Обсуждается экспериментальное доказательство правильности формул, связывающих энергию и импульс фотона с частотой и волновым вектором электромагнитных волн.
Томсоновское рассенние. После открытия (1895) В. К. Рентгеном (18451923) электромагнигного излучения большой частоты (рентгеновские лучи) возник вопрос об их рассеянии в веществе. В то время была общепринятой модель строения атома, предложенная Дж. Дж. Томсоном (18561940). Атом представлялся в виде непрерывного размазанного в небольшом объеме положительного заряда с
вкрапленными в него точечными электронами (в целом атом электрически нейтрален). Под влиянием напряженности электрического поля падающей на атом световой волны электроны приобретают колебательное движение с частотой волны и сами становятся источником вторичного излучения, называемого рассеянным.
Частота рассеянного излучения равна частоте падающего на атом излучения.
Такое рассеяние теоретически исследовано Дж. Дж. Томсоном (1900) и получило название томсоновского.
Рассеяние свега на изолированном свободном электроне в рамках классической электродинамики также является томсоновским. Пусть в положительном направлении оси $Z$ распространяется электромагнитная волна, напряженность $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0} \cos \omega t$ электрического поля которой коллинеарна оси $X$ (рис. 8). При нерелятивистской скорости движения электрона можно пренебречь его взаимодействием с магнитным полем световой волны и записать уравнение движения в виде
$m_{e} \ddot{x}=q \mathscr{E}=q \mathscr{E}_{0} \cos \omega t$,
где $m_{e}$ и $q=-e$-масса покоя и заряд электрона (отрицательный), $\mathscr{E}_{0}$ и $\omega-$ амплитуда напряженности электрического поля волны и частота волны; точками обозначаются производные по времени. Плотность потока энергии электромагнитных волн равна
\[
S=c \varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2},
\]
а мощность излучения электромагнитной энергии точечным зарядом $q$, движущимся с ускорением $\ddot{x}$, определяется по формуле
\[
P=\frac{1}{6 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{c^{3}}(\ddot{x})^{2} .
\]
Подставляя $\ddot{x}=q \mathscr{E} / m_{e}$ из (2.1) в (2.3) и выражая $\mathscr{E}^{2}$ через $S$ по равенству (2.2), запишем (2.3) в виде
\[
P=8 \pi r_{0}^{2} S / 3 \text {, }
\]
где $\quad r_{0}=e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} m_{e} c^{2}\right)-$ классический радиус электрона, значение которого получено из представления о том, что вся энергия покоя электрона $m_{e} c^{2}$ имеет электромагнитное происхождение и равна энергии $e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r_{0}\right)$ электромагнитного поля заряда $e$, распределенного по сфере радиуса $r_{0}$, т. е. из равенства $m_{e} c^{2}=e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r_{0}\right)$. Мощность $P$ в (2.4) – энергия, рассеянная в единицу времени электроном из потока электромагнитной энергии падающей волны. Поскольку $S$-плотность потока энергии, из (2.4) заключаем, что
$\sigma=8 \pi r_{0}^{2} / 3=6,65 \cdot 10^{-29} \mathrm{M}^{2}$
представляет эффективную площадь, при попадании на которую электромагнитная волна полностью рассеивается.
Эта площадь называется поперечным сечением томсоновского рассеяния на свободном электроне. Видно, что оно не зависит от длины падающей на электрон волны.
Длина волны рентгеновского излучения порядка размеров атомов, а их частота много больше собственных частот колебаний электронов в атомах. Поэтому рассеяние рентгеновского излучения на атомах сводится к рассеянию на отдельных электронах атомов, а поперечное сечение рассеяния на атоме является просто суммой поперечных сечений (2.5) рассеяния на электронах, входящих в атом $\left(\sigma_{\mathrm{a}}=\sigma Z\right.$, где $Z$-порядковый номер элемента), и не зависит от длины волны рентгеновского излучения. Это позволило в свое время определить число электронов в атоме.
К расчету томсоновского рассеяния света свободным электроном
Схема экспериментальной установки Комптона
Рассеяние рентгеновских лучей на атоме (томсоновское) отличается от рассеяния видимого света (рэлеевского), которое зависит от частоты излучения.
Опыты Баркла. Баркла экспериментально изучал (1909) томсоновское рассеяние рентгеновских лучей. Его интересовало распределение интенсивности рассеянного излучения по различным направлениям. Теоретически оно было хорошо известно как распределение интенсивности излучения линейного осциллятора. Баркла нашел хорошее согласие результатов своих экспериментов с предсказаниями теории для достаточно «мягкого» рентгеновского излучения. Однако для «жесткого» рентгеновского излучения Баркла отметил качественное несогласие экспериментальных результатов с теорией. В то время не существовало методов измерения дли-
Зависимость интенсивности рассеяния $P$ в различных направлениях от длины волны
ны волны рентгеновского излучения. М. фон Лауэ (1912) и несколько позднее В. Л. Брэгг разработали такой метод измерения на основе изучения дифракции рентгеновских лучей на кристалле и открыли путь к опытам Комптона.
