Излагается физическая интерпретация математического ашарата квантовой механики

Постулаты квантовой механики. В классической механике для описания движения частиц используются координаты, импульсы частиц и другие физические величины, называемые дuнамическими переменными. В каждый момент времени они имеют определенные числовые значения. Главная задача описания движения частиц в классической механике состоит в определении зависимости динамических переменных от времени.

В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности того или иного значения динамической переменной и о среднем значении динамической переменной, а не об ее определенном числовом значении в данный момент времени и изменении этого значения со временем. Поэтому классическое описание движения частицы и выражение динамических переменных в виде функций времени теряют смысл. Основные положения квантовой механики аксиоматически могут быть сформулированы в виде следующих четырех постулатов (более общая формулировка этих постулатов дана в § 23).
1. Состояние движения частицы описывается волновой функцией $\Psi$.
2. Каждая динамическая переменная представляется определенным линейным эрмитовым оператором.
3. При измерении числового значения некоторой динамической переменной, изображаемой оператором $\hat{A}$, с определенной вероятностью получается одно из чисел $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}, \ldots$, являющихся собственными значениями оператора $\hat{A}$.
Вероятность получения при изме-
рении того или иного значения $\lambda_{i}$ вычисляется с помощью следующего правила. Обозначим $u_{n}$ собственные функции оператора $\hat{A}$ измеряемой динамической переменной
$\hat{A} u_{n}=\lambda_{n} u_{n}$,
которые составляют полную ортонормированную систему, и разложим нормированную волновую функцию $\Psi$ по этой системе собственных функций:
$\Psi=\sum_{m} a_{m} u_{m}$
Вероятность того, что при измерении динамической переменной $A$ будет получено числовое значение $\lambda_{n}$, равна $\left|a_{n}\right|^{2}$.
4. Волновая функция $\Psi$ подчиняется уравнению Шредингера (16.16).
Вычисление средних значений динамических переменных. В теории вероятностей среднее значение величины $\langle A\rangle$, принимающей значения $\lambda_{n}(n=1,2, \ldots)$ с вероятностями $\left|a_{n}\right|^{2}$, вычисляется по формуле
$\langle\hat{A}\rangle=\sum_{n} \lambda_{n}\left|a_{n}\right|^{2}$.
Это правило может быть обобщено: среднее значение динамической переменной, представляемой оператором $\hat{A}$, в состоянии, характеризуемом волновой функцией $\Psi$, задается формулой
$\langle\hat{A}\rangle=\int \Psi^{*} \hat{A} \Psi \mathrm{d} V$.
Если представить $\Psi$ и $\Psi *$ в виде рядов (17.21) и подставить полученные ряды в (18.2), то, произведя необходимые действия, получим формулу (18.1), что доказывает обоснованность (18.2).
Оператор координаты. Операторы, представляющие динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Выбор их конкретного вида определяется согласием полученных с их помощью результатов с экспериментами.

Величина $\Psi *(x) \Psi(x)$ характеризует плотность вероятности нахождения частицы в точке $x$ (для простоты написания формул рассматриваем случай одного измерения). Следовательно, среднее значение координаты $\langle x\rangle=\int \Psi^{*}(x) \Psi(x) x \mathrm{~d} x=\int \Psi^{*}(x) x \Psi(x) \mathrm{d} x$.

Сравнение (18.3) с (18.2) показывает, что в качестве оператора координаты $x$ следует выбрать оператор умножения на эту координату, т.е. применение оператора координаты $\hat{x}$ к некоторой функции $f(x)$ сводится к умножению этой функции на $x: \hat{x} f(x)=$ $=x f(x)$, т. е. оператор $\hat{x}=x$.

Оператор импульса. Для нахождения оператора импульса вспомним, что, согласно гипотезе де Бройля, свободная частица, имеющая импульс $p_{x}$, представляется плоской волной с волновым числом $k_{x}=p_{x} / \hbar$ и частотой $\omega=E / \hbar$. Поэтому следует потребовать, чтобы уравнение на собственные значения для импульса
\[
\hat{p}_{x} \Psi=p_{x} \Psi
\]

имело решение в виде плоских волн: $\Psi=A \mathrm{e}^{-i\left(\omega t-k_{x} x\right)}=A \mathrm{e}^{-i\left(E t-p_{x} x\right)}$,
где $A$-несущественная для данного вопроса нормировочная постоянная.

Сравнение (18.4) с (18.5) показывает, что в качестве оператора импульса $\hat{p}_{x}$ следует выбрать оператор
\[
\hat{p}_{x}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \text {. }
\]

При таком выборе оператора $\hat{p}_{x}$ уравнение (18.4) удовлетворяется функцией (18.5). Аналогично выражаются и другие составляющие оператора импульса. Поэтому в векторной фор-
ме оператор импульса можно записать в виде
$\hat{\mathbf{p}}=\frac{\hbar}{i}\left(\mathbf{i}_{x} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{i}_{y} \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{i}_{z} \frac{\partial}{\partial z}\right)=\frac{\hbar}{i}
abla$,
где $\mathbf{i}_{x}, \mathbf{i}_{y}, \mathbf{i}_{z}$-орты.
Гамильтониан. В классической физике функцией Гамильтона называется полная энергия, выраженная через импульсы и координаты частиц. Для одной частицы полная энергия сводится к сумме кинетической и потенциальной энергий:
\[
H(\mathbf{r}, \mathbf{p})=p^{2} /(2 m)+E_{\text {п }}(\mathbf{r}) .
\]

