Обсуждаются условия применимости уравнения Шредингера, свойства волновой функции и ее нормировка, физический смысл собственных функций и собс1венных значений, принцип суперпозиции состояний.

Уравнение Шредингера. Изложенные в $\S 10$ соображения, которые привели к формулировке уравнения Шредингера (10.5), следует рассматривать лишь как наводящие соображения.

Уравнение Шредингера (10.5) является новым уравнением физики, не являющимся дифференциальным уравнением классической физики. Его дифференциальная форма является лишь наиболее близким к классической форме представлением. Свидетельством квантового характера этого уравнения является присутствие в нем постоянной Планка $h$.

Уравнение Шредингера записывается в двух наиболее распространенных формах. Его запись в форме $
abla^{2} \Psi(\mathbf{r})+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left[E-E_{\mathrm{n}}(\mathbf{r})\right] \Psi(\mathbf{r})=0$

более удобна для нахождения функции $\Psi(\mathbf{r})$ как решения дифференциального уравнения.

Другая форма записи $\hat{H} \Psi=E \Psi$,
где
$\hat{H}=-\left[\hbar^{2} /(2 m)\right]
abla^{2}+E_{\mathbf{n}}(\mathbf{r})$,
более удобна для исследования принципиальных вопросов квантовой механики и обобщения уравнения Шредингера. Обе формы записи будут в дальнейшем обсуждаться и использоваться.

Стационарные состояния. Уравнение Шредингера (16.1) описывает состояние движения корпускулы, которое не изменяется во времени и осуществляется при постоянной энергии
корпускулы. Такое состояние называется стационарным. Ошибочно думать, что в стационарном состоянии корпускула каким-то образом перемещается с течением времени из одной точки в другую, движется по какой-то траектории и т. Д. Движение корпускулы в классической механике понимается как ее перемещение в пространстве с течением времени. Движение корпускулы в квантовой механике понимается в более широком философском смысле (Аристотель) как изменение вообще. Поэтому
движение связано не с пребыванием в стационарном состоянии, а с изменением стационарного состояния. Это имеет глубокий смысл, потому что в мире что-то происходит только тогда, когда что-то изменяется. Если ничего не изменяется, то ничего и не происходит.
Если бы все составные части мира перешли в стационарное состояние, то этот переход был бы величайшим событием в истории Вселенной, после которого она перестала бы существовать. С этим событием могло бы сравниться лишь другое событие, когда из некоторого стационарного состояния Вселенная перешла в нестационарное состояние, в котором она и пребывает сейчас. Это другое величайшее событие – возникновение Вселенной. Возможно, «большой взрыв», происшедший около 10-15 млрд. лет назад, в результате которого образовалась Вселенная, и был этим переходом из стационарного состояния в нестационарное. Но этого никто не знает, потому что о состоянии Вселенной до взрыва современная наука не может сообщить ничего вразумительного, хотя уже давно занимается этим вопросом.
Состояние Вселенной в целом не является стационарным, но ее составные части (например, атомы) могут находиться в стационарных состояниях. Однако если бы они пребывали вечно в этих состояниях, то с ними ничего не происходило бы и наука не знала бы об их существовании. Их существование обнаруживаем тогда, когда они изменяют свое ьтационарное состояние. В сущносги говоря, только это и интересует науку, а не сами по себе стационарные состояния. Однако, чтобы изучить изменения стационарных состояний, необходимо знать сами стационарные состояния. Другими словами, стационарные состояния никаких событий в физическом мире не представляют, но позволяют понять и онисать события, происходящие в физическом мире. Стационарные состояния являются фундаментальным исходным моментом описания физического мира.

О физических свойствах стационарных состояний уже говорилось в § 5 , и здесь нет необходимости повторять сказанное. Отметим только еще раз наиболее фундаментальное свойство стационарного состояния – его единство в том смысле, которое разъяснено в §5. Из физических свойств стационарных состояний вытекают математические требования, которые предъявляются к волновой функции $\Psi(x, y, z)$, описывающей стационарное состояние.

Математические требования к волновой функции. Волновая функция $\Psi$ является решением дифференциального уравнения (16.1), а $|\Psi(x, y, z)|^{2}$ плотностью вероятности нахождения частицы в точке $(x, y, z)$. Другими словами, $|\Psi(x, y, z)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-$ вероятность нахождения частицы в объеме $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ в окрестности точки $(x, y, z)$. Отсюда следует, что
функция $\Psi$ должна быть непрерыв-
ной, однозначной и конечной во всех точках. Если потенциальная энергия $E_{\mathrm{n}}(x, y, z)$ имеет поверхности разрыва непрерывности, то на таких поверхностях функция $\Psi$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где $E_{\text {п }}$ обращается в бесконечность, волновая функция $\Psi$ должна быть равна нулю. Непрерывность $\Psi$ требует, чтобы на границе этой области функция $\Psi$ обращалась в нуль.
Условие нормировки волновой функции. Волновая функция определяется линейным уравнением с точностью до постоянного множителя, который можно выбрать так, чтобы удовлетворить интерпретации $|\Psi|^{2}=\Psi * \Psi$ как плотности вероятности. Так как $\Psi * \Psi \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-$ вероятность нахождения частицы в элементе объема $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, то
$\int \Psi * \Psi \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=1$
показывает, что частица существует и находится где-то в пространстве. Интегрирование в (16.4) распространено на все пространство, хотя эффективно оно сводится к интегрированию по той области пространства, где плотность вероятности нахождения частицы отлична от нуля, т.е. области, где частицы наверняка нет $\left(|\Psi|^{2}=0\right.$ ), исключаются из интегрирования в (16.4).
Равенство (16.4) называется условием нормировки волновой функции. Такая нормировка возможна при дискретном спектре собственных значений. При непрерывном спектре собственных значений интеграл от $|\Psi|^{2}$ обращается в бесконечность и поэтому используется другая нормировка, о которой сказано ниже.
Собственные функции и собственные значения. Уравнение Шредингера (16.1) имеет решения, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям не при любых значениях $E$, а лишь при некоторых, которые будем обозначать $E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n}, \ldots$ Значения $E$, при которых (16.1) имеет решения, обладающие указанными свойствами, т.е. $E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n}, \ldots$, называются собственными значениями, а функции $\Psi_{1}, \quad \Psi_{2}, \ldots, \Psi_{n}, \ldots$, являющиеся решениями уравнения (16.1) при $E=$ $=E_{2}, E=E_{2}, \ldots, E=E_{n}, \ldots,-$ собственными функциями, принадлежащими собственным значениям $E_{1}, E_{2}$, $\ldots, E_{n}$.

Ортогональность собственных функций. Две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл от произведения одной из этих функций на функцию, комплексно сопряженную с другой, взятый по всей области интегрирования, равен нулю.

