Рассматриваются опыты Резерфорда, приведшие к установлению ядерной модели атома. Излагается элементарная квантовая теория Бора строения и излучения атома водорода и ее элементарное обобщение на эллиптические орбиты с учетом конечной массы ядра.
Две модели строения атома. В начале $\mathrm{XX}$ в. реальность атомов стала общепризнанной; установлено существование положительных и отрицательных зарядов и открыт носитель отрицательного заряда -электрон; носитель положительных зарядов (протон) оставался неизвестным, но существование положительных ионов известно. Было ясно, что атомы составляют сложную электрическую систему, имеющую размер порядка $10^{-8} \mathrm{~cm}$. На повестку дня встал вопрос о строении атома. Поскольку в целом атом нейтрален, положительные и отрицательные заряды, входящие в атом, должны взаимно компенсироваться. Теоретически существовали две модели строения атома. Согласно первой модели (модель Томсона), по всему объему атома с некоторой объемной плотностью распределен положительный заряд. Электроны погружены в эту среду из положительного заряда. Электроны взаимодействуют с элементами положительно заряженной среды атома по закону Кулона. При отклонении электрона от положения равновесия возникают силы, которые стремятся возвратить его в положение равновесия. Благодаря этому возни-
кают колебания электрона. Колебания электронов обусловливают излучение атомов.
Вторая модель приписывала атому строение, аналогичное строению Солнечной системы: в центре находится положительно заряженное ядро, вокруг которого, подобно планетам, движутся электроны, удерживаемые у ядра силами кулоновского притяжения.
Каково строение атома в действительности, мог решить только эксперимент. Задача состояла в том, чтобы определить распределение электрического заряда в атоме. Основная идея заключалась в использовании того факта, что законы рассеяния заряженных частиц атомами зависят от распределения заряда в атоме. Зная эту зависимость, можно по рассеянию заряженных частиц на атомах определить распределение заряда в нем, т.е. экспериментально исследовать строение атома.
Формула Резерфорда. Точечные заряды взаимодействуют по закону Кулона. Поэтому прежде всего необходимо рассмотреть теорию рассеяния на силовом кулоновском центре.
Рассмотрим движение точечной частицы с массой $m_{1}$ и зарядом $e Z_{1}$ в кулоновском поле другой точечной частицы с массой $m_{2}$ и зарядом $e Z_{2}$ (рис. 47). Будем считать, что масса второй частицы много больше массы первой частицы $\left(m_{2} \gg m_{1}\right)$, так что вторую частицу можно считать неподвижной.
Из механики известно, что при движении в поле центральных сил наряду с энергией сохраняется также и момент импульса. Поэтому
\[
m_{1}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right) / 2+Z_{1} Z_{2} e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)=E=
\]
\[
=\text { const, }
\]
$-m_{1} r^{2} \dot{\varphi}=L=$ const $=m_{1} v b$,
47
К определению траектории движения заряженной частицы
К выводу формулы Резерфорда
где $v$-скорость рассеиваемой частицы на бесконечности, $b$-прицельное расстояние, т.е. расстояние наименьшего сближения частиц, если бы взаимодействие между ними отсутствовало. Точками обозначены производные по времени.
Введем новую независимую переменную $\rho=1 / r$ и учтем, что
$\dot{r}=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \varphi} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \varphi}\left(\frac{1}{\rho}\right) \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}=\frac{L}{m_{1}} \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \varphi}$.
Тогда [см. (14.1)]
$\left(\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \varphi}\right)^{2}=-\frac{2 m_{1} E}{L}-2 \frac{Z_{1} Z_{2} e^{2} m_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} L^{2}} \rho-\rho^{2}$.
Дифференцируя это выражение по $\varphi$, получаем для определения $\rho$ уравнение
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} \rho}{\mathrm{d} \varphi^{2}}+\rho=-\frac{Z_{1} Z_{2} e^{2} m_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} L^{2}}=C,
\]
общее решение которого
$\rho=C+A \cos \varphi+B \sin \varphi$.
Постоянные $A$ и $B$ могут быть найдены из условий: $r \rightarrow \infty, r \sin \varphi \rightarrow b$ при $\varphi \rightarrow \pi$. Тогда $A=C, B=1 / b$ и (14.3) примет вид
\[
1 /(r \sin \varphi)=C \operatorname{ctg}(\varphi / 2)+1 / b \text {. }
\]
Полагая в (14.4) $r \rightarrow \infty, \varphi \rightarrow \theta$, находим угол рассеяния:
\[
\operatorname{ctg} \frac{\theta}{2}=-\frac{1}{b C}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} v^{2} b}{Z_{1} Z_{2} e^{2}} .