В квантовой механике функции Гамильтона должен соответствовать оператор. Он получается в результате подстановки в (18.8) вместо р оператора $\hat{\mathbf{p}}$ из (18.7):
\[
\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+E_{\mathrm{n}}(\mathbf{r})=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+E_{\mathrm{n}}(\mathbf{r}) .
\]

Момент импульса частицы. В классической физике момент импульса частицы определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс:
\[
\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}
\]

или в координатном виде
$L_{x}=y p_{z}-z p_{y}$,
$L_{y}=z p_{x}-x p_{z}$,
$L_{z}=x p_{y}-y p_{x}$
В квантовой теории проекциям момента импульса ставятся в соответствие операторы следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\hat{L}_{x}=\frac{\hbar}{i}\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right), \\
\hat{L}_{y}=\frac{\hbar}{i}\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right), \\
\hat{L}_{z}=\frac{\hbar}{i}\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right) .
\end{array}
\]

Оператор полной энергии. Оператор полной энергии $\hat{E}$ следует выбрать так, чтобы его собственные значения были равны энергии $E$ частицы. Найдем его возможный вид на примере свободной частицы, обобщив результат на общий случай. Необходимо потребовать, чтобы уравнение
\[
\hat{E} \Psi=E \Psi
\]

имело решение в виде плоской волны (18.5), описывающей свободную частицу с энергией $E$. Легко заметить, что
$\hat{E}=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}$.
Найденный для частного случая вид оператора полной энергии (18.14) обобщается на произвольный случай.

Оператор произвольной функции динамических переменных. Приведенные примеры операторов наводят на мысль, что если имеется некоторая функция $F(x, p)$ динамических переменных $(x, p)$, то соответствующий этой функции оператор $\hat{F}$ получается заменой величины $p$ ее операторным выражением (18.7). Во всех приведенных выше случаях это правило выполняется. Однако в общем случае поступать так нельзя, поскольку получающийся при этом оператор $\hat{F}\left(x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\right)$ не является самосопряженным и, следовательно, не может быть использован в квантовой механике. Так можно поступать лишь в том случае, когда получающийся оператор самосопряжен. В частности, если
$F(x, p)=F_{1}(x)+F_{2}(p)$,
то соответствующий оператор записывается следующим образом:
$\hat{F}=\hat{F}_{1}(x)+\hat{F}_{2}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\right)$.
Условие одновременной измеримости различных динамических перемеи-
ных. Выше было отмечено, что при измерении динамической переменной получается вполне определенное числовое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией измеряемой динамической переменной. Но собственные функции операторов различных динамических переменных, вообще говоря, различны, поэтому различные динамические переменные не могут при измерениях одновременно давать определенные числовые значения. Однако при определенном условии это возможно. Необходимым и достаточным условием является коммутативность операторов этих динамических переменных. Доказательство необходимости условия состоит в следующем.
Пусть операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ имеют общие собственные функции и, следовательно, соответствующие динамические переменные одновременно измеримы. Тогда из уравнений
$\hat{A} u=\alpha u, \hat{B} u=\beta u$
находим, что
$\hat{A} \hat{B} u=\beta \hat{A} u=\beta \alpha u$,
$\hat{B} \hat{A} u=\alpha \hat{B} u=\alpha \beta u$.
Отсюда видно, что операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют:
$\hat{A} \hat{B}=\hat{B} \hat{A}$.
Доказательство достаточности условия проводится следующим образом. Если операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют, то, обозначив для определенности собственную функцию оператора $\hat{B}$ через $u$, т.е. считая, что
$\hat{B} u=\beta u$,
можно на основании (18.18) и (18.19) написать
$\hat{B} \hat{A} u=\hat{A} \hat{B} u=\beta \hat{A} u$.
Это означает, что функция $\hat{A} u$-собственная функция оператора $B$, принадлежащая собственному значению $\beta$. Но, согласно (18.19), собственной функцией оператора $\hat{B}$, принадлежащей собственному значению $\beta$, является функция $u$. Следовательно, функции $\hat{A} u$ и $u$ совпадают с точностью до числового множителя $\alpha$ :
\[
\hat{A} u=\alpha u \text {. }
\]

Это равенство показывает, что $u$-собственная функция оператора $\hat{A}$, т. е. операторы $\hat{B}$ и $\hat{A}$ имеют общую собственную функцию и поэтому соответствующие им динамические переменные одновременно измеримы. Теорема доказана.

Принцип дополнительности. Из изложенного выше следует, что в квантовой механике для описания движения частиц нельзя пользоваться одновременно всеми теми переменными, которыми пользуются при описании движения частиц в классической механике. Координата и соответствующий этой координате импульс частицы могут быть примером пары таких переменных. Следовательно, в квантовой механике состояние движения описывается меньшим числом переменных и является менее подробным, чем в классической физике, описанием.

Выберем всевозможные физические величины, операторы которых коммутируют между собой. Эти величины одновременно имеют определенные значения. Их совокупность дает полное квантово-механическое описание и составляет полный набор величин в квантовой механике, хотя в классической механике для полного описания движения необходимо пользоваться одновременно с этими величинами также и другими.

