Обсуждаются экспериментальные доказательства применимости понятия поляризации к отдельному фотону. Вводится понятие о состоянии движения фотона и обсуждается смысл суперпозиции состояний.

Полярнзация электромагнитных волн. Поляризация электромагнитных волн определяется поведением вектора напряженности электрического поля волны, который всегда перпендикулярен лучу. При линейной поляризации конец вектора напряженности с началом на луче в фиксированный момент времени при перемещении по лучу описывает синусоиду на плоскости, в которой лежат луч и вектор напряженности. Эта плоскость называется плоскостью колебаний вектора напряженности электрического поля. Плоскостью поляризации называется плоскость (в которой колеблется вектор магнитной индукции волны), перпендикулярная плоскости колебаний вектора напряженности электрического поля. Однако плоскость поляризации в этом смысле в настоящее время практически не используется и поля-
ризация описывается посредством характеристики электрического вектора волны. Кроме линейной поляризации имеются круговая и эллиптическая. При круговой поляризации конец вектора напряженности с началом на луче при перемещении по лучу в фиксированный момент времени описывает винтовую линию на круглом цилиндре, осью которого является луч, а при эллиптической-винтовую линию на эллиптическом цилиндре, причем луч проходит через центры эллиптических сечений цилиндра (не через фокусы эллипсов в сечении!). В фиксированной точке пространства на луче при линейной поляризации конец вектора $\mathscr{E}$ колеблется по гармоническому закону по линии колебаний, при круговой и эллиптической поляризации конец вектора $\mathscr{E}$ описывает соответственно окружность и эллипс с центром на луче в плоскости, перпендикулярной лучу. Круговая и эллиптическая поляризация бывают правой и левой в зависимости от направления движения конца вектора вокруг луча. С помощью принципа суперпозиции для напряженности электрического поля волну с круговой или эллиптической поляризацией можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн с взаимно перпендикулярными направлениями поляризациия. Поэтому при анализе поляризации электромагнитных волн достаточно ограничиться линейной поляризацией.
Поляризационные свойства света наиболее отчетливо проявляются в анизотропных средах, а особенно просто-в одноосных кристаллах. Подробно эти вопросы рассматриваются в оптике. Здесь мы остановимся лишь на явлениях, помогающих разъяснить проблему поляризации фотонов.

Поляризационные явления в одноосных кристаллах. Оптическая ось одноосного кристалла характеризует направление, при распространении в котором луч света ведет себя как в изотропной среде, т.е. распространяется в среде при любой поляризации с одной и той же скоростью (при данной частоте). Однако при неколлинеарности луча и оси одноосного кристалла ситуация существенно изменяется. Через луч, направленный под углом к оптической оси, и оптическую ось можно провести плоскость, называемую главной (рис. 18). В этом направлении возможными являются лишь лучи света, вектор напряженности электрического поля которых колеблется либо в главной плоскости («необыкновенный» луч), либо перпендикулярно главной плоскости («обыкновенный» луч). Скорость необыкновенного луча зависит от угла между лучом и оптической осью; скорость обыкновенного луча одинакова по всем направлениям (поэтому он и называется обыкновенным). Если луч света падает на плоскую поверхность одноосного кристалла, вырезанного параллельно оптической оси по нормали к поверхности (рис. 19), то в кристалле распространяются два пространственно совпадающих луча с взаимно перпендикулярными направлениями линейной поляризации. При угле падения, отличном от нуля (рис. 20), происходит преломление каждого из лучей в соответствии со скоростью распространения света в кристалле, т. е. при показателе преломления $n=c / v$, где $c$-скорость света в вакууме, $v$-скорость света в кристалле. Поэтому после преломления обыкновенный и необыкновенный лучи имеют различные направления и начинают пространственно разделяться, т.е. падающий луч испытывает
18
Главная плоскость Напряженность электрического поля
$\mathscr{E}_{\|}$у необыкновенного луча, $\mathscr{E} \perp$ – у обыкновенного
Поведение луча при падении по нормали на поверхность кристалла, вырезанного параллельно оптической оси
20
Двойное лучепреломление
21
Истолкование закона Малюса