\]
В эксперименте мы не можем измерить прицельное расстояние $b$ при единичном рассеянии на угол $\theta$. Поэтому необходимо перейти к статистическим характеристикам рассеяния. Дифференциальное поперечное сечение $\mathrm{d} \sigma$ упругого рассеяния в угол между $\theta$ и $\theta+\mathrm{d} \theta$ определяется в соответствии с формулой (7.1), как отношение числа частиц $\mathrm{d} N_{\theta}$, рассеянных в угол между $\theta$ и $\theta+\mathrm{d} \theta$, к потоку падающих частиц $N$ :
$\mathrm{d} \sigma=\mathrm{d} N_{\theta} / N$.
Из (14.5) следует, что все частицы, прицельные расстояния которых заключены между $b$ и $b+\mathrm{d} b$, будут рассеяны в угол между $\theta$ и $\theta$ – $\theta$. Число частиц с прицельными расстояниями между $b$ и $b+\mathrm{d} b$ равно числу частиц, падающих на кольцевую площадь радиусом $b$ и шириной $\mathrm{d} b$ : $\mathrm{d} N_{\theta}=N \cdot 2 \pi b \mathrm{~d} b$.
Дифференциальное поперечное сечение
\[
\mathrm{d} \sigma=2 \pi b|\mathrm{~d} b|=
\]
\[
=\pi\left(\frac{Z_{1} Z_{2} e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} v^{2}}\right)^{2} \frac{\operatorname{ctg}(\theta / 2)}{\sin ^{2}(\theta / 2)} \mathrm{d} \theta,
\]
где при вычислении взят модуль $|\mathrm{d} b|$, чтобы избежать отрицательного знака, поскольку поперечное сечение является положительной величиной. Отрицательный знак указывает на то, что при увеличении прицельного расстояния $b$ угол рассеяния уменьшается. Последнюю формулу можно записать следующим образом:
\[
\mathrm{d} \sigma=\frac{1}{4}\left(\frac{Z_{1} Z_{2} e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} v^{2}}\right)^{2} \frac{\mathrm{d} \Omega}{\sin ^{4}(\theta / 2)} .
\]
Здесь $\mathrm{d} \Omega=2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta$-телесный угол между конусами с углами $\theta$ и $\theta+\mathrm{d} \theta$ (рис. 48).
Формула (14.8) называется формулой Резерфорда. С ее помощью Резерфорд проанализировал результаты своих опытов по рассеянию $\alpha$-частиц на атомах и установил структуру атомов.
Опыты Резерфорда. Для своих опытов Резерфорд воспользовался $\alpha$-частицами, которые вылетают из атомов радиоактивных элементов. Альфа-частица является ядром атома гелия, т.е. несет с собой положительный заряд $2 e$ и имеет массу, равную примерно четырем массам протона. Поэтому для анализа рассеяния $\alpha$-частиц можно воспользоваться формулой (14.8) с $Z_{1}=2$. Масса атомов, на которых рассеиваются $\alpha$-частицы, предполагается много большей массы $\alpha$-частиц. Однако от этого ограничения легко освободиться, если под массой $m_{1}$ в формуле (14.7) понимать приведен-
ную массу системы из двух взаимодействующих частиц.
Пучок $\alpha$-частиц известной интенсивности направляется на тонкую мишень. Альфа-частицы рассеиваются на атомах мишени. Мишень берется достаточно тонкой для того, чтобы избежать многократных рассеяний, т.е. чтобы наблюдаемое отклонение $\alpha$-частиц было результатом одного рассеяния. Число $\alpha$-частиц, рассеиваемых атомами мишени на различные углы, подсчитывается с помощью специальных счетчиков.
Формула (14.8) с учетом (14.6) определяет число частиц, рассеянных одним рассеивающим центром. Если же число рассеивающих центров равно $n$, то число рассеянных в телесный угол $\mathrm{d} \Omega$ частиц равно
$\mathrm{d} N^{(n)}=n N\left(\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} v^{2}}\right)^{2} \frac{\mathrm{d} \Omega}{\sin ^{4}(\theta / 2)}$,
где $Z e$-заряд ядра рассеивающего атома. Если зафиксировать телесный угол $\mathrm{d} \Omega=$ const, в котором подсчитываются частицы под различными углами рассеяния $\theta$, то из (14.9) получаем
$\mathrm{d} N^{(n)} \sin ^{4}(\theta / 2)=$ const.
