Излагаются математические сведения из теории операторов, необходимые для понимания матемагического аппарага квантовой механики.
Описание физических величин в классической физике. В математическом аппарате квантовой механики большое значение имеет понятие оператора. В классической механике каждая физическая величина характеризуется ее числовым значением в той или иной точке пространства, в тот или иной момент времени. Например, скорость частицы описывается в каждый момент времени вполне определенными числами $v_x,v_y,v_z$ — проекциями скорости на оси координат. Иначе говоря, физические величины классической механики описываются функциями координат и времени.
В общем случае функцией называется правило, по которому числу или совокупности чисел ставится в соответствие другое число или совокупность чисел. Задача классической механики состоит в отыскании функциональных зависимостей между различными величинами.
Описание физических величин в квантовой механике. В квантовой механике физические величины, вообще говоря, не могут иметь определенные числовые значения. Рассмотрим, например, величину, характеризующую местонахождение частицы. В классической механике местоположение частицы в каждый момент времени описывается тремя числами-координатами частицы. В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Эта вероятность вычисляется с помощью волновой функции. Но волновая функция не позволяет представить координаты местонахождения частицы как функции времени. Квантовая механика позволяет вычислять лишь вероятность той или иной координаты и ее среднее значение. Например, если имеется очень большое число совершенно идентичных, независимых друг от друга физических систем, которые описываются одинаковой волновой функцией, то при измерении числового значения какой-либо физической величины получаются в каждом измерении, вообще говоря, ее различные числовые значения. Квантовая механика предсказывает вероятность получения того или иного числового значения измеряемой величины.
В связи с этим

в квантовой механике физическая величина характеризуется не ее числовым значением, а оператором, которым эта физическая величина представляется. В данной конкретной ситуации числовое значение физической величины неопределенное, а оператор, который описывает физическую величину, вполне определен.

Определение оператора. Функции осуществляют связь одних чисел с другими числами. Операторы осуществляют связь одних функций с другими функциями.
Оператором называется правило,
с помощью которого каждой функции из некоторого множества функций сопоставляется функция из того же или некоторого другого множества функций.
Операторы обозначают буквами со значком ${}^{\wedge }$ сверху, например $\hat{A},\hat{B}$ и т. д. Если оператор $\hat{A}$ выражает правило, согласно которому функции $и$ сопоставляется функция $v$, то это символически записывается в виде
$v=\hat{A}u$.
Если, например, оператор $\hat{A}$ означает дифференцирование
$\hat{A}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$,
то $v$ будет производной от $u$ :
$v=\hat{A}u=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$.
Линейные операторы. Правила, с помощью которых одним функциям ставятся в соответствие другие функции, могут быть самыми разнообразными, т.е. операторы могут иметь самые разнообразные свойства. В квантовой механике для того, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции состояний, используются лишь линейные операторы. Оператор $\hat{A}$ называется линейным, если для любых функций $u_1$ и $u_2$ из рассматриваемого класса функций и для любых постоянных чисел $a_1$ и $a_2$ выполняется равенство
$\hat{A}(a_1{u}_1+a_2{u}_2)=a_1\hat{A}{u}_1+a_2\hat{A}{u}_2$.
Сумма и произведение операторов. Если для любой функции $u$ $\hat{C}u=\hat{A}u+\hat{B}u,{\hat{C}}_{1}u={\hat{A}}_{1}u-{\hat{B}}_{1}u$, ${\hat{C}}_{2}u={\hat{A}}_2\left({\hat{B}}_{2}u\right)$,
то $\hat{C},{\hat{C}}_1,{\hat{C}}_2$ называются соответственно суммой операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$, разностью операторов ${\hat{A}}_1$ и ${\hat{B}}_1$ и произведением операторов ${\hat{A}}_2$ и ${\hat{B}}_2$ :
$\hat{C}=\hat{A}+\hat{B},{\hat{C}}_1={\hat{A}}_1-{\hat{B}}_1,{\hat{C}}_2={\hat{A}}_2{\hat{B}}_2$.
Алгебраические свойства суммы и разности операторов аналогичны алгебраическим свойствам суммы и разности чисел: можно группировать слагаемые, изменять их порядок и т.д. Но алгебраические свойства произведения операторов значительно отличаются от алгебраических свойств чисел: произведение операторов зависит от порядка сомножителей в этом произведении:
$$\hat{A}\hat{B}eq\hat{B}\hat{A},$$
т.е. произведение операторов, вообще говоря, некоммутативно. Рассмотрим пример, когда в качестве оператора $A$ берется умножение на координату $x$, а в качестве оператора $\hat{B}$ оператор дифференцирования, т.е. $\hat{A}=x,\hat{B}=\mathrm{d}/\mathrm{d}x$, тогда $\hat{A}\hat{B}=x\mathrm{d}u/\mathrm{d}x$ и $\hat{B}\hat{A}u=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}xu=u+x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u=(1+x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})u$.
Поэтому $\hat{A}\hat{B}=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x},\hat{B}\hat{A}=1+x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ и $x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=\hat{A}\hat{B}eq1+x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=\hat{B}\hat{A}$.