двойное лучепреломление. При выходе из кристалла лучи пространственно разделены и обладают взаимно перпендикулярными направлениями линейной поляризации (рис. 20). Это обстоятельство используется для получения поляризованных световых лучей. Интенсивность лучей зависит от состава падающего излучения. Если линейно поляризованный луч падает нормально к поверхности и угол между направлением колебаний вектора $\mathscr{E}$ и оптической осью равен $\beta$ (рис. 21), то в соответствии с принципом суперпозиции вектор $\mathscr{E}$ представляется в виде суммы вектора $\mathscr{E}_{e}$, параллельного оптической оси, и вектора $\mathscr{E}_{o}$, перпендикулярного этой оси. Первый из векторов является вектором напряженности необыкновенного луча, а второй-обыкновенного. Отсюда следует, что амплитуда колебаний необыкновенного луча равна $A_{e}=A \sin \beta$, а обыкновенного $A_{o}=A \cos \beta$, где $A$-амплитуда падающего луча. Для интенсивностей $I_{o}$ и $I_{e}$ обыкновенного и необыкновенного лучей получается закон Малюса:
\[
I_{o}=I \sin ^{2} \beta, I_{e}=I \cos ^{2} \beta,
\]

где $I$-интенсивность падающего света. При $\beta=0$ из кристалла выходит только необыкновенный луч, а при $\beta=\pi / 2$ – только обыкновенный.

Имеются кристаллы, которые поглощают либо обыкновенный, либо необыкновенный луч. Тогда на выходе из них образуется только один луч с соответствующей линейной поляризацией. Например, в кристалле турмалина уже на пути около 1 мм практически полностью поглощается обыкновенный луч, а в герапатите один из лучей поглощается полностью уже при толщине 0,1 мм. Такие кристаллы используются в качестве поляризаторов или анализаторов света.
22
Зависимость силы фототока насыщения от длины волны в нормальном (a) и селективном (б) фотоэффекте
Электромагнитная теория света, изучаемая в волновой оптике, позволяет полностью описать поляризационные явления. Здесь необходимо дать трактовку этих явлений в рамках представлений о фотонах.
Применнмость понятия поляризации к отдельному фотону. Изложенные в § 3 опыты по исследованию флуктуаций числа фотонов в поляризованных лучах позволили сделать вывод о применимости понятия поляризации к отдельному фотону. Имеются и другие эксперименты, которые подтверждают этот вывод.
Среди них важнейшее значение имеют опыты по селективному фотоэффекту. На рис. 22, a показана зависимость силы фототока насыщения от длины волны для нормального фотоэффекта, подробно рассмотренного в § 2, а на рис. 22,6 -для селективного. Из рис. 22 можно заключить, что более энергичные коротковолновые фотоны значительно эффективнее выбивают электроны из катода. Однако зависимость, представленная на рис. $22, a$, не всегда имеет место. Для некоторых металлов, у которых красная граница лежит далеко в красной области спектра или даже в инфракрасной (например, у щелочных металлов), зависимость силы тока насыщения от длины волны представлена на рис. 22,6 . Видно, что имеется резко выраженный максимум силы тока насыщения. Такой фотоэффект называется селективным. Наличие красной границы селективного фотоэффекта и применимость к нему законов нормального фотоэффекта позволяют заключить, что он, как и нормальный фотоэффект, объясняется столкновением отдельного фотона с электроном. В этом смысле селективный фотоэффект не отличается от нормального. Отличие состоит в том, что селективный фотоэффект сильно зависит от поляризации падающего света и от угла падения. Общий характер этих экспериментальных зависимостей может быть резюмирован так:

при приближении плоскости колебаний вектора $\mathscr{E}$ в падающей линейно поляризованной плоской волне к плоскости падения значение максимума тока насыщения растет и достигает самого большого значения при совпадении этих плоскостей (при фиксированном угле падения); при увеличении угла между плоскостью колебаний вектора $\mathscr{E}$ и плоскостью падения селективный фотоэффект ослабляется и, когда эти плоскости становятся перпендикулярными друг другу, превращается в нормальный фотоэффект (в этом случае вектор $\mathscr{E}$ в волне колеблется в направлении, параллельном поверхности металла); значение максимума тока насыщения увеличивается с увеличением угла падения, т. е. увеличивается с увеличением нормальной к поверхности металла со-
ставляющей вектора $\mathscr{E}$. Таким образом,
в селективном фотоэффекте надежно обнаруживается зависимость фотоэффекта от поляризации падающего света.
Так как селективный фотоэффект обусловлен столкновением отдельного фотона с электроном, то понятие поляризации применимо к отдельному фотону, т.е. можно говорить о поляризации фотонов.
Применимость понятия поляризации к отдельным фотонам можно также доказать опытами по двойному лучепреломлению при очень малых интенсивностях света, когда через кристалл одновременно могут пройти лишь одиночные фотоны. Все явления двойного лучепреломления, включая поляризацию, осуществляются при этом без всяких изменений по сравнению с явлениями при нормальных интенсивностях света. Это доказывает применимость понятия поляризации к отдельному фотону.
Фотон. Прежде чем обсудить смысл понятия поляризации фотона, необходимо сделать несколько замечаний о самом понятии фотона.
Под фотоном понимается физический объект, связанный с электромагнитным излучением, который при взаимодействии излучения с веществом выступает всегда как единое целое, характеризуемое энергией $E=\hbar \omega$ и импульсом $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$, где $\omega$ и $\mathbf{k}$-частота и волновое число излучения.
Не сущес в вует части фотона, а существует только целый фотон.
Слово «существовать» здесь используется в наиболее правильном с точки зрения автора смысле: «существовать-это значит взаимодействовать». Поэтому
неприемлемо представление о фотоне как о некотором пространственно распределенном объекте, различные «части» которого находятся в различных областях (или точках) пространства.