В эксперименте прежде всего было проверено соблюдение условия (14.10). Оказалось, что хотя каждый из сомножителей в левой части равенства (14.10) изменялся в тысячи раз, их произведение с большой точностью оставалось постоянным. Это означает, что формула (14.9) правильно описывает рассеяние и роль многократных рассеяний несущественна.
Заряд ядра. Все величины в формуле (14.9), за исключением $Z$, либо известны, либо могут быть измерены в эксперименте. Следовательно, эта формула позволяет определить число $Z$ для рассеивающих атомов. Оказалось, что число $Z$ равно порядковому номеру элемента в периодической системе элементов Менделеева. Это показало, что
элементы в периодической системе элементов располагаются не по возрастанию атомной массы, а по увеличению заряда $Z e$.
Это первый важный вывод из опытов Резерфорда.
Распределение заряда в атоме. Второй важный вывод касается распределения заряда в атоме. Многие частицы отклоняются на большие углы $\theta$, т.е. на углы $\theta=\pi / 2$ и больше. Такие большие углы отклонения возможны, если положительный заряд ядра сосредоточен в объеме, линейные размеры которого меньше прицельного расстояния, соответствующего по формуле (14.5) этим углам отклонения, т.е. меньше, чем
\[
b_{\text {макс }} \approx \frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(m_{1} v^{2} / 2\right)}=\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} E_{\mathrm{k}}},
\]
где $E_{\mathrm{k}}$-кинетическая энергия $\alpha$-частиц. В опытах Резерфорда использовались частицы с $E_{\mathrm{к}} \approx 5$ МэВ. При этих условиях для $Z=8$ находим по формуле (14.11), что $b_{\text {макс }} \approx 0,25 \cdot 10^{-12}$ см. Так как линейные размеры атома имеют порядок $10^{-8} \mathrm{~cm}$, то заряд, взаимодействие с которым вызвало рассеяние на такие большие углы, сосредоточен в очень малой области атома.
Если представить себе, что положительный заряд атома распределен по достаточно большому объему, то рассеяние на большие углы не происходит. Предположим, что положительный заряд равномерно распределен по объему сферы радиусом $r_{0}$. Поле вне сферы будет таким же, как и в случае, когда весь заряд сосредоточен в центре сферы. Поэтому $\alpha$-частица на расстояниях $r>r_{0}$ дви-
жется так же, как и в случае, когда заряд сосредоточен в центре сферы. На расстояниях же $r<r_{0}$ на $\alpha$-частицу действует сила лишь со стороны заряда, расположенного внутри сферы с радиусом $r$, т.е. сила, меньшая той, которая бы действовала на нее, если бы весь заряд был сосредоточен в центре сферы. Таким образом, если заряд равномерно распределен по сфере радиусом $r_{0}$, то при проникновении $\alpha$-частицы в область, занятую зарядом, сила, действующая на $\alpha$-частицу, ослабевает. Поэтому ее отклонение уменьшается по сравнению с тем случаем, когда весь заряд сосредоточен в центре сферы. Если радиус $r_{0}$ достаточно велик, а энергия $\alpha$-частиц не очень мала, отклонения на большие углы вообще невозможны. Если отклонения на большие углы происходят, то можно заключить, что заряд сосредоточен в области порядка $b_{\text {макс }}[$ см. (14.11)]. При энергиях $\alpha$-частиц, которые были доступны Резерфорду в его опытах, можно было заключить, что
положительный заря, атома сосредо гочен в области порядка $10^{-13} \mathrm{~cm}$
Эта область называется ядром атома. Вокруг ядра движутся электроны. Поскольку размеры атомов имеют порядок $10^{-8} \mathrm{~cm}$, можно заключить, что расстояние электронов от ядра имеет тот же порядок $10^{-8} \mathrm{~cm}$. Масса электронов очень мала по сравнению с массой атомов. Отсюда следует, что в основном вся масса атома сосредоточена в его ядре. Следовательно, опыты Резерфорда подтверждают планетарную модель атома:
в центре атома находится тяжело положительно заряженное ядро, во круг которого, подобно планетал вокруг Солнца, вращаются легкие от рицательно заряженные электроны.
Несовместимость планетарной модели атома с представлениями классической физики. Благодаря наличию центростремительного ускорения у движущихся вокруг ядра электронов они должны непрерывно излучать электромагнитные волны. В результате потери энергии на излучение радиус орбиты электронов должен непрерывно уменьшаться и в конце концов электроны должны упасть на ядро, т.е. с точки зрения классической физики атом в виде планетарной модели вообще существовать не может.
