Описывается развитие проблемы излучения черного тела, при рещении которой физика впервые встретилась с квантовыми закономерностями. Излагаются первоначальное решение этой проблемы Планком и элементарная квантовая теория излучения черного тела.
Классическая теория излучения черного тела. В последней четверти XIX в. было завершено построение термодинамики и создана теория электромагнитных явлений. Термодинамика удовлетворительно описывала широкий круг явлений, связанных с веществом, т.е. с корпускулярной формой материи. Теория электромагнетизма удовлетворительно описывала явления, связанные с электромагнитным полем и, в частности, с электромагнитными волнами и светом, электромагнитная природа которого была теоретически открыта Максвеллом. В форме электромагнитных волн электромагнитное поле обрело свое самостоятельное существование, независимое от зарядов и токов, которыми оно порождается. В науку вошло представление о полевой форме материи в виде излучения. Возник вопрос о законах взаимопревращения материи в полевой и корпускулярной форме, или, другими словами, вопрос о взаимопревращении излучения и вещества. Представлялось естественным, что этот вопрос можно решить в рамках классической физики, поскольку каждая из форм материи хорошо описывалась соответствующей классической теорией. Первое указание на недостаточность классической физики для понимания взамоотношения этих форм материи было получено при изучении излучения черного тела.
Из опыта известно, что раскаленные до высоких температур тела начинают светиться, т.е. испускать
электромагнитные волны видимого диапазона. При более низких температурах тела самостоятельно не светятся, но излучают преимущественно электромагнитные волны вне видимого диапазона. Поэтому прежде всего возник вопрос о законах этого излучения. Необходимо было найти зависимость энергетической светимости от температуры. Энергетическая светимость $M$ определяется как мощность излучения $\mathrm{d} P$ с элемента поверхности по всем направлениям, отнесенная к площади элемента поверхности $\mathrm{d} \sigma$ :
$M=\mathrm{d} P / \mathrm{d} \sigma$.
Стефан показал (1874), что энергетическая светимость равна мощности излучения с единицы поверхности:
$M=\varepsilon \sigma T^{4}$,
где $\varepsilon \leqslant 1$-коэффициент излучения теплового излучателя, или просто коэффициент излучения (коэффициент черноты); $T$-термодинамическая температура; $\quad \sigma=5,67 \cdot 10^{-8} \mathrm{Bт} \cdot \mathrm{m}^{-2} \times$ $\times \mathrm{K}^{-4}$-постоянная Стефана-Больцмана (не зависит от физической природы излучающей поверхности).
Падающее на поверхность тела излучение поглощается лишь частично. Отношение поглощенной энергии к падающей равно коэффициенту поглощения $\alpha \leqslant 1$. Для темных тел, сильно поглощающих падающую на них энергию, $\alpha$ близко к единице, а для светлых тел, отражающих большую часть падающего на них излучения, $\alpha$ является малой величиной. Тела, которые поглощают всю падающую на них энергию $(\alpha=1)$, называются черными.
При анализе взаимодействия тела с излучением прежде всего возникает вопрос о характере термодинамического равновесия между ними. В условиях термодинамического равновесия температура тела постоянна, и, следовательно, в единицу времени оно и поглощает, и испускает одинаковую энергию излучения.
Излучение, находящееся при этих условиях в равновесии с телом, называется тепловым.
На основании общих термодинамических представлений Кирхгоф показал (1895), что $\varepsilon=\alpha$ независимо от температуры тела, причем это равенство справедливо для каждой длины волны в отдельности. Это означает, что коэффициент излучения черного тела равен единице ( $\varepsilon=1$ ), т. е. черное тело является наиболес эффективным излучателем тепловой радиации. Соотношение (11.1) при $\varepsilon=1$ для черного тела было теоретически получено Больцманом (1884) и поэтому называется законом Стефана-Больцмана, а $\sigma$-постоянной СтефанаБольцмана. Закон Стефана-Больцмана показывает, что мощность излучения поверхности черного тела зависит только от температуры и не зависит от физических свойств поверхности.
