Рассматривается квантовая теория движения линейного гармонического осциллятора и с помощью принципа соответствия выводится формула излучения.
Линейный осциллятор. Потенциальная энергия многих физических систем имеет в некоторых точках пространства минимум. Разлагая в окрестности минимума потенциальную энергию в ряд, имеем
\[
\begin{array}{l}
E_{\mathrm{n}}(x)=(1 / 2 !)\left(\partial^{2} E_{\mathrm{n}} / \partial x^{2}\right)_{0} x^{2}+ \\
+(1 / 3 !)\left(\partial^{3} E_{\mathrm{n}} / \partial x^{3}\right)_{0} x^{3}+\ldots,
\end{array}
\]
где $x$-отклонение от положения равновесия, и принимаем без ограничения общности, что $E_{\mathrm{n}}(0)=0$. Если частица совершает малые колебания около положения равновесия, то в ряде можно ограничиться только первым членом. Частицу, совершающую гармонические колебания, будем назвать гармоническим осчиллятором.
Гармонические осцилляторы играют большую роль при исследовании малых колебаний систем около положения равновесия, в частности колебаний атомов в кристаллах, молекулах и т.д.
Оператор Гамильтона для осциллятора в квантовой теории имеет вид $\hat{H}=\hat{p}^{2} /(2 m)+m \omega^{2} \hat{x}^{2} / 2$,
где
$\left(\partial^{2} E_{\mathrm{n}} / \partial x^{2}\right)_{0}=m \omega^{2}$,
а уравнение Шредингера записывается следующим образом:
\[
\mathrm{d}^{2} \Psi / \mathrm{d} x^{2}+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E-m \omega^{2} x^{2} / 2\right) \Psi=0 .
\]
Для дальнейших вычислений удобно перейти к безразмерной переменной $\xi$ :
$\xi=\sqrt{m \omega / \hbar}$. хами, имеем
$\Psi^{\prime \prime}+\left(\lambda-\xi^{2}\right) \Psi=0$,
где
$\lambda=2 E /(\hbar \omega)$.
Для определения асимптотического поведения $\Psi$ на бесконечности заметим, что при $\xi^{2} \gg \lambda$ в уравнении (27.4) можно пренебречь $\lambda$ по сравнению с $\xi^{2}$ и записать его в виде $\Psi_{\mathrm{ac}}^{\prime \prime}-\xi^{2} \Psi_{\mathrm{ac}} \approx 0$.
Отсюда следует, что $\Psi_{\mathrm{ac}} \approx \mathrm{e}^{ \pm \xi^{2 / 2}}$.
Решение со знаком плюс в экспоненте надо отбросить, поскольку оно не удовлетворяет требованию конечности. Волновую функцию $\Psi$ будем искать в виде
$\Psi=v \Psi_{\text {ac }}=v \mathrm{e}^{-\xi^{2} / 2}$.
Чтобы функция $\Psi$ оставалась конеч-
ной, $v$ не должно расти на бесконечности быстрее, чем $\exp \left(\xi^{2} / 2\right)$. Для функции $v$ получаем следующее уравнение:
$v^{\prime \prime}-2 \xi v^{\prime}+(\lambda-1) v=0$.
Представим функцию $v$ в виде ряда $v(x)=a_{0}+a_{1} \xi+a_{2} \xi^{2}+\ldots+a_{k} \xi^{k}+\ldots$
Подставляя (27.8) в (27.7), имеем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k=2}^{\infty} k(k-2) a_{k} \xi^{k-2}-2 \xi \sum_{k=1}^{\infty} k a_{k} \xi^{k-1}+ \\
+(\lambda-1) \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \xi^{k}=0 .
\end{array}
\]
Сумма бесконечного степенного ряда тождественно равна нулю только в том случае, когда коэффициенты при всех степенях независимой переменной равны нулю. Приравнивая нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях, получаем следующие рекуррентные соотношения для определения коэффициентов $a_{k}$ :
\[
a_{k+2}(k+2)(k+1)-2 k a_{k}+(\lambda-1) a_{k}=0 .
\]
Отсюда
\[
a_{k+2}=a_{k}(2 k-\lambda+1) /[(k+2)(k+1)] .
\]
При $k \rightarrow \infty$ получаем
$a_{k+2} / a_{k} \approx 2 / k$.