Для доказательства выпишем уравнение Шредингера в виде (10.5) для функции $\Psi_{n}$ и комплексно сопряженной с ней функции $\Psi_{n^{\prime}}^{*}$ :
$
abla^{2} \Psi_{n}+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E_{n}-E_{\mathrm{n}}\right) \Psi_{n}=0$,
$
abla^{2} \Psi_{n^{\prime}}^{*}+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E_{n^{\prime}}-E_{n}\right) \Psi_{n^{\prime}}^{*}=0$.
Умножая первое уравнение на $\Psi_{n}^{*}$, второе-на $\Psi_{n}$ и вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем $\Psi_{n^{*}}^{*}
abla^{2} \Psi_{n}-\Psi_{n}
abla^{2} \Psi_{n^{*}}^{*}+$ $+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}\right) \Psi_{n^{\prime}}^{*} \Psi_{n}=0$.
Разность первых двух членов можно преобразовать по формуле
$\Psi_{n^{\prime}}^{*}
abla^{2} \Psi_{n}-\Psi_{n}
abla^{2} \Psi_{n^{\prime}}^{*}=$
$=
abla\left(\Psi_{n^{*}}^{*}
abla \Psi_{n}-\Psi_{n}
abla \Psi_{n^{\prime}}^{*}\right)=\operatorname{div} \mathbf{A}$,
где
$\mathbf{A}=\Psi_{n^{\prime}}^{*}
abla \Psi_{n}-\Psi_{n}
abla \Psi_{n^{\prime}}^{*}$.
Поэтому предыдущее равенство можно записать следующим образом:
$\operatorname{div} \mathbf{A}+\left(2 m / h^{2}\right)\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}\right) \Psi_{n^{\prime}}^{*} \Psi_{n}=0$.
Проинтегрируем последнее соотно-
шение по некоторому объему $V$ :
$\int_{V} \operatorname{div} \operatorname{Ad} V+\left(2 m / h^{2}\right)\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}\right) \int_{V} \Psi_{n}^{*} \Psi_{n} \mathrm{~d} V=0$.
Первый интеграл по теореме ГауссаОстроградского можно преобразовать в интеграл по поверхности $S$, ограничивающей объем $V$ :
$\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{A} \mathrm{d} V=\int_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int A_{n} \mathrm{~d} S$.
Принимая, что $V \rightarrow \infty$, и считая, что на бесконечности функции $\Psi$ стремятся к нулю достаточно быстро, так что $A$ стремится к нулю быстрее, чем $1 / r^{2}$, где $r$–радиус сферы, внутри которой заключен рассматриваемый объем, получаем
$\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}\right) \int_{V \rightarrow \infty} \Psi_{n}^{*} \Psi_{n} \mathrm{~d} V=0$.
Значит, при $E_{n}
eq E_{n}$
$\int \Psi_{n^{\prime}}^{*} \Psi_{n} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 \quad\left(n
eq n^{\prime}\right)$.
Таким образом, собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.
Условие нормировки и условие ортогональности:
$\int \Psi_{n^{*}}^{*} \Psi_{n} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\delta_{n n^{\prime}}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \left(n=n^{\prime}\right), \\ 0 & \left(n
eq n^{\prime}\right),\end{array}\right.$
где $\delta_{n n^{\prime}}$ символ Кронекера.
Характер статистических закономерностей квантовой механики. При интерпретации волновой функции было отмечено, что квантовая механика допускает лишь вероятностные предсказания о поведении частиц. Хорошо известно, что и в классической статистической механике дается также лишь вероятностное предсказание о поведении частиц.
Однако между закономерностями статистической классической физики и статистическими закономерностями квантовой механики существует принципиальное различие.

Статистические закономерности классической физики являются результатом взаимодействия большого числа частиц, поведение каждой из которых описывается динамическими законами классической механики. Как только число рассматриваемых частиц становится достаточно малым, статистические закономерности классической физики перестают действовать, а соответствующие статистические понятия (например, темнература) теряют смысл. По-другому обстоит дело со статистическими закономерностями в квантовой механике, которые выражают свойства индивидуальных микрочастиц и имеют место даже при наличии лишь одной частицы. Как показали эксперименты, микрочастица обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Поэтому для описания ее движения неприменимы методы и понятия, которые использовались в классической физике в отдельности для формулировки теории движения корпускул и распространения волн. Квантовая механика выработала новые представления о движении микрочастиц и о характере закономерностей, управляющих их движением.

Неоднократно делались попытки придать статистическим закономерностям квантовой механики характер статистических закономерностей классической физики. Смысл этих попыток сводится к следующему. Считается, что состояние микрочастицы характеризуется не только физическими величинами, которые может измерить экспериментатор посредством макроприборов, но и «скрытыми параметрами». Причем у частиц, со-
стояния которых характеризуются одной и той же волновой функцией $\Psi$, «скрытые параметры» имеют различные значения, какой-то статистический разброс и вследствие этого движения микрочастицы описываются статистически. В качестве наглядного примера может быть взято взаимодействие частицы с флуктуациями вакуума (см. § 73), в результате чего движение частицы уподобляется движению броуновской частицы. Однако все попытки в этом направлении не увенчались успехом. Эксперименты по изучению квантовых корреляций, выполненные в последние годы (см. гл. 15), показывают, что все эти попытки в рамках локального подхода несостоятельны в принципе. Этими экспериментами не исключается возможность нелокальных теорий «скрытых параметров». Однако вряд ли поиски таких теорий перспективны.
Уравнение Шредингера, зависящее от времени. Уравнение Шредингера (16.1) определяет стационарные состояния и не зависит от времени.
Как изменяется волновая функция с течением времени? Каким уравнением определяется это изменение? Для ответа на эти вопросы поступим следующим образом. Представим волновую функцию, зависяшу то от времени, в виде
$\Psi(\mathbf{r}, t)=\mathrm{e}^{-\imath E t / \hbar} \Psi(\mathbf{r}) \quad(E=\hbar \omega)$,
где $\Psi(\mathbf{r})$-решение уравнения Шредингера (16.2):
$E \Psi(\mathbf{r})=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+E_{\mathrm{n}}\right) \Psi(\mathbf{r})$.
Принимая во внимание очевидное равенство
$E \Psi(\mathbf{r}, t)=-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t}$,
можно уравнение (16.14) записать так:

\[
-\frac{\hbar \partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{i t}=\left(-\frac{\hbar}{2 m}
abla^{2}+E_{\pi}\right) \Psi(\mathbf{r}, t) .
\]

Оно называется уравнением Іредингера, зависящим от времени.

Волновая функция $\Psi(\mathbf{r}, t)$ должна удовлетворять тем же требованиям, которые налагаются на функцию $\Psi(\mathbf{r})$, т. е. функция $\Psi(\mathbf{r}, t)$ должна быть непрерывной, однозначной и конечной. Кроме того, очевидно, что
$\Psi^{*}(\mathbf{r}, t) \Psi(\mathbf{r}, t)=\Psi^{*}(\mathbf{r}) \Psi(\mathbf{r})$
и, следовательно, условие нормировки сохраняется с течением времени, т. е. если оно выполняется для одного какого-либо момента времени, то оно справедливо и для всех последующих моментов времени.

Изменение волновой функции во времени описывается уравнением Шредингера (16.16), которое, таким
** Понятие движения в квантовой механике нельзя связать со стационарным состоянием, потому что в стационарном состоянии ничего не происходит и нет движения в широком (философском) смысле этого слова. Движение связано с изменением стационарного состояния, и только при изменении стационарного состояния можно говорить, что в мире что-то изменяется и, следовательно, происходит. Поэтому нельзя описать движение в квантовой механике без стационарного состояния, хотя само по себе оно не есть движение.
Наиболее фундаментальным свойством стационарного состояния является ero единство.
* Перечислите основные математические требования к волновой функции Откуда эти требования возникают?
В чем состоит фундаментальное свойство стационарного состояния, называемое его единством?
Чем отличаются статистические закономерности квантовой механики от статистических закономерностей классической физики? В чем состоит отличие принципа сулерпозиции квантовой механики от принципа суперпозиции классической физики?
образом, выражает приниип причинности в квантовой механике.
Плотность заряда и плотность тока. Запишем уравнения Шредингера для волновой функции $\Psi$ и комплексно-сопряженной функции $\Psi *$ :
$-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}+\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \Psi-E_{\Pi} \Psi=0$,
$\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}+\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \Psi^{*}-E_{\mathrm{n}} \Psi^{*}=0$.
Умножая (16.18a) на $\Psi *$, а (16.18б) на $\Psi$ и вычитая почленно из второго уравнения первое, получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\hbar}{i}\left(\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}+\Psi * \frac{\partial \Psi}{\partial t}\right)+ \\
+\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\Psi
abla^{2} \Psi^{*}-\Psi *
abla^{2} \Psi\right)=0 .
\end{array}
\]

Учитывая, что
\[
\begin{array}{l}
\Psi
abla^{2} \Psi^{*}-\Psi *
abla^{2} \Psi=\operatorname{div}\left(\Psi
abla \Psi^{*}-\Psi^{*}
abla \Psi\right), \\
\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}+\Psi * \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi * \Psi),
\end{array}
\]

и вводя обозначения
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{j}=\frac{i q \hbar}{2 m}\left(\Psi
abla \Psi^{*}-\Psi *
abla \Psi\right), \\
\rho=q \Psi * \Psi,
\end{array}
\]

где $q$-заряд частицы, можно уравнение (16.19) записать следующим образом:
$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0$.
Уравнение такого вида в электродинамике выражает закон сохранения заряда, если под $\rho$ понимать плотность заряда, а под $\mathbf{j}$-плотность тока. Поэтому (16.20a) и (16.20б) являются квантово-механическими выражениями соответственно плотности тока и плотности заряда, а уравнение (16.21) представляет закон сохранения заряда.

Принцип суперпозиции состояний. Как уже было сказано, волновая функция определена лишь с точностью до постоянного множителя, т.е. две волновые функции, отличающиеся только постоянным (комплексным или действительным) множителем, описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство выше было использовано для нормировки волновой функции.

