Описываются различные представления квантовой динамики-картины Шредингера, Гейзенберга и картина взаимодейсгвия.

Картина динамики Шредингера. Эволюция системы во времени описывается уравнением Шредингера (23.3), в котором операторы $i \hbar \mathrm{d} \mid \mathrm{d} t, \hat{X}$ и $\hat{P}$ от времени явно не зависят. Оператор $\hat{H}$ для консервативной системы также не зависит явно от времени. Но в принципе уравнение (23.3) справедливо и при явной зависимости $\hat{H}$ от времени. Вся эволюция системы описывается изменением вектора состояния $|\Psi(t)\rangle$ во времени, в то время как операторы динамических переменных от времени не зависят. Следовательно, вся квантовая динамика системы представлена изменением во времени вектора состояния. Такая картина квантовой динамики системы называется картиной ІІредингера. Уравнением, описывающим квантовую динамику системы в этой картине, является уравнение Шредингера (23.3).

Рассмотрим случай, когда оператор $\hat{H}$ не зависит явно от времени. С учетом (21.92) видно, что решение уравнения (23.3) имеет вид
\[
|\Psi(t)\rangle=\mathrm{e}^{-\imath \hat{H} t / \hbar}|\Psi(0)\rangle=\hat{U}(t)|\Psi(0)\rangle,
\]

где
\[
\hat{U}(t)=\exp (-i \hat{H} t / \hbar) .
\]

Если выражающий экспоненту ряд сходится, то (21.1) дает решение уравнения Шредингера, которое полезно для многих применений. Заметим, что в тех случаях, когда ряд не сходится, формула (24.1) может быть тем не менее использована для выработки приемов, с помощью которых может быть найдено приближенное решение.
Оператор
\[
\hat{U}(t)=\mathrm{e}^{-i \hat{H} t / \hbar}
\]

удовлетворяет операторному уравнению
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \hat{U}=\hat{H} \hat{U}
\]

и называется пропагатором. Он осуществляет преобразование вектора состояния от одного момента времени к другому. Поскольку оператор $\hat{H}$ эрмитов, пропагатор $\hat{U}$ унитарен [см. (24.2a)]:
\[
\hat{U}^{+}(t) \hat{U}(t)=\hat{I} \text {. }
\]

Унитарность оператора $\hat{U}(t)$ обеспечивает сохранение нормы вектора состояния в процессе его изменения во времени:
$\langle\Psi(t) \mid \Psi(t)\rangle=\left\langle\Psi(0)\left|U^{+}(t) \hat{O}(t)\right| \Psi(0)\right\rangle=$ $=\langle\Psi(0) \mid \Psi(0)\rangle$,
где
$\langle\Psi(t)|=\left\langle\Psi(0)\left|\hat{U}^{+}(t),\right| \Psi(t)\right\rangle=$ $=U(t)|\Psi(0)\rangle$.

Таким образом, нормировка вектора состояния сохраняется с течением времени, меняется лишь его «направление» в гильбертовом пространстве. Изменение вектора состояния со временем сводится к его «вращению» в гильбертовом пространстве.

При явной зависимости $\hat{H}$ от времени имеется искушение записать решение уравнения (23.3) аналогично (24.1) в виде
\[
|\Psi(t)\rangle=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} \hat{H}\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}\right]|\Psi(0)\rangle .
\]