Выбрав в качестве полного набора величин некоторые конкретные величины (например, в числе прочих-
координаты), мы исключим из рассмотрения другие (в данном случае в числе прочих – импульсы), операторы которых не коммутируют с ними и, следовательно, не могут входить в тот же самый полный набор. Однако эти другие величины, в свою очередь, могут входить в другой полный набор, которым можно также пользоваться для описания движения. В частности, можно пользоваться координатами и временем и тогда получим описание системы, рассматриваемой в пространстве и времени, но можно пользоваться и импульсно-энергетическими переменными и тогда получается описание, в котором как бы теряется связь с пространством и временем. Таким образом, ситуация такова: либо выбирается один полный набор величин, тогда при рассмотрении физического явления нельзя учесть некоторые важные особенности, которые связаны с величинами, не входящими в рассматриваемый набор, либо выбирается другой полный набор величин и тогда теряется то, что связано с величинами первого набора. В этом и состоит сущность принципа дополнительности.
Из изложенного видно, что принцип дополнительности является просто констатацией ситуации, которая существует в квантовой механике. Но при истолковании принципа дополнительности необходимо иметь в виду следующие обстоятельства.
Прежде всего возникает вопрос об источнике дополнительности. Очевидно, что дополнительность возникает вследствие тех же обстоятельств, в результате которых возникают и другие квантовые закономерности, т.е. обусловливается свойствами микрочастиц, из-за чего их нельзя рассматривать ни с чисто корпускулярной, ни с чисто волновой позиции. В некотором смысле принцип дополнительности и есть констатация наличия этих двух сторон в одном явлении. Поэтому попытка связать принцип дополнительности с существованием двух классов измерительных приборов и с какими-то особенностями измерения некорректна.

Далее необходимо определить значение принципа дополнительности. Иногда односторонне подчеркивается различие двух сторон дополнительности и забывается об их единстве. Говорится, что можно принять во внимание одни стороны явления, но тогда из виду ускользают другие, и наоборот. Однако необходимо заметить, что речь идет о различных подходах к рассмотрению одной и той же объективной сущности. Поэтому различные подходы к изучению и истолкованию явлений не исключают, а дополняют друг друга. Всестороннее изучение явления возможно лишь тогда, когда оно действительно изучается со всех сторон. Принцип дополнительности и указывает на то обстоятельство, что в явлении имеется несколько сторон. Неправильное толкование принципа дополнительности состоит в попытке свести его содержание к требованию изучать явления только с какой-либо одной стороны.

Чистые и смешанные состояния. Для того чтобы полностью определить волновую функцию, описывающую данное состояние, необходимо посредством измерений задать полный набор динамических переменных. Волновая функция рассматриваемого состояния является собственной функцией операторов, представляющих полный набор физических величин. При этом условии волновая функция определяется полностью и дает максимально полное описание системы, которое возможно в квантовой меха-
нике. Такого рода состояния, описываемые полностью определенной волновой функцией, называются чистыми.
В чистых состояниях осуществляется максимально полное описание состояния квантовой системы.
Однако в квантовой механике возможны и такие состояния, которым не соответствует никакая волновая функция. Это возможно в том случае, когда по каким-либо причинам нельзя определить состояние с помощью полного набора величин и надо довольствоваться неполным описанием. В этом случае в результате измерений физических величин в рассматриваемой системе можно установить:
a) какие чистые состояния $\Psi_{1}, \Psi_{2}$, $\Psi_{3}, \ldots$ присутствуют в исследуемом состоянии, поскольку известно, каким чистым состояниям соответствуют те или иные значения физических величин;
б) вероятности $\mathscr{P}_{1}, \mathscr{P}_{2}, \mathscr{P}_{3}, \ldots$, с которыми чистые состояния $\stackrel{3}{\Psi}, \stackrel{,}{\Psi}_{2}$, $\Psi_{3}, \ldots$ присутствуют в исследуемом состоянии, поскольку вероятность может быть вычислена по относительной частоте появления того или иного результата измерения.
Однако по этим данным невозможно построить волновую функцию исследуемого состояния, потому что в ожидаемом на основании принципа суперпозиции представлении
$\Psi=\sum_{n} a_{n} \Psi_{n}$
известны лишь квадраты модулей коэффициентов $\left|a_{n}\right|^{2}=\mathscr{P}_{n}$, но неизвестны сами коэффициенты. Коэффициенты $a_{n}$ известны лишь с точностью до фазовых множителей $\exp \left(i \alpha_{n}\right)$. Таким образом, волновая функция в этом случае остается неопределенной. Состояния, которым нельзя сопоставить никакую волновую функцию, называются смешанными.

Смешанные состояния описываются набором волновых функций $\Psi_{1}$, $\Psi_{2}, \Psi_{3}, \ldots$ чистых состояний, входящих в смешанное состояние, и набором вероятностей $\mathscr{P}_{1}, \mathscr{P}_{2}, \mathscr{P}_{3}, \ldots$, с которыми чистые состояния $\stackrel{3}{\Psi}_{1}, \stackrel{\Psi}{\Psi}_{2}$, $\Psi_{3}, \ldots$ входят в смешанное.