Нельзя представить себе фотон как некоторую пространственную область, заполненную электромагнитным полем. Нельзя соотнести отдельному фотону напряженность электрического поля, которой характеризуется электромагнитная волна.

Однако нельзя себе представить фотон и в виде точечного объекта, который в каждый момент времени занимает определенное положение в пространстве и, следовательно, движется по определенной пространственной траектории.

Такое представление противоречит всем экспериментальным фактам, связанным с волновыми свойствами электромагнитного излучения. Например, любой луч, связанный с электромагнитной волной, может рассматриваться как возможная траектория фотона, а фотон представляется как объект, движущийся одновременно по всем лучам. Представление о пребывании фотона в какой-то пространственной точке лишено смысла еще и потому, что он не может находиться в покое и движется со скоростью света.

Фотон нельзя представить моделью, описываемой классическими образами.

Он является квантовым объектом, который нельзя себе представить с помощью классических образов. Однако человек не обладает другими образами и понятиями, кроме классических. Поэтому мы вынуждены отказаться от попытки представить себе фотон с помощью классических образов, но можем описать фотон с помощью классических понятий, не претендуя на наглядное представление. Используемая для этого модель не
является классической. Она называется квантовой и правильно описывает не только отдельные физические факты, но и всю совокупность явлений атомного и субатомного мира.
В определенных физических ситуациях модель квантового объекта сводится в своей существенной части либо к классической модели волны, либо к классической модели материальной точки. В этих случаях квантовый объект приобретает наглядный классический образ и хорошо описывается соответствующей классической моделью.
Одновременное обладание квантовым объектом корпускулярными и волновыми свойствами называется корпускулярно-волновым дуализмом. Корпускулярно-волновой дуализм является, с одной стороны, препятствием для выработки наглядного образа атомного и субатомного мира, а с другой стороны, счастливым обстоятельством, позволяющим без наглядных образов познать его законы. Все, что было сказано о квантовом объекте, относится не только к фотону, но и к другим атомным и субатомным объектам.
Поляризация фотона. На первый взгляд кажется, что наиболее естественно учесть поляризацию отдельных фотонов отнесением свойства поляризации к отдельным фотонам, т. е. считать, что фотон характеризуется энергией, импульсом и поляризацией. Однако такой подход был бы ошибочным, потому что существуют различные виды поляризации – линейная, круговая, эллиптическая, а один и тот же фотон в зависимости от обстоятельств может обладать любой из этих поляризаций. Поэтому
поляризацию необходимо отнести не к свойствам фотона, а к состоянию его движения.

Мы говорим, что фотон находится, например, в состоянии линейной поляризации, и описываем характеристики фотона в этом состоянии. Понятие состояния является одним из самых важнейших при описании квантового объекта, в данном случае – фотона. Оно является новым понятием, не имеющим классического аналога.

