Описывается квантовая динамика спина в переменном магнит ном поле
Постановка задачи. В § 38 был построен оператор спина и с его помощью полностью рассмотрено движение спина в постоянном магнитном поле, которое сводится к его прецессии. Проекция спина на направление индукции магнитного поля является интегралом движения. Изменение направления спина на обратное не происходит.
В переменном магнитном поле картина движения спина коренным образом изменяется и возможно изменение его направления на обратное.
Спин в магнитном поле имеет два энергетических состояний и, следовательно, является двухуровневой системой. Все двухуровневые квантовые іистемы обладают рядом общих свойств, которые, в частности, были рассмотрены в § 48 на примере двухуровневого атома. Спин в переменном магнитном поле ведет себя аналогично двухуровневому атому в переменном электрическом поле.

Будем считать, что составляющая магнитного поля по оси $Z$ постоянна, а составляющая в плоскости $XY$ изменяется со временем:
$$\mathbf{B}={\mathbf{B}}^0+{\mathbf{B}}^{(1)}(t)$$

где
$${\mathbf{B}}^{(0)}=(0,0,B_z^{(0)}),{\mathbf{B}}^{(1)}(t)=[B_x^{(1)}(t),B_y^{(1)}(t),0].$$

Оператор Гамильтона для спина в магнитном поле определяется формулой (38.4) и имеет вид
$\hat{H}=-(q/m)({\mathbf{B}}^{(0)}+{\mathbf{B}}^{(1)})\cdot \hat{\mathbf{s}}$.
Оператор спина $\hat{\mathbf{s}}$ выражается формулами (36.5) — (36.7). Напомним, что формулы (36.5) — (36.8) дают представление спина в базисе собственных векторов его $Z$-проекций.

Уравнение Шредингера. Зависящее от времени уравнение Шредингера с гамильтонианом (49.3) имеет вид
$$-\frac{\hslash }{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\hat{H}|\mathrm{\Psi }(t)⟩,$$

где на основании (38.6)
$$\hat{H}=-\frac{q\hslash }{2m}\left(\begin{array}{cc}{B}_z^{(0)}& B_x^{(1)}-i{B}_y^{(1)}\\ B_x^{(1)}+i{B}_y^{(1)}& -B_z^{(0)}\end{array}\right).$$

B последующем для упрощения написания формул учтем, что $-q\hslash /(2m)=e\hslash /\left(2m_e\right)={\mu }_{\mathrm{B}}$-магнетон Бора.

Решение уравнения. Решение уравнения (49.4) ищем в виде
$$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=a_{+}(t)|Z,+⟩+a_{-}(t)|Z,-⟩,$$

где $|Z,+⟩$ и $|Z,-⟩$-базисные функции в собственном представлении оператора спина [см. (36.2)]. Подставляя (49.6) в (49.4) и принимая во внимание (36.2), получаем
$$-\frac{\hslash }{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\begin{array}{l}{a}_{+}\\ a_{-}\end{array}\right)=$$
$$={\mu }_{\mathrm{B}}\left(\begin{array}{cc}{B}_z^{(0)}& B_x^{(1)}-i{B}_y^{(1)}\\ B_x^{(1)}+i{B}_y^{(1)}& -B_z^{(0)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{a}_{+}\\ a_{-}\end{array}\right).$$

Тогда
$$-\frac{\hslash \mathrm{d}{a}_{+}}{i}\mathrm{d}t={\mu }_{\mathrm{B}}[B_z^{(0)}{a}_{+}+(B_x^{(1)}-i{B}_y^{(1)})a_{-}]\text{. }$$
$$-\frac{\hslash \mathrm{d}{a}_{-}}{i}={\mu }_{\mathrm{B}}[(B_x^{(1)}+i{B}_y^{(2)})a_{+}-B_z^{(0)}{a}_{-}].$$

Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что индукция магнитного поля в плоскости $XY$ описывается формулами
$$B_x^{(1)}=B_0^{(1)}\cos (\omega t),B_y^{(1)}=B_0^{(1)}\sin (\omega t).$$