Опыты Комттона. А. Х. Комптон изучал (1922-1923) не только распределение интенсивности рассеянного
** Эффект Комптона состоит в изменении частоты изпучения при его рассеянии на свободных эпектронах. Рассеяние изпучения на свободных эпектронах по своему физическому содержанию сводится к стопкновению фотонов с эпектронами. Эффект Комптона явпяется экспериментапьным доказатепьством напичия у фотона импупьса.
* Почему эффект Комптона удается набпюдать лишь в опытах с рентгеновским иэлучением? Почему в рассеянном иэлучении наблюдается несмещенная частота?
Почему при рассеянии высокоэнергетических $\gamma$-квантов несмещенной частоты не набпюдается?
Иэложите принципиапьную схему набпюдения индивидуальных актов столкновения фотонов с электронами.
излучения в зависимости от направления, но и измерил длины волн этого излучения. Схема экспериментальной установки Комптона показана на рис. 9. Почти монохроматическое рентгеновское излучение с длиной волны $\lambda_{0}$ от источника $И$ направлялось на графитовую мишень $M$, которая рассеивала излучение по различным направлениям. В направлении угла $\theta$ с помощью кристалла $K$ и детектора $D$ измерялись как интенсивность, так и длина волны рассеянного излучения. Результаты этих экспериментов для некоторых направлений рассеяния показаны схематически на рис. 10. Видно, что при углах $\theta$, отличных от нуля, в рассеянном излучении наряду с длиной волны $\lambda_{0}$ присутствует вторая компонента излучения с длиной волны $\lambda>\lambda_{0}$.
Появление в рассеянном излучении длины волны, отличной от длины волны рассеиваемого излучения, получило название эффекта Комптона. Комптоном было показано, что изменение длины волны $\Delta \lambda=\lambda-\lambda_{0}$ пропорционально $\sin ^{2}(\theta / 2)$ и не зависит от $\lambda_{0}$, а коэффициент пропорциональности равен $0,048 \cdot 10^{-10} \mathrm{M}$, т.е. формула, описывающая эффект Комптона, имеет вид
$\Delta \lambda=0,048 \cdot 10^{-10} \sin ^{2}(\theta / 2) \mathrm{M}$.
Рассеяние света с корпускулярной точки зрения. Если считать, что свет состоит из фотонов, каждый из которых несет энергию $\hbar \omega$ и импульс $\hbar \mathbf{k}$, то картина рассеяния света электронами сводится к столкновению между фотонами и электронами. Свободный электрон не может поглотить или испустить фотон, потому что при этом не могут быть одновременно соблюдены законы сохранения энергии и импульса.
В результате столкновения фотон изменяет не только направление своего движения, но и частоту, так как часть своей энергии он при столкновении передает электрону. Следовательно,
энергия фотона при столкновении уменьшается, а длина волны увеличивается.
Этот эффект можно экспериментально измерить лишь для достаточно коротких длин волн, лежащих примерно в рентгеновском диапазоне. Кванты рентгеновского излучения обладают очень большими энергиями и импульсами по сравнению с энергиями и импульсами фотонов видимого света. В результате столкновения с квантами рентгеновского излучения электрон приобретает очень большие импульсы и при математическом расчете необходимо пользоваться релятивистскими формулами зависимости массы от скорости.
Расчет эффекта Комптона. Схема столкновения фотона с электроном изображена на рис. 11. До столкновения электрон считается покоящимся. Импульс налетающего на электрон фотона равен $\hbar \mathbf{k}$. В результате столкновения электрон приобретает имКомптон Артур Холли (1892-1962)
Американский физик Открыл Компі он-эффекг, доказав наличие импульса у отдельного фотона
К выводу формулы эффекта Комптона
пульс $m \mathbf{v}$, а импульс рассеянного фотона равен $\hbar \mathbf{k}^{\prime}$.
Законы сохранения импульса и энергии при столкновении записываются следующим образом:
$\hbar \mathbf{k}=\hbar \mathbf{k}^{\prime}+m \mathbf{v}$,
$\hbar \omega+m_{e} c^{2}=\hbar \omega^{\prime}+m c^{2}$,
где $m_{e} c^{2}$-энергия покоя электрона, $m c^{2}=m_{e} c^{2} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ – полная энергия электрона после столкновения.