Формально (24.6) удовлетворяет уравнению (23.3), однако не представляет решения, так как экспоненциальный оператор не может быть опеределен степенным рядом. Это обусловлено некоммутативностью операторов $\hat{H}(t)$, относящихся к разным моментам времени
$\hat{H}\left(t_{1}\right) \hat{H}\left(t_{2}\right)-\hat{H}\left(t_{2}\right) \hat{H}\left(t_{1}\right)
eq 0 \quad\left(t_{1}
eq t_{2}\right)(24.7)$
Для нахождения оператора $\hat{U}(t)$ в этом случае и представления с его помощью решения в виде
$|\Psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\Psi(0)\rangle$
разобьем интервал времени $(0, t)$ на $N$ участков одинаковой длины $\Delta(t=$ $=N \Delta$ ), причем $\Delta$ выбирается очень малым, а $N$ соответственно очень большим. Решение уравнения Шредингера (23.3) для $t=\Delta$ можно с точностью до величин первого порядка по $\Delta$ представить в виде
\[
\begin{array}{l}
|\Psi(\Delta)\rangle=|\Psi(0)\rangle+\Delta\left(\frac{d|\Psi\rangle}{\mathrm{d} t}\right)_{0}= \\
=|\Psi(0)\rangle-\frac{i \Delta}{\hbar} \hat{H}(0)|\Psi(0)\rangle= \\
=\left[1-\frac{i \Delta}{\hbar} \hat{H}(0)\right]|\Psi(0)\rangle .
\end{array}
\]

С точностью до величин первого порядка по $\Delta$ равенство (24.9) в экспоненциальной форме записывается в виде соотношения
$|\Psi(\Delta)\rangle=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \Delta \hat{H}(0)\right]|\Psi(0)\rangle$.

Аналогично находим
\[
\begin{array}{l}
\left.|\Psi(2 \Delta)\rangle=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \Delta \hat{H}(\Delta)\right] \right\rvert\, \Psi(\Delta)= \\
=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \Delta \hat{H}(\Delta)\right] \exp \left[-\frac{i}{\hbar} \Delta \hat{H}(0)\right]|\Psi(0)\rangle .
\end{array}
\]

Продолжая этот процесс, окончательно получаем
Ввиду некоммутативности операторов $\hat{H}$ для различных моментов времени нельзя в (24.12) произвести сложение показателей экспонент и при $\Delta \rightarrow 0$ перейти к интегралу, получив формулу вида (24.6). Необходимо дать такое определение оператора $\hat{U}(t)$, которое обеспечивало бы более позднее применение оператора $\hat{H}\left(t_{2}\right)$ по сравнению с оператором $\hat{H}\left(t_{1}\right)$, если $t_{2}>t_{1}$. Другими словами, оператор $\hat{H}(t)$ должен стоять левее всех операторов, относящихся к предшествующим моментам времени. Такое определение дается с помощью процедуры упорядочения интеграла по времени, обозначаемой символом $\hat{T}$, которая математически выражается в виде
\[
\begin{array}{l}
\hat{U}(t)=\hat{T}\left\{\exp \left[-(i / h) \int_{0}^{t} \hat{H}\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}\right]\right\}= \\
=\lim _{N \rightarrow \infty} \prod_{m=0}^{N-1} \exp [-(i / \hbar) \hat{H}(m \Delta) \Delta] .
\end{array}
\]

Оператор (24.13) связывает векторы состояния $|\Psi(0)\rangle$ и $|\Psi(t)\rangle$ формулой (24.8). Он унитарен, поскольку представляет собой произведение унитарных операторов. Следовательно, и при явной зависимости гамильтониана $\hat{H}$ от времени изменение вектора состояния $|\Psi(t)\rangle$ во времени является «вращением» в гильбертовом пространстве. В общем случае пропагатор $\hat{U}\left(t_{2}, t_{1}\right)$, описывающий переход от вектора состьяния $\left|\Psi\left(t_{1}\right)\right\rangle$ к вектору состояния $\left|\Psi\left(t_{2}\right)\right\rangle$, имеет вид [см. (24.13)]
\[
\hat{U}\left(t_{2}, t_{1}\right)=\hat{T}\left\{\exp \left[-(i / \hbar) \int_{t_{1}}^{t_{2}} \hat{H}\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}\right]\right\} .
\]

Нетрудно доказать, что он удовлетворяет следующим условиям:
\[
\hat{U}\left(t_{3}, t_{2}\right) \hat{U}\left(t_{2}, t_{1}\right)=\hat{U}\left(t_{3}, t_{1}\right),
\]
$\hat{U}\left(t_{2}, t_{1}\right)=\hat{U}^{-1}\left(t_{2}, t_{1}\right)=\hat{U}\left(t_{1}, t_{2}\right)$.

