Обсуждаются особенности элементарного объекта в классической и квантовой механике, сущность квантово-механического измерения и редукция состояния
Материальная точка квантовой механики. Как в классической, так и в квантовой механике элементарным объектом изучения является материальная точка. Однако эти объекты, имея одинаковое название, коренным образом отличаются друг от друга: материальная точка классической механики имеет три степени свободы, а материальная точка квантовой механики-бесконечное число степеней свободы.
Использование для этого объекта квантовой механики термина «материальная точка» обусловлено в первую очередь тем, что он проявляет себя в наблюдении как единый объект пространственно-временной локализации, которая характеризуется четырьмя координатами $(x, y, z, t)$, как и у материальной точки классической механики. Другое важное обстоятельство, обусловившее название «материальная точка» для этого объекта, связано с его ролью в теории: он в квантовой теории выступает элементарным объектом аналогично материальной точке, которая является элементарным объектом в классической теории. Так же как и в классической механике, более сложные системы, например атомы, изучаются на основе законов, управляющих движением составляющих их материальных точек с учетом взаимодействия между ними. Такой подход позволил успешно описать громадное разнообразие квантовых систем, начиная от глюонов, адронов и кончая материальными системами вселенских масштабов, и подтвердил спра-
ведливость квантовых законов движения материальной точки как элементарного объекта квантовой теории.
Состояние движения. Любая физическая теория должна быть количественной, ее объекты характеризуются физическими величинами, а связь между физическими величинами и их изменение описываются соответствующими физическими законами.
Движение материальной точки в классической механике описывается ее пространственными координатами как функциями времени. Координаты и время задаются своими числовыми значениями, а их изменение-законами Ньютона.
Поскольку материальная точка квантовой механики имеет бесконечное число степеней свободы, ее движение в принципе могло бы быть сколь угодно сложным и необозримым. Однако, к счастью, оказалось, что ее движение весьма просто представляется посредством вектора состояния в гильбертовом пространстве.
Вектор состояния и его изменение подчиняются уравнению Шредингера. Отметим, что уравнение Шредингера как основное уравнение теории не следует сводить к одному из его представлений в виде дифференциального уравнения. Движение произвольной квантовой системы также описывается соответствующим вектором состояния и уравнением Шредингера.
Измерение в классической механике. Принципиальное различие описания движения точки в классической и квантовой механике состоит в том, что
в классической механике динамические переменные представляются числовыми значениями, а в квантовой-операторами.
Поэтому в классической механике считается, что материальная точка в любой момент времени находится в определенной точке пространства и имеет определенный импульс, который можно измерить с помощью известных в физике методов, причем и до момента измерения координата и импульс точки имеют вполне определенные значения, которые при желании можно было бы измерить. Другими словами, важнейшей характеристикой классической материальной точки «самой по себе» являются определенные числовые значения ее координат и импульсов в любой момент времени. Задача теории сводится к вычислению этих значений, а задача эксперимента-к их измерению.
Предполагается, что эти физические величины и их числовые значения существуют независимо от измерения. В измерении лишь определяется, какое числовое значение имеет физическая величина. Знание координат и импульсов точки полностью характеризует ее движение и дает полное описание физической реальности. Сами координаты и импульсы являются элементами этой физической реальности, существующими независимо от наблюдателя и его измерений.
Измерение в квантовой механике. В квантовой механике динамические переменные представляются операторами и, следовательно, говорить о каких-либо их числовых значениях «самих по себе» не имеет смысла, поскольку оператор определяет действие на вектор состояния, результат которого представляется также вектором гильбертова пространства, а не числом.
Лишь когда вектор состояния является собственным вектором оператора динамической переменной, его действие на вектор состояния сводится к умножению на число (собствен-
ное значение) без изменения состояния.
В этом случае огератору динамической переменной можно сопоставить единственное число, равное собственному значению огератора, и считать, что динамическая переменная имеет определенное числовое значение.
Такое числовое значение получается всегда в измерении динамической переменной в этом состоянии. В этом состоянии динамическая переменная имеет числовое значение независимо от измерения.
