Главная > Атомная физика (A.H. MATBEEB)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Анализируются основные свойства движения частицы в одномерной бесконечно глубокой яме и яме конечной глубины и отмечается существование типично квантового явления проникновения частицы за границы потенциальной ямы конечной глубины.

Бесконечно глубокая яма. Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты x изображена на рис. 55 .

На интервале (0,a) потенциальную энергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы (0,a), или, как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция Ψ вне интервала (0,a) равна нулю. Так как она непрерывна, то равна нулю в точках x=a,x=0. Таким образом, для Ψ(x) получаем следующие граничные условия:
Ψ(0)=Ψ(a)=0.

Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет вид
d2Ψ/dx2+ϰ2Ψ=0,ϰ2=2mE/2.

Общее решение этого уравнения хорошо известно:
Ψ(x)=Asin(xx)+Bcos(xx).

Граничное условие Ψ(0)=0 дает B=0,
а из граничного условия Ψ(a)=0 следует, что
ϰa=nπ,xn=πn/a(n=1,2,).

Это условие квантует движение частиц. На основании (26.5) и определения энергии через x в (26.2) получаем для уровней энергии выражение En=2ϰn2/(2m)=2π2n2/(2ma2)(n=1,2,3,).

Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равна нулю энергия
E1=2π2/(2ma2),

соответствующая основному состоянию движения частиц. Волновая функция этого состояния
55
Потенциальная яма
Ψ1(x)=Asin(πx/a)
ни в какой точке внутри ямы в нуль не обращается. Это свойство волновой функции основного состояния имеет общий характер:
волновая функция основного состояния не имеет узлов, т.е. не обращается в нуль внутри рассматриваемой области, а может обращаться в нуль лишь на границах.
Из (26.7) видно, что минимальная энергия с уменьшением линейных размеров ямы увеличивается. Физическая причина этого заключается в том, что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшается длина волны де Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де Бройля означает увеличение энергии частицы.
Таким образом, уточнение локализации частиц неизбежно сопровождается увеличением энергии частицы. Это одно из проявлений принципа неопределенности.
Поскольку спектр дискретен, условие нормировки
0aΨΨdx=A20asin2(xx)dx=A2a/2=1
для нормировочного множителя дает значение
A=2/a.
Поэтому система собственных функций имеет вид

56
Потенциальная яма конечной глубины
Ψn(x)=2/asin(πnx/a).

Одномерная яма конечной глубины. Предполагается (рис. 56), что при x<0 потенциальная энергия обращается в бесконечность. Значит, частица не может проникнуть в область x<0 и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. Поэтому достаточно найти волновую функцию в областях I и II при x>0, заметив, что в точке x=0 из-за непрерывности волновая функция обращается в нуль.

Уравнение Шредингера в областях I(0<x<a) и II(a<x<) имеет вид
(I) Ψ1+ϰ12Ψ1=0,x12=2mE/2,
(II) Ψ2+(2m/2)(EEn0)Ψ2=0.

Случай E>En0. Уравнение Шредингера в области II
(II) Ψ2+χ22Ψ2=0,χ22=(2m/2)(EEn0)>0,
** Если по закону сохранения знергии частица может двигаться лишь в ограниченной области пространства, то спектр ее энергии дискретен, при неограниченной области движения непрерывен.
В потенциальной яме конечной глубины имеется лишь конечное число собственных значений энергии. Если глубина ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует.
* Сформулируйте условия на границах бесконечно глубокой ямы и ямы конечной глубины. Чем обусловливается различие между ними? Может ли частица проникнуть в некоторую область пространства с нарушением закона сохранения энергии?
а в области I оно имеет вид (26.10; I). Решения для различных областей можно записать следующим образом:
(I) Ψ1=A1sin(ϰ1x)+B1cos(x1x),
(II) Ψ2=A2sin[x2(xa)]+ +B2cos[x2(xa)].
Из условия Ψ1(0)=0 следует, что B1=0, а условия непрерывности функции и ее производной
Ψ1(a)=Ψ2(a),Ψ1(a)=Ψ2(a)
дают для коэффициентов A2 и B2 следующие выражения:
A2=(x1A1/x2)cos(x1a),B2=A1sin(x1a).
Эти условия могут быть всегда удовлетворены. Поэтому в случае E>Eпо  спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не локализована в конечной области пространства, ее движение инфинитно.
Случай E<Eпо . Уравнение Шредингера в области II имеет вид
(II) Ψ2k2Ψ2=0,
k2=(2m/2)(En0E)>0.
В области I уравнение остается без изменения. Решения для областей I и II представляются функциями
(I) Ψ1=A1sin(ϰ1x),
(II) Ψ2=C2ekx+D2ekx.
Так как волновая функция везде должна быть конечной, а ekx при x неограниченно возрастает, то D2 в формуле (26.16; II) необходимо принять равным нулю.
Условия сшивания (26.13) в рассматриваемом случае:
A1sin(ϰ1a)=C2exp(ka),
A1ϰ1cos(ϰ2a)=kC2exp(ka).

Разделив почленно второе уравнение а первое, получим условие квантования энергии:
x1ctg(x1a)=k

Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования:
sin(ϰ1a)=[1+ctg2ϰ1a)]1/2==[1+(k/ϰ1)2]1/2==[1+(En0E)/E]1/2=(E/En0)1/2.

Ho
E=x1/2m

и, следовательно, уравнение (26.18) принимает вид
siny=(/2ma2En0)y(y=x1a)

Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 57. В качестве решений берутся не все пересечения прямой z=(y/2ma2Eп ) с синусоидой z=siny, а лишь те, которые согласуются со знаком в уравнении (26.18), т. е. точки пересечения в четных четвертях. Этим значениям yn, которых имеется конечное число, соответствуют энергии
En=2yn2/(2ma2).

Таким образом, в потенциальной яме с конечной глубиной имеется конечное число собственных значений энергии.

Если глубина Eпо  ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует, т. е. стационарного движения частицы в конечной области нет.

В классической механике при E<Eпо  частица не может проникнуть в область x>a. В квантовой же механике все иначе. Волновая функция при x>a, согласно (26.16; II), имеет вид Ψ2(x)=C2ekx.
К вычислению корней уравнения (26.19)
Эта функция быстро убывает при удалении от точки x=a в сторону возрастающих значений x, но не равна нулю при x=a. Это означает, что имеется некоторая вероятность того, что частица с энергией E<Eп 0 все же проникнет в область x>a. Этот эффект обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер.

1
Оглавление
email@scask.ru