Это означает, что представляемая бесконечным рядом (27.8) функция растет как $\exp \left(\xi^{2}\right)$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разложение $\exp \left(\xi^{2}\right)$ в ряд:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{\xi^{2}}=1+\xi^{2}+\xi^{4} / 2 !+\xi^{6} / 3 !+\ldots+\xi^{k} /(k / 2) !+ \\
+\xi^{k+2} /(k / 2+1) !+\ldots=1+\xi^{2}+\ldots+b_{k} \xi^{k}+ \\
+b_{k+2} \xi^{k+2}+\ldots
\end{array}
\]
Мы имеем
$b_{k+2} / b_{k}=(k / 2) ! /(k / 2+1) ! \approx k / 2$,
что и доказывает высказанное выше утверждение. Ряд (27.8) должен обрываться. Оборвем ряд на члене с номером $n$, т.е. будем считать, что $a_{n}
eq 0$, $a_{n+2}=0$. Из (27.10) находим
\[
\lambda=\lambda_{n}=2 n+1 \text {, }
\]
тогда энергия осциллятора
\[
E_{n}=\hbar \omega(n+1 / 2)(n=0,1,2, \ldots) \text {. }
\]
Нулевая энергия. При $n=0$ из формулы (27.12) получается, что минимальная энергия осциллятора равна $E_{0}=1 / 2 \hbar \omega$.
То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, обусловлено специфическими квантовыми свойствами системы и связано с соотношением неопределенности. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы и ее импульс и координата имели бы одновременно определенные значения, что противоречит требованиям соотношения неопределенности.
То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, можно доказать экспериментально. Для этого надо исследовать изменение рассеяния света кристаллами при изменении температуры.
Рассеяние света обусловливается колебаниями атомов. С уменьшением температуры амплитуда колебаний атомов уменьшается, стремясь, согласно классической механике, к нулю, в результате чего должно исчезнуть рассеяние света. В квантовой механике при понижении температуры средняя амплитуда колебаний должна стремиться не к нулю, а к некоторому пределу, обусловленному наличием нулевой энергии колебаний. Поэтому и рассеяние света при понижении температуры должно стремиться к некоторому пределу. Именно та-
кой ход интенсивности рассеяния наблюдается в экспериментах.
Волновые функции. Из рекуррентных соотношений (27.10) следует, что четность полинома (27.8) совпадает с четностью числа $n$. Поэтому полином имеет вид
\[
\begin{array}{l}
v_{n}(x)=a_{n} \xi^{n}+a_{n-2} \xi^{n-2}+\ldots+ \\
+\left\{\begin{array}{c}
a_{0}(n \text { четное }), \\
\left.a_{1} \xi \text { ( } n \text { нечетное }\right) .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Положим $a_{n}=2^{n}$ и определим остальные коэффициенты по рекуррентным формулам (27.10), в которых $\lambda=2 n+1$. Для коэффициентов $a_{k}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
a_{k}(\lambda-1-2 k)=a_{k}(2 n-2 k)= \\
=-a_{k+2}(k+2)(k+1),
\end{array}
\]
или
\[
\begin{array}{l}
a_{n-2}=-a_{n} n(n-1) /(2 \cdot 2)=-2^{n} n(n-1) / 1 !, \\
a_{n-4}=-a_{n-2}(n-2)(n-3) /(2 \cdot 4)= \\
=2^{n-4} n(n-1)(n-2)(n-3) / 2 ! \text { ит.д. }
\end{array}
\]
Полином (27.13), в котором $a_{n}=2^{n}$, а $\lambda=2 n+1$, называется полиномом Эрмита и обозначается $H_{n}(\xi)$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H}_{n}(\xi)=(2 \xi)^{n}-(2 \xi)^{n-2} n(n-1) / 1 !+ \\
+(2 \xi)^{n-4} n(n-1)(n-2)(n-3) / 2 !-\ldots .
\end{array}
\]
Легко убедиться непосредственным дифференцированием, что полином Эрмита (27.14) можно представить в виде
\[
H_{n}(\xi)=(-1)^{n} \mathrm{e}^{\xi^{2}} \mathrm{~d}^{n} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} / \mathrm{d} \xi^{n} .
\]
Таким образом, волновая функция $\Psi_{n}$, принадлежащая собственному значению $E_{n}$ [см. (27.12)], выражается формулой
\[
\Psi_{n}(x)=C_{n} \mathrm{e}^{-\xi^{2} / 2} H_{n}(\xi), \xi=x \sqrt{m \omega / \hbar} .