Экспериментально тепловое излучение черного тела воспроизводилось как излучение из небольшого отверстия достаточно большой полости (рис. 42). Излучение, попавшее через отверстие в полость, в результате многократных поглощений на ее внутренних стенках всегда практически полностью поглотится. Следовательно, поверхность отверстия ведет себя как черное тело и выходящее из него излучение является равновесным тепловым излучением. Экспериментальное изучение энергии излучения с этой поверхности полностью подтвердило закон Стефана-Больцмана (11.1).
Энергия равновесного теплового излучения определенным образом
Модель черного тела
распределена по длинам волн. Исследуя теоретически этот вопрос, В. Вин показал (1893), что в плотности распреде тения энергии теплового излучения черного тела по длинам волн имеется максимум, приходящийся на длину волны $\lambda_{\text {макс }}$, которая определяется соотношением
$\lambda_{\text {махс }} T=2,9 \cdot 10^{-3} \mathrm{M} \cdot \mathrm{K}$,
называемым законом смещения Вина. Экспериментальные исследования его хорошо подтвердили.
Были приложены значительные усилия для теоретического вывода распределения энергии теплового излучения по длинам волн. Не удавалось получить распределение, которое имело бы максимум. Были получены лишь формулы, которые удовлетворительно описывали спектр теплового излучения лишь для достаточно малых и достаточно больших длин волн.
Концентрация мод колебаний. В рамках классических представлений стенки полости моделировались как совокупность классических осцилляторов, которые могут обмениваться энергией с излучением в полости. Излучение в полости в условиях равновесия представляется в виде совокупности стоячих волн или мод колебаний. Полость удобно выбрать в виде куба с ребром $L$ (рис. 43). Стоячая волна образуется лишь в том
43
К расчету концентрации мод
44
К расчету концентрации мод в сферической системе координат
случае, если бегущая волна после отражения от двух противоположных граней куба и прохождения пути $2 L$ возвращается в исходную точку с фазой, отличающейся от первоначальной на $2 \pi n$, где $n$-целое число. Не ограничивая общности, можно принять, что двукратное отражение от граней либо не вносит в фазу волны никаких изменений, либо изменяет фазу на $2 \pi$. Поэтому условие образования стоячих волн в каждом из измерений куба
$k \cdot 2 L=2 \pi n$
или
$k_{x} L=\pi n_{x}, k_{y} L=\pi n_{y}, k_{z} L=\pi n_{z}$.
Число волн $\mathrm{d} N$, волновые числа которых заключены между ( $k_{x}, k_{x}+$ $\left.+\mathrm{d} k_{x}\right),\left(k_{y}, k_{y}+\mathrm{d} k_{y}\right),\left(k_{z}, k_{z}+\mathrm{d} k_{z}\right)$, paвно числу целых чисел, заключенных в
интервале $\left(n_{x}, n_{x}+\mathrm{d} n_{x}\right),\left(n_{y}, n_{y}+\mathrm{d} n_{y}\right)$, $\left(n_{z}, n_{z}+\mathrm{d} n_{z}\right)$, и поэтому
$\mathrm{d} N=\mathrm{d} n_{x} \mathrm{~d} n_{y} \mathrm{~d} n_{z}=(L / \pi)^{3} \mathrm{~d} k_{x} \mathrm{~d} k_{y} \mathrm{~d} k_{z} .(11.6)$
Расчет удобно вести в сферических координатах, считая, что по оси прямоугольной декартовой системы координат отложены $k_{x}, \quad k_{y}, \quad k_{z}$ (рис. 44). Поскольку волновые числа $k_{x}, k_{y}, k_{z}$ положительны, в сферических координатах (11.6) принимает вид $\mathrm{d} N=(L / \pi)^{3}(1 / 8) 4 \pi k^{2} \mathrm{~d} k$.
Учитывая, что $k=\omega / c$, находим концентрацию стоячих волн:
$\frac{\mathrm{d} N}{L^{3}}=\frac{1}{2} \frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} \mathrm{~d} \omega$.
Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможными поляризациями, полная концентрация стоячих волн в два раза больше (11.8) и равна
$\frac{\mathrm{d} N_{\text {полв }}}{L^{3}}=\frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} \mathrm{~d} \omega$.
Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод (11.9) равно числу степеней свободы колебаний, которыми представлено излучение в полости. Если $\langle E\rangle$ является средней энергией излучения, приходящейся на одну степень свободы, то плотность энергии излучения в полости
$w_{\omega}(T)=\frac{\mathrm{d} N_{\text {полн }}}{L^{3}}\langle E\rangle=\frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}}\langle E\rangle$.
Вопрос о нахождении распределения энергии равновесного излучения по спектру сведен к определению средней энергии моды колебаний. В (11.10) для удобства записано распределение по частотам. От него легко перейти к распределению по длинам волн с помощью соотношения $\omega=$ $=2 \pi c / \lambda$.
Формула Рэлея-Джинса. Для нахождения средней энергии $\langle E\rangle$ в (11.10), приходящейся на одну степень свободы, можно воспользоваться классической теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы в классической статистической системе приходится энергия $1 / 2 k T$. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна $k T$. Поскольку в условиях термодинамического равновесия в полную статистическую систему входят излучение в потости и осцијляторы стенок полости, это означает, что средняя энергия, приходящаяся на одну моду колебаний в полости,
$\langle E\rangle=k T$.
Подставляя (11.11) в (11.10), находим равенство
$w_{\omega}(T)=\frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} k T$
называемое формулой Рэлея-Джинca. Она была предложена (1900) Д. У. Рэлеем (1842-1911) и несколько подробнее обоснована Д. Д. Джинсом (1877-1946). Эта формула распределения теплового излучения по спектру дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых частотах. При больших $\omega$ спектральная плотность (11.12) значительно больше наблюдаемой, а при $\omega \rightarrow \infty$ получается недопустимое соотношение $W_{\omega} \rightarrow \infty$. Кроме того, полная объемная плотность излучения
\[
W=\int_{0}^{\infty} w_{\omega} \mathrm{d} \omega=\infty,
\]
что также недопустимо. Поэтому формула Рэлея-Джинса не дает правильного описания всего спектра излучения.
Формула Вина. В. Вин (1864-1928) предположил (1896), что каждая мода колебаний является носителем энергии $E(\omega)$, но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число $\Delta N / N$ возбужденных мод определяется распределением Больчмана:
$\Delta N / N=\mathrm{e}^{-\varepsilon /(k T)}$.
Отсюда средняя энергия, приходящая на моды с частотой $\omega$,
$\langle E\rangle=E(\omega) \Delta N / N=E(\omega) \mathrm{e}^{-E /(k T)}$.
Из общих термодинамических соображений Вин заключил, что энергия моды с частотой $\omega$ пропорциональна частоте: $E(\omega)=\hbar \omega$. Коэффициент пропорциональности здесь дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время еще не была известна. Формула (11.10) с учетом (11.15) принимает вид $w_{\omega}(T)=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \mathrm{e}^{-\hbar \omega /(k T)}$.
Она называется формулой Вина и дает хорошее согласие с экспериментом в области достаточно больших частот. Если, например, взять спектр солнечного излучения, то с помощью формулы Рэлея-Джинса удается описать лишь частоты, много меньшие той, на которую приходится максимум плотности излучения, а с помощью формулы Вина-только большие частоты, далеко за максимумом. Промежуточную область описать не удалось.
Формула Планка. Поскольку все попытки описать весь спектр излучения черного тела, основываясь на теоретических представлениях классической физики, не удались, М. Планк предложил (1900) интерполяционную формулу, которая при малых частотах переходит в формулу РэлеяДжинса, а при больших-в формулу
Вина:
\[
w_{\omega}(T)=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar \omega /(k T)}-1},
\]
где $\hbar=1,05 \cdot 10^{-34}$ Дж сс-постоянная Планка. При $\hbar \omega \ll k T$ формула (11.17) переходит в (11.12), а при $\hbar \omega \gg k T$ – в (11.16). Формула (11.17) дала блестящее согласие с экспериментом и полностью описала все особенности излучения черного тела. В частности, из нее нетрудно получить как формулу Стефана-Больцмана (11.1), так и закон смещения Вина (11.3).