Картииа динамики Гейзенберга. В картине Шредингера динамика системы представляется вращением вектора состояния в гильбертовом пространстве, базис пространства неподвижен и операторы динамических переменных не зависят от времени в этом базисе. Можно по своему усмотрению привести базис во вращательное движение. В результате вращение вектора состояния относительно базиса изменится, а операторы станут зависимыми от времени. Динамика системы при этом распределится соответствующим образом между динамикой операторов и динамикой вектора состояния. Такое распределение динамики можно произвести бесчисленными способами, выбирая различные «вращения» базиса. Один из крайних случаев, когда вся динамика переносится на вектор состояния, называется картиной ІІредингера. Другой крайний случай, когда вся динамика переносится на операторы, называется картиной Гейзенберга. В картине 1 ейзенберга вектор состояния постоянен. Промежуточные случаи называются промежуточными картинами динамики. Все эти картины динамики совершенно эквивалентны. Из промежуточных картин наиболее важной является представление взаимодействия, используемое в нестационарной теории возмущений (см. $\S 48$ ). Обозначая операторы и векторы в картине Шредингера индексами II, а в картине Гейзенберга-индексами $\Gamma$, запишем уравнение Шредингера в виде
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d}}{i \mathrm{~d} t}\left|\Psi_{\mathrm{UI}}(t)\right\rangle=\hat{H}_{\mathrm{W}}\left|\Psi_{\mathrm{W}}(t)\right\rangle .
\]

Среднее значение динамической переменной, представляемой в картине Шредингера независимым от времени
оператором $\hat{A}_{\mathrm{ш}}$ в состоянии $\left|\Psi_{\mathrm{W}}(t)\right\rangle$, дается формулой
$\langle A(t)\rangle=\left\langle\Psi_{\mathrm{U}}(t)\left|\hat{A}_{\mathrm{W}}\right| \Psi_{\mathrm{U}}(t)\right\rangle=$ $=\left\langle\Psi_{\mathrm{UI}}(0)\left|\hat{U}^{+}(t) \hat{A}_{\mathrm{UI}} \hat{U}(t)\right| \Psi_{\mathrm{UI}}(0)\right\rangle$,
где использована формула (24.8). Зависящий от времени оператор $\hat{A}_{\Gamma}(t)=\hat{O}^{+}(t) \hat{A}_{\mathrm{шI}} \hat{U}(t)$
является оператором динамической переменной $A$ в картине Гейзенберга. Не зависящий от времени вектор состояния $|\Psi(0)\rangle$ может рассматриваться как вектор состояния в картине Гейзенберга
$\left|\Psi_{\Gamma}\right\rangle=\left|\Psi_{\text {ш }}(0)\right\rangle$.
Само собой разумеется, вместо $|\Psi(0)\rangle$ в качестве не зависящего от времени вектора состояния в картине Гейзенберга можно взять вектор $\left|\Psi_{\text {ш }}\left(t_{0}\right)\right\rangle$, но использовать при этом для вычисления $\hat{A}_{\Gamma}(t) \quad$ в $\quad(24.18)$ пропагатор (24.14).
Уравнение движения для операторов $\hat{A}_{\Gamma}(t)$ в картине Гейзенберга получается непосредственно дифференцированием (24.18) по времени:
$i \hbar d \hat{A}_{\Gamma} / \mathrm{d} t=\hat{A}_{\Gamma} \hat{H}_{\Gamma}-\hat{H}_{\Gamma} \hat{A}_{\Gamma}=\left[\hat{A}_{\Gamma}, \hat{H}_{\Gamma}\right] \cdot(24.20)$ Это уравнение является уравнением движения в картине Гейзенберга. Оно эквивалентно уравнению Шредингера, но в нерелятивистской квантовой механике применяется реже. Однако в релятивистской квантовой теории поля более предпочтительна во многих случаях картина динамики Гейзенберга.
Картииа взаимодействия. Рассмотрим наиболее важный случай промежуточной картины, когда оператор Гамильтона $\hat{H}_{\text {ш }}$ состоит из не зависящей от времени части $\hat{H}_{\mathrm{M}}^{0}$ и зависящей от времени части $\hat{H}_{\mathbb{U}}^{(1)}(t)$ :
\[
\hat{H}_{\mathrm{ш}}(t)=\hat{H}_{\mathrm{UI}}^{(0)}+\hat{H}_{\mathrm{II}}^{(1)}(t) .
\]

