Анализируются основные свойства движения частицы в одномерной бесконечно глубокой яме и яме конечной глубины и отмечается существование типично квантового явления проникновения частицы за границы потенциальной ямы конечной глубины.

Бесконечно глубокая яма. Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты $x$ изображена на рис. 55 .

На интервале $(0,a)$ потенциальную энергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы $(0,a)$, или, как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция $\mathrm{\Psi }$ вне интервала $(0,a)$ равна нулю. Так как она непрерывна, то равна нулю в точках $x=a,x=0$. Таким образом, для $\mathrm{\Psi }(x)$ получаем следующие граничные условия:
$$\mathrm{\Psi }(0)=\mathrm{\Psi }(a)=0.$$

Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет вид
$${\mathrm{d}}^2\mathrm{\Psi }/\mathrm{d}{x}^2+{\varkappa }^2\mathrm{\Psi }=0,{\varkappa }^2=2mE/{\hslash }^2.$$

Общее решение этого уравнения хорошо известно:
$$\mathrm{\Psi }(x)=A\sin (xx)+B\cos (xx).$$

Граничное условие $\mathrm{\Psi }(0)=0$ дает $B=0$,
а из граничного условия $\mathrm{\Psi }(a)=0$ следует, что
$$\varkappa a=n\pi ,x_n=\pi n/a(n=1,2,\dots ).$$

Это условие квантует движение частиц. На основании (26.5) и определения энергии через $x$ в (26.2) получаем для уровней энергии выражение $E_n={\hslash }^2{\varkappa }_n^2/(2m)={\hslash }^2{\pi }^2{n}^2/\left(2m{a}^2\right)(n=1,2,3,\dots )$.

Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равна нулю энергия
$$E_1={\hslash }^2{\pi }^2/\left(2m{a}^2\right),$$

соответствующая основному состоянию движения частиц. Волновая функция этого состояния
55
Потенциальная яма
${\mathrm{\Psi }}_1(x)=A\sin (\pi x/a)$
ни в какой точке внутри ямы в нуль не обращается. Это свойство волновой функции основного состояния имеет общий характер:
волновая функция основного состояния не имеет узлов, т.е. не обращается в нуль внутри рассматриваемой области, а может обращаться в нуль лишь на границах.
Из (26.7) видно, что минимальная энергия с уменьшением линейных размеров ямы увеличивается. Физическая причина этого заключается в том, что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшается длина волны де Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де Бройля означает увеличение энергии частицы.
Таким образом, уточнение локализации частиц неизбежно сопровождается увеличением энергии частицы. Это одно из проявлений принципа неопределенности.
Поскольку спектр дискретен, условие нормировки
${\int }_0^a\mathrm{\Psi }\ast \mathrm{\Psi }\mathrm{d}x=A^2{\int }_0^a{\sin }^2(xx)\mathrm{d}x=A^{2}a/2=1$
для нормировочного множителя дает значение
$A=\sqrt{2/a}$.
Поэтому система собственных функций имеет вид

56
Потенциальная яма конечной глубины
$${\mathrm{\Psi }}_n(x)=\sqrt{2/a}\sin (\pi nx/a).$$

Одномерная яма конечной глубины. Предполагается (рис. 56), что при $x<0$ потенциальная энергия обращается в бесконечность. Значит, частица не может проникнуть в область $x<0$ и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. Поэтому достаточно найти волновую функцию в областях $I$ и $II$ при $x>0$, заметив, что в точке $x=0$ из-за непрерывности волновая функция обращается в нуль.

Уравнение Шредингера в областях $I(0<x<a)$ и $II(a<x<\mathrm{\infty })$ имеет вид
(I) ${\mathrm{\Psi }}_1^{\prime \prime }+{\varkappa }_1^2{\mathrm{\Psi }}_1=0,x_1^2=2mE/{\hslash }^2$,
(II) ${\mathrm{\Psi }}_2^{\prime \prime }+\left(2m/{\hslash }^2\right)(E-E_{\mathrm{n}0}){\mathrm{\Psi }}_2=0$.