\]
Нормировочные коэффициенты $C_{n}$ находятся из условия
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \Psi_{n}^{2} \mathrm{~d} x=C_{n}^{2} \sqrt{\hbar /(m \omega)} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} H_{n}^{2}(\xi) \mathrm{d} \xi=1 .
\]
Так как $H_{n}(\xi)=(-1)^{n} \mathrm{e}^{\xi 2} \mathrm{~d}^{n} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} / \mathrm{d} \xi^{n}$, то интеграл в правой части выражения можно представить в более удобной форме:
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} H_{n}^{2}(\xi) \mathrm{d} \xi= \\
=(-1)^{n} \int_{-\infty}^{\infty} H_{n}(\xi) \mathrm{d}^{n} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} / \mathrm{d} \xi^{n} \mathrm{~d} \xi= \\
=(m \omega / \hbar)^{1 / 2} C_{n}^{-2} .
\end{array}
\]
Учитывая, что
\[
\mathrm{d}^{n} H_{n} / \mathrm{d} \xi^{n}=2^{n} n !, \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} \mathrm{~d} \xi=\sqrt{\pi},
\]
для нормировочного множителя получаем выражение
\[
C_{n}=(m \omega / \hbar)^{1 / 4}\left(2^{n} n ! \sqrt{\pi}\right)^{-1 / 2} .
\]
Четность собственных функций. Уравнение Шредингера в одном измерении имеет вид
\[
\mathrm{d}^{2} \Psi(x) / \mathrm{d} x^{2}+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left[E-E_{\mathrm{n}}(x)\right] \Psi(x)=0 .
\]
Пусть потенциальная энергия есть четная функция
\[
E_{\mathrm{n}}(x)=E_{\mathrm{n}}(-x) \text {. }
\]
Заменяя в уравнении Шредингера $x$ на $-x$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d}^{2} \Psi(-x) / \mathrm{d} x^{2}+\left(2 m / h^{2}\right) \times \\
\times\left[E-E_{\mathrm{n}}(x)\right] \Psi(-x)=0,
\end{array}
\]
т.е. функции $\Psi(x)$ и $\Psi(-x)$ удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и принадлежат одному и тому же уровню энергии. Если уровень энергии невырожден,то функции $\Psi(x)$ и $\Psi(-x)$ могут отличаться лишь постоянным множителем $A: \Psi(x)=$ $=A \Psi(-x)$. Заменяя в последнем выражении $x$ на $-x$, имеем $\Psi(-x)=$ $=A \Psi(x)$ или $\Psi(x)=A^{2} \Psi(x)$. Отсюда следует, что $A^{2}=1, A= \pm 1$. Итак, если потенциал есть четная функция координаты, то все собственные функции либо четные, либо нечетные.
При наличии вырождения собственные функции уравнения Шредингера не обязательно обладают определенной четностью. Однако всегда можно найти такие линейные комбинации собственных функций, которые будут обладать определенной четностью.
У гармонического осциллятора волновые функции $\Psi_{n}(x)$ (27.16) являются четными при четном $n$ и нечетными при нечетном $n$.
Теория излучения. В § 11 излучение черного тела было рассмотрено полуклассическим способом. При этом оказалось невозможным в рамках квантового расчета определить коэффициенты Эйнштейна для вероятностей квантовых переходов. Лишь воспользовавшись принципом соответствия, т.е. путем замены классических величин квантово-механическими, удалось найти коэффициенты Эйнштейна.
В классической теории энергия излучения, отнесенная к единице времени, задается формулой
$\mathrm{d} E_{\mathbf{к} л} / \mathrm{d} t=\left[q^{2} /\left(6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}\right)\right](\mathbf{i})^{2}$,
где $\ddot{\mathbf{r}}$ – ускорение излучающего заряда.
В квантовой теории средняя энергия излучения может быть представлена в виде
$\mathrm{d} E_{\mathrm{kв}} / \mathrm{d} t=N_{n n^{\prime}} A_{n n} \hbar \omega$,
где множитель $N_{n n^{\prime}}$ учитывает статистические свойства электронов, а $A_{n n^{\prime}}$ – отнесенная к единице времени вероятность квантового перехода из состояния $n$ в состояние $n^{\prime}$, при котором излучается квант с энергией $\hbar \omega$.