Уравнение Шредингера для вектора состояния $\left|\Psi_{\text {шा }}(t)\right\rangle$ имеет вид
\[
-\frac{\hbar}{i \mathrm{~d} t}\left|\Psi_{\mathrm{II}}(t)\right\rangle=\left[\hat{H}_{\mathrm{II}}^{(0)}+\hat{H}_{\mathrm{II}}^{(1)}(t)\right]\left|\Psi_{\mathrm{UI}}(t)\right\rangle .
\]

Перейдем к промежуточной картине, в которой вращение базиса генерируется оператором $\hat{O}_{\text {III }}^{(0)}(t)$, удовлетворяющим уравнению
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)}=\hat{H}_{\mathrm{UI}}^{(0)} \hat{U}_{\mathrm{HI}}^{(0)} .
\]

Если бы в (22.21) было $\hat{H}_{\mathrm{UI}}^{(1)}(t)=0$, то с помощью оператора $\hat{U}_{\text {III }}^{(0)}$ можно было бы полностью снять вращение с вектора состояния и перейти к картине Гейзенберга. Однако при $\hat{H}_{\text {Ш }}^{(1)}(t)
eq 0$ оператор $\hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)}$ снимает с вектора состояния $|\Psi(t)\rangle$ лишь часть вращения. Остальная часть вращения генерируется гамильтонианом $\hat{H}_{\text {III }}^{(1)}(t)$. Очевидно, что
\[
\left|\Psi_{\mathrm{II}}(t)\right\rangle=\hat{U}_{\mathrm{WI}}^{(0)}\left(t, t_{0}\right)\left|\Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle,
\]

где $\left|\Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle$-вектор состояния во вращающемся базисе. Отметим, что в (24.24) все величины относятся к моменту времени $t$, а момент времени $t_{0}$ характеризует начало отсчета времени, поскольку $\hat{U}_{[1}^{(0)}\left(t, t_{0}\right)=\hat{I}$. Индекс «в» указывает, что этот вектор характеризует состояние в картине взаимодействия. Из (22.24) следует, что
\[
\left|\Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle=\hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)+}\left(t, t_{0}\right)\left|\Psi_{\mathrm{UI}}(t)\right\rangle
\]

и поэтому
\[
\left|\Psi_{\mathrm{B}}\left(t_{0}\right)\right\rangle=\left|\Psi_{\mathrm{II}}\left(t_{0}\right)\right\rangle,
\]
т. е. при $t=t_{0}$ кет-вектор состояния в картине взаимодействия совпадает с кет-вектором в картине Шредингера. Это означает, что в этот момент осуществляется переход во вращающийся базис.