Зная наборы волновых функций чистых состояний и соответствующие вероятности, можно вычислять средние значения физических величин в смешанном состоянии. Если физическая величина представлена оператором $\hat{A}$, то ее среднее значение
\[
\langle\hat{A}\rangle=\sum_{n} \mathscr{P}_{n} \int \Psi_{n}^{*} \hat{A} \Psi_{n} \mathrm{~d} V .
\]

Сравним (18.23) с формулой для среднего в чистом состоянии, т.е. в том случае, когда состояние описывается формулой (18.22):
\[
\begin{array}{l}
\langle\hat{A}\rangle=\int \Psi^{*} \hat{A} \Psi \mathrm{d} V=\sum_{n} a_{n}^{*} a_{n} \int \Psi_{n}^{*} \hat{A} \Psi_{n} \mathrm{~d} V+ \\
+\sum_{n
eq m} \sum_{m} a_{n}^{*} a_{m} \int \Psi_{n}^{*} \hat{A} \Psi_{m} \mathrm{~d} V= \\
=\sum_{n} \mathscr{P}_{n} \int \Psi_{n}^{*} \hat{A} \Psi_{n} \mathrm{~d} V+\sum_{n
eq m} \sum_{m} a_{n}^{*} a_{m} \int \Psi_{n}^{*} \hat{A} \Psi_{m} \mathrm{~d} V
\end{array}
\]

Гейзенберг Вернер (1901-1976) Немецкий физик, один из созддтелей современной физики, создатель квантовой механики (в матричной формулировке), автор принципа неогределенности Автор важных рдбот по структуре атомного ядра, релятивистской релятивистской квднтовой теории поля, теории ферромагнетизма, философии естествозндния
Сравнение (18.23) с (18.24) показывает, что в выражении для среднего в чистом состоянии присутствует дополнительный член, учитывающий интерференцию различных состояний, входящих в чистое состояние. Следовательно, смешанное состояние есть некогерентная смесь составляющих его чистых состояний, а чистое состояние есть когерентная смесь составляющих его чистых состояний.
Примером смешанного состояния может служить состояние молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, если имеется в виду их тепловое движение (а не внутреннее состояние). В этом случае волновыми функциями чистых состояний, входящих в смешанное состояние, являются плоские волны, а соответствующие вероятности даются распределением Максвелла.
Соотношение неопределенностей. Вычислим коммутатор операторов координаты $\hat{x}$ и импульса $\hat{p}$. Учитывая (17.7), находим
\[
\left[\hat{p}_{x}, \hat{x}\right]=\frac{\hbar \hat{\partial}}{i \partial x} x-x \frac{\hbar}{l} \frac{\partial}{\partial x}=\frac{\hbar}{l} .
\]

Аналогичные соотношения получаются и для других проекций координаты и импульса. Различные проекции этих операторов, очевидно, коммутируют. Например,
\[
\left[\hat{p}_{x}, y\right]=0 \text {. }
\]

Из (18.25) следует, что координата и импульс при измерении не могут давать одновременно определенных значений. Измеряя одновременно у частицы в некотором состоянии координату и импульс, мы будем получать значения этих величин, разбросанные около некоторых средних. Такой разброс величин в математике характеризуется дисперсией или средним квадратичным отклонением. Соотношение неопределенностей, установленное Гейзенбергом и поэтому называемое соотноиением неопределенностей Гейзенберга, выражает связь между дисперсией координаты и импульса частицы.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Обозначим $\langle x\rangle$ и $\langle p\rangle$ средние значения координаты и импульса частицы (для простоты написания рассматриваем одно измерение). Дисперсии, характеризующие разброс величин около их средних значений, вычисляются по формулам $\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle=\left\langle(x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle=\left\langle x^{2}\right\rangle-$ $-2\langle x\langle x\rangle\rangle+\langle x\rangle^{2}=\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}$,
$\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle=\left\langle(p-\langle p\rangle)^{2}\right\rangle=\left\langle p^{2}\right\rangle-2\langle p\langle p\rangle\rangle+$ $+\langle p\rangle^{2}=\left\langle p^{2}\right\rangle-\langle p\rangle^{2}$.
** Одновременно измеримы динамические переменные, которые представляются коммутирующими операторами.
Состояния, описываемые полностью определенной волновой функцией, называются чистыми состояниями Состояния, которым нельзя сопоставить никакой волновой функции, называются смешанными состояниями. Смешанные состояния описываюся набором волновых функций чистых состояний, входящих в смешанное состояние, и вероятностями, с которыми чистые состояния входят в смешанное состояние.
Соотношение неопределенностей является математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств. Поэтому оно является объективной закономерностью, отражающей объективные свойства микрочастиц, и не обусловливается теми или иными особенностями измерения соотвествующих величин в конкретном эксперименте.
* Как вычисляются средние значения динамических переменных?
Напишите выражения для операторов координаты, импульса, момента импульса, потенциальной энергии
Что такое гамильтониан и оператор полной энергии частицы?
Что можно сказать об операторе функции динамических переменных
Для дальнейших расчетов удобно выбрать такую систему координат, в которой средняя величина координаты частицы и ее средний импульс равны нулю: $\langle x\rangle=0,\langle p\rangle=0$. В этой системе координат
\[
\begin{array}{l}
\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle=\left\langle x^{2}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x) x^{2} \Psi(x) \mathrm{d} x,( \\
\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle=\left\langle p^{2}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x) \hat{p}^{2} \Psi(x) \mathrm{d} x= \\
=-\hbar^{2} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x) \frac{\partial^{2} \Psi(x)}{\partial x^{2}} \mathrm{~d} x .
\end{array}
\]

Соотношение неопределенностей устанавливает связь между $\sqrt{\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle}$ и $\sqrt{\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle}$. Для нахождения этой связи рассмотрим интеграл
\[
I(\zeta)=\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\mathrm{d} \Psi(x)}{\mathrm{d} x}+\zeta x \Psi(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x,
\]

