Описывается квантовая динамика спина в переменном магнит ном поле
Постановка задачи. В § 38 был построен оператор спина и с его помощью полностью рассмотрено движение спина в постоянном магнитном поле, которое сводится к его прецессии. Проекция спина на направление индукции магнитного поля является интегралом движения. Изменение направления спина на обратное не происходит.
В переменном магнитном поле картина движения спина коренным образом изменяется и возможно изменение его направления на обратное.
Спин в магнитном поле имеет два энергетических состояний и, следовательно, является двухуровневой системой. Все двухуровневые квантовые іистемы обладают рядом общих свойств, которые, в частности, были рассмотрены в § 48 на примере двухуровневого атома. Спин в переменном магнитном поле ведет себя аналогично двухуровневому атому в переменном электрическом поле.

Будем считать, что составляющая магнитного поля по оси $Z$ постоянна, а составляющая в плоскости $X Y$ изменяется со временем:
\[
\mathbf{B}=\mathbf{B}^{0}+\mathbf{B}^{(1)}(t)
\]

где
\[
\mathbf{B}^{(0)}=\left(0,0, B_{z}^{(0)}\right), \mathbf{B}^{(1)}(t)=\left[B_{x}^{(1)}(t), B_{y}^{(1)}(t), 0\right] .
\]

Оператор Гамильтона для спина в магнитном поле определяется формулой (38.4) и имеет вид
$\hat{H}=-(q / m)\left(\mathbf{B}^{(0)}+\mathbf{B}^{(1)}\right) \cdot \hat{\mathbf{s}}$.
Оператор спина $\hat{\mathbf{s}}$ выражается формулами (36.5) – (36.7). Напомним, что формулы (36.5) – (36.8) дают представление спина в базисе собственных векторов его $Z$-проекций.

Уравнение Шредингера. Зависящее от времени уравнение Шредингера с гамильтонианом (49.3) имеет вид
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\Psi(t)\rangle=\hat{H}|\Psi(t)\rangle,
\]

где на основании (38.6)
\[
\hat{H}=-\frac{q \hbar}{2 m}\left(\begin{array}{cc}
B_{z}^{(0)} & B_{x}^{(1)}-i B_{y}^{(1)} \\
B_{x}^{(1)}+i B_{y}^{(1)} & -B_{z}^{(0)}
\end{array}\right) .
\]

B последующем для упрощения написания формул учтем, что $-q \hbar /(2 m)=e \hbar /\left(2 m_{e}\right)=\mu_{\mathrm{B}}$-магнетон Бора.

Решение уравнения. Решение уравнения (49.4) ищем в виде
\[
|\Psi(t)\rangle=a_{+}(t)|Z,+\rangle+a_{-}(t)|Z,-\rangle,
\]

где $|Z,+\rangle$ и $|Z,-\rangle$-базисные функции в собственном представлении оператора спина [см. (36.2)]. Подставляя (49.6) в (49.4) и принимая во внимание (36.2), получаем
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\begin{array}{l}
a_{+} \\
a_{-}
\end{array}\right)=
\]
\[
=\mu_{\mathrm{B}}\left(\begin{array}{cc}
B_{z}^{(0)} & B_{x}^{(1)}-i B_{y}^{(1)} \\
B_{x}^{(1)}+i B_{y}^{(1)} & -B_{z}^{(0)}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
a_{+} \\
a_{-}
\end{array}\right) .
\]

Тогда
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{+}}{i} \mathrm{~d} t=\mu_{\mathrm{B}}\left[B_{z}^{(0)} a_{+}+\left(B_{x}^{(1)}-i B_{y}^{(1)}\right) a_{-}\right] \text {. }
\]
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{-}}{i}=\mu_{\mathrm{B}}\left[\left(B_{x}^{(1)}+i B_{y}^{(2)}\right) a_{+}-B_{z}^{(0)} a_{-}\right] .
\]

Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что индукция магнитного поля в плоскости $X Y$ описывается формулами
\[
B_{x}^{(1)}=B_{0}^{(1)} \cos (\omega t), B_{y}^{(1)}=B_{0}^{(1)} \sin (\omega t) .
\]

