}$ было взято положительное значение корня в (72.10), т.е. значение со знаком плюс перед корнем, считая, что $z \alpha<1 / 2$. Тогда при решении уравнения (71.11) можно повторить буквально все утверждения, которые были сделаны при решении уравнения (30.1) с заменой $l$ на $l^{\prime}$. Условие обрыва ряда (30.23) принимает вид
$B / \sqrt{A}-l^{\prime}-1-k=B / \sqrt{A}-1 / 2-$
$-\sqrt{(l+1 / 2)^{2}-\alpha^{2} Z^{2}}-h=0$.
Это условие обрыва ряда является условием квантования энергии.

Выражая в (72.12) величины $A$ и $B$ по формулам (72.7б) и (72.7в), получаем следующие формулы для уровней энергии бесспиновой частицы в кулоновском поле ядра:
\[
E_{k l}=\left[1+\frac{\alpha^{2} Z^{2}}{\left(k+1 / 2+\sqrt{\left.(l+1 / 2)^{2}-\alpha^{2} Z^{2}\right)^{2}}\right.}\right]^{-1 / 2} \times
\]
\[
\times m_{0} c^{2}-m_{0} c^{2} \text {. }
\]

Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить в ряд по $\alpha^{2} Z^{2} \ll 1$.
Сохраняя первые два члена, не рав-
ные нулю, находим
\[
E_{n l}=\frac{m_{0} Z^{2} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}}\left[1+\frac{\alpha^{2} Z^{2}}{n^{2}}\left(\frac{n}{l+{ }^{1} / 2}-\frac{3}{4}\right)\right],
\]

где $n=l+k+1$-главное квантовое число. Главный член этой формулы совпадает с выражением (30.24) для уровней энергии частицы в нерелятивистской теории. Член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры $\alpha^{2}=(1 / 137)^{2}$, дает релятивистскую поправку к уровням энергии, которая учитывает релятивистский эффект зависимости массы от скорости.

Принципиальное отличие формулы (72.14) для атома водорода от нерелятивистской формулы состоит в том, что в релятивистском случае энергия зависит от орбитального квантового числа, т.е. снимается вырождение по $l$. Благодаря этому каждый энергетический уровень с главным квантовым числом $n$ расщепляется на $n$ подуровней, соответствующих значениям $l$ от 0 до $n-1$. Расщепление энергетических уровней пропорционально $\alpha^{2}$, т.е. мало. Оно приводит к расщеплению соответствующих линий излучения и порождает тонкую структуру линий излучения. С помощью формулы (72.14) нетрудно подсчитать расщепление линий излучения. В частности, для дублетного расщепления серии Бальмера $(n=2)$ получается формула
$\Delta \omega=\left(E_{21}-E_{20}\right) / \hbar=\alpha^{2} m_{0} e^{4} /\left(192 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{3}\right)$.
(72.15)

Эта величина примерно в три раза превосходит величину, полученную для расщепления соответствующей линии излучения атома водорода из эксперимента. Причиной этого расхождения является наличие у электрона спина, который не учитывается уравнением Клейна-Гордона. Тонкая структура линий излучения обусловливается не только релятивистским эффектом зависимости массы от скорости, который учитывается формулой (72.14), но и наличием спина у электрона. Спин несколько ослабляет релятивистский эффект расщепления уровней. Это еще раз подтверждает, что уравнение Клейна-Гордона непригодно для описания частиц с ненулевым спином.

Мы рассмотрели случай $Z \alpha<1 / 2$, когда $l^{\prime}$ в уравнении (72.11) положительно. Если же $\mathrm{Z} \alpha>1 / 2$, то $l^{\prime}$ не может быть выбрано положительным и решение релятивистского уравнения принципиально отличается от решения нерелятивистского уравнения. Как показывает анализ, в этом случае происходит падение частицы на ядро и отсутствует стационарное решение. Таким образом, по уравнению Клейна-Гордона, устойчивые состояния движения частицы в кулоновском поле ядра возможны лишь для ядер, у которых $Z<137 / 2$.

Как уже было отмечено при рассмотрении расщепления энергетических уровней, спин несколько ослабляет влияние релятивистского изменения массы от скорости. Это приводит к тому, что релятивистские эффекты с учетом спина обусловливают неустойчивость атомов лишь для значений $Z$, лежащих за пределами существующей периодической системы элементов.