Случай $\mathit{E}>{\mathit{E}}_{n0}$. Уравнение Шредингера в области II
(II) ${\mathrm{\Psi }}_2^{\prime \prime }+{\chi }_2^2{\mathrm{\Psi }}_2=0,{\chi }_2^2=\left(2m/{\hslash }^2\right)(E-E_{\mathrm{n}0})>0$,
** Если по закону сохранения знергии частица может двигаться лишь в ограниченной области пространства, то спектр ее энергии дискретен, при неограниченной области движения непрерывен.
В потенциальной яме конечной глубины имеется лишь конечное число собственных значений энергии. Если глубина ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует.
* Сформулируйте условия на границах бесконечно глубокой ямы и ямы конечной глубины. Чем обусловливается различие между ними? Может ли частица проникнуть в некоторую область пространства с нарушением закона сохранения энергии?
а в области I оно имеет вид $(26.10;$ I). Решения для различных областей можно записать следующим образом:
(I) ${\mathrm{\Psi }}_1=A_1\sin \left({\varkappa }_{1}x\right)+B_1\cos \left(x_{1}x\right)$,
(II) ${\mathrm{\Psi }}_2=A_2\sin [x_2(x-a)]+$ $+B_2\cos [x_2(x-a)]$.
Из условия ${\mathrm{\Psi }}_1(0)=0$ следует, что $B_1=0$, а условия непрерывности функции и ее производной
${\mathrm{\Psi }}_1(a)={\mathrm{\Psi }}_2(a),{\mathrm{\Psi }}_1^{\prime }(a)={\mathrm{\Psi }}_2^{\prime }(a)$
дают для коэффициентов $A_2$ и $B_2$ следующие выражения:
$A_2=\left(x_1{A}_1/x_2\right)\cos \left(x_{1}a\right),B_2=A_1\sin \left(x_{1}a\right)$.
Эти условия могут быть всегда удовлетворены. Поэтому в случае $E>E_{\text{по }}$ спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не локализована в конечной области пространства, ее движение инфинитно.
Случай $\mathit{E}<{\mathit{E}}_{\text{по }}$. Уравнение Шредингера в области II имеет вид
(II) ${\mathrm{\Psi }}_2^{\prime \prime }-k^2{\mathrm{\Psi }}_2=0$,
$k^2=\left(2m/{\hslash }^2\right)(E_{\mathrm{n}0}-E)>0$.
В области $I$ уравнение остается без изменения. Решения для областей $I$ и II представляются функциями
(I) ${\mathrm{\Psi }}_1=A_1\sin \left({\varkappa }_{1}x\right)$,
(II) ${\mathrm{\Psi }}_2=C_2{\mathrm{e}}^{-kx}+D_2{\mathrm{e}}^{kx}$.
Так как волновая функция везде должна быть конечной, а ${\mathrm{e}}^{kx}$ при $x\to \mathrm{\infty }$ неограниченно возрастает, то $D_2$ в формуле $(26.16;$ II) необходимо принять равным нулю.
Условия сшивания (26.13) в рассматриваемом случае:
$$A_1\sin \left({\varkappa }_{1}a\right)=C_2\exp (-ka),$$
$$A_1{\varkappa }_1\cos \left({\varkappa }_{2}a\right)=-k{C}_2\exp (-ka).$$

Разделив почленно второе уравнение а первое, получим условие квантования энергии:
$$x_1\mathrm{ctg}\left(x_{1}a\right)=-k\text{. }$$

Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования:
$$\begin{array}{l}{\sin \left({\varkappa }_{1}a\right)=[1+{\mathrm{ctg}}^2{\varkappa }_{1}a)]}^{-1/2}=\\ ={[1+{\left(k/{\varkappa }_1\right)}^2]}^{-1/2}=\\ ={[1+(E_{\mathrm{n}0}-E)/E]}^{-1/2}={\left(E/E_{\mathrm{n}0}\right)}^{1/2}.\end{array}$$

Ho
$$\sqrt{E}=\hslash x_1/\sqrt{2m}$$

и, следовательно, уравнение (26.18) принимает вид
$$\sin y=\left(\hslash /\sqrt{2m{a}^2{E}_{\mathrm{n}0}}\right)y(y=x_{1}a)\text{. }$$

Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 57. В качестве решений берутся не все пересечения прямой $z=\left(\hslash y/\sqrt{2m{a}^2{E}_{\text{п }}}\right)$ с синусоидой $z=\sin y$, а лишь те, которые согласуются со знаком в уравнении (26.18), т. е. точки пересечения в четных четвертях. Этим значениям $y_n$, которых имеется конечное число, соответствуют энергии
$$E_n={\hslash }^2{y}_n^2/\left(2m{a}^2\right).$$

Таким образом, в потенциальной яме с конечной глубиной имеется конечное число собственных значений энергии.

Если глубина $E_{\text{по }}$ ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует, т. е. стационарного движения частицы в конечной области нет.

В классической механике при $E<E_{\text{по }}$ частица не может проникнуть в область $x>a$. В квантовой же механике все иначе. Волновая функция при $x>a$, согласно (26.16; II), имеет вид ${\mathrm{\Psi }}_2(x)=C_2{\mathrm{e}}^{-kx}$.
К вычислению корней уравнения (26.19)
Эта функция быстро убывает при удалении от точки $x=a$ в сторону возрастающих значений $x$, но не равна нулю при $x=a$. Это означает, что имеется некоторая вероятность того, что частица с энергией $E<E_{\text{п }0}$ все же проникнет в область $x>a$. Этот эффект обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер.