Описывается переход от представления квантовой динамики посредством изменяющейся во времени волновой функции к представлению с помощью зависящих от времени операторов динамических переменных.
Дифференцирование операторов по времени, скобки Пуассона. С течением времени средние значения динамических переменных, вообще говоря, изменяются. Дифференцируя обе части равенства
$\langle\hat{A}\rangle=\int \Psi * \hat{A} \Psi \mathrm{d} V$
по времени, получаем
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle A\rangle=\int \Psi * \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \Psi \mathrm{d} V+\int \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} \hat{A} \Psi \mathrm{d} V+$ $+\int \Psi * \hat{A} \frac{\partial \Psi}{\partial t} \mathrm{~d} V$
Принимая во внимание, что $-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H} \Psi, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=\hat{H}^{*} \Psi^{*}=\hat{H} \Psi^{*}$
перепишем (19.2) в виде $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle A\rangle=\int \Psi * \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \Psi \mathrm{d} V+\frac{i}{\hbar} \int(\hat{H} \Psi *)(\hat{A} \Psi) \mathrm{d} V-$ $-\frac{i}{\hbar} \int \Psi * \hat{A} \hat{H} \Psi \mathrm{d} V$
Пользуясь эрмитовостью оператора $\hat{H}$, второй интеграл в правой части равенства можно преобразовать:
$\int\left(\hat{H} \Psi^{*}\right) \hat{A} \Psi \mathrm{d} V=\int(A \Psi) \hat{H} \Psi * \mathrm{~d} V=$ $=\int \Psi^{*} \hat{H} \hat{A} \Psi \mathrm{d} V$.
Окончательно
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle A\rangle=\int \Psi *\left\{\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}(\hat{H} \hat{A}-\hat{A} \hat{H})\right\} \Psi \mathrm{d} V$.
Таким образом, производная от среднего значения динамической переменной представлена как среднее значение от некоторого оператора. Естественно этот последний оператор принять за определение производной от оператора динамической переменной. Обозначая производную от оператора $\hat{A}$ символом $\mathrm{d} \hat{A} / \mathrm{d} t$, на основании (19.6) можно написать $\frac{\mathrm{d} \hat{A}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+[\hat{H}, \hat{A}]$,
где коммутатор
$[\hat{H}, \hat{A}]=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}]_{-}=\frac{i}{\hbar}(\hat{H} \hat{A}-\hat{A} \hat{H})$
называется, по аналогии с классичес-
кой механикой, квантовыми скобками Пуассона. Эта аналогия проистекает из следующих обстоятельств. В классической механике полная производная по времени динамической переменной $A$, являющейся функцией координат, импульсов и времени, дается формулой
$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{i}\left(\frac{\partial A}{\partial x_{i}} \frac{\mathrm{d} x_{i}}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\mathrm{d} p_{i}}{\mathrm{~d} t}\right)$.
Воспользовавшись уравнениями Гамильтона
$\frac{\mathrm{d} x_{i}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\mathrm{d} p_{i}}{\mathrm{~d} t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}}$,
где $H$-функция Гамильтона (18.8), получаем равенство
\[
\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial A}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial x_{i}}\right)=
\]
\[
=\frac{\partial A}{\partial t}+[H, A] \text {. }
\]
в котором величина
\[
[H, A]=\sum_{i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial A}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial x_{i}}\right)
\]
называется скобками Пуассона. Аналогия между (19.7) и (19.11) позволила назвать оператор (19.8) квантовыми скобками Пуассона. Если оператор $\hat{A}$ или величина $A$ явно от времени не зависят, то формулы (19.7) и (19.11) принимают вид
$\frac{\mathrm{d} \hat{A}}{\mathrm{~d} t}=[\hat{H}, \hat{A}]$
\[
\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{~d} t}=[H, A] \text {. }
\]
Квантовые уравнения Гамильтона. Аналогия между квантовыми и классическими формулами идет еще дальше. Классическое уравнение (19.14) определяет изменение произвольной динамической величины со временем и является уравнением для этой динамической переменной. В частности, она содержит в себе уравнения движения. Взяв в качестве $A$ в этом уравнении величину $x$, находим
\[
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=[H, x]=\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial H}{\partial p} .
\]
Аналогично выбрав в качестве $\hat{A}$ величину $p$, получим
\[
\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t}=[H, p]=\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{\partial H}{\partial x} .
\]
Таким образом, уравнение (19.14) содержит в себе уравнения движения в форме Гамильтона.
Уравнение (19.13) является квантовым уравнением для оператора $\hat{A}$, которым изображается некоторая динамическая переменная, т. е. это уравнение определяет закон изменения соответствующей динамической переменной. Взяв в качестве динамических переменных оператор координаты и импульса частицы, получим следующие квантовые уравнения движения в форме Гамильтона:
\[
\frac{\mathrm{d} \hat{x}}{\mathrm{~d} t}=[\hat{H}, \hat{x}], \frac{\mathrm{d} \hat{p}_{x}}{\mathrm{~d} t}=\left[\hat{H}, \hat{p}_{x}\right] .