С точки зрения классической физики частота излучения атома должна совпадать с частотой обращения электронов и содержать также частоты, кратные этой основной частоте. Такой характер спектра излучения находится в полном противоречии с наблюдаемыми закономерностями атомных спектров. Были сделаны попытки учесть также релятивистские эффекты излучения электрона, движущегося вокруг ядра, и объяснить наблюдаемые закономерности атомных спектров. Однако эти попытки также не увенчались успехом.
Классическая планетарная модель атома не может быть также согласо-
Бор Нильс Хенрик Давнд (1885-1962)
Датский физик, один из основателей современной физики Создал теорию атома, основанную на планетарной модели и квантовых представлениях, которые легли в основу квантовой механики Автор вджных рабол по теории металлов, теории атомного ядра и ядерных реакций, общим вопросам философии естествознания
вана с выводами из теории излучения черного тела и опытов Франка – Герца о дискретности атомных состояний. С классической точки зрения электрон может описывать вокруг ядра всевозможные орбиты, обладая непрерывным спектром энергий. Идея о дискретном ряде возможных орбит электрона в атоме находится в глубоком противоречии с классической планетарной моделью атома.
Таким образом, с одной стороны, опыты Резерфорда подтверждают планетарную модель атома. С другой стороны, исходя из планетарной модели атома и пользуясь представлениями классической физики оказалось невозможным объяснить целый ряд установленных экспериментальных фактов и закономерностей. Необходимо было ввести в физику новые представления. Этот революционный шаг был сделан Н. Бором.
Постулаты Бора. Для объяснения новых экспериментальных фактов Н. Бор сформулировал два постулата.
1. Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях. Энергии стационарных состояний $E_{1}, E_{2}, E_{3}, \ldots$ образуют дискретный спектр.
2. При переходе атома из одного начального стационарного состояния с энергией $E_{n}$ в другое конечное состояние с энергией $E_{m}\left(E_{m}<E_{n}\right)$ происходит излучение кванта света, причем $\omega=\left(E_{n}-E_{m}\right) / \hbar$.
Правила квантования. Энергии стационарных состояний определяются правилом квантования. Если рассмотреть круговые орбиты электронов в атоме, то, согласно Бору, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент импульса $L$ электрона равен целому числу
49
Схема боровских круговых орбит и переходов между ними
50
Уровни энергии стационарных состояний электрона в атоме водорода
постоянных Планка $\hbar$ :
$L=n \hbar(n=1,2,3, \ldots)$.
Целое число $n$ называется квантовым числом.
Это правило квантования выделяет из всего множества орбит, допускаемых классической механикой,
лишь дискретное множество орбит, характеризуемых условием (14.13).
С помощью этого правила квантования нетрудно найти круговые стационарные орбиты водородоподобного атома и соответствующие энергии. В водородоподобном атоме электрон с зарядом $e$ вращается вокруг ядра с зарядом Ze. Масса ядра много больше массы электрона. Поэтому ядро можно считать неподвижным, а электрон-движущимся вокруг ядра по окружности радиуса $r$.
Действующая на электрон со стороны ядра сила притяжения $Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}\right)$ равна центростремительному ускорению электрона $v^{2} / r$, умноженному на его массу:
$Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}\right)=m v^{2} / r$.
Потенциальная и полная энергии электрона в поле ядра равны соответственно
\[
\begin{array}{l}
E_{\mathrm{n}}=-Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right), \\
E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{n}}=-Z e^{2} /\left(8 \pi \varepsilon_{\mathrm{o}} r\right) .
\end{array}
\]
Из правила квантования следует, что $m^{2} v^{2}=n^{2} \hbar^{2} / r^{2}$.
Исключая из (14.14) и (14.16) $v$, получаем радиус стационарной орбиты $r_{n}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}}{m e^{2}} \frac{1}{Z} n^{2}$.
Радиус первой орбиты $(n=1)$ в атоме водорода ( $Z=1$ ) равен
$a_{0}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}}{m e^{2}}=0,529 \cdot 10^{-10} \mathrm{M}$
и называется первым боровским радиусом. Схематически круговые стационарные орбиты в атоме водорода изображены на рис. 49.