являющийся положительно-определенной функцией вещественной переменной $\zeta$. Он равен
\[
I(\zeta)=A \zeta^{2}-B \zeta+C \text {, }
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} \Psi * \Psi \mathrm{d} x=\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle, \\
B=-\int_{-\infty}^{\infty} x\left(\frac{\mathrm{d} \Psi^{*}}{\mathrm{~d} x} \Psi+\Psi * \frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x}\right) \mathrm{d} x= \\
=-\int_{-x}^{x} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\Psi^{*} \Psi\right) \mathrm{d} x=-\left.x \Psi * \Psi\right|_{-\infty} ^{\infty}+ \\
+\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} \Psi \mathrm{d} x=1,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
C=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} \Psi^{*}}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x} \mathrm{~d} x=-\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} \frac{\mathrm{d}^{2} \Psi}{\mathrm{d} x^{2}} \mathrm{~d} x= \\
=\left\langle p^{2}\right\rangle / \hbar^{2}=\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle / \hbar^{2} .
\end{array}
\]

Условие положительности величины I( ) на основании теоремы о корнях квадратного уравнения имеет вид $4 A C \geqslant B^{2}$.
Отсюда, заменив $A, B, C$ их выражениями из (18.32б) – (18.32г) и извлекая из обеих частей неравенства корень квадратный, получим соотношение неопределенностей
$\sqrt{\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle} \sqrt{\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle} \geqslant \hbar / 2$,
которое показывает, что импульс и координата частицы не могут одновременно иметь определенные значения и минимально возможное произведение дисперсий координат и импульсов ограничивается постоянной Планка. Величины $\sqrt{\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle}$ и $\sqrt{\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle}$ не могут быть одновременно равными нулю. Соотношение неопределенностей является математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств.

Соотношение неопределенностей между произвольными физическими величинами. Соотношение неопределенностей (18.34) может быть обобщено на произвольные физические величины. Пусть имеются две физические величины $L$ и $M$, операторы которых $\hat{L}$ и $\hat{M}$. Методом, который был использован при получении соотношения неопределенностей (18.34), может быть получено также и соотношение неопределенностей для величин $\hat{L}$ и $\hat{M}$, если только известен коммутатор этих операторов:
$[\hat{L}, \hat{M}]=i \hat{K}$.
где $\hat{K}$-эрмитов оператор. Это соотношение имеет вид
\[
\sqrt{\left\langle(\Delta L)^{2}\right\rangle} \sqrt{\left\langle(\Delta M)^{2}\right\rangle} \geqslant \frac{1}{2}|\langle K\rangle|,
\]

где $\left\langle(\Delta L)^{2}\right\rangle$ и $\left\langle(\Delta M)^{2}\right\rangle$ – средние квадратичные отклонения рассматриваемых физических величин:
$\left\langle(\Delta L)^{2}\right\rangle=\left\langle(L-\langle L\rangle)^{2}\right\rangle$,
$\left\langle(\Delta M)^{2}\right\rangle=\left\langle(M-\langle M\rangle)^{2}\right\rangle$,
a $|\langle K\rangle|-$ модуль среднего значения $\hat{K}$. Введем обозначения
$\Delta \hat{L}=\hat{L}-\langle L\rangle, \Delta \hat{M}=\hat{M}-\langle M\rangle$
и аналогично (18.31) рассмотрим интеграл
$I(\zeta)=\int|(\zeta \Delta \hat{L}-i \Delta \hat{M}) \Psi|^{2} \mathrm{~d} V$,
который является положительноопределенной функцией $\zeta$. Используя свойство самосопряженности операторов $\Delta \hat{L}$ и $\Delta \hat{M}$ и определение среднего, имеем
\[
\begin{array}{l}
I(\zeta)=\int(\zeta \Delta \hat{L}-i \Delta \hat{M}) \Psi\left(\zeta \Delta \hat{L}^{*}+i \Delta \hat{M}^{*}\right) \Psi * \mathrm{~d} V= \\
=\int \Psi *(\zeta \Delta \hat{L}+i \Delta \hat{M})(\zeta \Delta \hat{L}-\mathrm{i} \Delta \hat{M}) \Psi \mathrm{d} V= \\
=\int \Psi^{*}\left\{\zeta^{2}(\Delta \hat{L})^{2}-i \zeta[\Delta \hat{L}, \Delta \hat{M}]+\right. \\
\left.+(\Delta \hat{M})^{2}\right\} \Psi \mathrm{d} V=\zeta^{2}\left\langle(\Delta \hat{L})^{2}\right\rangle- \\
-i \zeta\langle[\Delta \hat{L}, \Delta \hat{M}]\rangle+\left\langle(\Delta \hat{M})^{2}\right\rangle .
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что $[\Delta \hat{L}$, $\Delta \hat{M}]=[\hat{L}, \hat{M}]=i \hat{K}$, и пользуясь условием (18.33) неотрицательности (18.40), находим:
$\sqrt{\left\langle(\Delta L)^{2}\right\rangle} \sqrt{\left\langle(\Delta M)^{2}\right\rangle} \geqslant \frac{1}{2}|\langle K\rangle|$,
что и требовалось получить.
Обычно для упрощения соотношение (18.41) записывают в виде
$\Delta L \Delta M \geqslant \frac{1}{2}|\langle K\rangle|$.
При этом необходимо учесть, что $\Delta L$ и $\Delta M$ в (18.42)-корни квадратные из дисперсий.