Отсюда
$$B_x^{(1)}\pm i{B}_y^{(1)}=B_0^{(1)}[\cos (\omega t)\pm i\sin (\omega t)]=$$
$=B_0^{(1)}\exp (\pm i\omega t)$.
Введя обозначение ${\mu }_{\mathrm{B}}{B}_z^{(0)}=E$, представим уравнения (49.8) в виде
$$-\frac{\hslash }{i}\frac{\mathrm{d}{a}_{+}}{\mathrm{d}t}=E{a}_{+}+{\mu }_{\mathrm{B}}{B}_0^{(1)}\exp (-i\omega t)a_{-},$$
$$-\frac{\hslash \mathrm{d}{a}_{-}}{i\mathrm{d}t}={\mu }_{\mathrm{B}}{B}_0^{(1)}(i\omega t)a_{+}-E{a}_{-}.$$

Для решения (49.11) перейдем к новым неизвестным функциям $b_{+}(t)$ и $b_{-}(t)$ по формулам
$$a_{+}(t)=b_{+}(t)\exp [-iEt/\hslash ]\text{. }$$
$$a_{-}(t)=b_{-}(t)\exp [iEt/\hslash ]\text{. }$$

Полезно сравнить (49.12) с (48.15) и с последующим ходом решения уравнений в § 48. Подставляя (49.12) в (49.11), находим
$$-\frac{\hslash \mathrm{d}{b}_{+}}{i}\frac{\mathrm{d}t}{}={\mu }_{\mathrm{B}}{B}_0^{(1)}\exp [-i(\omega -2E/\hslash )\mathrm{t}]b_{-},$$
$$-\frac{\hslash \mathrm{d}{b}_{-}}{i\mathrm{d}t}={\mu }_{\mathrm{B}}{B}_0^{(1)}\exp [i(\omega -2E/\hslash )\mathrm{t}]b_{+}.$$

Особенно просто эти уравнения решаются при
$$\omega =2E/\hslash \text{, }$$

когда они приобретают вид
$$i\frac{\mathrm{d}{b}_{+}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{\Omega }{b}_{-},i\frac{\mathrm{d}{b}_{-}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{\Omega }{b}_{+},$$

где
$$\mathrm{\Omega }={\mu }_{\mathrm{B}}{B}_0^{(1)}/\hslash .$$

Решение уравнений (49.15), удовлетворяющих начальному условию $b_{+}(0)=0$, задается формулами
$$b_{+}=\sin (\mathrm{\Omega }t),b_{-}=i\cos (\mathrm{\Omega }t)\text{. }$$

В решении (49.17) можно добавить еще общий произвольный множитель, который по условиям нормировки функции (49.6) на единицу полагаем равным единице. С учетом (49.17) и (49.12) волновая функция (49.6) принимает свою окончательную форму:
$$\begin{array}{l}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\sin (\mathrm{\Omega }t)\exp (-iEt/\hslash )|Z,+⟩+\\ +i\cos \mathrm{\Omega }t\exp (iEt/\hslash )|Z,-⟩.\end{array}$$

Вычисление средних значений оператора спина проводится аналогично тому, как это сделано в § 38 [см. (38.13), (38.15)]. В результате вычислений средних в состоянии $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ находим:
$$\begin{array}{l}⟨{\hat{s}}_z⟩=(\hslash /2)[{\sin }^2(\mathrm{\Omega }t)-{\cos }^2(\mathrm{\Omega }t)]=\\ =(-\hslash /2)\cos (2\mathrm{\Omega }t),\\ ⟨{\hat{s}}_x⟩=-(\hslash /2)\sin (2\mathrm{\Omega }t)\sin (2Et/\hslash ),\\ ⟨{\hat{s}}_y⟩=(\hslash /2)\sin (2\mathrm{\Omega }t)\cos (2Et/\hslash ).\end{array}$$

Прецессия спина. Формула (49.19) показывает, что $Z$-проекция спина осциллирует с частотой $2\mathrm{\Omega }$ между положительным и отрицательным направлениями. Из (49.20) и (49.21) следует, что в плоскости $XY$ проекция спина вращается вокруг оси $Z$ с частотой $2E/\hslash$ и модулируется по
величине с частотой $2\mathrm{\Omega }$. Это означает, что
спин осуществляет прецессионное движение вокруг оси $Z$ с частотой $2E/\hslash$ и одновременно изменяет с частотой $2\mathrm{\Omega }$ угол между «своим направлением» и осью $Z$. Так образуется аналогия между движением спина в магнитном поле и движением гироскопа, на который действует момент внешних сил, стремящихся изменить угол прецессии гироскопа.