Энергия $E_{n}$ электрона, находящегося на $n$-й стационарной орбите, определяется формулой (14.15), в которой под $r$ следует понимать радиус
$r_{n} n$-й орбиты. Следовательно,
\[
E_{n}=\frac{m Z^{2} e^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}} \text {. }
\]
Эта формула описывает уровни энергии стационарных состояний электрона в атоме водорода (рис. 50). При $n \rightarrow \infty$ уровни энергии сгущаются к своему предельному значению $E_{\infty}=0$. Состояние атома с наименьшей энергией $(n=1)$ называется основным.
Обобщение правил квантования на эллиптические орбиты. Круговые орбиты являются частным случаем орбиты электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. В общем случае движение электрона происходит по эллиптическим орбитам. Обобщение правил квантования на эллиптические орбиты было выполнено Ч. Вильсоном и А. Зоммерфельдом.
– Механическая система с $j$ степенями свободы описывается с помощью обобщенных координат $q_{i}(i=1,2$, $\ldots, j$ ) и обобщенных импульсов $p_{i}$, которые определяются формулой $p_{t}=\partial E_{\mathbf{x}} / \partial \dot{q}_{t}$,
где $E_{\mathrm{k}}$-кинетическая энергия системы, $\dot{q}_{1}$-производные по времени от обобщенных координат. Если система имеет $j$ степеней свободы, то на ее движение с помощью $j$ квантовых чисел $n_{i}(i=1,2, \ldots, j)$ накладывается $j$ квантовых условий, имеющих вид $\oint p_{t} \mathrm{~d} q_{\imath}=2 \pi \hbar n_{t} \quad\left(n_{t}=1,2,3, \ldots ;\right.$ $i=1,2, \ldots, j$ ).
В этом выражении в качестве обобщенных координат $q_{\imath}$ выбираются такие координаты, которые разделяются, т.е. в которых каждый импульс $p_{i}$ является функцией только от соответствующей обобщенной координаты $q_{i}$. В качестве области интегрирования выбирается вся область изменения соответствующей переменной.
Условия (14.20) позволяют из всего мыслимого по классической теории множества движений выделить некоторое счетное множество фактически допустимых движений, т.е. проквантовать движение системы.
Рассмотрим квантование эллиптических орбит водородоподобного атома. В качестве обобщенных координат выберем полярный угол $\varphi$ и расстояние $r$ электрона от начала координат совпадающего с точкой нахождения ядра, имеющего заряд $e Z$. Кинетическая энергия
$E_{\mathrm{x}}={ }^{1 / 2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\mathrm{p}}^{2}\right)$
и, следовательно, обобщенные импульсы
$p_{\varphi}=\partial E_{\mathrm{k}} / \partial \dot{\varphi}=m r^{2} \dot{\varphi}=$ const ,
$p_{r}=\partial E_{\mathbf{x}} / \partial \dot{r}=m \dot{r}$,
где постоянство $p_{\varphi}$-следствие центрального характера действующих сил. Запишем закон сохранения энергии:
\[
\begin{array}{l}
E=E_{\mathrm{x}}-Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)= \\
=\left(p_{r}^{2}+p_{\varphi}^{2} / r^{2}\right) /(2 m)-Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right) .
\end{array}
\]
Поскольку в случае плоского движения система обладает двумя степенями свободы, всего имеется два квантовых условия (14.20):
\[
\oint p_{\varphi} \mathrm{d} \varphi=2 \pi \hbar n_{\varphi},
\]
\[
\oint p_{r} \mathrm{~d} r=2 \pi \hbar n_{r},
\]
где целые числа $n_{\varphi}$ и $n_{r}$ называются азимутальным и радиальным квантовыми числами.
Из условия $p_{\varphi}=L=$ const следует, что
$p_{\varphi}=L=n_{\varphi} \hbar$,
где учтено, что $\varphi$ изменяется от 0 до $2 \pi$. Чтобы выполнить радиальное квантование (14.24), надо выразить обобщенный импульс $p_{r}$ в виде функции от r. ИЗ (14.22) следует $p_{r}=(A+2 B / r+$ $\left.+C / r^{2}\right)^{1 / 2}$, где
$A=2 m E, B=m Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right), C=n_{\varphi}^{2} \hbar^{2}$.