Противоречие формулы Планка закономерностям классической физики. В рамках классической физики формулу (11.17) получить не удается. В формуле (11.10) $\langle E\rangle$ является средней энергией излучения, приходящейся на частоту $\omega$. Естественно предположить, что в состоянии
** Черными называются тела, которые поглощают всю падающую на них электромагнитную энергию.
Черное тепо явпяется наиболее эффективным излучателем тепловой радиации. Распределение энергии по спектру излучения черного тела описывается формулой Планка.
Закон смещения Вина определяет длину волны, на которую приходится максимальная плотность распределения энергии теплового излучения черного тела по длинам волн.
Закон Стефана-Больцмана утверждает, что энергетическая светимость поверхности пропорциональна четвертой степени абсолютной термодинамической температуры.
Направление распространения, поляризация и фаза волны вынужденного излучения совпадают с соответствующими характеристиками вынуждающего излучения.
Положение максимума спектральной плотности излучения черного тела зависит от шкалы, для которой определяется спектральная плотность излучения. Максимум спектральной плотности излучения по шкале частот приходится на бопее длинные вопны, чем по шкале длин вопн. * В чем состоит причина различного положения этого максимума.
термодинамического равновесия она равна средней энергии осцилляторов, излучающих и поглощающих излучение этой частоты. Если бы этого равенства не было, то энергия должна была бы перетекать от поля излучения к осцилляторам или наоборот. Тогда под $\langle E\rangle$ можно понимать среднюю энергию осцилляторов, испускающих излучение частотой $\omega$.
Распределение числа осцилляторов по энергиям должно подчиняться распределению Больцмана. Следовательно, число осцилляторов, имеющих энергию $E$,
$N(E)=A \mathrm{e}^{-E /(k T)}=A \mathrm{e}^{-\alpha E} \quad[\alpha=1 /(k T)]$.
В классической физике осцилляторы могут иметь всевозможные энергии, т.е. $E$ в (11.18) – непрерывная величина. Средняя энергия осцилляторов в этом случае
\[
\begin{array}{l}
\langle E\rangle=\frac{A \int_{0}^{\infty} E \mathrm{e}^{-E /(k T)} \mathrm{d} E}{A \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-E /(k T)} \mathrm{d} E}= \\
=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha E} \mathrm{~d} E=k T .
\end{array}
\]
Подставляя (11.19) в (11.10), получаем формулу Рэлея-Джинса (11.12). Это не удивительно, потому что при выводе (11.19) мы провели в явном виде вычисления, которые при выводе формулы (11.12) содержались в теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы статистической системы. Вычисления, приведшие к (11.19), сделаны для того, чтобы найти путь к теоретическому выводу формулы (11.17), которая просто угадана. На этом пути Планком был сделан первый шаг к созданию квантовой теории.
Дискретность квантовых состояний и введение представления о квантовании энергии. Для теоретического вывода формулы (11.17) Планк предположил, что осциллятор может обладать не любой энергией, а лишь дискретным набором энергий, пропорциональных минимальной энергии $E_{1}$ :
\[
E_{n}=n E_{1}(n=0,1,2, \ldots) \text {. }
\]
Средняя энергия осциллятора
\[
\begin{array}{l}
\langle E\rangle=\frac{\sum_{n=0}^{\infty} E_{n} \mathrm{e}^{-E_{n} /(k T)}}{\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-E_{n} /(k T)}}= \\
=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha E_{1^{n}}}=\frac{E_{1}}{\mathrm{e}^{\alpha E_{1}}-1}, \alpha=\frac{1}{k T} .
\end{array}
\]
Подставим (11.21) в (11.10):
\[
w_{\omega}(T)=\frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{E_{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{E}_{1} /(\mathrm{kT})}-1},
\]
где $E_{1}$ остается пока неизвестной величиной. Для того чтобы эта формула совпала с интерполяционной формулой, правильно описывающей спектр излучения черного тела, необходимо принять
$E_{1}=\hbar \omega$.