Отсюда
\[
B_{x}^{(1)} \pm i B_{y}^{(1)}=B_{0}^{(1)}[\cos (\omega t) \pm i \sin (\omega t)]=
\]
$=B_{0}^{(1)} \exp ( \pm i \omega t)$.
Введя обозначение $\mu_{\mathrm{B}} B_{z}^{(0)}=E$, представим уравнения (49.8) в виде
\[
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d} a_{+}}{\mathrm{d} t}=E a_{+}+\mu_{\mathrm{B}} B_{0}^{(1)} \exp (-i \omega t) a_{-},
\]
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{-}}{i \mathrm{~d} t}=\mu_{\mathrm{B}} B_{0}^{(1)}(i \omega t) a_{+}-E a_{-} .
\]

Для решения (49.11) перейдем к новым неизвестным функциям $b_{+}(t)$ и $b_{-}(t)$ по формулам
\[
a_{+}(t)=b_{+}(t) \exp [-i E t / \hbar] \text {. }
\]
\[
a_{-}(t)=b_{-}(t) \exp [i E t / \hbar] \text {. }
\]

Полезно сравнить (49.12) с (48.15) и с последующим ходом решения уравнений в § 48. Подставляя (49.12) в (49.11), находим
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} b_{+}}{i} \frac{\mathrm{d} t}{}=\mu_{\mathrm{B}} B_{0}^{(1)} \exp [-i(\omega-2 E / \hbar) \mathrm{t}] b_{-},
\]
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} b_{-}}{i \mathrm{~d} t}=\mu_{\mathrm{B}} B_{0}^{(1)} \exp [i(\omega-2 E / \hbar) \mathrm{t}] b_{+} .
\]

Особенно просто эти уравнения решаются при
\[
\omega=2 E / \hbar \text {, }
\]

когда они приобретают вид
\[
i \frac{\mathrm{d} b_{+}}{\mathrm{d} t}=\Omega b_{-}, i \frac{\mathrm{d} b_{-}}{\mathrm{d} t}=\Omega b_{+},
\]

где
\[
\Omega=\mu_{\mathrm{B}} B_{0}^{(1)} / \hbar .
\]

Решение уравнений (49.15), удовлетворяющих начальному условию $b_{+}(0)=0$, задается формулами
\[
b_{+}=\sin (\Omega t), b_{-}=i \cos (\Omega t) \text {. }
\]

В решении (49.17) можно добавить еще общий произвольный множитель, который по условиям нормировки функции (49.6) на единицу полагаем равным единице. С учетом (49.17) и (49.12) волновая функция (49.6) принимает свою окончательную форму:
\[
\begin{array}{l}
|\Psi(t)\rangle=\sin (\Omega t) \exp (-i E t / \hbar)|Z,+\rangle+ \\
+i \cos \Omega t \exp (i E t / \hbar)|Z,-\rangle .
\end{array}
\]

Вычисление средних значений оператора спина проводится аналогично тому, как это сделано в § 38 [см. (38.13), (38.15)]. В результате вычислений средних в состоянии $|\Psi(t)\rangle$ находим:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\hat{s}_{z}\right\rangle=(\hbar / 2)\left[\sin ^{2}(\Omega t)-\cos ^{2}(\Omega t)\right]= \\
=(-\hbar / 2) \cos (2 \Omega t), \\
\left\langle\hat{s}_{x}\right\rangle=-(\hbar / 2) \sin (2 \Omega t) \sin (2 E t / \hbar), \\
\left\langle\hat{s}_{y}\right\rangle=(\hbar / 2) \sin (2 \Omega t) \cos (2 E t / \hbar) .
\end{array}
\]

Прецессия спина. Формула (49.19) показывает, что $Z$-проекция спина осциллирует с частотой $2 \Omega$ между положительным и отрицательным направлениями. Из (49.20) и (49.21) следует, что в плоскости $X Y$ проекция спина вращается вокруг оси $Z$ с частотой $2 E / \hbar$ и модулируется по
величине с частотой $2 \Omega$. Это означает, что
спин осуществляет прецессионное движение вокруг оси $Z$ с частотой $2 E / \hbar$ и одновременно изменяет с частотой $2 \Omega$ угол между «своим направлением» и осью $Z$. Так образуется аналогия между движением спина в магнитном поле и движением гироскопа, на который действует момент внешних сил, стремящихся изменить угол прецессии гироскопа.