Если вектор состояния не является собственным вектором оператора динамической переменной, результаты измерения числового значения динамической переменной перестают быть однозначными и можно говорить лишь о вероятности получения в измерении того или иного значения.
Результатами теории, которые можно проверить в эксперименте, являются вероятности получения в измерении конкретного результата и среднее значение динамической переменной в большом числе измерений для одного и того же вектора состояния.
В связи с этим возникают следующие вопросы:
1. Какова физическая причина множественности результатов измерения?
2. Чем в измерении определяется получение какого-то конкретного результата, а не другого из возможных?
3. Можно ли говорить, что динамическая переменная до измерения существует как физическая величина, имеющая числовое значение? Что значит «существовать»?
Ответы на эти вопросы составляют суть концегтуальных проблем квантовой механики.
Статистический ансамбль систем. Поскольку предсказания квантовой теории имеют вероятностный характер, а сравнение предсказаний теории с результатами экспериментов возможно лишь статистически, возникает идея рассматривать изучаемый микрообъект (например, электрон) и условия, которыми определяется движение изучаемого объекта, как статистическую систему в том же смысле, как и в классической статистической физике. Совокупность систем составляет статистический ансамбль систем, причем принадлежность системы к ансамблю определяется макроскопическими условиями. Движение рассматриваемого микрообъекта в каждой из систем ансамбля, вообще говоря, различно и характеризуется разными значениями описывающих движение параметров. Квантование параметров и статистика их числовых значений обусловливаются динамическими процессами более глубокого уровня, которые в квантовой механике проявляются статистически в соответствии с ее законами. Теория процессов более глубокого уровня (теория «скрытых» параметров) находится с квантовой механикой в таком же соотношении, как теория движения отдельных частиц со статистической механикой совокупности частиц.
Такой подход дает, на первый взгляд, наиболее простые и естественные ответы на поставленные выше вопросы. Множественностью результатов измерения параметров микрообъекта обусловливается множественность принадлежности микрообъекта к различным системам статистического ансамбля. Получение конкретного результата измерения определяется принадлежностью микрообъекта к конкретной системе
ансамбля. Динамическая переменная характеризуется определенным числовым значением независимо от измерения и существует в том же смысле, в каком это понятие трактуется в классической физике. Кажущиеся естественность и простота такого подхода привели к многочисленным попыткам построить теорию «скрытых» параметров, которые оказались несостоятельными.
В последние годы невозможность построения теории скрытых локальных параметров была доказана экспериментально (см. § 78). Поэтому интерпретации квантовой механики с помощью теории скрытых параметров и статистического ансамбля систем представляются полностью несостоятельными, хотя работа в этих направлениях и продолжается многими исследователями.
Детерминированное и недетерминированное изменение состояния. Движение квантового объекта описывается уравнением Шредингера
$\widehat{E} \Psi=\hat{H} \Psi$,
которое представляет динамический закон изменения состояния во времени. Поскольку значение всех динамических переменных полностью определяется вектором состояния $\Psi$ [см. (74.1)], можно заключить, что изменение состояния квантового объекта в соответствии с динамическим законом является полностью детерминированным.
Другими словами, зная состояние объекта в некоторый момент, можно точно предсказать его состояние во все другие моменты времени.
Кроме детерминированного изменения вектора состояния существует также его недетерминированное изменение, происходящее в результате измерения, как это подробно сформулировано в § 23 в виде третьего постулата квантовой механики:
в состоянии $|\Psi\rangle$ изменение динамической переменной $\hat{A}$ дает с вероятностью $\mathscr{P}(A)=|\langle A \mid \Psi\rangle|^{2}$ одно из собственных значений $A$ оператора $\hat{A}$, а система при этом переходит из состояния $|\Psi\rangle$ в состояние $|A\rangle$. Переход системы из состояния $|\Psi\rangle$ в состояние $|A\rangle$ полностью недетерминирован и называется редукцией состояния или редукцией волновой функции.
Редукция состояния. Измерение включает в себя два момента:
1) редукцию состояния $|\Psi\rangle$ в состояние $|A\rangle$;
2) измерение числового значения динамической переменной $\hat{A}$ в состоянии $|A\rangle$.