Рассмотрим подробнее это понятие на примере двойного лучепреломления. Пусть речь идет о нормальном падении линейно поляризованного света на кристалл, вырезанный параллельно оптической оси (см. рис. 19). В кристалле распространяются обыкновенный и необыкновенный лучи с взаимно перпендикулярными направлениями линейной поляризации. Для упрощения анализа явления на первом этапе будем считать, что в качестве кристалла взят турмалин, в котором уже на пути 1 мм обыкновенный луч полностью поглощается. Следовательно, на выходе из достаточно толстой пластинки имеется только необыкновенный луч, направ-
** Селективный фотоэффект является прямым экспериментальным свидетельством применимости понятия поляризации к отдельному фотону.
Фотон нельзя представить себе как пространственно распределенный объект, различные части которого находятся в различных областях (или точках) пространства. Нельзя представить себе фотон как некоторую область пространства, заполненную электромагнитным полем. Нельзя соотнести фотону напряженность электрического или магнитного поля, которым характеризуется электромагнитная волна.
* Какая особенность селективного фотоэффекта свидетельствует о применимости понятия поляризации к отдельному фотону? Какие аргументы свидетельствуют, что поляризация не является характеристикой фотона наряду с его энергией и импульсом, а является характеристикой состояния его движения? В чем состоит принципиальное отличие суперпозиции состояний фотона и суперпозиции электромагнитных волн?
ление колебаний вектора $\mathscr{E}$ в котором коллинеарно оптической оси. Интерпретируем это явление с точки зрения поляризации фотонов.
Исторически сложилось так, что линейная поляризация плоской электромагнитной волны характеризуется положением плоскости, в которой колеблется вектор напряженности магнитного поля. Однако при рассмотрении распространения волн в диэлектрических средах обычно анализируется поведение вектора напряженности электрического поля волны. Поэтому в качестве характеристики поляризации фотона удобнее брать плоскость, в которой колеблется вектор $\mathscr{E}$. Эту плоскость и будем называть плоскостью поляризации фотона, если он находится в состоянии линейной поляризации.
В качестве первого опыта рассмотрим нормальное падение плоской электромагнитной волны на кристалл турмалина (см. рис. 19), когда вектор $\mathscr{E}$ волны коллинеарен оптической оси. Волна без изменения интенсивности пройдет через пластинку. С точки зрения поляризации фотонов этот опыт интерпретируется следующим образом. Каждый из фотонов, падающих на пластинку, находится в состоянии с линейной поляризацией в плоскости, в которой лежит оптическая ось кристалла. Для сокращения словесных выражений говорят также, что фотон линейно поляризован в этой плоскости. При входе в кристалл линейная поляризация фотона сохраняется и он беспрепятственно проходит через кристалл. На выходе из кристалла появляется столько же фотонов, сколько в него вошло.
Если в нормально падающей на кристалл турмалина волне вектор $\mathscr{E}$ колеблется перпендикулярно оптической оси, то волна полностью поглощается и на выходе из кристалла ее нет. С точки зрения поляризации фотонов интерпретация этого опыта состоит в следующем. Все падающие на кристалл фотоны линейно поляризованы в плоскости, перпендикулярной оптической оси. При движении в кристалле фотоны с такой поляризацией поглощаются и поэтому на выходе из кристалла нет фотонов.

Теперь рассмотрим случай, когда в падающей по нормали волне линия колебаний вектора $\mathscr{E}$ составляет угол $\beta$ с оптической осью (см. рис. 21). По закону Малюса (4.1), на выходе из кристалла наблюдается линейно поляризованная волна, линия колебаний вектора $\mathscr{E}_{e}$ в которой параллельна оптической оси, а отношение интенсивности выходящей волны и интенсивности входящей равно $\cos ^{2} \beta$. Это означает, что отношение числа прошедших через кристалл фотонов к числу падающих равно $\cos ^{2} \beta$. Значит, доля $\sin ^{2} \beta$ падающих на кристалл фотонов поглотилась. Поляризация вышедших из кристалла фотонов отличается от поляризации падающих. Как эти экспериментальные факты интерпретировать с точки зрения поляризации фотонов?

Можно себе представить, что фотон, поляризованный под углом $\beta$ к оптической оси, при достижении поверхности кристалла не может дальше двигаться в нем с той же линейной поляризацией. Он должен получить поляризацию либо в плоскости, параллельной оптической оси, либо перпендикулярной. Поэтому он на входе в кристалл скачком изменяет свою поляризацию в одну из этих плоскостей. Доля фотонов, сделавших скачок в состояние поляризации параллельно оптической оси, пропорциональна $\cos ^{2} \beta$, а перпендикулярно оси – $\sin ^{2} \beta$. Фотоны с параллельной оптической
оси поляризацией проходят кристалл без потерь, а с перпендикулярной поглощаются в кристалле. Вопрос о том, почему фотон изменяет свою поляризацию на параллельную или перпендикулярную оптической оси, не может быть исследован экспериментально и находится вне рамок научного рассмотрения. Описание изменения поляризации может быть осуществлено с помощью вероятностного подхода: вероятность того, что фотон изменит свою поляризацию на параллельную оптической оси, пропорциональна $\cos ^{2} \beta$, а на перпендикулярную оси $-\sin ^{2} \beta$. Вероятность того, что каждый из фотонов обязательно изменит свою поляризацию, выражается равенством $\sin ^{2} \beta+$ $+\cos ^{2} \beta=1$.
Такая интерпретация достаточно удовлетворительно описывает все количественные закономерности и отвечает на все законные вопросы. Тем не менее такая интерпретация неудовлетворительна. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим кристалл (см. рис. 19), в котором оба луча света распространяются без поглощения. Как показывает эксперимент и объясняет электромагнитная теория света, на выходе из кристалла наблюдается эллиптически поляризованная волна. Чтобы это объяснить с точки зрения поляризации фотонов, придется допустить, что на выходе из кристалла фотоны совершают скачкообразное изменение своей поляризации из линейной в эллиптическую, причем обе группы фотонов с различной линейной поляризацией совершают переход в одно и то же состояние эллиптической поляризации. Чтобы построить теорию такого перехода, необходимо считать, что поведение фотонов с взаимно перпендикулярными поляризациями коррелировано между собой, что противоречит эксперименту (см. § 3). Это доказывает неудовлетворительность интерпретации с помощью скачков поляризации фотонов. К этому надо добавить, что описание стационарного состояния (а речь идет именно о состоянии неизменного по времени явления) с помощью скачков из одного состояния в другое неудовлетворительно с принципиальной точки зрения.