Необходимо пояснить смысл множителя $N_{n n^{\prime}}$. Очень важную роль в анализе явлений микромира имеет принцип Паули (см. § 54). В применении к электронам он гласит, что в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона. Иначе говоря, не может быть двух электронов, имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Излучение, описываемое формулой (27.19), происходит в результате перехода из квантового состояния $n$ в квантовое состояние $n^{\prime}$. Если в состоянии $n^{\prime}$ уже имеется электрон, то такой переход невозможен и множитель $N_{n n^{\prime}}$ равен нулю. Этот множитель равен также нулю и в том случае, когда состояние $n$ свободно, т.е. отсутствует электрон, который мог бы совершить переход. Если же состояние $n$ занято, а состояние $n^{\prime}$ свободно, то множитель $N_{n n^{\prime}}$ равен единице.
Рассмотрим переходы между двумя стационарными состояниями $\Psi_{n}$ и $\Psi_{n^{\prime}}$ с энергиями $E_{\text {к }}$ и $E_{n^{\prime}}$. Волновая функция системы является суперпозицией этих состояний:
$\Psi=C_{n} \mathrm{e}^{-i E_{n}^{t / \hbar}} \Psi_{n}+C_{n^{\prime}} \mathrm{e}^{-i E_{n^{\prime}} t / \hbar} \Psi_{n^{\prime}}$.
Чтобы воспользоваться принципом соответствия, необходимо в формуле (27.18) произвести усреднение как по координатам, так и по времени и полученный результат приравнять выражению (27.19). Производя усреднение радиуса-вектора $\mathbf{r}$ по координа-
** Минимальная энергия линейного осциллятора не равна нулю, что находится в согласии с требованиями соотношения неопределенности.
В области больших квантовых чисел движение квантово-механической системы с хорошей точностью может описываться формулами классической механики. Вероятности переходов квантовой системы, в результате которых происходит излучение, характеризуются матричными элементами радиуса-вектора.
* Определите понятие четности собственных функций.
Запишите правила отбора для осциллятора.
там, получаем
$\langle\mathbf{r}\rangle=\int \Psi^{*} \mathbf{r} \Psi \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\left|C_{n}\right|^{2}+\left|C_{n^{\prime}}\right|^{2}+$
$+C_{n}^{*} C_{n^{\prime}} \mathbf{r}_{n n^{\prime}} \mathrm{e}^{i \omega t}+C_{n^{\prime}}^{*} C_{n} \mathbf{r}_{n^{\prime} n} \mathrm{e}^{-i \omega t}$,
где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{r}_{n k^{\prime}}=\int \Psi_{n}^{*} \mathbf{r} \Psi_{n^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\
\omega=\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}\right) / \hbar .
\end{array}
\]
Из (27.20) следует, что
$\mathrm{d}^{2}\langle\mathbf{r}\rangle / \mathrm{d} t^{2}=-\omega^{2}\left(C_{n}^{*} C_{n^{\prime}} \mathbf{r}_{n n^{\prime}} \mathrm{e}^{i \omega t}+\right.$ $\left.+C_{n^{\prime}}^{*} C_{n} \mathrm{e}^{-i \omega t} \mathbf{r}_{n^{\prime} n}\right)$,
так как первые два члена не зависят от времени и при дифференцировании исчезают.
Возведем (27.21) в квадрат и полученное равенсгво усредним по времени, в результате чего члены, содержащие экспоненциальные временные множители, обратятся в нуль и получится равенство
$\left\langle\left|\mathrm{d}^{2}\langle\mathbf{r}\rangle / \mathrm{d} t^{2}\right|^{2}\right\rangle_{t}=2 \omega^{4}\left|C_{n}\right|^{2}\left|C_{n^{\prime}}\right|^{2}\left|\mathbf{r}_{n n^{\prime}}\right|^{2}$
(27.22)
(угловые скобки 〈〉, обозначают усреднение по времени). Подставим (27.22) в (27.18). Полученный результат на основании принципа соответствия следует приравнять выражению (27.19):
\[
\begin{array}{l}
N_{n n^{\prime}} A_{n n^{\prime}} \hbar \omega=\left[q^{2} \omega^{4} /\left(3 \pi \varepsilon_{0} c^{3}\right)\right]\left|C_{-n}\right|^{2} \times \\
\times\left|C_{n^{\prime}}\right|^{2}\left|\mathbf{r}_{n n^{\prime}}\right|^{2} .