Получение в результате измерения динамической переменной $\hat{A}$ в состоянии $|A\rangle$ числового значения $A$ легко интерпретировать в классическом смысле и никакой концептуальной трудности не составляет. Проблема же редукции состояния является очень трудной концептуальной проблемой квантовой механики. Связь этой проблемы с измерением несет в себе сильное гносеологическое звучание, выходящее далеко за пределы физики. Без преувеличения можно сказать, что проблема редукции состояния и связанные с ней гносеологические вогіросы в течение всего времени существования квантовой механики относятся к самым противоречивым проблемам.
Результаты последних корреляционных экспериментов по проверке неравенства Белла (см. § 78), экспериментальные поиски нефизической связи между физическими явлениями и т. д. дали экспериментальное доказательство принципиального характера этих трудностей, но не продвинули их
решение за пределы постулативной констатации.
Редукция состояния и ее количественные характеристики входят в квантовую механику как один из постулатов. Поэтому рассмотрение редукции состояния как физического процесса лежит вне квантовой механики и можно успешно применять квантовую механику, не заботясь о концегітуальных проблемах редукции. Однако исключить эти проблемы из квантовой теории нельзя.
Прежде всего ясно, что редукция происходит в процессе измерения при взаимодействии объекта с измерительным прибором и фиксации результата наблюдателем.
Объект, измерительный прибор и наблюдатель составляют физическую систему, для описания которой должно быть применимо уравнение Шредингера, в рамках которого нет места для недетерминированной редукции состояния. Спрашивается: почему в этой системе и в каком ее звене уравнение Шредингера перестает быть справедливым и осуществляется редукция состояния?
Ответ Бора состоит в том, что квантовая механика справедлива лишь для микроскопических систем, масштабы которых существенно меньше масштабов наблюдателя и макроскопических приборов, используемых в измерении. Макроскопический мир описывается с помощью классических понятий. Переход от квантовой микроскопической системы к классической макроскопической системе не описывается уравнением Шредингера, а осуществляется редукцией состояния.
Ответ Бора оставляет открытым вопрос о границе между микроскопической квантовой системой и макроскопической классической системой, которая состоит из квантовых микроскопических объектов. Эту границу можно протянуть до человеческого мозга. В результате возникает иллюзия, что весь этот вопрос имеет особое общефилософское значение для анализа соотношения между объектом и субъектом в познании. Эта иллюзия вызвала к жизни многочисленные работы и разноголосицу в интерпретации квантовой механики. Однако граница между объектом и субъектом в познании находится в пределах сознания и существует независимо от квантовой механики или какой-либо другой физической теории. Это обстоятельство необходимо иметь в виду при оценке различных, особенно экзотических, интерпретаций квантовой механики.
Оставление Бором открытым вопроса о границе между микроскопической квантовой системой и макроскопическим прибором и наблюдателем не обесценивает его утверждения о принципиальном различии между теорией квантовых объектов, описываемых уравнением Шредингера, и классических объектов, к которым уравнение Шредингера неприменимо. Здесь необходимо подчеркнуть, что понятие квантового и классического объекта не следует связывать с геометрическими размерами. В утверждении Бора эта связь отражает лишь исторические обстоятельства возникновения квантовой механики при анализе явлений в микроскопических физических системах. В настоящее время известно большое число квантовых явлений макроскопических масштабов и даже вся Вселенная в определенном смысле представляется как единый квантовый объект. Следовательно, граница между квантовым и классическим объектами не определяется их геометрическими размерами.
Граница между квантовым и классическим объектами определяется характером законов, управляющих их движением. Если доминирующая роль принадлежит квантовым законам, то объект квантовый, а если классическим-объект классический. Следовательно, граница между объектами размыта, так же как и при геометрическом разграничении объектов, но размытость границы обусловливается не геометрическими, а физическими факторами и особенностями моделей, которыми описываются квантовые и классические объекты. Таким образом, обсуждаемая граница не имеет объективного характера и существует не в объективном мире, а лишь в физической модели, которой описывается этот мир. К этому утверждению следует отнестись с особой осторожностью, потому что оно не является общепринятым, и с особым вниманием, потому что оно является центральным в том толковании концептуальных вопросов квантовой механики, которое излагается в настоящей главе.