Уравнение для $\left|\Psi_{\text {в }}(t)\right\rangle$ может быть найдено дифференцированием
(24.25) по времени:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left|\Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle= \\
=-\frac{\hbar \mathrm{d} \hat{U}_{\mathrm{UI}}^{(0)+}}{i}\left|\Psi_{\mathrm{UI}}(t)\right\rangle-\frac{\hbar}{i} \hat{U}_{\mathrm{UI}}^{(0)}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left|\Psi_{\mathrm{II}}(t)\right\rangle= \\
=-\hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)+} \hat{H}_{\mathrm{UI}}^{(0)} \mid \Psi_{\mathrm{II}}(t)>+ \\
+\hat{U}_{\mathrm{uI}}^{(0)}+\left(\hat{H}_{\mathrm{UH}}^{(0)}+\hat{H}_{\mathrm{UI}}^{(1)}\right)\left|\Psi_{\mathrm{m}}(t)\right\rangle= \\
=\hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)+} \hat{H}_{\mathrm{HI}}^{(1)}\left|\Psi_{\mathrm{III}}\right\rangle= \\
=\hat{U}_{\mathrm{WI}}^{(0)+} \hat{H}_{\mathrm{IU}}^{(1)} \hat{U}_{\mathrm{UH}}^{(0)} \hat{U}_{\mathrm{W}}^{(0)+}\left|\Psi_{\mathrm{WI}}(t)\right\rangle= \\
\left.=\hat{U}_{\mathrm{UI}}^{(0)+} \hat{H}_{\mathrm{UI}}^{(1)} \hat{U}_{\mathrm{UI}}^{(0)} \mid \Psi_{\mathrm{B}}(t)\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что
$\hat{H}_{\mathrm{B}}^{(1)}(t)=\hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)+} \hat{H}_{\mathrm{II}}^{(1)} \hat{U}_{\mathrm{II}}^{(0)}$
– гамильтониан $\hat{H}(1)$ во вращающемся базисе, окончательно запишем уравнение (24.26) в виде
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left|\Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle=\hat{H}_{\mathrm{B}}^{(1)}(t)\left|\Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle .
\]

Следовательно, эволюция вектора состояния в картине взаимодействия определяется гамильтонианом $\hat{H}_{\mathrm{B}}^{(1)}$. Зависимость операторов динамических переменных от времени во вращающемся базисе опеределяется оператором $\hat{U}(0)$ в соответствии с (24.18) формулой
$\hat{A}_{\mathrm{B}}(t)=\hat{U}_{\mathrm{UI}}^{(0)+} \hat{A}_{\mathrm{UI}} \hat{U}_{\mathrm{UI}}^{(0)}$,
а уравнение движения для операторов в картине взаимодействия дается формулой (24.20) в виде
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \hat{A}_{\mathrm{B}}=\left(\hat{A}_{\mathrm{B}} \hat{H}_{\mathrm{B}}-\hat{H}_{\mathrm{B}} \hat{A}_{\mathrm{B}}\right)=\left[\hat{A}_{\mathrm{B}}, \hat{H}_{\mathrm{B}}\right] .
\]

Физические результаты теории в картине взаимодействия и в картине Шредингера, конечно, одни и те же, как это следует из соотношений
\[
\begin{array}{l}
\left\langle A_{\mathrm{UI}} \mid \Psi_{\mathrm{W}}(t)\right\rangle=\left\langle A_{\mathrm{B}}(t) \mid \Psi_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle, \\
\hat{A}_{\mathrm{B}}(t)\left|A_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle=\hat{U}_{\mathrm{W}}^{(0)+} \hat{A}_{\mathrm{W}} \hat{U}_{\mathrm{W}}^{(0)} \hat{U}_{\mathrm{W}}^{(0)+}\left|A_{\mathrm{U}}\right\rangle= \\
=U_{\mathrm{U}}^{(0)+} \hat{A}_{\mathrm{W}}\left|A_{\mathrm{U}}\right\rangle=A\left|A_{\mathrm{B}}(t)\right\rangle,
\end{array}
\]

которые доказываются с помощью (24.24) и (24.29).

Стационарные состояния. Пропагатор $\hat{U}(t)$ в картине Шредингера наиболее естественно выразить в энергетическом представлении. В качестве ортонормированного базиса в этом случае берутся собственные векторы $|E\rangle$ не зависящего от времени оператора Гамильтона $\hat{H}$, принадлежащие собственным значениям энергии $E$. Векторы $|E\rangle$ удовлетворяют не зависящему от времени уравнению Шредингера:
$\hat{H}|E\rangle=E|E\rangle$.
Вектор состояния $|\Psi(t)\rangle$ по формуле (21.74) может быть представлен в виде
\[
|\Psi(t)\rangle=\sum_{E}|E\rangle\langle E \mid \Psi(t)\rangle=\sum_{E} a_{E}(t)|E\rangle,
\]

