Анализируются основные свойства движения частицы в одномерной бесконечно глубокой яме и яме конечной глубины и отмечается существование типично квантового явления проникновения частицы за границы потенциальной ямы конечной глубины.
Бесконечно глубокая яма. Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты $x$ изображена на рис. 55 .
На интервале $(0, a)$ потенциальную энергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы $(0, a)$, или, как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция $\Psi$ вне интервала $(0, a)$ равна нулю. Так как она непрерывна, то равна нулю в точках $x=a, x=0$. Таким образом, для $\Psi(x)$ получаем следующие граничные условия:
\[
\Psi(0)=\Psi(a)=0 .
\]
Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет вид
\[
\mathrm{d}^{2} \Psi / \mathrm{d} x^{2}+\varkappa^{2} \Psi=0, \varkappa^{2}=2 m E / \hbar^{2} .
\]
Общее решение этого уравнения хорошо известно:
\[
\Psi(x)=A \sin (x x)+B \cos (x x) .
\]
Граничное условие $\Psi(0)=0$ дает $B=0$,
а из граничного условия $\Psi(a)=0$ следует, что
\[
\varkappa a=n \pi, x_{n}=\pi n / a(n=1,2, \ldots) .
\]
Это условие квантует движение частиц. На основании (26.5) и определения энергии через $x$ в (26.2) получаем для уровней энергии выражение $E_{n}=\hbar^{2} \varkappa_{n}^{2} /(2 m)=\hbar^{2} \pi^{2} n^{2} /\left(2 m a^{2}\right)(n=1,2,3, \ldots)$.
Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равна нулю энергия
\[
E_{1}=\hbar^{2} \pi^{2} /\left(2 m a^{2}\right),
\]
соответствующая основному состоянию движения частиц. Волновая функция этого состояния
55
Потенциальная яма
$\Psi_{1}(x)=A \sin (\pi x / a)$
ни в какой точке внутри ямы в нуль не обращается. Это свойство волновой функции основного состояния имеет общий характер:
волновая функция основного состояния не имеет узлов, т.е. не обращается в нуль внутри рассматриваемой области, а может обращаться в нуль лишь на границах.
Из (26.7) видно, что минимальная энергия с уменьшением линейных размеров ямы увеличивается. Физическая причина этого заключается в том, что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшается длина волны де Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де Бройля означает увеличение энергии частицы.
Таким образом, уточнение локализации частиц неизбежно сопровождается увеличением энергии частицы. Это одно из проявлений принципа неопределенности.
Поскольку спектр дискретен, условие нормировки
$\int_{0}^{a} \Psi * \Psi \mathrm{d} x=A^{2} \int_{0}^{a} \sin ^{2}(x x) \mathrm{d} x=A^{2} a / 2=1$
для нормировочного множителя дает значение
$A=\sqrt{2 / a}$.
Поэтому система собственных функций имеет вид
56
Потенциальная яма конечной глубины
\[
\Psi_{n}(x)=\sqrt{2 / a} \sin (\pi n x / a) .
\]
Одномерная яма конечной глубины. Предполагается (рис. 56), что при $x<0$ потенциальная энергия обращается в бесконечность. Значит, частица не может проникнуть в область $x<0$ и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. Поэтому достаточно найти волновую функцию в областях $I$ и $I I$ при $x>0$, заметив, что в точке $x=0$ из-за непрерывности волновая функция обращается в нуль.
Уравнение Шредингера в областях $I(0<x<a)$ и $I I(a<x<\infty)$ имеет вид
(I) $\Psi_{1}^{\prime \prime}+\varkappa_{1}^{2} \Psi_{1}=0, x_{1}^{2}=2 m E / \hbar^{2}$,
(II) $\Psi_{2}^{\prime \prime}+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E-E_{\mathrm{n} 0}\right) \Psi_{2}=0$.
Случай $\boldsymbol{E}>\boldsymbol{E}_{n 0}$. Уравнение Шредингера в области II
(II) $\Psi_{2}^{\prime \prime}+\chi_{2}^{2} \Psi_{2}=0, \chi_{2}^{2}=\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E-E_{\mathrm{n} 0}\right)>0$,
** Если по закону сохранения знергии частица может двигаться лишь в ограниченной области пространства, то спектр ее энергии дискретен, при неограниченной области движения непрерывен.
В потенциальной яме конечной глубины имеется лишь конечное число собственных значений энергии. Если глубина ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует.
* Сформулируйте условия на границах бесконечно глубокой ямы и ямы конечной глубины. Чем обусловливается различие между ними? Может ли частица проникнуть в некоторую область пространства с нарушением закона сохранения энергии?