Таким образом, соотношение неопределенностей, которое существует между физическими величинами, полностью определяется правилом коммутации этих физических величин. Отсюда, в частности, следует, что если операторы двух физических величин коммутируют, то эти физические величины могут иметь одновременно определенные значения, так как произведение их дисперсий равно нулю [см. (18.17)].

Рассмотрим некоторые применения общей формулы (18.42) к конкретным случаям. Прежде всего получим с ее помощью соотношение неопределенности для координаты и импульса, найденных в (18.34) непосредственным вычислением. Соотношение коммутации для оператора импульса и координаты дается формулой (18.25). Сравнивая эту формулу с (18.35), видим, что надо принять
\[
\hat{L}=\hat{p}_{x}, \hat{M}=\hat{x}, i \hat{K}=\hbar / i \text {. }
\]

Принимая во внимание, что $|\langle K\rangle|=$ $=\hbar$, можно общее соотношение (18.41) с учетом (18.43) записать в виде
\[
\sqrt{\left\langle\left(\Delta p_{x}\right)^{2}\right\rangle} \sqrt{\left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle} \geqslant \frac{1}{2} \hbar,
\]

что совпадает с (18.34). В соответствии с (18.42) это соотношение обычно записывают более просто:
$\Delta p_{x} \Delta x \geqslant \frac{1}{2} \hbar$.
Соотношение неопределенности для проекции момента импульса на ось $Z$. В цилиндрической системе координат движение частицы вокруг оси $Z$ характеризуется величиной азимутального угла $\varphi$ и проекцией момента импульса частицы на ось $Z$. Оператор проекции момента импульса на ось $Z$ дается формулой (18.12). Нетрудно с помощью формул преобразования координат найти вид этого оператора
в цилиндрической системе координат:
$\hat{L}_{z}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial \varphi}$.
Перестановочное соотношение для $\varphi$ и $L_{z}$ находится аналогично (18.25):
\[
\left[\hat{L}_{z}, \varphi\right]=\frac{\hbar}{i} \text {. }
\]

Следовательно, в формуле надо положить
$\hat{L}=\hat{L}_{z}, \hat{M}=\varphi, i \hat{K}=\hbar / i$,
тогда [см. (18.42)]
$\Delta L_{z} \Delta \varphi \geqslant \frac{1}{2} \hbar$.
Этой формулой описывается связь неопределенности углового положения частицы с неопределенностью проекции ее углового момента на направление, перпендикулярное плоскости, в которой отсчитывается угол $\varphi$. Соотношение (18.49) означает, что если угол $\varphi$ для частицы задан, то проекция момента импульса частицы на́ ось $Z$ становится совершенно неопределенной. И, наоборот, если движение частицы характеризуется проекцией ее момента импульса на ось $Z$. то нельзя говорить ни о каком определенном положении частицы по азимутальному углу.

Соотношение неопределенности для энергии. Коммутатор для оператора энергии частицы $\hat{E}=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}$ и времени $t$ имеет вид
$[\hat{E}, t]=-\frac{\hbar}{i}$
и, следовательно, соответствующее соотношение неопределенности
$\Delta E \Delta t \geqslant \frac{1}{2} \hbar$.

Хотя по виду соотношение (18.51) аналогично соотношениям (18.49) и (18.45), его смысл совершенно иной. Это обусловлено двумя обстоятельствами.
1. Величиной, которая измеряется в эксперименте, является не полная энергия какого-то состояния, а разность энергий при переходе системы из одного состояния в другое.
2. Время непрерывно течет, поэтому нет той «средней точки», относительно которой можно было бы рассматривать $\Delta t$ как разброс какихто моментов времени.

Нетрудно виде’ь, чю эии два обстоятельства связаны друг с другом. Вследствие этого интерпретировать (18.51) аналогично интерпретации формул (18.49) и (18.45) невозможно. Ясно, что из-за отсутствия «неподвижной средней точки» $\Delta t$ в (18.51) может иметь только смысл продолжительности. С другой стороны, переходя от разброса энергии $\Delta E$ к разбросу разности энергии двух состояний $\Delta\left(E-E^{\prime}\right)$, надо удвоить правую часть неравенства, поскольку знаки изменения $\Delta E$ и $\Delta E^{\prime}$ могут быть произвольными. Поэтому [см. (18.51)]
$\Delta\left(E-E^{\prime}\right) \Delta t \geqslant \hbar$.
В этом соотношении под $\Delta t$ следует понимать отрезок времени, в течение которого реализуется переход системы из состояния с энергией $E$ в состояние с энергией $E^{\prime}$. Заметим, что это не есть продолжительность самого перехода из одного состояния в другое, а продолжительность того отрезка времени, на котором это событие происходит. Под $\Delta\left(E-E^{\prime}\right)$ понимается разброс выделяющейся при переходе энергии. Проще всего это иллюстрируется на примере из-
лучения атомов. При переходе электрона в атоме из одного состояния в другое излучается квант света. Однако известно, что спектральные линии излучения имеют определенную естественную ширину. Это означает, что излученные кванты не имеют строго определенных энергий, что соответствует разбросу в значениях разности энергий при переходе атома из одного квантового состояния в другое. Этот разброс в формуле (18.52) представляется величиной $\Delta\left(E-E^{\prime}\right)$. Таким образом, по естественной ширине линий излучения можно определить $\Delta\left(E-E^{\prime}\right)$, а затем с помощью формулы (18.52) вычислить время жизни атома в возбужденном состоянии относительно этого перехода:
$\Delta t=\tau \approx \hbar / \Delta\left(E-E^{\prime}\right)$.
Отсюда можно определить вероятность того, что система в единицу времени перейдет из одного состояния в другое. Эта вероятность равна обратному значению времени жизни системы относительно рассматриваемого перехода:
$\mathscr{P}=1 / \tau \approx \Delta\left(E-E^{\prime}\right) / \hbar$.
Соотношение неопределенности для энергии особенно ясно показывает, что существование соотношений неопределенности для величин в квантовой механике обусловливается не какими-то особенностями измерения, а внутренними особенностями самих квантовых систем.
Интерпретация соотношения неопределенностей. Соотношение неопределенностей – это математическое выражение наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств. Поэтому оно является объективной закономерностью, отражающей объективные свойства частиц, и не обусловливается теми или иными особенностями измерения соответствующих величин в конкретном эксперименте.