Тоикая структура уровней эиергии атома водорода. Чтобы найти уровни энергии электрона с учетом релятивистской поправки на изменение массы со скоростью с учетом спина, необходимо решить задачу для атома водорода с помощью уравнения Дирака. При наличии потенциальной энергии $e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)$ электрона в кулоновском поле протона уравнение Ди-
рака имеет вид
$\left[\hat{E}-c(\boldsymbol{\alpha} \cdot \hat{\mathbf{p}})-m_{0} c^{2} \rho_{3}+e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)\right] \Psi=0$.
Для того чтобы при вычислении воспользоваться результатами предыдущего параграфа, удобно от уравнения первого порядка (72.16) перейти к уравнению второго порядка, т.е. «квадрировать» уравнение (72.16). Квадрированное уравнение содержит все решения уравнения первого порядка, поскольку оно получается из этого уравнения с помощью операций дифференцирования. Но могут появиться и другие решения, которые уравнению первого порядка не удовлетворяют; эти побочные решения должны быть отброшены.
Для «квадрирования» уравнения Дирака (72.16) применим к нему слева оператор
$\hat{E}+c(\boldsymbol{\alpha} \cdot \hat{\mathbf{p}})+m_{0} c^{2} \rho_{3}+e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)$.
В результате получается уравнение
$\left[\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{d t}+\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\right)^{2}-c^{2} \hbar^{2}
abla^{2}-m_{0}^{2} c^{4}+\right.$
$\left.+\frac{i e^{2} c \hbar}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}}(\boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{r})\right] \Psi=0$,
где учтены свойства матриц $\alpha_{\mu}$, выражаемые равенствами (71.28), и принято во внимание, что
$(1 / r)
abla-
abla(1 / r)=-\operatorname{grad}(1 / r)=r / r^{3}$.
Будем искать стационарное решение и положим
$\Psi(\mathbf{r}, t)=\Psi(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-i\left(E+m_{0} c^{2}\right) / / \hbar}$.
Тогда в уравнении (72.18) исключаются производные по времени и для определения $E$ получается уравнение $\left[\left(E+m_{0} c^{2}+\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\right)^{2}-c^{2} \hbar^{2}
abla^{2}-m_{0}^{2} c^{4}+\right.$ $\left.+\frac{i e^{2} c h}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}}(\boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{r})\right] \Psi=0$.

Дальнейшие вычисления удобно вести в сферических координатах, перейдя к ним по формулам $x=r \sin \theta \cos \varphi, y=r \sin \theta \sin \varphi, z=r \cos \theta$.

С помощью выражения (71.29) для матриц $\alpha_{\mu}$ можно уравнение (72.21) расписать в виде системы уравнений относительно компонент волновой функции:
\[
\begin{array}{l}
D_{0}^{2} \Psi_{1}+\frac{i \alpha}{r^{2}}\left(\sin \theta e^{-\imath \varphi} \Psi_{4}+\cos \theta \Psi_{3}\right)=0, \\
D_{0}^{2} \Psi_{2}+\frac{i \alpha}{r^{2}}\left(\sin \theta e^{i \varphi} \Psi_{3}-\cos \theta \Psi_{4}\right)=0,
\end{array}
\]
$D_{0}^{2} \Psi_{3}+\frac{i \alpha}{r^{2}}\left(\sin \theta e^{-i \varphi} \Psi_{2}+\cos \theta \Psi_{1}\right)=0$,
$D_{0}^{2} \Psi_{4}+\frac{i \alpha}{r^{2}}\left(\sin \theta e^{i \varphi} \Psi_{1}-\cos \theta \Psi_{2}\right)=0$,
где $D_{0}^{2}$-общая для всех компонент волновой функции часть оператора в уравнении (72.21), совпадающая с оператором уравнения Клейна-Гордона (72.5) для бесспиновой частицы: $D_{0}^{2}=
abla^{2}+\frac{1}{c^{2} \hbar^{2}}\left[\left(E+m_{0} c^{2}+\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\right)^{2}-\right.$ $\left.-m_{0}^{2} c^{4}\right]$.
Величина $\alpha=e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} \hbar c\right)$ в системе уравнений (72.23) есть постоянная тонкой структуры, $\mathrm{e}^{ \pm i \varphi}=\cos \varphi \pm i \sin \varphi$.

