Описываются эксперименты по проверке правильиости вредставленнй о волновых свойствах корпускул.
Длина волн де Бройля. Волновые свойства наиболее отчетливо проявляются в явлениях дифракции, условия наблюдения которой определяются длиной волны. Длина волн де Бройля частиц очень мала. Первоначально покоящаяся частица с зарядом $e$ и массой $m$ в результате прохождения разности потенциалов $U$ приобретает скорость $v$, которую можно определить из закона сохранения энергии, имеющего в случае нерелятивистских скоростей $v \ll c$ вид
36
Схема опыта Дэвидсона и Джермера
37
Зависимость интенсивности отраженного пучка электронов от кристалла никеля при изменении их энергии (угол падения пучка постоянен)
откуда $v=\sqrt{2 e U / m}$. Длина волны де Бройля
\[
\lambda=2 \pi \hbar / \sqrt{2 e m U}
\]
Для электрона $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ кг и
$\lambda=\sqrt{150 / U} \cdot 10^{-10} \mathrm{M}=(1,2 / \sqrt{U}) \mathrm{нм},(93)$ где $U$-напряжение, В. Из (9.3) сле-
дует, что при энергиях электронов порядка нескольких электрон-вольт длина волн де Бройля имеет порядок 1 нм, т.е. порядок атомных расстояний в кристаллах. Поэтому волновые свойства электронов при таких энергиях можно обнаружить в опытах по дифракции на кристаллах (см. § 6).
Опыты Дэвидсона и Джермера. Дэвидсон и Джермер наблюдали отражение электронного пучка от поверхности кристалла.
В первом опыте на монокристалл никеля направляли электроны с энергией в несколько десятков электронвольт. Затем, изменяя угол падения электронов на поверхность кристалла, фиксировали изменение интенсивности отраженного пучка. Зависимость интенсивности отраженного пучка от угла скольжения $\alpha$ показана на рис. 35 . На полярной диаграмме отчетливо виден максимум интенсивности отражения при угле $\alpha_{0}$.
Во втором опыте при фиксированном угле падения электронного пучка на кристалл измерялась интенсивность отраженного пучка в зависимости от энергии (т.е. от изменяющейся разности потенциалов). Интенсивность пучка отраженных электронов измерялась по силе тока от коллектора электронов $K$ (рис. 36). Результаты эксперимента показаны на рис. 37.
Результаты опытов Дэвидсона и Джермера получили объяснение (1927) как проявление волновой природы электронов и дали количественное подтверждение справедливости формул де Бройля.
В теоретическом плане анализ дифракции электронных волн полностью совпадает с дифракцией рентгеновских лучей (см. § 6). В опытах Дэвидсона и Джермера дифракция электронных волн наблюдалась по методу Брэгга. Атомная структура кристаллов никеля известна из опытов по дифракции рентгеновских лучей. Длина электронных волн дается формулой (9.3), а угол, при котором наблюдается максимум интенсивности отражения, может быть найден по формуле Вульфа-Брэгга. Сравнение полученного результата с экспериментально найденным значением $\alpha_{0}$ позволяет произвести сравнение формулы де Бройля с экспериментом. Формула де Бройля была достаточно хорошо подтверждена.
Во втором опыте при неизменном угле скольжения $\alpha$ максимум отражения наблюдается при условии
$n \lambda_{n}=2 d \sin \alpha \quad(n=1,2, \ldots)$.
Учитывая (9.2), это соотношение можно представить в виде
$\sqrt{U_{n}}=\left(\frac{\pi \hbar}{d \sin \alpha}\right) \frac{1}{\sqrt{2 e m}} n=$ const $\cdot n$,
т.е. максимумы отражения отстоят друг от друга на равном расстоянии $\sqrt{U}$. В эксперименте характер зависимости (9.5) подтвердился (рис. 37), однако наблюдалось некоторое расхождение с предсказаниями теории. Стрелками на рис. 37 показаны положения максимумов по теории. Видно, что между положениями экспериментальных и теоретических максимумов наблюдается систематическое расхождение, которое уменьшается с увеличением энергии электронов. Систематический характер расхождений между теорией и экспериментом свидетельствует о том, что в теории отсутствуют некоторые существенные факторы. В данном случае при выводе формулы Вульфа-Брэгга не принято во внимание преломление электронных волн.