\end{array}
\]
В случае стационарных состояний величина $\left|C_{n}\right|^{2}$ есть вероятность нахождения электрона на уровне $n$. При излучении же происходит скачкообразный переход электрона из состояния $n$ в состояние $n^{\prime}$, благодаря чему коэффициенты $C_{n}$ и $C_{n^{\prime}}$ изменяются скачком. Вычислить, чему при этом равно произведение $\left|C_{n}\right|^{2}\left|C_{n^{\prime}}\right|^{2}$, обычная квантовая механика не позволяет. Чтобы получить формулу, согласующуюся с экспериментом, необходимо положить
\[
N_{n n^{\prime}}=\left|C_{n}\right|^{2}\left|C_{n^{\prime}}\right|^{2} \text {. }
\]
Следует еще раз отметить, что обосновать справедливость этого равенства квантовая механика не в состоянии. Для коэффициента $A_{n n^{\prime}}$ получается выражение
$A_{n n^{\prime}}=\left[q^{2} \omega^{3} /\left(3 \pi \varepsilon_{0} c^{3} \bar{h}\right)\right]\left|\mathbf{r}_{n n^{\prime}}\right|^{2}$.
Отсюда по формулам (11.31) и (11.35) имеем
\[
B_{n n^{\prime}}=B_{n^{\prime} n}=\pi^{2} c^{3} A_{n n^{\prime}} /\left(\hbar \omega^{3}\right)=\left[\pi^{2} q^{2} /\right.
\]
\[
\left.\left(3 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}\right)\right]\left|\mathbf{r}_{n n^{\prime}}\right|^{2} \text {. }
\]
Таким образом. вероятности переходов квантовой системы, в результате которых происходит излучение, характеризуются матричными элементами радиуса-вектора.
Если матричный элемент радиуса-вектора равен нулю, то данный переход запрещен. Переходы, при которых матричный элемент радиуса-вектора отличен от нуля, называются разрешенными. Правила, указывающие разрешенные и запрещенные переходы, называются правилами отбора.
Правила отбора для осциллятора. Для нахождения правил отбора для осциллятора необходимо вычислить матричные элементы:
\[
x_{n n^{\prime}}=\int_{-\infty}^{\infty} \Psi_{n}^{*}(x) x \Psi_{n^{\prime}}(x) \mathrm{d} x,
\]
где функции $\Psi_{n}(x)$ задаются формулой (27.16). Подставляя в (27.26) $\Psi_{n}^{*}$ и $\Psi_{n^{\prime}}$ и переходя к переменной интегрирования $\xi$ [см. (27.3)], получаем
\[
\begin{array}{l}
x_{n n^{\prime}}=[\hbar /(m \omega)] \times \\
\times C_{n} C_{n^{\prime}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} \xi H_{n} H_{n^{\prime}} \mathrm{d} \xi .
\end{array}
\]
Принимая во внимание рекуррентное соотношение
\[
\xi H_{n}(\xi)=n H_{n-1}+1 / 2 H_{n+1} \text {, }
\]
находим
\[
\begin{array}{l}
x_{n n^{\prime}}=[\hbar /(m \omega)] C_{n} C_{n^{\prime}}\left[n \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} H_{n-1} \times\right. \\
\left.\times H_{n^{\prime}} \mathrm{d} \xi+(1 / 2) \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} H_{n+1} H_{n^{\prime}} \mathrm{d} \xi\right]= \\
=[h /(m \omega)] C_{n} \mathrm{C}_{n}^{\prime} \times \\
\times\left[n 2^{n-1}(n-1) ! \sqrt{\pi} \delta_{n-1 . n^{\prime}}+\right. \\
\left.+2^{n}(n+1) ! \sqrt{\pi} \delta_{n+1, n^{\prime}}\right] .
\end{array}
\]
Учитывая (27.17), имеем
$x_{n n^{\prime}}=[\hbar /(m \omega)]\left[\sqrt{n / 2} \delta_{n-1, n^{\prime}}+\right.$ $\left.+\sqrt{(n+1) / 2} \delta_{n+1, n^{\prime}}\right]$.