а в области I оно имеет вид $(26.10 ;$ I). Решения для различных областей можно записать следующим образом:
(I) $\Psi_{1}=A_{1} \sin \left(\varkappa_{1} x\right)+B_{1} \cos \left(x_{1} x\right)$,
(II) $\Psi_{2}=A_{2} \sin \left[x_{2}(x-a)\right]+$ $+B_{2} \cos \left[x_{2}(x-a)\right]$.
Из условия $\Psi_{1}(0)=0$ следует, что $B_{1}=0$, а условия непрерывности функции и ее производной
$\Psi_{1}(a)=\Psi_{2}(a), \Psi_{1}^{\prime}(a)=\Psi_{2}^{\prime}(a)$
дают для коэффициентов $A_{2}$ и $B_{2}$ следующие выражения:
$A_{2}=\left(x_{1} A_{1} / x_{2}\right) \cos \left(x_{1} a\right), B_{2}=A_{1} \sin \left(x_{1} a\right)$.
Эти условия могут быть всегда удовлетворены. Поэтому в случае $E>E_{\text {по }}$ спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не локализована в конечной области пространства, ее движение инфинитно.
Случай $\boldsymbol{E}<\boldsymbol{E}_{\text {по }}$. Уравнение Шредингера в области II имеет вид
(II) $\Psi_{2}^{\prime \prime}-k^{2} \Psi_{2}=0$,
$k^{2}=\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E_{\mathrm{n} 0}-E\right)>0$.
В области $I$ уравнение остается без изменения. Решения для областей $I$ и II представляются функциями
(I) $\Psi_{1}=A_{1} \sin \left(\varkappa_{1} x\right)$,
(II) $\Psi_{2}=C_{2} \mathrm{e}^{-k x}+D_{2} \mathrm{e}^{k x}$.
Так как волновая функция везде должна быть конечной, а $\mathrm{e}^{k x}$ при $x \rightarrow \infty$ неограниченно возрастает, то $D_{2}$ в формуле $(26.16 ;$ II) необходимо принять равным нулю.
Условия сшивания (26.13) в рассматриваемом случае:
\[
A_{1} \sin \left(\varkappa_{1} a\right)=C_{2} \exp (-k a),
\]
\[
A_{1} \varkappa_{1} \cos \left(\varkappa_{2} a\right)=-k C_{2} \exp (-k a) .
\]
Разделив почленно второе уравнение а первое, получим условие квантования энергии:
\[
x_{1} \operatorname{ctg}\left(x_{1} a\right)=-k \text {. }
\]
Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования:
\[
\begin{array}{l}
\left.\sin \left(\varkappa_{1} a\right)=\left[1+\operatorname{ctg}^{2} \varkappa_{1} a\right)\right]^{-1 / 2}= \\
=\left[1+\left(k / \varkappa_{1}\right)^{2}\right]^{-1 / 2}= \\
=\left[1+\left(E_{\mathrm{n} 0}-E\right) / E\right]^{-1 / 2}=\left(E / E_{\mathrm{n} 0}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]
Ho
\[
\sqrt{E}=\hbar x_{1} / \sqrt{2 m}
\]
и, следовательно, уравнение (26.18) принимает вид
\[
\sin y=\left(\hbar / \sqrt{2 m a^{2} E_{\mathrm{n} 0}}\right) y\left(y=x_{1} a\right) \text {. }
\]
Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 57. В качестве решений берутся не все пересечения прямой $z=\left(\hbar y / \sqrt{2 m a^{2} E_{\text {п }}}\right)$ с синусоидой $z=\sin y$, а лишь те, которые согласуются со знаком в уравнении (26.18), т. е. точки пересечения в четных четвертях. Этим значениям $y_{n}$, которых имеется конечное число, соответствуют энергии
\[
E_{n}=\hbar^{2} y_{n}^{2} /\left(2 m a^{2}\right) .
\]
Таким образом, в потенциальной яме с конечной глубиной имеется конечное число собственных значений энергии.
Если глубина $E_{\text {по }}$ ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует, т. е. стационарного движения частицы в конечной области нет.
В классической механике при $E<E_{\text {по }}$ частица не может проникнуть в область $x>a$. В квантовой же механике все иначе. Волновая функция при $x>a$, согласно (26.16; II), имеет вид $\Psi_{2}(x)=C_{2} \mathrm{e}^{-k x}$.
К вычислению корней уравнения (26.19)
Эта функция быстро убывает при удалении от точки $x=a$ в сторону возрастающих значений $x$, но не равна нулю при $x=a$. Это означает, что имеется некоторая вероятность того, что частица с энергией $E<E_{\text {п } 0}$ все же проникнет в область $x>a$. Этот эффект обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер.