Учет преломления электронных волн. Для вывода электрона из
объема металла требуется затратить энергию, равную работе выхода (1.4). Следовательно, при входе электрона в металл его энергия и скорость увеличиваются и соответственно изменяется фазовая скорость волн де Бройля. Это означает, что на поверхности металла происходит преломление электронных волн.
Показатель преломления $n$ волны относительно вакуума равен отношению фазовой скорости $v_{\text {в }}$ волны в вакууме к фазовой скорости $v_{\text {с }}$ в среде:
$n=v_{\phi \mathrm{B}} / v_{\phi \mathrm{c}}$.
Для волн де Бройля справедливо соотношение (8.9), и поэтому (9.6) принимает вид
$n=v_{\mathrm{c}} / v_{\mathrm{B}}$,
где $v_{\mathrm{c}}$ и $v_{\mathrm{s}}$-скорости частицы в среде и в вакууме. Если $E_{\mathrm{x}}$-кинетическая энергия частицы в вакууме, то ее кинетическая энергия в среде $E_{\mathrm{к}}+A$. Поскольку $\quad E_{\mathrm{x}}=1 / 2 m v_{\mathrm{B}}^{2}, \quad E_{\mathrm{k}}+A=$ $=1 / 2 m v_{\mathrm{c}}^{2}$, находим
$n=\left(E_{\mathrm{\kappa}}+A\right)^{1 / 2} / E_{\mathrm{\kappa}}^{1 / 2}=\left(1+A / E_{\mathrm{\kappa}}\right)^{1 / 2}$.
Обычно кинетическую энергию выражают через ускоряющий потенциал $U=E_{\mathrm{k}} / e$, а работу выхода-через внутренний потенциал металла $U_{0}=$ $=$ A/e. Тогда [см. (9.8)]
$n=\left(1+U_{0} / U\right)^{1 / 2}$.
Дальнейший вывод «оптической» разности хода $\Delta=\Delta_{\mathrm{r}} n$, где $\Delta_{\mathrm{r}}$-геометрическая разность хода, точно такой же, как при выводе формулы Вульфа-Брэгга (6.3) на основании рис. 27 ; надо лишь учесть преломление электронных волн. Понимая под $\Delta$ «оптическую» разность хода, вместо (6.1) получаем (рис. 27 с учетом преломления)
38
Электронограммы листков серебра (a) и золота (б) в опытах Томсона и Тартаковского
39
Интенсивность волны при дифракции на прямолинейном крае полубесконечной плоскости
$\Delta=n(|A B|+|B C|)-|A D|$.
Учитывая, что $\quad|A B|+|B C|=$ $=2 d / \cos \theta_{\text {пр }}, \quad|A D|=2 d \operatorname{tg} \theta_{\text {пр }} \sin \theta_{\text {пд }}$, находим
$\Delta=2 d n / \cos \theta_{\text {пр }}-2 d \operatorname{tg} \theta_{\text {пр }} \sin \theta_{\text {пд }}$,
где $\theta_{\text {пр }}$ и $\theta_{\text {пд }}$ – углы падения и преломления. По закону Снеллиуса, $\sin \theta_{\text {пд }}=$ $=n \sin \theta_{\text {пр }}$. Тогда [см. (9.11)]
$\Delta=2 n d \cos \theta_{\mathrm{np}}$.
Отсюда находим условие ВульфаБрэгга с учетом преломления:
$2 n d \cos \theta_{\text {пр }}=m \lambda$,
где $\lambda$-длина волны электрона вне
металла, $\theta_{\text {пр }}$-угол преломления, $m$ целое число.