Суперпозицня состояний. В классической физике важную роль имеет принцип суперпозиции. Ему удовлетворяют все величины, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. На рис. 21 представлен принцип суперпозиции для напряженности электрического поля: вектор напряженности $\mathscr{E}$ является суммой напряженностей $\mathscr{E}_{e}$ и $\mathscr{E}_{o}$, т.е. $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{e}+\mathscr{E}_{o}$. Благодаря этому плоскую линейно поляризованную волну, представленную вектором $\mathscr{E}$ (см. рис. 21 ), можно описать в виде суперпозиции двух плоских линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях волн, характеризующих напряженности $\mathscr{E}_{e}$ и $\mathscr{E}_{o}$. Это было использовано при обосновании закона Малюса. Принцип суперпозиции для электромагнитного поля позволил полностью объяснить все поляризационные явления в кристаллах. Для последовательной интерпретации поляризации фотонов необходимо использовать некоторый аналог принципа суперпозиции для электромагнитных волн. Таким аналогом является принцип суперпозиции состояний.

Іринимая во внимание, что поляризация является не свойством фотона, а свойством его состояния, напрашивается такая формулировка принципа суперпозиции для поляризации фотонов (см. рис. 21): состояние поля-
ризации фотона, характеризуемое направлением вектора $\mathscr{E}$, является суммой состояний поляризаций, характеризуемых векторами $\mathscr{E}_{e}$ и $\mathscr{E}_{o}$. Другими словами,
фотон в состоянии линейной поляризации находится в состоянии суперпозиции двух взаимно перпендикулярных состояний линейных поляризаций, ориентированных в произвольном направлении относительно исходной линейной поляризации.
Наглядно понять суперпозицию напряженностей электрического поля очень легко-это просто правило параллелограмма для сложения векторов. Понять наглядно суперпозицию состояний фотона нельзя – фотон находится одновременно и в состоянии поляризации, характеризуемом вектором $\mathscr{E}_{e}$, и в состоянии поляризации, характеризуемом вектором $\mathscr{E}_{0}$. Если учесть, что его состояние можно представить бесчисленным числом состояний других двух взаимно перпендикулярных поляризаций, то становится ясной безнадежность попытки наглядного истолкования принципа суперпозиции состояний. Тем не менее для облегчения размышлений и использования принципа суперпозиции применяется иногда такая «наглядная» картина: фотон беспрерывно переходит из состояния одной поляризации в состояние взаимно перпендикулярной поляризации, причем относительное время пребывания фотона в каждой из поляризаций определяется углом $\beta$ (см. рис. 21).
Принцип суперпозиции состояний позволяет полностью и непротиворечиво объяснить все явления, связанные с поляризацией фотонов. Состояние падающего на кристалл фотона (см. рис. 19)-это суперпозиция состояний линейной поляризации, одна из которых параллельна оптической оси кристалла, а другая – перпендикулярна. При движении в кристалле состояние фотона продолжает быть суперпозицией двух взаимно перпендикулярных состояний. Одно из них это состояние линейной поляризации, соответствующей обыкновенному лучу, а другое – необыкновенному. Поэтому группа фотонов, вошедших в кристалл, не распадается на две группы фотонов, одна из которых находится в состоянии параллельной оптической оси линейной поляризации, а другая – в состоянии перпендикулярной оптической оси линейной поляризации. Она продолжает быть одной группой фотонов в состоянии суперпозиции этих двух поляризаций. На выходе состояние фотона продолжает по-прежнему быть суперпозицией взаимно перпендикулярных состояний линейных поляризаций. Эта суперпозиция может оказаться линейной, круговой или эллиптической поляризацией в зависимости от обстоятельств (толщины и свойств кристаллической пластины).