Коммутирующие и антикоммутирующие операторы. Операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ называются коммутирующими, если их произведение не зависит от порядка сомножителей: $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$. Если для двух операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ выполняется равенство $\hat{A}\hat{B}=-\hat{B}\hat{A}$, то эти операторы называются антикоммутируюцими.

Оператор $\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ называется коммутатором операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ и обозначается следующим образом:
$$\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=[\hat{A},\hat{B}]\text{. }$$

Антикоммутатором операторов $\hat{A}$ и
$\hat{B}$ называется оператор
$$[\widehat{A,\hat{B}}{]}_{+}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}\text{. }$$

Собственные значения и собственные функции линейных операторов. Если в результате применения оператора $\hat{A}$ к некоторой функции $u$ получается та же функция $u$, умноженная на некоторое число $\lambda$, то
$\hat{A}u=\lambda u$.
Если функция $и$ непрерывна, однозначна и конечна, то она называется собственной функцией оператора $\hat{A}$, принадлежащей собственному значению $\lambda$. Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $\hat{A}$. Обычно оператор и его собственное значение обозначаются одной и той же буквой.

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор $\hat{A}$ является линейным дифференциальным оператором, то, как доказывается в теории линейных дифференциальных уравнений, его спектр может быть как дискретным, т.е. состоящим из ряда чисел, так и непрерывным, т.е. состоящим из непрерывного множества чисел, заключенных в некотором интервале значений. Может случиться, что часть спектра будет дискретной, часть-непрерывной.

Линейные самосопряженные (эрмитовы) операторы. В квантовой механике применяются не любые линейные операторы, а лишь самосопряженные, или эрмитовы, операторы. Оператор $\hat{A}$ называется самосопряженным, если для любых двух функций $u$ и $v$
$$\int v^{\ast }\hat{A}u\mathrm{d}V=\int u{\hat{A}}^{\ast }{v}^{\ast }\mathrm{d}V,$$

где интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных, совокупность дифференциалов которых обозначена $\mathrm{d}V$.

Важнейшее свойство самосопряженных операторов, обусловливающих их применение в квантовой механике, состоит в том, что собственные значения самосопряженных операторов являются действительными числами.

Доказательство этого положения следует из равенства (17.10). Пусть $\hat{A}$ будет самосопряженным оператором, а $u$-собственная функция, принадлежащая собственному значеию $\lambda$. Тогда $\hat{A}u=\lambda u$, или ${\hat{A}}^{\ast }{u}^{\ast }={\lambda }^{\ast }{u}^{\ast }$. Приняв в (17.10) $v=u$, имеем
$\lambda \int u^{\ast }u\mathrm{d}V={\lambda }^{\ast }\int u^{\ast }u\mathrm{d}V$
или
$\lambda ={\lambda }^{\ast }$,
т. е. собственное значение $\lambda$ самосопряженного оператора $\hat{A}$ является действительным числом.

Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть $u_n$ и $u_m$-собственные функции оператора $\hat{A}$, принадлежащие различным собственным зна-
** Функцией называется правило, по которому числу сопоставляется число, а оператором называется правило, по которому функции сопоставляется функция. Собственные значения эрмитовых операторов-вещественные числа Собственные функции эрмитовых операторов, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.
* Что такое вырожденные собственные значения?
Чем отличаются условия нормировки для дискретного и непрерывного спектров собственных значений?
Что такое полнота системы собственных функций линейных операторов?
чениям ${\lambda }_n$ и ${\lambda }_m$. Тогда высказанное утверждение может быть математически записано в виде равенства
$\int u_n^{\ast }{u}_m\mathrm{d}V=0(meqn)$.
Докажем это утверждение. Собственные функции $u_n$ и $u_m$ удовлетворяют уравнениям
$\hat{A}{u}_n={\lambda }_n{u}_n,\hat{A}{u}_m={\lambda }_m{u}_m$,
причем ${\lambda }_n$ и ${\lambda }_m$-действительные числа, поскольку оператор $\hat{A}$ является самосопряженным. Из условия самосопряженности (17.10), записанного для $u_n$ и $u_m$ в виде
$\int u_n^{\ast }\hat{A}{u}_m\mathrm{d}V=\int u_m{\hat{A}}^{\ast }{u}_n^{\ast }\mathrm{d}V$,
с учетом (17.14) следует, что
$({\lambda }_m-{\lambda }_n)\int u_n^{\ast }{u}_m\mathrm{d}V=0$.
Так как ${\lambda }_{m}eq{\lambda }_n$, то получаем (17.13), что и требовалось доказать.
Условие самосопряженности произведения двух самосопряженных операторов. Пусть операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ самосопряженные, т.е. удовлетворяют условию (17.10). Учитывая самосопряженность оператора $\hat{A}$, имеем
$\int v^{\ast }\hat{A}\hat{B}u\mathrm{d}V=\int (\hat{B}u){\hat{A}}^{\ast }{v}^{\ast }\mathrm{d}V$.
Из условия самосопряженности оператора $\hat{B}$ следует
$\int (\hat{B}u){\hat{A}}^{\ast }{v}^{\ast }\mathrm{d}V=\int \left({\hat{A}}^{\ast }{v}^{\ast }\right)(\hat{B}u)\mathrm{d}V=$ $=\int u{\hat{B}}^{\ast }{\hat{A}}^{\ast }{v}^{\ast }\mathrm{d}V$.
Таким образом,
$\int v^{\ast }\hat{A}\hat{B}u\mathrm{d}V=\int u{\hat{B}}^{\ast }{\hat{A}}^{\ast }{v}^{\ast }\mathrm{d}V$.
Отсюда видно, что
произведение двух самосопряженных операторов является самосопряженным оператором только в том случае, когда эти операторы коммутируют.
Нормировка собственных функций. Собственные функции определяются лишь с точностью до произвольного постоянного множителя. Этот множитель можно подобрать так, чтобы собственные функции были нормированы на единицу:
$\int u_n^{\ast }{u}_n\mathrm{d}V=1$.
Полнота системы собственных функций. В теории линейных операторов доказывается, что система собственных функций широкого класса линейных операторов является полной ортогональной системой функций, т.е. не существует функции, которая была бы ортогональной всем функциям системы. Исходя из этого утверждения доказывается, что любая функция, удовлетворяющая весьма широким математическим условиям, которые в физических приложениях, как правило, выполняются, может быть разложена по полной ортогональной системе собственных функций линейного оператора, т.е. представлена в виде бесконечного ряда
$$u=a_1{u}_1+a_2{u}_2+\dots +a_n{u}_n+\dots$$

где $a_n$-постоянные числа, называемые коэффициентами разложения. Эти коэффициенты разложения могут быть найдены путем умножения обеих частей равенства (17.21) на собственную функцию $u_i^{\ast }$ и интегрирования по области изменения переменных. Ввиду условия (17.13) все интегралы справа, за исключением члена с номером $i$, обращаются в нуль, а интеграл от произведения $u_i^{\ast }{u}_i$ на основании (17.20) равен единице. Поэтому для коэффициента $a_i$ в (17.21) получаем $a_i=\int u_i^{\ast }u\mathrm{d}V$.
Отметим, что собственные функции могут нумероваться не одним индексом, а некоторой совокупностью индексов. В этом случае в выписанных выше формулах под индексами, которыми обозначают собственные функции, следует понимать совокупность индексов, а суммирование в (17.21)как суммирование по различным совокупностям индексов. Условия орто-
гональности (17.13) и (17.20) можно записать в виде единой формулы:
$\int u_n^{\ast }{u}_m\mathrm{d}V={\delta }_{nm}=\{\begin{array}{l}1(n=m).\\ 0(neqm).\end{array}$
Если $n$ и $m$ означают некоторую совокупность индексов, то $n=m$ понимается как равенство соответствующих индексов из совокупностей, обозначенных $n$ и $m$.
Вырожденные собственные значения. Пусть одному и тому же собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколько. В этом случае данное собственное значение называем вырожденным. Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но ортогональны другим собственным функциям, принадлежащим другим собственным значениям. Однако с помощью процесса ортогонализации (см. § 21 ) собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, всегда можно подобрать так, чтобы они были ортогональны друг другу.
Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор $\hat{A}$ имеет непрерывный спектр собственных значений $\lambda$. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению $\lambda$, обозначим $u_{\lambda }$, причем предполагается, что число $\lambda$ изменяется непрерывно.
Условие ортогональности (17.13) собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям, полностью сохраняется для непрерывного спектра:

$$\int u_{\lambda }^{\ast }{u}_{{\lambda }^{\prime }}\mathrm{d}V=0\left(\lambda eq{\lambda }^{\prime }\right).$$

Однако нормировать собственные функции непрерывного спектра на единицу, как в дискретном спектре, нельзя, потому что интеграл от квадрата модуля собственной функции непрерывного спектра обращается в бесконечность:
$$\int u_{\lambda }^{\ast }{u}_{\lambda }\mathrm{d}V=\mathrm{\infty }\text{. }$$

Поэтому собственные функции непрерывного спектра нормируют с помощью дельта-функции
$$\delta (\lambda )=\{\begin{array}{l}0(\lambda eq0),\\ \propto (\lambda =0),\end{array}$$

причем
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\lambda )\mathrm{d}\lambda =1.$$

Основное свойство $\delta$-функции, которое легко доказывается с помоцью георемы о среднем, состоит в том, что для широкого класса функций $f(\lambda )$ выполняется равенство
$${\int }_a^{b}f\left({\lambda }^{\prime }\right)\delta (\lambda -{\lambda }^{\prime })\mathrm{d}{\lambda }^{\prime }=\{\begin{array}{c}0[\lambda \text{ вне }(a,b)],\\ f(\lambda )[\lambda \text{ внутри }(a,b)].\end{array}$$

Таким образом, $\delta (\lambda )$ является предельным случаем некоторой функции, которая стремится к нулю во всех точках $\lambda$, отличных от нуля, а вблизи нуля стремится к бесконечности так, что интеграл по области, включающей нулевую точку, равен единице. Вместо условия ортонормированности (17.23) для дискретного спектра в случае непрерывного спектра имеем
$$\int u_{\lambda }^{\ast }{u}_{{\lambda }^{\prime }}\mathrm{d}V=\delta (\lambda -{\lambda }^{\prime }).$$

Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид
$$u=\int a_{\lambda }{u}_{\lambda }\mathrm{d}\lambda \text{, }$$

ставляют непрерывное множество чисел $a_{\lambda }$ и находятся из условия
$$\int u_{{\lambda }^{\prime }}^{\ast }u\mathrm{d}V=\int u_{{\lambda }^{\prime }}^{\ast }\mathrm{d}V{a}_{\lambda }{u}_{\lambda }\mathrm{d}\lambda =\int a_{\lambda }d\lambda \int u_{{\lambda }^{\prime }}^{\ast }{u}_{\lambda }^{\prime }\mathrm{d}V=$$
$$=\int a_{\lambda }\mathrm{d}\lambda \delta ({\lambda }^{\prime }-\lambda )=a_{{\lambda }^{\prime }}.$$

Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям является суммой ряда (17.21) и интеграла (17.30):
$u=\sum _n{a}_n{u}_n+\int a_{\lambda }{u}_{\lambda }{\mathrm{d}}_{\lambda }$.
причем коэффициенты $a_n$ и $a_{\lambda }$ определяются формулами (17.22) и (17.31). Суммирование и интегрирование в (17.32) распространено на всю область изменения соответствующих переменных.

Формула для суммы произведений собственных функций. Из формулы (17.21) для разложения произвольной функции по системе собственных функций может быть получено важное соотношение для суммы произведений собственных функций. Подставляя (17.22) в (17.21), находим
$$u(x)=\sum _i{a}_i{u}_i(x)=$$
$$\begin{array}{l}=\sum _i\int u_i^{\ast }\left(x^{\prime }\right)u\left(x^{\prime }\right)\mathrm{d}{x}^{\prime }{u}_i(x)=\\ =\int \mathrm{d}{x}^{\prime }u\left(x^{\prime }\right)[\sum _i{u}_i^{\ast }\left(x^{\prime }\right)u_i(x)].\end{array}$$

Сравнивая (17.33) с (17.28), заключаем, что
$$\sum _i{u}_i^{\ast }\left(x^{\prime }\right)u_i(x)=\delta (x-x^{\prime }).$$

Аналогичное соотношение може І быть получено и в случае непрерывного спектра. Подставляя (17.31) в (17.30), находим
$$\begin{array}{l}u(x)=\int a_{\lambda }{u}_{\lambda }(x)\mathrm{d}\lambda =\\ =\int u_{\lambda }(x)\mathrm{d}\lambda \int u_{\lambda }^{\ast }\left(x^{\prime }\right)u\left(x^{\prime }\right)\mathrm{d}{x}^{\prime }=\\ =\int \mathrm{d}{x}^{\prime }u\left(x^{\prime }\right)\int u_{\lambda }^{\ast }\left(x^{\prime }\right)u_{\lambda }(x)\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Отсюда следует, что
$\int u_{\lambda }^{\ast }\left(x^{\prime }\right)u_{\lambda }(x)\mathrm{d}\lambda =\delta (x-x^{\prime })$.