Принимая во внимание, что $k=$ $=\omega / c, k^{\prime}=\omega^{\prime} / c$, после несложных алгебраических преобразований из (2.7) и (2.8) получаем
$m_{e} c^{2}\left(\omega-\omega^{\prime}\right)=\hbar \omega \omega^{\prime}(1-\cos \theta)$.
Так как $\omega=2 \pi c / \lambda_{0}, \omega^{\prime}=2 \pi c / \lambda$, то
$\frac{\lambda-\lambda_{0}}{2 \pi c}=\frac{\hbar}{m_{e} c^{2}}(1-\cos \theta)$,
где $\lambda-\lambda_{0}=\Delta \lambda$-изменение длины волны при столкновении. Окончательно
\[
\Delta \lambda=\left[4 \pi \hbar /\left(m_{e} c\right)\right] \sin ^{2}(\theta / 2)=2 \lambda_{c} \sin ^{2}(\theta / 2),
\]
где
$\lambda_{c}=2 \pi \hbar /\left(m_{e} c\right)=0,024 \cdot 10^{-10} \mathrm{M}$
– комптоновская длина волны электрона. Она значительно меньше длин волн рентгеновского излучения. Формула (2.11) великолепно согласуется с экспериментальными результатами Комптона (2.6). Это доказывает правильность представлений о корпускулярных свойствах электромагнитных
Схема опыта Боте и Гейгера
волн и их количественном описании с помощью формул (1.2) и (1.7).
В своих экспериментах Комптон обнаружил также, что некоторая часть рассеяния происходит без изменения длины волны (см. рис. 10). Это объясняется тем, что большинство фотонов рассеивается в результате столкновентя с внешними электронами атомов, которые связаны очень слабо с атомом и ведут себя при столкновении как свободные электроны. Для них справедлива формула (2.11). Однако некоторая часть фотонов проникает в глубь атомов и сталкивается с внутренними электронами, которые очень сильно связаны с атомом, что эквивалентно столкновению фотона не со свободным электроном, а с атомом. Формула (2.11) остается справедливой и для этого случая, но под $m_{e}$ надо понимать не массу электрона, а массу атома, которая в тысячи раз больше массы электрона. Следовательно, изменение длины волны при столкновении в тысячи раз меньше, т.е. его практически нет. Этим объясняется присутствие в рассеянном излучении несмещенной компоненты.
Этим же объясняется отсутствие эффекта Комптона для видимого света. Энергия фотонов видимого света мала даже по сравнению с энергией связи внешних электронов атома, и
столкновение происходит с целым атомом без изменения длины волны фотона. Если наблюдать эффект Комптона для $\gamma$-квантов, энергия которых существенно больше энергии фотонов рентгеновского излучения, то в рассеянии наблюдается только смещенная компонента, потому что энергия $\gamma$-квантов очень велика по сравнению с энергией связи любого электрона атома.
Наблюдение индивидуальных актов столкновения. В опытах Комптона индивидуальные акты столкновения фотона с электроном не наблюдались, а изучался лишь совокупный результат столкновений фотонов с электронами. Однако уже в 1923 г. Боте и Вильсон наблюдали электроны отдачи от индивидуального акта столкновения фотона с электроном. В 1925 г. Боте и Гейгер доказали, что электрон отдачи и рассеянный фотон появляются одновременно (рис. 12). Счетчики фотонов $\Phi$ и электронов Э устанавливаются симметрично относительно рассеивателя $P$, в котором под действием излучения $И$ происходит Комптон-эффект. Счетчики $Ф$ и Э включены в схему $C$ совпадений, т. е. в электрическую схему, которая позволяет фиксировать лишь те случаи, когда фотон и электрон в соответствующих счетчиках появляются одновременно. Результат эксперимента показал, что
число одновременных фиксаций электрона и фотона в счетчиках много больше того, которое можно было бы ожидать при некоррелированном по времени появлении электрона и фотона.
Так было достоверно доказано существование индивидуального столкновения фотона с электроном. В том же 1925 г. Комптон и Саймон с помощью камеры Вильсона измеряли 3. Флуктуации интенсивности светового потока
углы между направлением движения электрона отдачи и фотона. Электрон отдачи в камере Вильсона оставляет заметный след, но рассеянный фотон никакого следа не оставляет. Однако если он будет поглощен другим атомом с испусканием фотоэлектрона, то след последнего хорошо виден в камере. Прямая линия, соединяющая точку возникновения электрона отдачи и фотоэлектрона, принимается за траекторию фотона. Поскольку идентифицировать фотоэлектрон и электрон отдачи абсолютно достоверно нельзя, для получения надежных результатов необходимо было использовать большой статистический материал.
Анализ углов разлета надежно подтвердил применимость законов сохранения к индивидуальным актам столкновения. В 1927 г. была непосредственно измерена энергия электронов отдачи, которая оказалась в полном согласии с предсказаниями теории эффекта Комптона.