Между различными состояниями системы существуют соотношения, в результате которых возникают новые состояния. Суть этих соотношений выражается принципом суперпозиции состояний – одним из важнейших принципов квантовой механики, который заключается в следующем: если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$, то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией
\[
\Psi=a_{1} \Psi_{1}+a_{2} \Psi_{2},
\]

где $a_{1}$ и $a_{2}$-произвольные, в общем случае комплексные числа.

Равенство (16.22), представляющее принцип суперпозиции квантовой механики, по своей форме совпадает с
Шредннгер Эрвнн (1887-1961)
Австрийский физик, один из создателей квантовой теорни. Разработал волновую механику и доказал ее идентичность матричной механике Гейзенберга.
Сформулировал основное уравнение квантовой механики, носящее его имя
выражением принципа суперпозиции в классической физике, однако его содержание существенно иное. В классической физике некоторая физическая величина, получающаяся в результате суперпозиции, является комбинацией величин, вступающих в суперпозицию. Например, напряженность поля, получающегося в результате суперпозиции, в каждой точке равна сумме напряженности полей, вступающих в суперпозицию. В квантовой механике ситуация совершенно другая. Пусть рассматривается некоторая физическая величина, которая в состоянии $\Psi_{1}$ имеет значение $L_{1}$, а в состоянии $\Psi_{2}^{1}$-значение $L_{2}$. Выражение «физическая величина в состоянии $\Psi_{1}$ имеет значение $L_{1}$ \” означает следующее: если измерять эту величину у системы, которая описывается волновой функцией $\Psi_{1}$, то в результате этого измерения всегда получается значение $L_{1}$. По смыслу суперпозиции в классической физике следовало бы ожидать, что измеряемая величина в состоянии $\Psi$ имеет некоторое значение, являющееся комбинацией величин $L_{1}$ и $L_{2}$. Мы говорим здесь о комбинации величин, имея в виду самый общий случай, потому что при суперпозиции в классической физике не все физические величины комбинируют между собой по линейным формулам (в качестве примера можно взять энергию электромагнитного поля). Однако в квантовой механике при измерении физической величины в состоянии $\Psi$ получается не какая-то комбинация из $L_{1}$ и $L_{2}$, а только одно из двух значений: либо $L_{1}$, либо $L_{2}$; какое конкретно из этих значений получится в результате измерения, может быть предсказано только вероятностно и зависит от соотношения коэффициентов $a_{1}$ и $a_{2}$ (см. §18). Таким образом, содержание принципа суперпозиции квантовой теории (16.22) существенно отличается от содержания принципа суперпозиции в классической физике.

Второе существенное различие принципов суперпозиции квантовой и классической физики состоит в следующем. Если в классической физике имеются, например, два одинаковых колебания, то в результате их суперпозиции получается новое колебание, отличное от исходных, причем физические величины в новом колебании имеют, вообще говоря, иные значения, чем в исходных колебаниях, участвующих в суперпозиции. В квантовой теории сложение двух одинаковых состояний сводится к умножению волновой функции на постоянную величину и, следовательно, приводит к тому же состоянию, потому что волновые функции, отличающиеся постоянным множителем, описывают одно и то же состояние. Физические величины в результате такой суперпозиции не изменяют своих значений, потому что не изменяется состояние.

Принцип суперпозиции показывает, что
из, имеющихся квантовых состояний можно образовать многими способами новые состояния и каждое состояние можно рассматривать как результат суперпозиции двух или многих других состояний, причем бесконечным числом способов.

Суперпозиция квантовых состояний является физическим принципом, но представление состояния как результата суперпозиции других состояний является чисто математической процедурой и всегда возможно независимо от физических условий. Однако насколько это целесообразно и какое именно представление целесообразно, зависит от конкретных физических условий.
Математическое следствие принципа суперпозиции (16.22) выражается следующим требованием: уравнение, которому удовлетворяет волновая функция, должно быть линейным, потому что только для линейных уравнений сумма решений с произвольными коэффициентами является также решением. В эксперименте проверяется непосредственно принцип суперпозиции состояний, а заключение о линейности уравнений выводится из результатов этих экспериментов.