Эту формулу можно выразить через угол падения $\theta_{\text {пд }}$, учитывая, что $\quad \cos \theta_{\text {пр }}=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta_{\text {пр }}}=$ $=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta_{\text {пд }} / n^{2}}$ :
\[
2 d \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{\text {ид }}}=m \lambda \text {. }
\]
Поскольку $\sin \theta_{\text {пд }}=\cos \alpha$, где $\alpha$-угол скольжения, условие (9.14) может быть записано также в виде
\[
2 d \sqrt{n^{2}-\cos ^{2} \alpha}=m \lambda \text {. }
\]
Опыты Томсона и Тартаковского. Для наблюдения дифракции электронов Томсон и Тартаковский использовали метод Дебая-Шерера. При пропускании пучка электронов через металлическую поликристаллическую пластину рассеянные электроны должны дать на фотографической пластинке систему интерференционных колец (см. § 6).
В опытах Томсона и Тартаковского такая система интерференционных колец действительно наблюдалась. Однако для объяснения результата этих опытов возможно предположение, что система интерференционных колец порождается не рассеянными электронами, а вторичным рентгеновским излучением, возникающим в результате падения пучка электронов на пластину. Для того чтобы убедиться в ошибочности такого предположения, на пути рассеянных электронов между металлической пластинкой и фотопластинкой создается дополнительное магнитное поле. Оно не влияет на рентгеновское излучение и, следовательно, не должно искажать интерференционной картины, если она порождается рентгеновским излучением. Если же интерференционная картина порождается рассеянными электронами, то магнитное поле должно ее исказить. Такого рода проверка показала, что дифракционная картина обусловливается именно электронами, а не вторичным рентгеновским излучением. Г.П.Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами (17,556,5 кэВ), а П.С. Тартаковский – со сравнительно медленными (до 1,7 кэВ). Вид электронограмм листков серебра и золота приведен на рис. 38.
Количественный анализ результатов опытов полностью подтвердил правильность уравнений де Бройля.
Опыты по дифракции электронов без использования кристаллов. С точки зрения классических представлений о дифракции электромагнитных волн описанные выше опыты демонстрируют дифракцию электронных волн посредством деления их амплитуды. Дифракция электронных волн наблюдается также посредством деления их волнового фронта.
Одним из классических опытов такого рода является дифракция волн на прямолинейном крае полубесконечной плоскости, которая количественно анализируется с помощью спирали Корню. В результате дифракции возникают полосы, параллельные прямолинейному краю экрана, видимость которых постепенно уменьшается при удалении от края экрана. Под экраном интенсивность дифрагированной волны плавно уменьшается (рис. 39).
В одном из опытов (Берш, 1956) использовались электроны с энергией
** Явление дифракции микрочастиц на кристаллах и в других условиях служит экспериментальным доказатепьством наличия волновых свойств микрочастиц. Наличие явлений дифракции при очень мапых концентрациях потоков частиц служит экспериментальным доказательством волновых свойств отдельных микрочастиц.
34 кэВ $\left(\lambda=5 \cdot 10^{-12} \mathrm{M}\right)$, которые дифрагировали на краю пленки $\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}$. Полученные фотографии дифракционной картины аналогичны картинам, давно известным из оптических опытов (рис. 40), и количественно соответствуют формулам де Бройля. В других опытах (Мелленштадт и Дюкер, 1956) с электронными волнами наблюдалась дифракция, аналогичная дифракции света с помощью бипризмы Френеля. Роль бипризмы Френеля для электронных волн выполняло неоднородное электростатическое поле (рис. 41), которое возникает при наличии разности потенциалов между нитью $H$ и электродами Э. Потенциал нити должен быть выше потенциала электродов, чтобы при пролете мимо нити на электроны действовали силы притяжения. Полученная при этом дифракционная картина полностью соответствует количественным предсказаниям с помощью формул Френеля. Были проведены также и другие опыты по дифракции электронных волн. Все они надежно подтвердили наличие у электрона волновых свойств и правильность формул де Бройля при количественном описании этих свойств.