Для построения модели квантового объекта мы располагаем в качестве элементов модели только теми, которые можно заимствовать из модели классического объекта. Других, не классических, элементов, сформированных в рамках макроскопического опыта, не существует. В процессе построения модели квантового объекта создаются новые элементы модели, но их более элементарные составляющие являются по-прежнему классическими. Несоответствие свойств элемента модели, встроенного в модель квантового объекта, со свойствами того же элемента, встроенного в модель классического объекта, показывает, что не существует изоморфного соответствия между физическими составляющими квантового объекта и физическими составляющими классического объекта.
Поэтому, создав теорию квантового объекта, построенного из классических элементов, нельзя обойтись без транслятора, переводящего результаты квантовой теории в элементы модели и физические величины классического объекта. Роль такого транслятора выполняет третий постулат квантовой механики. Из-за отсутствия изоморфного соответствия между физическими составляющими квантового и классического объектов результат трансляции является недетерминированным, хотя эволюция квантового объекта полностью детерминирована и описывается уравением Шредингера.
Редукция состояния не является физическим процессом, поскольку вектор состояния или волновая функция, по общепринятому в настоящее время мнению, не представляет физическое поле. Поэтому утверждение Эйнштейна, что «бог не играет в кости», правильно, но его вывод о неполноте квантовой механики ошибочен, поскольку богу не требуется транслятор.
Несмотря на то что волновая функция не представляет физического поля, существует трудность интерпретации ее редукции в $x$-представлении. Для простоты проанализируем эту трудность на примере измерения координаты частицы, состояние движения которой описывается волновой функцией $\Psi(\mathbf{r}, t)$. Вероятность обнаружить частицу при измерении в объеме $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ вблизи точки $\mathbf{r}$ в момент $t$ равна $|\Psi(\mathbf{r}, t)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$.
В случае классической частицы ясно, что в каждый момент времени
она находится в какой-то одной точке и ни в какой другой не находится. Поэтому, предприняв в один и тот же момент времени попытку обнаружить частицу вблизи точек с радиусамивекторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, можно либо не обнаружить частицу ни в точке $\mathbf{r}_{1}$, ни в точке $\mathbf{r}_{2}$, либо обнаружить ее в одной из точек $\mathbf{r}_{1}$ или $\mathbf{r}_{2}$, но никогда нельзя обнаружить ее одновременно в точках $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$.
В случае квантовой частицы также нельзя надеяться обнаружить частицу одновременно в двух местах, но приведенное выше рассуждение о невозможности обнаружения частицы одновременно в двух местах не справедливо, потому что о ней нельзя сказать, что она в каждый момент находится в какой-то одной точке и не находится в других; она в определенном смысле присутствует одновременно во всех точках, хотя и с различной плотностью вероятности.
Объективная физически одинаковая возможность обнаружить частицу имеется во всех точках одновременно. Спрашивается: почему нельзя обнаружить частицу хотя бы в двух точках одновременно, несмотря на то что точки эквивалентны с физической точки зрения, а события в них недетерминированы и могут быть связаны лишь сигналом с бесконечно большой скоростью распространения? Другими словами, какова причина абсолютной корреляции случайных событий в двух точках, разделенных пространственным интервалом, исключающим наличие обычной физической связи между событиями? Особый интерес этого вопроса заключается в том, что аппарат квантовой механики содержит в себе эту корреляцию, но понять ее физическое содержание затруднительно. К этой же
149
Схема интерферометра Маха-Зендера
проблеме в последние годы привели эксперименты по проверке неравенств Белла, выполненные в последние 15 лет. Поэтому мы обсудим их более подробно в конце главы.
Для полноты рассуждений, приводящих к этой проблеме независимо от результатов экспериментов по проверке неравенств Белла, необходимо остановиться более подробно на физическом содержании утверждения, что
квантовая частица в определенном смысле присутствует одновременно во всех точках и что во всех точках одновременно имеется объективная физически одинаковая возможность обнаружить частицу.
Для этого рассмотрим процессы, происходящие в интерферометре Маха-Зендера (рис. 149).