где $a_{E}(t)=\langle E \mid \Psi(t)\rangle$. Применяя слева к обеим частям равенства (24.34) оператор $i \hbar \frac{\partial}{\partial t}-\hat{H}$, получаем
$(i \hbar \partial / \partial t-\hat{H})|\Psi(t)\rangle=0=$
\[
=\sum_{E}\left[\frac{i \hbar \mathrm{d} \alpha_{E}(t)}{\mathrm{d} t}-E a_{E}(t)\right]|E\rangle .
\]

Отсюда из-за полноты и ортонормированности базиса $|E\rangle$ получаем уравнения для каждого значения $E$
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{E}}{i} \mathrm{~d} t=E a_{E}(t),
\]

решения которых
\[
a_{E}(t)=a_{E}(0) \mathrm{e}^{-t E t / \hbar} .
\]

Следовательно [см. (24.34)],
\[
|\Psi(t)\rangle=\sum_{E}|E\rangle\langle E \mid \Psi(0)\rangle \mathrm{e}^{-i E t / \hbar} .
\]

Сравнивая (24.38) с определением пропагатора (24.8), получаем
$\hat{U}(t)=\sum|E\rangle\langle E| \mathrm{e}^{-I E t / \hbar}$.
Для непрерывного спектра собственных значений $E$ сумма в (24.39) заменяется интегралом. Состояние, описываемое зависящими от времени векторами
$|E(t)\rangle=|E\rangle \mathrm{e}^{-I E t / \hbar}$,
называется стационарным. Такое название обусловлено тем, что в этом состоянии вероятность $\mathscr{P}(A)$ получить в измерении динамической переменной, представляемой оператором $\hat{A}$, значение $A$ не зависит от времени:
$\mathscr{P}(A, t)=|\langle A \mid E(t)\rangle|^{2}=\left|\langle A \mid E\rangle \mathrm{e}^{-t E t_{i} / \hbar}\right|^{2}=$ $=|\langle A \mid E\rangle|^{2}=\mathscr{P}(A, 0)$.
Таким образом, понятие стационарного состояния не означает его независимости от времени, а отражает лишь независимость от времени результатов измерения динамических переменных.
Пример. 24.1. Рассмотрим линейный осциллятор в представлении чисел заполнения состояний (линейный осциллятор в $x$-представлении см. § 27).
Гамильтониан линейного осциллятора
$\hat{H}=\hat{p}^{2} /(2 m)+D \hat{x}^{2} / 2$
при переходе к операторам
$\hat{P}=\hat{p} / \sqrt{m \hbar \omega}, \hat{X}=\hat{x} \sqrt{D /(\hbar \omega)}$
принимает вид
$\hat{H}=(\hbar \omega / 2)\left(\hat{X}^{2}+\hat{P}^{2}\right)$.
Коммутатор операторов $\hat{X}$ и $\hat{P}$ равен $[\hat{X}, \hat{P}]=\sqrt{\frac{D}{\hbar \omega}} \cdot \frac{1}{\sqrt{m \hbar \omega}}[\hat{x}, \hat{p}]=\frac{1}{\hbar}[\hat{x}, \hat{p}]=i$.
Для дальнейших вычислений целесообразно перейти к оператору
$\hat{a}=(\hat{X}+i \hat{P}) / \sqrt{2}$
и сопряженному с ним оператору
$\hat{a}^{+}=(\hat{X}-i \hat{P}) / \sqrt{2}$,
которые не являются эрмитовыми. Из (24.46) следует, что
$\hat{a} \hat{a}^{+}=\left(\hat{X}^{2}+\hat{P}^{2}-i[\hat{X}, \hat{P}]\right) / 2=$
$=1 / 2\left(\hat{X}^{2}+\hat{P}^{2}+1\right)$,
$\hat{a}^{+} \hat{a}=\left(\hat{X}^{2}+\hat{P}^{2}+i[\hat{X}, \hat{P}]\right) / 2=$
$=1 / 2\left(\widehat{X}^{2}+\hat{P}^{2}-1\right)$,
и поэтому
$\hat{X}^{2}+\hat{P}^{2}=\hat{a} \hat{a}^{+}+\hat{a}^{+} \hat{a}=2 a^{+} \hat{a}+1$,
$\left[\hat{a}, \hat{a}^{+}\right]=1$.
С учетом (24.48 a) можно представить гамильтониан (24.43) в виде
$\hat{H}=\hbar \omega\left(\hat{a}^{+} \hat{a}+1 / 2\right)=\hbar \omega(\hat{N}+1 / 2)$,
где оператор
$\hat{N}=\hat{a}^{+} \hat{a}$
является эрмитовым.
Обозначим $|n\rangle$ собственный вектор оператора $\hat{N}$, принадлежащий собственному значению $n$. Собственный вектор $|n\rangle$ предполагается нормированным $\langle n \mid n\rangle=1$. Докажем, что собственные значения оператора $\hat{N}$ неотрицательны. Из соотношений
\[
\begin{array}{l}
\langle n|\hat{N}| n\rangle=\left\langle n\left|\hat{a}^{+} \hat{a}\right| n\right\rangle=\left(\langle n| \hat{a}^{+}\right)(\hat{a}|n\rangle)= \\
=\mid\langle\hat{a} \mid n\rangle)\left.\right|^{2} \geqslant 0, \hat{N}|n\rangle=n|n\rangle,\langle n|\hat{N}| n\rangle= \\
=n\langle n \mid n\rangle=n
\end{array}
\]