Из этого выражения следует, что матричный элемент отличен от нуля лишь для переходов, при которых квантовое число $n$ изменяется на единицу.
Это означает, что правило отбора для осциллятора имеет вид
$\Delta n= \pm 1$.
Интенсивность излучения. Вероятность перехода характеризуется коэффициентом Эйнштейна:
$A_{n n^{\prime}}=\left[q^{2} \omega^{3} /\left(3 \pi \varepsilon_{0} c^{3} \hbar\right)\right]\left|x_{n n^{\prime}}\right|^{2}$.
Поэтому интенсивность спектральной линии, излучаемой при рассматриваемом переходе,
\[
\begin{array}{l}
I_{n, n-1}=\hbar \omega A_{n, n-1}= \\
=\left[q^{2} \omega^{4} /\left(3 \pi \varepsilon_{0} c^{3}\right)\right]\left|x_{n, n-1}\right|^{2} .
\end{array}
\]
Воспользовавшись выражением для матричного элемента $x_{n, n-1}$ [см. (27.27)], формулу (27.30) представим в виде
$I_{n, n-1}=\left[q^{2} \omega^{2} /\left(6 \pi \varepsilon_{0} m c^{3}\right)\right] \hbar \omega n$.
Выразив квантовое число $n$ через энергию по формуле (27.12), окончательно получим
\[
I_{n, n-1}=\left[q^{2} \omega^{2} /\left(6 \pi \varepsilon_{0} m c^{3}\right)\right]\left(E_{n}-E_{0}\right) .
\]
По классической теории, интенсивность излучения осциллятора
$I_{\mathrm{xл}}=\left[q^{2} /\left(6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}\right)\right]\left\langle(\ddot{x})^{2}\right\rangle=$ $=\left[q^{2} \omega^{4} /\left(12 \pi \varepsilon_{0} c^{3}\right)\right] A^{2}$,
где $A$-амплитуда колебаний осциллятора, которая связана с энергией $E$ осциллятора соотношением
$E=1 / 2 m \omega^{2} \mathrm{~A}^{2}$.
Следовательно,л
$I_{\text {кл }}=\left[q^{2} \omega^{2} /\left(6 \pi \varepsilon_{0} m c^{3}\right)\right] E$.
Сравнение (27.32) с (27.31) показывает, что в области больших квантовых чисел, когда нулевой энергией $E_{0}$ можно пренебречь по сравнению с энергией $E_{n}$, квантовая формула (27.31) излучения осциллятора совпадает с классической формулой (27.32). Следует отметить, что это утверждение имеет общий характер:
в области больших квантовых чисел движение квантово-механической системы с хорошей точностью может описываться формулами классической механики.
Пример 27.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле напряженности $\mathscr{E}$.
К энергии осциллятора в отсутствие электрического поля добавляется потенциальная энергия $-q \mathscr{E} x$ заряда в однородном электрическом поле. В результате оператор Гамильтона имеет вид
$\hat{H}=\hat{p}^{2} /(2 m)+m \omega^{2} x^{2} / 2-q \mathscr{E} x$.
В уравнении Шредингера
$\frac{\mathrm{d}^{2} \Psi}{\mathrm{d} x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E-m \omega^{2} x^{2} / 2+q \mathscr{E} x\right) \Psi=0$
перейдем к новой переменной $\eta=$ $=x-q \mathscr{E} /\left(m \omega^{2}\right)$ и получим
$\frac{\mathrm{d}^{2} \Psi}{\mathrm{d} \eta^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[E+q^{2} \mathscr{E}^{2} /\left(2 m \omega^{2}\right)-\right.$
– $\left.m \omega^{2} \eta^{2} / 2\right] \Psi=0$.
Это уравнение совпадает с уравнением для осциллятора в отсутствие электрического поля, но с измененным на $q^{2} \mathscr{E}^{2} /\left(2 m \omega^{2}\right)$ выражением собственной энергии. Следовательно, собственные значения энергии равны $E_{n}=\hbar \omega(n+1 / 2)-q^{2} \mathscr{E}^{2} /\left(2 m \omega^{2}\right)$ ( $n=0,1,2, \ldots$ )
и волновые функции имеют такой же вид, как и для линейного осциллятора в отсутствие электрического поля. Однако при графическом изображении они сдвигаются вдоль оси $X$ на $q \mathscr{E} /\left(m \omega^{2}\right)$.