Поэтому условие радиального квантования (14.24) имеет вид
$\oint\left(A+2 B / r+C / r^{2}\right)^{1 / 2} \mathrm{~d} r=2 \pi \hbar n_{r}$,
причем область интегрирования включает в себя все возможные значения $r$, т.е. от минимального значения до максимального и обратно до минимального. Минимальные и максимальные значения $r$ являются теми значениями, при которых подынтегральное выражение обращается в нуль. Физически это соответствует тому, что в этих точках максимального приближения электрона к ядру и максимального удаления электрона от ядра радиальная скорость электрона обращается в нуль, а следовательно, обращается в нуль и радиальный импульс $p_{r}=m \dot{r}=0$. Интеграл (14.27) вычисляется обычными методами и равен $\oint\left(A+2 B / r+C / r^{2}\right)^{1 / 2} \mathrm{~d} r=$ $=-2 \pi i(\sqrt{C}-B / \sqrt{A})(i=\sqrt{-1})$.
Итак,
$\frac{i Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{m}{\sqrt{2 m E}}=\left(n_{\varphi}+n_{r}\right) \hbar$.
Отсюда
$E_{n}=-\frac{Z^{2} e^{4} m}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{\left(n_{r}+n_{\varphi}\right)^{2}}=$
$=-\frac{Z^{2} e^{4} m}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}}$,
где введено целое положительное число $n=n_{r}+n_{\varphi}$,
называемое главным квантовым числом. Сравнивая выражение (14.28) для энергии стационарных состояний в случае эллиптических орбит с выра-
жением для энергии (14.19) в случае круговых орбит, мы видим, что для эллиптических орбит получаются те же значения энергии, что и для круговых орбит, с той лишь разницей, что входящее в выражение энергии для круговых орбит квантовое число оказывается суммой азимутального и радиального квантовых чисел. Условиями квантования (14.23) и (14.24) из непрерывного множества всевозможных эллипсов отбираются лишь определенные эллипсы, размеры и форма которых определяются квантовыми числами $n_{\varphi}$ и $n_{r}$, причем все эллипсы, для которых $n_{\varphi}+n_{r}=$ const, энергетически эквивалентны определенной круговой орбите.
Спектральные серии атома водорода. В соответствии с условием частот Бора излучение атома происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. Пользуясь выражением (14.28), находим, что частота излучаемого света
$\omega_{n l}=R\left(1 / l^{2}-1 / n^{2}\right)$,
где
$R=Z^{2} e^{4} m /\left(32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{3}\right)$.
Формула (14.30) по виду совпадает с формулами (13.1)-(13.5), найденными эмпирически для частот, излучаемых атомом водорода. Величина $R$, вычисленная по (14.31), при $Z=1$ с очень большой точностью совпадае І с величиной $R$ в формулах (13.1)-(13.5), которая была найдена экспериментально. Формула (14.30), полученная на основе элементарной квантовой теории Бора, правильно описывает спектр атома водорода.
Различные серии в спектре излучения атома водорода образуются в результате перехода электрона с внешних орбит на определенную внутреннюю орбиту.
Серия Бальмера (13.1) испускается в результате переходов электрона с третьей, четвертой орбит и т.д. на вторую орбиту. Эти переходы показаны стрелками на рис. 49. Серия Лаймана (13.2) получается в результате переходов электрона со второй, третьей орбит и т. д. на первую орбиту (штриховые стрелки). Остальные серии соответствуют переходам на третью, четвертую орбиты и т.д.
Переходы, приводящие к излучению различных линий в спектре атома водорода, могут быть также изображены на схеме уровней энергии атома. На рис. 50 стрелками показаны переходы, приводящие к излучению линий серии Бальмера, Лаймана и Пашена.
Энергия ионизации атома водорода. Если атом поглощает энергию извне, то энергия электрона увеличивается и он переходит на более внешнюю орбиту. Если сообщенная электрону энергия достаточно велика, то он может перейти на орбиту с $n=\infty$, т.е. покинуть пределы атома. В результате этого атом ионизуется. Энергия, необходимая для этого, называется энергией ионизации. Энергия ионизации для атома водорода в основном состоянии ( $n=1$ ) на основании (14.19) равна
\[
E_{\text {ион }}=m e^{4} /\left(32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}\right)=13,6 \text { э } \mathrm{B} .
\]
** Главной особенностью столкновений $\alpha$ частиц достаточно большой энергии с атомами, свидетельствующей об ядерной модели атома, является изменение направления движения $\alpha$-частиц в результате столкновения на очень большие углы, близкие к 180
* Почему в модели атома Томсона невозможно отклонение а-частиц в результате столкновения с атомом на очень большие углы, близкие к $180^{\circ}$ ?
В чем планетарная модель атома несовместима с представлениями классической физики? В чем состоят главные недостатки теории атома Бора?
Это теоретическое значение для энергии ионизации находится в хорошем согласии со значением, полученным в результате экспериментальных измерений.