следует неравенство $n \geqslant 0$, которое требовалось доказать.

Кет-вектор $a^{+}|n\rangle$ является собственным вектором оператора $N$, принадлежащим собственному значению $n+1$, как это следует из соотношений
\[
\begin{array}{l}
\hat{N}\left(a^{+}|n\rangle\right)=\hat{a}^{+} \hat{a} \hat{a}^{+}|n\rangle=\hat{a}^{+}\left(\hat{a}^{+} \hat{a}+1\right)|n\rangle= \\
=\hat{a}^{+}(\hat{N}+1)|n\rangle=(n+1) \hat{a}^{+}|n\rangle, \quad(24.51
\end{array}
\]

если принять во внимание, что кетвектор $\hat{a}^{+}|n\rangle$ не равен нулю. Справедливость последнего утверждения обосновывается вычислением квадрата модуля этого вектора:
\[
\begin{array}{l}
\left.\left|\hat{a}^{+}\right| n\right\rangle\left.\right|^{2}=(\langle n| \hat{a})\left(\hat{a}^{+}|n\rangle\right)=\left\langle n\left|\hat{a} \hat{a}^{+}\right| n\right\rangle= \\
=\left\langle n\left|\hat{a}^{+} \hat{a}+1\right| n\right\rangle=\langle n|\hat{N}+1| n\rangle= \\
=(n+1)\langle n \mid n\rangle=n+1 \geqslant 1,
\end{array}
\]