В процессе своего исторического развития человечество выработало понятия о закономерностях движения корпускул и о закономерностях волнового движения. Эти понятия были выработаны для макроскопических явлений. Они используются и при описании микроскопических явлений. Но они не адекватны реальным свойствам микрочастиц, которые не ведут себя ни как корпускулы, ни как волны. Соотношение неопределенности и отражает ту степень погрешности, которая допускается, когда эта сложная сущность частиц игнорируется, и поведение частиц описывается с помощью понятий и величин, свойственных чисто корпускулярной или волновой картине. Для понимания явлений микромира мы не обладаем другими понятиями, кроме понятий, свойственных чисто корпускулярной и чисто волновой картине. Поэтому весь анализ явлений микромира мы вынуждены вести в рамках этих понятий, которые неадекватно, односторонне и непопно отражают свойства объектов микромира. Если эти понятия абсолютизировать и не учитывать их односторонность и неполноту, то при анализе явлений микромира возникают многочисленные противоречия. Их наличие и служит объективным доказательством недостаточности понятий макроскопического опыта для теории движения микрочастиц. Эти противоречия устраняются, если учесть соотношение неопределенностей. Значит, понятия макроскопического опыта можно применять к анализу явлений микромира лишь учитывая соотношение неопределенностей. При познании зако-
номерностей микромира оно такой же важный элемент, как и сами понятия, которыми при этом пользуются.
Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего важность соотношения неопределенностей для анализа явлений микромира, движение электрона в основном состоянии атома водорода. В теории Бора точечный электрон движется по орбитам, которые квантованы. Однако его движение по квантованной орбите ничем не отличается от механического перемещения частицы вдоль траектории в классической механике. В рамках квантовой механики нельзя говорить о движении электрона по траектории, но можно говорить о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Это обстоятельство также связано с принципом неопределенности: если электрон зафиксирован в какой-то точке пространства в какой-то момент времени, то его импульс, а следовательно, и скорость становятся полностью неопределенными и понятие траектории теряет смысл. Распределение вероятностей координат электрона в атоме водорода рассмотрено в § 30 . Здесь достаточно заметить, что имеюлся вероятности пребывания электрона достаточно далеко от ядра и достаточно близко. Наиболее вероятным расстоянием в основном состоянии является расстояние до первой боровской орбиты в теории Бора. Это заключение в принципе может быть подтверждено экспериментально. В настоящее время проведено достаточно много измерений распределения плотности электронного облака в атомах и эти измерения находятся в хорошем согласии с предсказаниями квантовой механики.
Как показывает опыт, у всех атомов водорода в основном состоянии энергия ионизации одна и та же. Это означает, что полная энергия электрона в основном состоянии постоянна. Полная энергия слагается из двух частей: положительной кинетической энергии и отрицательной потенциальной энергии. Полная энергия электрона в основном состоянии атома водорода равна примерно – 13,6 эВ. Предположим, что мы не принимаем во внимание соотношения неопределенности и хотим понять распределение вероятностей электрона в рамках корпускулярной картины. Тогда мы сразу же приходим к противоречию. В самом деле, рассмогрим достаточно далекую от ядра точку, в которой электрон с определенной вероятностью может находиться. Потенциальная энергия, которую имеет электрон в этой точке, известна $\left[E_{\mathrm{n}}=-e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)\right]$. При достаточно большом расстоянии она может быть больше – 13,6 эВ, например равна – 12,5 эВ. Тогда, для того чтобы полная энергия была равна – 13,6 эВ, как это дается экспериментом, необходимо считать кинетическую энергию электрона в этой точке отрицательной, что бессмысленно. Таким образом, неосмотрительное применение корпускулярных понятий к анализу экспериментальных фактов сразу же привело к противоречию. Однако рассуждение, приведшее к противоречию, недопустимо из-за наличия соотношения неопределенности, поскольку понятие о положении электрона непригодно для описания движения электрона в атоме. Математически это выражается в том, что, зафиксировав координату электрона, мы неправомочны в дальнейших рассуждениях говорить об импульсе, а следовательно, и о кинетической энергии как об определенной величине.
Поэтому нельзя считать, что электрон в атоме одновременно имеет некоторые импульс и координаты. Следует заметить, что речь идет именно о том, что электрон не имеет определенных значений импульса и координаты, а не о том, что их нельзя одновременно измерить. Принцип неопределенности позволяет оценить, с какой точностью можно приближенно описать движение электрона в рамках картины движения точечной частицы по какой-то траектории с определенной скоростью, т.е. не о том, с какой точностью справедливы квантовые понятия, а о том, с какой точностью справедливы классические понятия. Нетрудно видеть, что в случае атома представление о движении электрона по некоторой траектории вообще ни в каком приближении невозможно. Это связано с тем, что если в качестве неопределенности импульса взять его максимально возможное значение, то для неопределенности координат получаются значения, имеющие порядок размеров атома. В других случаях с достаточной точностью можно говорить о движении электрона по траектории. Например, если заряженная частица пролетает в среде с перенасыщенным паром, то она оставляет за собой след. В этом случае приемлемо представление о движении частицы вдоль следа в пределах некоторой области, поперечные размеры которой вычисляются по соотношению неопределенности.
Пример 18.1. Волновая функция электрона в атоме водорода в состоянии с наименьшей энергией $\Psi(\mathbf{r})=\left(\pi a_{0}^{3}\right)^{-1 / 2} \mathrm{e}^{-r / a_{0}}$, где $\quad a_{0}=4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2} /\left(m e^{2}\right)=0,529 \times$ $\times 10^{-10} \mathrm{M}-$ радиус первой боровской орбиты. Собственная функция оператора импульса
$\Psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})=(2 \pi \hbar)^{-3 / 2} \mathrm{e}^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{r} / \hbar}$.
Найти вероятность того, что импульс электрона в атоме водорода заключен по модулю между $p$ и $p+\mathrm{d} p$.