Будем искать решение системы (72.23) в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2} \\
\Psi_{3} \\
\Psi_{4}
\end{array}\right)=R(r)\left(\begin{array}{l}
(l+m) Y_{l}^{m-1} \\
(l+1-m) Y_{l}^{m} \\
i \beta Y_{l+1}^{m-1} \\
-i \beta Y_{l+1}^{m}
\end{array}\right),
\]

где $Y_{l}^{m}$-сферические функции, определенные равенством (28.16), но без
нормировочного множителя:
Таким образом, сферические функции $Y_{l}^{m}$ в (72.25) нормированы условием
\[
\int Y_{l}^{m} Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}} \mathrm{d} \Omega=\frac{4 \pi}{(2 l+1)} \frac{(l+m) !}{(l-m) !} \delta_{l l^{\prime}} \delta_{m m^{\prime}} .
\]

Отметим еще раз, что функции $Y_{l}^{m}$ в (72.25) отличаются от функций (28.20) нормированными множителями, так что не следует нутать эти функции, хотя они и обозначены одинаково. Постоянная $\beta$ в формулах (72.25) остается пока неопределенной.

В теории сферических функций доказываются следующие рекуррентные соотношения:
\[
\begin{array}{l}
(l+m) Y_{l}^{m-1}= \\
=-\sin \theta \mathrm{e}^{-i \varphi} \mathrm{Y}_{l+1}^{m}+\cos \theta Y_{l+1}^{m-1}, \\
(l+1-m) Y_{l}^{m}= \\
=\sin \theta \mathrm{e}^{i \varphi} \mathrm{Y}_{l+1}^{m-1}+\cos \theta Y_{l+1}^{m} .
\end{array}
\]

Подставляя выражения (72.25) для компонент волновых функций в систему уравнений (72.23) и пользуясь рекуррентными соотношениями (72.28) и (72.29), получаем уравнения для определения радиальной функции:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)+ \\
+\left[-A+\frac{2 B}{r}-\frac{l(l+1)-\alpha^{2}+\alpha \beta}{r^{2}}\right] R=0,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)+ \\
+\left[-A+\frac{2 B}{r}-\frac{(l+1)(l+2)-\alpha^{2}-\alpha / \beta}{r^{2}}\right] R=0,
\end{array}
\]

где $A$ и $B$ даются выражениями

(72.7б) и (72.7в) при $Z=1$, т.е.
$A=\frac{m_{0}^{2} c^{2}}{\hbar^{2}}\left[1-\left(1+\frac{E}{m_{0} c^{2}}\right)^{2}\right]$,
$2 B=\frac{2 m_{0} e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}}\left(1+\frac{E}{m_{0} c^{2}}\right)$.
Уравнения (72.30) и (72.31) должны совпадать друг с другом, потому что это уравнения для одной и той же волновой функции. Отсюда получаем уравнение для определения $\beta$
\[
\begin{array}{l}
l(l+1)-\alpha^{2}+\alpha \beta= \\
=(l+1)(l+2)-\alpha^{2}-\alpha / \beta,
\end{array}
\]

решение которого
\[
\beta=(l+1) / \alpha \pm \sqrt{(l+1)^{2} / \alpha^{2}-1} .
\]

Подставляя это выражение в (72.30) или (72.31), можно уравнение для радиальной функции представить в виде, аналогичном (72.11):
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)+ \\
+\left[-A+\frac{2 B}{r}-\frac{l^{\prime \prime}\left(l^{\prime \prime}+1\right)}{r^{2}}\right] R=0,
\end{array}
\]

где
\[
l^{\prime \prime}=\sqrt{(l+1)^{2}-\alpha^{2}}-1 / 2 \pm 1 / 2,
\]

причем знаки плюс и минус перед $1 / 2$ в формуле (72.37) соответствуют знакам плюс и минус перед корнем в выражении (72.35). Решение уравнения (72.36) аналогично решению уравнения (72.11). В результате для уровней энергии вместо формулы (72.13) получаем
\[
\begin{array}{l}
E_{k l}=m_{0} c^{2} \times \\
\times\left[1+\frac{\alpha^{2}}{\left(k+1 / 2 \pm 1 / 2+\sqrt{\left.(l+1)^{2}-\alpha^{2}\right)^{2}}\right.}\right]^{-1 / 2}- \\
-m_{0} c^{2} .
\end{array}
\]