\]
В правых частях этих уравнений стоят квантовые скобки Пуассона, определяемые равенством (19.8).
Интегралы движения. Пусть оператор $\hat{A}$ некоторой динамической переменной не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом. Тогда на основании (19.7) имеем
\[
\frac{\mathrm{d} \hat{A}}{\mathrm{~d} t}=0 \text {. }
\]
В этом случае $\langle A\rangle$ с течением времени не изменяется, так как из (19.18) следует, что
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle\hat{A}\rangle=0,
\]
т.е. среднее значение этой переменной постоянно. Постоянной остается также и вероятность найти при измерении динамической переменной $\hat{A}$ то или иное числовое значение $A_{n}$. Чтобы это показать, заметим, что вероятность
$\mathscr{P}_{n}=\left|a_{n}\right|^{2}=\left|\int u_{n}^{*}(\mathbf{r}) \Psi(\mathbf{r}, t) \mathrm{d} V\right|^{2}$,
где $u_{n}$-собственная функция оператора $\tilde{A}$, принадлежащая собственному значению $A_{n} ; \Psi$-волновая функция стационарного состояния, в котором производится измерение $\hat{A}$. Независимость $\mathscr{P}_{n}$ от времени становится очевидной, если в явном виде выписать аргументы
$a_{n}=\int u_{n}^{*}(\mathbf{r}, t) \Psi(\mathbf{r}, t) \mathrm{dV}=\mathrm{e}^{-i \mathrm{E} t / \hbar} \int \Psi(\mathbf{r}) u_{n}^{*}(\mathbf{r}) \mathrm{d} V$,
где $\Psi(\mathbf{r}, t)=\exp (-i E t / \hbar) \Psi(\mathbf{r})$. Ясно, что $\left|a_{n}\right|^{2}$ не зависит от времени, что и требовалось доказать.
Теоремы Эренфеста. Вычислим квантовые скобки Пуассона $[\hat{H}, \hat{x}]$, $\left[\hat{H}, \hat{p}_{x}\right]$. Так как оператор координаты $\hat{x}$ коммутирует с оператором потенциальной энергии $E_{\mathrm{n}}(\mathbf{r})$, входящей в оператор Гамильтона, и, кроме того, он коммутирует со всеми составляющими оператора импульса, за исключением составляющей $\hat{p}_{x}$, то
\[
[\hat{H}, \hat{x}]=\frac{i}{\hbar}(\hat{H} \hat{x}-\hat{x} \hat{H})=\frac{i}{2 m \hbar}\left(\hat{p}_{x}^{2} \hat{x}-\hat{x} \hat{p}_{x}^{2}\right) .
\]
Ho $\hat{p}_{x}^{2} \hat{x}=\hat{p}_{x}\left(\hat{p}_{x} \hat{x}\right)=\hat{p}_{x}\left(x \hat{p}_{x}+\hbar / i\right)=\left(\hat{p}_{x} \hat{x}\right) \hat{p}_{x}+$ $+(\hbar / i) \hat{p}_{x}=\left(\hat{x} \hat{p}_{x}+\hbar / i\right) \hat{p}_{x}+(\hbar / i) \hat{p}_{x}=\hat{x} \hat{p}_{x}^{2}+$ $+(2 \hbar / i) \hat{p}_{x}$. Следовательно, $[\hat{H}, \hat{x}]=$ $=\hat{p}_{x} / m$. Учитывая (19.7), находим
\[
\frac{\mathrm{d} \hat{x}}{\mathrm{~d} t}=[\hat{H}, \hat{x}]=\frac{\hat{p}_{x}}{m} .
\]
Аналогичные равенства получаются и для других составляющих оператора координаты и импульса.
Производную от оператора координаты естественно отождествить с оператором скорости. Равенство (19.23) показывает, что в квантовой механике между оператором скорости и оператором импульса существует такое же соотношение, какое в классической механике между скоростью и импульсом.
Вычислим теперь квантовую скобку Пуассона $\left[\hat{H}, \hat{p}_{x}\right]$. Так как оператор $\hat{p}_{x}$ коммутирует с оператором кинетической энергии, то
\[
\left[\hat{H}, \hat{p}_{x}\right]=\frac{i}{\hbar}\left(\hat{E}_{\mathrm{n}} \hat{p}_{x}-\hat{p}_{x} \hat{E}_{\mathrm{n}}\right)=-\frac{\partial}{\partial x} \hat{E}_{\mathrm{n}}
\]
Аналогичные равенства получаются и для других составляющих импульса. Но оператор – $\partial \hat{E}_{\mathrm{n}} / \partial x$ является оператором проекции силы на ось $x$ :
\[
-\frac{\partial}{\partial x} \hat{E}_{\mathrm{\Pi}}=\hat{F}_{x} \text {. }
\]
Поэтому второе уравнение Гамильтона (19.17) можно записать в виде
** Квантовая динамика может быть представлена либо посредстом не зависящих от времени операторов динамических переменных и зависящей от времени волновой функции, либо посредством зависящих от времени операторов динамических переменных и не зависящей от времени волновой функции. Возможны также представпения, при которых зависимость от времени распредепена определенным способом между операторами и волновой функцией.