Опыты с нейтронами и молекулярными пучками. Длина волны де Бройля обратно пропорциональна массе частицы. Следовательно, при той же скорости длина волны нейтрона или молекулы в тысячи раз меньше, чем длина волны электрона. Для успешного наблюдения дифракции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны была порядка расстояний между узлами кристаллической решетки. Поэтому для наблюдения дифракции тяжелых частиц необходимо пользоваться частицами с достаточно малыми скоростями.
В случае нейтронов можно поль-
41
Схема осущесгвления опыта по дифракции электронных волн, аналогично опыту по дифракции света с помощью бипризмы Френеля: $S_{0}$-источник электронов, $S_{1}, S_{2}$-мнимые источники
зоваться «тепловыми нейтронами», т.е. нейтронами, энергия которых имеет порядок энергии молекул газа при комнатной температуре ( $\approx 300 \mathrm{~K}$ ). Нетрудно подсчитать, что при таких энергиях длина волны нейтрона имеет порядок $10^{-10} \mathrm{M}$ и, следовательно, пригодна для осуществления опытов по дифракции на кристаллах. В качестве источников нейтронов используются ядерные реакции. Хотя температура нейтронов в обычных ядерных реакторах несколько выше комнатной, а длина их волны соответственно меньше $10^{-10} \mathrm{~m}$, явление дифракции нейтронов на кристаллах все же удается наблюдать. Интенсивность пучка отраженных от кристалла нейтронов измеряется с помощью счет-
чиков нейтронов. Одним из счетчиков медленных нейтронов является счетчик, наполненный соединениями бора (чаще всего треххлористым бором). Действие счетчика основано на ядерной реакции ${ }^{10} \mathrm{~B}(n, \alpha)^{7} \mathrm{Li}$. В результате реакции нейтрона с ${ }^{10} \mathrm{~B}$ образуется $\alpha$-частица, т.е. заряженная частица. Число образующихся $\alpha$-частиц определяется по силе ионизационного тока, проходящего через камеру счетчика, находящегося под определенным электрическим напряжением (разностью потенциалов). Нейтроны могут регистрироваться также с помощью фотопластинок. Таким образом, с нейтронными пучками могут проводиться такие же опыты по дифракции, как и с электронами. Аналогичными способами проводятся опыты с молекулярными (и атомными) пучками.
Опыты с нейтронными и молекулярными (атомными) пучками полностью подтвердили уравнение де Бройля в применении к тяжелым корпускулам. Благодаря этому было экспериментально доказано, что волновые свойства являются универсальным свойством всех частиц. Они не обусловлены какими-то особенностями внутреннего строения той или иной корпускулы, а отражают общий закон движения частиц.
Опыты при очень слабых потоках частиц. Описанные выше опыты производились с пучками частиц. Поэтому возникает вопрос: являются ли наблюдаемые волновые явления выражением свойств пучка частиц или свойств отдельных частиц? Иначе говоря, можно ли объяснить наблюдаемые в этих опытах волновые эффекты результатом взаимодействия частиц друг с другом?
Для выяснения этого вопроса B. Фабрикантом, Л. Биберманом и Н. Сушкиным были поставлены (1949) специальные опыты по дифракции электронов в условиях, исключающих взаимодействие дифрагирующих электронов между собой. Электроны направлялись на кристалл с очень малой интенсивностью. Благодаря этому в кристалле не могло дифрагировать одновременно более одного электрона и исключалась возможность взаимодействия между ними в качестве причины дифракции. Дифракционная картина при «индивидуальной» дифракции электронов оказалась абсолютно идентичной картине дифракции от обычного электронного пучка. Так было доказано, что волновыми свойствами обладает индивидуальная частица.