Планк Макс (1858-1947) Немецкий физик, основоположник квантовой теории Ввел (1900) квант действия и, исходя из идеи квантов, вывел закон излучения, названный его именем
Таким образом. чтобы получить формулу (11.17), правильно описывающую спектр излучения черного тела, пришлось допустить, что осциллятор не может обладать любой энергией, а может иметь лишь дискретный набор энергий. Осцилляторами моделируются атомы вещества стенок оболочки полости. Следовательно, внутренняя энергия атомов не может изменяться непрерывно, а изменяется скачками, т.е. атом может обладать лишь энергией из некоторого дискретного ряда значений. Это обстоятельство выражается также словами, что энергия атома квантуется.
Если характеризовать состояние атома его энергией, то можно сказать, что состояния атома дискретны.
Представление о квантовании энергии и о дискретности атомных состояний совершенно чуждо классической физике, поскольку там состояние движения механической системы и ее энергия могут изменяться только непрерывно.
Квантовые переходы. Каждое из дискретных состояний атома характеризуется своей энергией. В этом состоянии атом пребывает некоторое время, и состояние называется стационарным. При переходе в другое состояние с меньшей энергией разность энергий $\Delta E$ испускается в виде кванта света, частота $\omega$ которого связана с энергией $\Delta E$ соотношением $\omega=\Delta E / \hbar$. Может быть также совершен переход из стационарного состояния с меньшей энергией в стационарное состояние с большей энергией, но для этого необходимо, чтобы энергия $\Delta E$ была сообщена атому извне. Это случается при поглощении атомом кванта света частотой $\omega=\Delta E / \hbar$.
Спонтанные и вынужденные переходы. Пользуясь представлением о переходе атомов из одного стационарного состояния в другое при поглощении и излучении квантов света, можно простым методом, предложенным Эйнштейном, получить формулу Планка для излучения черного тела.
Пусть имеется замкнутая полость, стенки которой нагреты до некоторой температуры $T$ и излучают и поглощают фотоны. При излучении фотона атом переходит с более высокого энергетического уровня на более низкий энергетический уровень. При поглощении фотона наблюдается перескок атома с более низкого энергетического уровня на более высокий. Таким образом, с более низкого энергетического уровня на более высокий энергетический уровень атом может перейти только в результате поглощения фотона, т.е. только вынужденно, в результате воздействия на него поля излучения.
Самопроизвольно, или спонтанно, т.е. без воздействия внешнего поля излучения, атом перейти на более высокий энергетический уровень не может, так как это противоречило бы закону сохранения энергии.
Возможны переходы атома с более высокого энергетического уровня на более низкий двух видов: во-первых, вынужденные, обусловленные внешними по отношению к атому причинами; во-вторых, самопроизвольные, или спонтанные, обусловленные внутренними причинами.
Коэффициенты Эйнштейна. В равновесном состоянии справедлив принцип детального равновесия, согласно которому прямые и обратные процессы по каждому пути должны компенсировать друг друга. Применим принцип детального равновесия к двум стационарным состояниям атома, характеризующимся квантовыми числами $n$ и $m$. Энергии этих квантовых
состояний обозначим $E_{n}$ и $E_{m}$, причем для определенности $E_{n}>E_{m}$. Прямыми и обратными процессами являются квантовые переходы атома между стационарными состояниями.
С уровня $n$ на уровень $m$ возможны как спонтанные, так и вынужденные переходы, а с уровня $m$ на уровень $n$-только вынужденные. Обозначим $A_{n m}$ отнесенную к единице времени вероятность, что атом из состояния $n$ спонтанно перескакивает в состояние $m$, излучив фотон энергии $\hbar \omega=E_{n}-E_{m}$. Если $N_{n}-$ концентрация атомов на уровне $n$, то в единицу времени в единице объема спонтанно на уровень $m$ перейдет число атомов $v_{n m}^{\mathfrak{c}}=N_{n} A_{n m}$.
Обозначим $B_{n m}$ отнесенную к единице времени и единице спектральной плотности излучения вероятность того, что атом вынужденно, под воздействием внешнего поля излучения, перейдет из состояния $n$ в состояние $m$ с излучением фотона, энергия которого $\hbar \omega=E_{n}-E_{m}$. Число атомов, вынужденно перешедших в единице объема в единицу времени с уровня $n$ на уровень $m$,
$v_{n m}^{\mathrm{B}}=N_{n} w_{\omega} B_{n m}$.