Спектр иона гелия. Простейшим после атома водорода водородоподобным атомом является ион гелия $\mathrm{He}^{+}$. Вокруг ядра с зарядом $Z=2$ в этом атоме вращается один электрон. Формула (14.30) в рассматриваемом случае может быть записана следующим образом:
$\tilde{\omega}_{n l}=4 R\left(1 / l^{2}-1 / n^{2}\right)$,
где
$R=m e^{4} /\left(32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{3}\right)$
– постоянная Ридберга для атома водорода.
В крайней ультрафиолетовой части спектра иона гелия лежит серия $\tilde{\omega}_{n, 1}=4 R\left(1 / 1^{2}-1 / n^{2}\right)$.
Серия
$\tilde{\omega}_{n, 2}=4 R\left(1 / 2^{2}-1 / n^{2}\right)=$ $=R\left[1 / 1^{2}-1 /(n / 2)^{2}\right]$
имеет частоты, которые при $n=4,6$, … совпадают с соответствующими частотами серии Лаймана [см. (13.2)]. При $n=3,5,7, \ldots$ формула (14.36) приводит к частотам, лежащим между частотами серии Лаймана (13.2). Аналогичное положение у серии $\tilde{\omega}_{n, 4}=4 R\left(1 / 4^{2}-1 / n^{2}\right)=$ $=R\left[1 / 2^{2}-1 /(n / 2)^{2}\right]$,
линии которой через одну совпадают с бальмеровскими линиями водорода. Эти линии первоначально наблюдались в спектрах некоторых звезд и ошибочно приписывались водороду. Впоследствии они были получены в лабораторных условиях при свечении чистого гелия. Однако более тщательные измерения положения линий показали, что полного совпадения между линиями спектра водорода и соответствующими линиями спектра иона гелия не наблюдается.
Учет движения ядра. Это различие обусловлено конечностью массы ядра. При расчете водородоподобного атома, приведшего к формуле (14.19), предполагалось, что ядро неподвижно, т.е. имеет бесконечную массу.
В действительности же масса ядра $m_{\text {я }}$ конечна. Поэтому фактически и электрон и ядро движутся вокруг общего центра масс.
При рассмотрении задачи двух тел необходимо перейти в систему координат, связанную с центром масс. Все вычисления сохраняют силу, только при этом массу электрона $m$ надо заменить приведенной массой $\mu$ :
\[
\mu=m m_{я} /\left(m+m_{\text {s }}\right)=m /\left(1+m / m_{\text {s }}\right),
\]
где $m_{\text {я }}$ масса ядра. В результате постоянная Ридберга по формуле (14.38) равна
\[
\begin{array}{l}
R=\frac{Z^{2} e^{4} \mu}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{3}}=\frac{Z^{2} e^{4} m}{32 \pi \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{3}} \frac{1}{1+m / m_{\text {g }}}= \\
=\frac{R_{\infty}}{1+m / m_{\text {я }}},
\end{array}
\]
где
\[
R_{\infty}=Z^{2} e^{4} m /\left(32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} \hbar^{3}\right)
\]
является значением постоянной Ридберга в предположении бесконечной массы ядра.
Поэтому формулы для частот атома водорода и иона гелия выглядят следующим образом:
$\omega_{n l}=\frac{R_{\infty}}{1+m / m_{\mathrm{H}}}\left(\frac{1}{l^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$,
$\tilde{\omega}_{n l}=4 \frac{R_{\infty}}{1+m / m_{\mathrm{He}}}\left(\frac{1}{l^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$,
где $m_{\mathrm{H}}$ и $m_{\mathrm{He}}-$ массы ядер водорода и гелия. Поскольку $m_{\mathrm{He}} \approx 4 m_{\mathrm{H}}$, точного совпадения между линиями в спектре атома водорода и соответствующими линиями в спектре иона гелия не должно быть. Измерение разницы в положении линий блестяще подтвердили формулы (14.41) и (14.42).
Изотопический сдвиг спектральных линий. Аналогичное положение со сдвигом линий должно наблюдаться у изотопов атома водорода. Изотопами называются элементы, заряд ядра которых одинаков, а массы различны. Иначе говоря, ядра изотопов содержат одинаковое число протонов, но разное число нейтронов. Так как химические свойства элементов определяются строением внешней части электронной оболочки атома, то химические свойства изотопов весьма близки друг к другу, поскольку их электронные оболочки почти идентичны. Важнейшими из изотопов водорода являются дейтерий и тритий. Ядро атома дейтерия, называемое дейтроном, состоит из протона и нейтрона. Ядро атома трития, называемое тритоном, состоит из протона и двух нейтронов.