поскольку $n \geqslant 1$.
Аналогично показывается, что кет-вектор $\hat{a}|n\rangle$ при $n
eq 0$ является собственным вектором $\hat{N}$, принадлежащим собственному значению $n-1$, а при $n=0$ и только при $n=0$ он является нулевым вектором, т.е. $a|0\rangle=0$ :
$\hat{\mathrm{N}}(a|n\rangle)=\left(\hat{a}^{+} \hat{a}\right) \hat{a}|n\rangle=\left(\hat{a} \hat{a}^{+}-1\right) \hat{a}|n\rangle=$ $=\left(\hat{a} \hat{a}^{+} \hat{a}-\hat{a}\right)|n\rangle=\hat{a}\left(\hat{a}^{+} \hat{a}-1\right)|n\rangle=$ $=\hat{a}(\hat{N}-1)|n\rangle=\hat{a}(n-1)|n\rangle=$ $=(n-1) \hat{a}|n\rangle$.
Так как $n \geqslant 0$, то $a|0\rangle=0$.
Из (24.51) и (24.53) заключаем, что действие операторов $a$ и $a^{+}$на собственные векторы оператора $\hat{N}$ дает другие собственные векторы оператора $\hat{N}$, за исключением действия оператора $\hat{a}$ на вектор $|0\rangle_{+_{+}}$Действуя повторно операторами $\hat{a}^{+}$и $\hat{a}$ на вектор $|n\rangle$, можно получить последовательность собственных векторов оператоpa $N$, принадлежащих собственным значениям $n, n+1, n+2, n+3, \ldots$ и $n-1, n-2, n-3, \ldots$ Во втором случае процесс ограничен условием неотрицательности собственного значения, однако нулевое собственное значение оператора $\hat{N}$ не исключается. Кет-вектор с нулевым собственным значением обозначается $|0\rangle$ и для него $\hat{a}|0\rangle=0$, где справа стоит нулевой вектор. Повторное применение оператора $a^{+}$к вектору $|0\rangle$ дает последовательность собственных векторов оператора $\hat{N}$, принадлежащих собственным значениям этого оператора, составляющим последовательность целых положительных чисел $n=0,1$, $2, \ldots$ Это означает, что собственные значения энергии гамильтониана (24.49) $E_{n}=\hbar \omega(n+1 / 2)$.
Поскольку вектор $a^{+}|n\rangle$ пропорционален нормированному собственному вектору $|n+1\rangle$, можно выбрать фазу нормированного вектора $|n\rangle$ так, чтобы было
\[
|n+1\rangle=\frac{1}{\sqrt{n+1}} \hat{a}^{+}|n\rangle \text {. }
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \hat{a}^{+}|n-1\rangle=\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}} \times \\
\times\left(\hat{a}^{+}\right)^{2}|n-2\rangle=\ldots=\frac{1}{\sqrt{n !}}\left(\hat{a}^{+}\right)^{n}|0\rangle .
\end{array}
\]

Базисные векторы $|n\rangle$ ортонормированы.

Из (24.55) находим матричные элементы олератора $a^{+}$:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle n^{\prime}\left|\hat{a}^{+}\right| n\right\rangle=\sqrt{n+1}\left\langle n^{\prime} \mid n+1\right\rangle= \\
=\sqrt{n+1} \delta_{n^{\prime}, n+1} .
\end{array}
\]

Так как $a=\left(a^{+}\right)^{+}$, то матричные элементы оператора $\hat{a}$
\[
\left\langle n^{\prime}|\hat{a}| n\right\rangle=\sqrt{n} \delta_{n^{\prime}, n-1} .
\]

Матрицы операторов $\hat{a}^{+}$и $\hat{a}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\hat{a}^{+}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & 0 & .
\end{array}\right), \\
\hat{a}=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & 0 & . \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{5} & .
\end{array}\right) . \\
\end{array}
\]

Из (24.46) получаем операторы
$\hat{X}=\left(\hat{a}^{+}+\hat{a}\right) / \sqrt{2}$,
$\hat{P}=i\left(\hat{a}^{+}-\hat{a}\right) / \sqrt{2}$,

матричные представления которых следуют из (24.59):
$\hat{X}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & 0 & . \\ 1 & 0 & \sqrt{2} & 0 & . \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & . \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & .\end{array}\right)$,
\[
\hat{P}=\frac{i}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccccc}
0 & -1 & 0 & 0 & . \\
1 & 0 & -\sqrt{2} & 0 & . \\
0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & . \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & . \\
. & . & . & . & .
\end{array}\right.
\]

Вектор произвольного состояния $|\Psi(t)\rangle$ может быть представлен в виде
\[
|\Psi(\mathrm{t})\rangle=\sum_{n} c_{n} \mathrm{e}^{-i(n+1 / 2) \omega t}|n\rangle .
\]