Разлагая эти выражения в ряд по
постоянной тонкой структуры и ограничиваясь первыми двумя членами, находим следующие формулы при отрицательном и положительном знаках перед $1 / 2$ в формуле (72.38):
\[
E_{n l}=-\frac{m_{0} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}}\left[1+\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}\left(\frac{n}{l+1}-\frac{3}{4}\right)\right]
\]
$\left\{n=k+l+1, \quad \alpha^{2} \rightarrow 0, \quad l^{\prime \prime} \rightarrow l\right.$,
$\beta=\alpha /[2(l+1)]\}$,
$E_{n l}=-\frac{m_{0} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar} \frac{1}{n^{2}}\left[1+\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}\left(\frac{n}{l+1}-\frac{3}{4}\right)\right]$
$\left\{n=k+l+2, \quad \alpha^{2} \rightarrow 0, \quad l^{\prime \prime}=l+1\right.$,
$\beta=2(l+1) / \alpha\}$.
Чтобы выяснить смысл различных решений, заметим, что система уравнений (72.23) инвариантна относительно замены компонент волновой функции $\Psi_{1} \leftrightarrow \Psi_{3}, \Psi_{2} \leftrightarrow \Psi_{4}$. Это означает, что волновая функция
\[
\Psi^{\prime}=\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1}^{\prime} \\
\Psi_{2}^{\prime} \\
\Psi_{3}^{\prime} \\
\Psi_{4}^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\Psi_{3} \\
\Psi_{4} \\
\Psi_{1} \\
\Psi_{2}
\end{array}\right)
\]

также является решением системы уравнений (72.23).

Как уже было отмечено, не все решения квадрированного уравнения будут решениями исходного уравнения первого порядка. Для того чтобы из решений квадрированного решения выделить решения, удовлетворяющие уравнению первого порядка, учтем, что в нерелятивистском случае компоненты $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ волновой функции стремятся к нулю. Переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности, при этом постоянная тонкой структуры $\alpha \rightarrow 0$. Следовательно, формально переход к нерелятивистскому случаю в полученных в этом параграфе формулах сводится к переходу $\alpha \rightarrow 0$.

146
Электроны на уровнях с отрицательной энергией

Рассмотрим решение (72.39a). При $\alpha \rightarrow 0$ в этом решении $\beta \rightarrow 0$. Это соответствует $\Psi_{3} \rightarrow 0$ и $\Psi_{4} \rightarrow 0$, если решение взято в виде (72.25). Таким образом, решение (72.39a) соответствует волновой функции (72.25). При $\alpha \rightarrow 0$ в решении (72.39б) $\beta \rightarrow \infty$, т.е. волновые функции $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ велики в сравнении с волновыми функциями $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$. Поэтому решение (72.39б) не соответствует волновой функции (72.25). Нетрудно видеть, что это решение соответствует волновой функции $\Psi^{\prime}$ (72.40): при $\alpha \rightarrow 0$ компоненты $\Psi_{3}^{\prime}=\Psi_{1}$ и $\Psi_{4}^{\prime}=\Psi_{2}$ малы по сравнению с $\Psi_{1}^{\prime}=\Psi_{3}$ и $\Psi_{2}^{\prime}=\Psi_{4}$. Таким образом, решение (72.39б) относится к волновой функции (72.40). Эту формулу удобно путем замены $l+1 \rightarrow l$ переписать в виде
\[
E_{n l}=-\frac{m_{0} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}}\left[1+\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}\left(\frac{n}{l}-\frac{3}{4}\right)\right]
\]
\[
(n=k+l+1, \quad l=1,2,3, \ldots) \text {, }
\]

Можно показать, что в случае решений (72.39a) и (72.41) квантовое число полного момента $j$ электрона связано с $l$ соответственно формулами
\[
j=l+1 / 2 \quad(l=0,1,2, \ldots),
\]
\[
j=l-1 / 2 \quad(l=1,2,3, \ldots) \text {. }
\]

Поэтому выражения (72.39a) и (72.41) можно записать в виде одной фор-
мулы:
\[
\begin{array}{l}
E_{n j}= \\
=-\frac{m_{0} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}}\left[1+\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}\left(\frac{n}{j+1 / 2}-\frac{3}{4}\right)\right] .
\end{array}
\]

Формула (72.43) дает выражение для энергии с учетом тонкой структуры термов атома водорода: каждый уровень с главным числом $n$ расщепляется на несколько подуровней по числу значений квантового числа $j$ при данном $n$.

Расщепление уровней имеет порядок $\alpha^{2}=(1 / 137)^{2}$ относительно энергии уровней. Рассмотрим в качестве примера расщепление между уровнем $n=2, j=1 / 2$ (состояния атома водорода $2^{2} S_{1 / 2}$ и $2^{2} P_{1 / 2}$ ) и уровнем $n=2, j=3 / 2$ (состояние атома водорода $2^{2} P_{3 / 2}$ ). Из формулы (72.43) следует
\[
\Delta E=E_{2,3 / 2}-E_{2,1 / 2}=
\]
\[
=\alpha^{2}\left|E_{2}\right| /(2 n) \approx 4,5 \cdot 10^{-5}
i \mathrm{B},
\]

где
$\left|E_{2}\right|=\frac{m_{0} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{4}$
– модуль энергии электрона на уровне $n=2$ без учета тонкой структуры.