Различие в массах ядер различных изотопов приводит к сдвигу линий друг относительно друга в их спектpax излучения. Этот сдвиг линий называется изотопическим.
Он невелик. Например, для дейтерия
\[
R_{\mathrm{D}}=R_{\infty} /\left(1+m / m_{\mathrm{D}}\right), R_{\mathrm{H}}=R_{\infty} /\left(1+m / m_{\mathrm{H}}\right)
\]
и, следовательно,
\[
R_{\mathrm{D}}-R_{\mathrm{H}} \approx R_{\infty}\left(m / m_{\mathrm{H}}-m / m_{\mathrm{D}}\right) \approx
\]
\[
\approx R_{\infty} m /\left(2 m_{\mathrm{H}}\right) \text {, }
\]
где $m_{\mathrm{D}} \approx 2 m_{\mathrm{H}}, m \ll m_{\mathrm{H}}$. Тогда разность частот излучения
$\Delta \omega \approx \omega m /\left(2 m_{\mathrm{H}}\right) \approx \omega / 4000$.
Эта разность частот надежно подтверждена экспериментом.
Атомы дейтерия присутствуют в обыкновенной воде в составе молекул тяжелой воды, т.е. молекул воды, в которых атомы водорода замещены атомами дейтерия. Пропорция атомов дейтерия в обыкновенной воде небольшая: примерно один атом дейтерия приходится на пять с половиной тысяч атомов водорода. Поэтому линии излучения дейтерия по сравнению с линиями излучения водорода очень слабы. По сдвигу этих линий можно вычислить массу изотопов, а по интенсивности линий сделать заключение о концентрации изотопов. Этот метод анализа изотопного состава веществ по изотопическому сдвигу линий излучения широко используется в практике.
Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира, отчетливо показала неприменимость классической физики для описания внутриатомных явлений. Эвристическая ценность теории Бора сохраняется до настоящего времени: не давая всегда достаточно точных и надежных количественных результатов, она позволяет отчетливо классифицировать и качественно интерпретировать многие явления.
Однако с самого начала выявились существенные недостатки теории Бора. Прежде всего эта теория не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой, а была полуклассической, полуквантовой теорией.
Недостаточность теории Бора выявилась уже при ее применении к атому водорода: давая правильно значения частот спектральных линий,
она не позволяла вычислять их интенсивности. За пределами теории оставались также вопросы поляризации, когерентности. Теория не могла объяснить дублетный характер спектров щелочных металлов. Попытки построить в рамках теории Бора теорию атома гелия, простейшего после водорода атома, окончились неудачей. Вне теории Бора оставался вопрос о квантовании многоэлектронных систем, благодаря чему она не может объяснить существование обменных сил, ответственных за химические связи в молекулах. В теории Борд оставался неясным вопрос о квантовании непериодических движений. Наконец, теория Бора не могла объяснить дифракцию частиц.
Поэтому теория Бора явилась очень важным, но все же переходным этапом от классической механики к последовательной квантовой механике.
Пример 14.1. В спектре излучения водорода вблизи линии с длиной волны $\lambda_{1}=486,1320$ нм обнаруживается линия с $\lambda_{2}=485,9975$ нм.
Имеются основания предполагать, что эта линия принадлежит спектру излучения изотопа водорода. Orределить изотоп.
Из (14.19) и (14.39) следует, что
\[
\lambda_{1} / \lambda_{2} \approx\left(1-m_{e} / m_{1}\right) /\left(1-m_{e} / m_{2}\right),
\]
где $m_{e}, m_{1}, m_{2}$-массы электрона, ядра атома водорода и ядра неизвестного изотопа. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
1-\lambda_{1} / \lambda_{2}=\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) / \lambda_{2}= \\
=\left(m_{e} / m_{2}-m_{e} / m_{1}\right) /\left(1-m_{e} / m_{1}\right) \approx \\
\approx m_{e} / m_{2}-m_{e} / m_{1},
\end{array}
\]
где отброшены величины второго порядка малости по сравнению с $m_{e} / m_{1}$ и $m_{e} / m_{2}$. С учетом $m_{e} / m_{1}=1 / 1835$ из (14.47) заключаем, что $m_{e} / m_{2}=1 / 3727$ и, следовательно, $m_{2} / m_{1} \approx 2$. Если предположение о принадлежности линии излучения спектру изотопа водорода правильно, то изотоп-дейтерий.