В квантовой механике средние значэния координаты и импульса частицы, а также силы, действующей на нее, связаны между собой уравнениями, анапогичными соответствующим уравнениям классической механики.
* Запишите квантовые уравнения Гамильтона для операторов координат и импульсов. В чем состоит аналогия между классическими и квантовыми уравнениями Гамильтона?
\[
\frac{\mathrm{d} \hat{p}_{x}}{\mathrm{~d} t}=\hat{F}_{x}
\]
т.е. оператор производной от импульса равен оператору силы. На основании формулы (19.6) с учетом (19.23) и (19.24) получаем
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle\hat{x}\rangle=\frac{1}{m}\left\langle\hat{p}_{x}\right\rangle
\]
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left\langle\hat{p}_{x}\right\rangle=-\left\langle\frac{\partial \hat{E}_{\mathrm{n}}}{\partial x}\right\rangle=\left\langle\hat{F}_{x}\right\rangle,
\]
или в развернутом виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int \Psi^{*} \hat{x} \Psi \mathrm{e} V=\frac{1}{m} \int \Psi^{*} \hat{p}_{x} \Psi \mathrm{d} V, \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int \Psi^{*} \hat{p}_{x} \Psi \mathrm{d} V=-\int \Psi * \frac{\partial \hat{E}_{\mathrm{n}}}{\partial x} \Psi \mathrm{d} V .
\end{array}
\]
Таким образом, производная по времени от средней координаты $\langle x\rangle$ равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, а производная от среднего импульса $\left\langle\hat{p}_{x}\right\rangle$ равна средней силе $\left\langle-\partial E_{n} / \partial x\right\rangle$. Следовательно, в квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующие на нее, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, т.е. при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.
Эти утверждения, записанные в виде уравнений (19.29), (19.30), называются теоремами Эренфеста.
Если обе части уравнения (19.29) продифференцировать по времени, а производную по времени от $\left\langle\hat{p}_{x}\right\rangle$ в правой части результирующего уравнения исключить с помощью (19.30), то получается квантовый аналог уравнения движения Ньютона:
\[
m \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} t^{2}}\langle\hat{x}\rangle=\left\langle-\frac{\partial \hat{E}_{\mathrm{m}}}{\partial x}\right\rangle=\left\langle\hat{F}_{x}\right\rangle .
\]
Это уравнение показывает, что средняя координата частицы и средняя сила в квантовой механике находятся в таком же соотношении, в каком координата частицы и сила находятся в классической механике, т.е. связаны уравнением движения Ньютона.
Пример 19.1. Гамильтониан заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, $\hat{H}=[1 /(2 m)](\hat{\mathbf{p}}-q \hat{\mathbf{A}})^{2}$,
где $\hat{\mathbf{A}}$-оператор вектор-потенциала магнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор скорости частицы $\hat{\mathbf{v}}$ в магнитном поле и правила коммутации различных компонент оператора скорости между собой.
По определению оператора скорости как производной от оператора радиуса-вектора частицы, пользуясь правилами дифференцирования операторов, находим
$\hat{\mathbf{v}}=\mathrm{d} \hat{\mathbf{r}} / \mathrm{d} t=(i / h)(\hat{H} \hat{\mathbf{r}}-\hat{\mathbf{r}} \hat{H})=(1 / m)(\hat{\mathbf{p}}-q \hat{\mathbf{A}})$,
$\hat{p}_{y} \hat{A}_{x}-\hat{A}_{x} \hat{p}_{y}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \hat{A}_{x}$
и два других аналогичных соотношения, получающихся в результате циклической перестановки индексов. Учитывая, что $\hat{B}=\operatorname{rot} \hat{A}$, находим:
$\hat{v}_{x} \hat{v}_{y}-\hat{v}_{y} \hat{v}_{x}=\frac{i q \hbar}{m^{2}} \hat{B}_{z}$,
$\hat{v}_{y} \hat{v}_{z}-\hat{v}_{z} \hat{v}_{y}=\frac{i q \hbar}{m^{2}} \hat{B}_{x}$
$\hat{v}_{z} \hat{v}_{x}-\hat{v}_{x} \hat{v}_{z}=\frac{i q \hbar}{m^{2}} \hat{B}_{y}$.