В пересчете на частоты расщепление уровней (72.44a) равно
\[
\Delta v=\Delta \omega /(2 \pi)=\Delta E /(2 \pi \hbar)=
\]
\[
=1,10 \cdot 10^{4} \text { МГц. }
\]

Экспериментальные наблюдения находятся в полном согласии с формулой (72.43), из которой видно, что энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа $n$ и квантового числа полного момента $j$. Отсюда следует, что уровни $2^{2} S_{1 / 2}$ и $2^{2} P_{1 / 2}$ должны точно совпадать. Однако уже в 30 -х годах у спектроскопистов закрались сомнения в справедливости этого утверждения, которые удалось проверить лишь в 1947 г. Оказалось, что эти уровни не совпадают и в формулу (72.43) необходимо ввести поправку. Анализ этого вопроса привел к исследованию физических свойств вакуума.

Состояния с отрицательной энергией. Как уже было отмечено, уравнение Дирака допускает решения с отрицательной полной энергией. Интерпретация таких состояний встречает трудности. Если бы существовал электрон с отрицательной энергией, то он ускорялся бы в направлении, противоположном направлению действующей силы. Трудность с отрицательной энергией была преодолена в 1930 г. Дираком с помощью теории дырок.

Дирак предположил, что все уровни с отрицательной энергией заполнены электронами, причем, согласно принципу Паули, на каждом уровне находится по одному электрону. Между электронами с отрицательной энергией и электронами с положительной энергией имеется энергетический интервал $2 m_{0} c^{2}$ (рис. 146). Концентрация электронов, находящихся в состоянии с отрицательной энергией, бесконечно велика. Переходы электронов из одного состояния с отрицательной энергией в другое запрещены принципом Паули, поскольку все состояния заполнены. Предполагается, что с электронами в состояниях с отрицательной энергией не связаны какие-либо экспериментальные гравитационные эффекты.

Однако переходы электронов между состояниями с положительной и отрицательной энергией возможны. Если электрону в состоянии с отрицательной энергией сообщается энергия,
большая чем $2 m_{0} c^{2}$, то электрон переходит в состояние с положительной энергией и ведет себя как обычный электрон. Место же, которое он занимал, находясь в состоянии с отрицательной энергией, остается свободным. Иначе говоря, в состояниях с отрицательной энергией появляется дырка. Эта дырка, т.е. отсутствие отрицательно заряженного электрона, ведет себя как частица с положительным зарядом и массой, по абсолютным значениям равными заряду и массе электрона. Таким образом, переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией сопровождается рождением двух частиц: обычного электрона и положительно заряженной частицы с массой электрона. Энергию электрону на уровне отрицательной энергии можно сообщить, например, с помощью энергичных $\gamma$-квантов. Таким образом, теория дырок предсказывает порождение пар частиц. В момент создания теории дырок в 1930 г. это предсказание рассматривалось как аргумент против теории, поскольку никаких положительно заряженных частиц с массой электрона известно не было. Однако в 1933 г. процесс рождения пар частиц был открыт. Положительно заряженная частица с массой, равной массе электрона, получила название позитрона.
Уровень с отрицательной энергией долго оставаться пустым не может. На этот уровень может совершить переход электрон из состояния с положительной энергией. В результате этого перехода исчезнут как электрон, так и дырка, т.е. исчезнут как электрон, так и позитрон. Разность энергий при этом выделится в виде энергии двух $\gamma$-квантов. Таким образом, происходит аннигиляция пары электронпозитрон с излучением $\gamma$-квантов. Процесс аннигиляции также наблюдается экспериментально.

Существование электрона и позитрона является частным случаем более общей закономерности, по которой
каждой частице соответствует ее античастица. Античастица порождается в паре со своей частицей и аннигилирует с ней. Позитрон представляет античастицу для электрона. Другие элементарные частицы также имеют свои античастицы.

Все предсказания теории относительно существования античастиц блестяще подтверждены экспериментами. Были открыты антипротоны, антинейтроны и т.д. Таким образом, анализ состояний с отрицательной энергией позволил предсказать существование целого класса античастиц. Это было одним из триумфов релятивистской квантовой теории.