Находим волновую функцию электрона в атоме водорода в $p$-представлении:
$C(\mathbf{p})=(2 \pi \hbar)^{-3 / 2} \int \Psi(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{r} / \hbar} \mathrm{d} V=$
Вычисление интеграла удобно вести в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль p:
\[
\begin{array}{l}
\int \exp \left(-r / a_{0}-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{r} / \hbar\right) \mathrm{d} V=2 \pi \int_{0}^{\infty} r^{2} \mathrm{~d} r \times \\
\times \int_{-1}^{+1} \exp \left(-r / a_{0}-i p r \cos \theta / \hbar\right) \mathrm{d} \cos \theta= \\
=[2 \pi \hbar /(i p)] \int_{0}^{\infty}\left\{\exp \left[\left(-1 / a_{0}+i p / \hbar\right) r\right]-\right. \\
\left.-\exp \left[\left(-1 / a_{0}-i p / \hbar\right) r\right]\right\} r \mathrm{~d} r= \\
=8 \pi a_{0}^{3} \hbar^{4} /\left(\hbar^{2}+a_{0}^{2} p^{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Следовательно, плотность вероятности, что импульс электрона равен $\mathbf{p}$, дается выражением
$|C(\mathbf{p})|^{2}=8 a_{0}^{3} \hbar^{5} /\left[\pi^{2}\left(\hbar^{2}+a_{0}^{2} p^{2}\right)^{4}\right]$.
Интегрируя его по всем направлениям импульса p, т.е. умножая на элемент объема в пространстве импульсов $4 \pi p^{2} \mathrm{~d} p$, находим вероятность того, что импульс электрона заключен по модулю между $p$ и $p+\mathrm{d} p$ :
$\mathscr{P}(p) \mathrm{d} p=\frac{32 a_{0}^{3} \hbar^{5} p^{2}}{\pi\left(\hbar^{2}+a_{0}^{2} p^{2}\right)^{4}} \mathrm{~d} p$.
Пример 18.2. Пользуясь соотношением неопределенности Гейзенберга, оценить минимальную энергию электрона в атоме водорода.

По соотношению неопределенности импульс электрона $p \approx \hbar / a$ и его кинетическая энергия $E_{\mathrm{\kappa}}=p^{2} /(2 m)=$ $=\hbar^{2} /\left(2 m a^{2}\right)$, где $a$-линейный размер
атома (по порядку величины), $m-$ масса электрона. Потенциальная и полная энергии электрона равны соответственно $E_{\mathrm{n}}=-e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} a\right), \quad E=$ $=E_{\mathrm{\kappa}}+E_{\mathrm{n}}=\hbar^{2} /\left(2 m a^{2}\right)-e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} a\right)$. Полная энергия $E=E(a)$ при малых $a$ положительна $[E(a \rightarrow 0) \rightarrow \infty]$, а при больших $a$-отрицательна и стремится при этом к нулю $[E(a \rightarrow$ $\rightarrow \infty) \rightarrow-0]$. Поэтому она имеет минимум при значении $a_{0}$, определяемом из условия $\partial E(a) / \partial a=0: a_{0}=$ $=4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2} /\left(m e^{2}\right)$. При $a=a_{0}$ движение электрона в атоме водорода устойчиво, а полная энергия равна $E\left(a_{0}\right)=$ $=-m e^{4} /\left(32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}\right)$, что в данном случае совпадает с точным значением минимальной энергии по теории Бора (14.19) и с соответствующим результатом квантовой теории атома водорода (30.24). Значение $a_{0}$ совпадает с радиусом Бора (14.18) атома водорода. Такое точное совпадение результатов является случайным и не содержит в себе какого-либо более глубокого смысла, поскольку в исходных предпосылках речь шла лишь о порядках величин.