Наконец, пусть $B_{m n}$-отнесенная к единице времени и единице спектральной плотности излучения вероятность того, что атом вынужденно перейдет с уровня $m$ на уровень $n$ с поглощением кванта $\hbar \omega=E_{n}-E_{m}$. Очевидно, что если $N_{m}$-концентрация атомов на уровне $m$, то в единицу времени в единице объема на уровень $n$ вынужденно перейдет число атомов $v_{m n}^{\mathrm{B}}=N_{m} w_{\omega} B_{m n}$.
Величины $A_{n m}, B_{n m}, B_{m n}$ называются коэффициентами Эйнштейна.
Условия равновесия. В случае равновесия концентрации $N_{n}$ и $N_{m}$ в состояниях $n$ и $m$ не должны изменяться со временем. Это означает, что частота переходов с верхнего уровня на нижний равна частоте переходов с нижнего уровня на верхний:
\[
v_{n m}^{\mathrm{c}}+v_{n m}^{\mathrm{B}}=v_{m n}^{\mathrm{B}} \text {. }
\]
Принимая во внимание (11.24) (11.26), получаем
\[
N_{n} A_{n m}+N_{n} w_{\omega} B_{n m}=N_{m} w_{\omega} B_{m n} .
\]
Согласно распределению Больцмана, концентрация атомов с энергией $E$ пропорциональна $\exp [-E /(k T)]$ :
Подставляя (11.29) в (11.28), находим $A_{n m} \mathrm{e}^{-E_{n} /(k T)}+B_{n m} w_{\omega} \mathrm{e}^{-E m /(k T)}=$ $=B_{m n} w_{\omega} \mathrm{e}^{-E_{m} /(k T)}$
– условие равновесия между излучением и черным телом.
Формула Планка. При неограниченном увеличении температуры спектральная плотность излучения $w_{\omega}$ должна увеличиваться до бесконечности ( $w_{\omega} \rightarrow \infty$ при $T \rightarrow \infty$ ). Поэтому, разделив обе части (11.30) на $w_{\omega}$ при $T \rightarrow \infty$, находим
\[
B_{n m}=B_{m n} \text {, }
\]
т. е. вероятность вынужденного перехода с верхнего уровня на нижний равна вероятности вынужденного перехода с нижнего уровня на верхний.
С учетом (11.31) из (11.30) следует, что спектральная плотность излучения
\[
w_{\omega}=\frac{A_{n m}}{B_{n m}} \frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar \omega /(k T)}-1} .
\]
Теоретически определить $A_{n m} / B_{n m}$ в формуле (11.32) элементарная квантовая теория излучения черного тела не в состоянии. Однако можно воспользоваться следующими соображениями. При достаточно малых частотах,
когда $\hbar \omega /(k T) \ll 1, \exp [\hbar \omega /(k T)] \approx 1+$ $+\bar{h} \omega /(k T)$, формула (11.32) принимает вид
$w_{\omega}=\frac{A_{n m}}{B_{n m}} \frac{k T}{\hbar \omega}$.
Сравнение (11.33) с формулой РэлеяДжинса (11.12) показывает, что
$A_{n m} / B_{n m}=\hbar \omega^{3} /\left(\pi^{2} c^{3}\right)$.
Поэтому [см. (11.32)]
$w_{\omega}=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar \omega /(k T)}-1}$.
Это формула Планка для излучения черного тела.
Таким образом, соображения, основанные на представлении о стационарных состояниях атомов и об излучении атомов как результате перехода атома из одного квантового состояния в другое, позволяют получить закон излучения черного тела. Однако элементарная теория излучения весьма несовершенна.Ее основным недостатком является невозможность вычисления коэффициентов Эйнштейна. Отношение коэффициентов (11.34) приходится находить с использованием аргументов, лежащих вне рамок теории. Лишь последовательная квантовая теория позволила теоретически вычислить коэффициенты Эйнштейна.