Луч света с интенсивностью $I_{0}$ от источника $S$ делится полупрозрачной пластиной $A$ на два луча равной интенсивности $I_{0} / 2$, которые направляются к зеркалам $B_{1}$ и $B_{2}$. После отражения от зеркал лучи идут к полупрозрачной пластинке $D$, которая в результате отражения и преломления каждый из лучей делит на два. Образуются две пары взаимно когерентных волн 1, 2 и 3, 4. Интерферометр
Маха-Зендера является модификацией интерферометра Майкельсона, а его теория аналогична теории последнего. На экране, расположенном в направлении $F_{1}$, при сведении лучей $l$ и 2 в одну точку происходит интерференция. Интенсивность интерференционной картины определяется формулой $I=2 I_{0}(1+\cos \delta)$, где $\delta-$ разность фаз между интерферирующими лучами. Линии одинаковой интенсивности в интерференционной картине определяются условием $\delta=$ $=$ const. Наиболее просто наблюдать и анализировать интерференционные полосы в виде концентрических окружностей, образуемых в результате того, что из точки $S$ на пластину $A$ падает не пучок параллельных лучей, а пучок расходящихся лучей. Однако для последующих рассуждений характер интерференционной картины несуществен, важно лишь, что она возникает. В направлении $F_{2}$ также появляется интерференционная картина, распределение интенсивностей в которой дополняет распределение интенсивностей в направлении $F_{1}$ таким образом, чтобы соблюдался закон сохранения энергии.
Классическая-водновая оптика во всех деталях количественно описывает явление интерференции. Эксперимент полностью подтверждает теорию. В интерферометре Маха-Зендера осуществляется двухлучевая интерференция делением амплитуды волн с помощью полупрозрачных пластин $A$ и $D$. Интерферирующие волны проходят различные пути $A B_{1} D$ и $A B_{2} D$, отдаление которых друг от друга в пространстве может быть сколь угодно большим.
При интерпретации явлений интерференции в рамках корпускулярных представлений о свете мы прежде всего убеждаемся, что нельзя объяснить интерференцию взаимодействием различных фотонов (см. § 5). В рассматриваемом случае это доказывается уменьшением интенсивности потока фотонов от источника $S$ в интерферометр до столь малых значений, при которых в пределах интерферометра не может находиться в среднем более одного фотона. При этом наблюдаемая интерференционная картина при соответствующем увеличении времени экспозиции не изменяется, являясь доказательством утверждения, что «фотон интерферирует сам с собой». При той же малой интенсивности можно убедиться с помощью двух детекторов, включенных в схему совпадений и установленных в соответствующих точках на путях $A B_{1} D$ и $A B_{2} D$, что всегда фотон детектируется либо на пути $A B_{1} D$, либо на пути $A B_{2} D$, и никогда на обоих путях одновременно. Общее число фотонов, падающих на пластину $A$, равно сумме чисел фотонов, детектируемых на пути $A B_{2} D$ и $A B_{2} D$ (закон сохранения энергии). Это еще более надежно подтверждает положение, что «фотон интерферирует сам с собой».
Однако, чтобы придать такому утверждению физический смысл, необходимо принять положение, что хотя фотон детектируется либо на пути $A B_{1} D$, либо на пути $A B_{2} D$, он до момента детектирования находится на обоих путях одновременно, но после момента детектирования на одном из путей возможность его детектирования на другом из путей исчезает мгновенно. Другими словами, о фотоне, образующем определенную точку интерференционной картины, нельзя сказать, что он двигался либо по пути $A B_{1} D$, либо по пути $A B_{2} D$, но что он двигался одновременно и по пути $A B_{1} D$, и по пути $A B_{2} D$. Если
непроницаемым экраном задержать все фотоны, движущиеся вдоль одного из путей, то интерференционная картина исчезает, т.е.
если каждый из фотонов движется лишь по одному пути, то интерференционная картина не возникает. Это означает, что при открытых двух путях, когда возникает интерференционная картина, каждый из фотонов движется одновременно по обоим путям.
В этом и состоит физическое содержание сформулированного выше утверждения, что квантовая частица в определенном смысле присутствует одновременно во всех точках и что во всех точках имеется объективная физически одинаковая возможность обнаружить частицу.
