Дается характерисгика орбитального магнитного и механического момента электрона в рамках квантово-механических предсгавлений
Источники атомного магнетизма. Магнетизм атома обусловлен тремя причинами:
a) орбитальным движением электронов;
б) магнитным моментом электрона;
в) магнитным моментом атомного ядра.
Магнитное поле, обусловленное магнитным моментом ядра, обычно много меньше магнитного поля, порождаемого орбитальным движением электронов и спином электронов, и поэтому здесь не принимается во внимание.
Орбитальный момент электрона по квантовой теории. В § 15 был рассмотрен орбитальный момент электрона по классической теории. Было показано, что между орбитальным магнитным моментом $\mu_{l}$ электрона и его моментом импульса $\mathbf{L}_{e}$ существует соотношение (15.7). Рассмотрим этот вопрос по квантовой теории.
Если состояние электрона описывается функцией $\Psi$, то [см. плотность тока (16.20a)]
\[
j=\left[i q \hbar /\left(2 m_{e}\right)\right]\left(\Psi
abla \Psi^{*}-\Psi *
abla \Psi\right),(q=-e) .
\]
В сферической системе координат составляющими оператора $
abla$ являются $\partial / \partial r,(1 / r) \partial / \partial \theta$ и $(\sin \theta / r) \partial / \partial \varphi$, поэтому
\[
\begin{array}{l}
j_{r}=\frac{i q \hbar}{2 m_{e}}\left(\Psi \frac{\partial \Psi *}{\partial r}-\Psi * \frac{\partial \Psi}{\partial r}\right), \\
j_{\theta}=\frac{i q \hbar}{2 m_{e} r}\left(\Psi \frac{\partial \Psi *}{\partial \theta}-\Psi * \frac{\partial \Psi}{\partial \theta}\right), \\
\mathrm{j}_{\varphi}=\frac{i q \hbar}{2 m_{e} r \sin \theta}\left(\Psi \frac{\partial \Psi *}{\partial \varphi}-\Psi * \frac{\partial \Psi}{\partial \varphi}\right) .
\end{array}
\]
Поскольку функции $R(r)$ и $P_{l}^{m}(\cos \theta)$ в выражении (30.39a) являются действительными функциями, из (35.2) следует, что
$j_{r}=j_{\theta}=0$,
а отличной от нуля является лишь составляющая тока в направлении координатной линии $\varphi$, т.е. в широтном направлении:
$j_{\varphi}=\frac{q \hbar}{m_{e} r \sin \theta} m\left|\Psi_{n l m}\right|^{2}$,
где $m_{e}$-масса электрона, $m$-магнитное квантовое число.
Вычислим магнитный момент атома, обусловливаемый током (35.4). Через площадку d $\sigma$, направленную перпендикулярно координатной линии $\varphi$, протекает ток
$\mathrm{d} I=j_{\varphi} \mathrm{d} \sigma$,
который создает магнитный момент
$\mathrm{d} \mu_{l z}=S \mathrm{~d} I$.
где $S=\pi r^{2} \sin ^{2} \theta$-площадь, обтекаемая элементом тока $\mathrm{d} I$. Таким образом,
$\mathrm{d} \mu_{l z}=\frac{\pi r^{2} \sin ^{2} \theta q \hbar}{m_{e} r \sin \theta} m\left|\Psi_{n l m}\right|^{2} \mathrm{~d} \sigma$
и, следовательно,
$\mu_{l z}=\frac{q \hbar}{2 m_{e}} m \int 2 \pi r \sin \theta \mathrm{d} \sigma\left|\Psi_{n l m}\right|^{2}$.
Вдоль трубки тока $\left|\Psi_{n l m}\right|^{2}$ постоянно, а $2 \pi r \sin \theta \mathrm{d} \sigma=\mathrm{d} V$ есть объем этой трубки тока. По условию нормировки,
$\int 2 \pi r \sin \theta \mathrm{d} \sigma\left|\Psi_{n l m}\right|^{2}=\int \mathrm{d} V\left|\Psi_{n l m}\right|^{2}=1$
и, следовательно,
$\mu_{l z}=\frac{q \hbar}{2 m_{e}} m$.
Учитывая, что, по квантовой теории,
$L_{l z}=\hbar m$,
можно (35.10) записать в виде
$\mu_{l z}=\frac{q}{2 m_{e}} L_{l z}$,
совпадающем с (15.5) классической теории.
Поскольку в качестве оси $Z$ можно взять любое направление, соотношение справедливо для проекций на любое направление. Таким образом, можно заключить, что соотношение (15.7) между орбитальными механическими и магнитными моментами остается справедливым также и в квантовой теории.
Модуль и ориентировка орбитального магнитного момента. Соотношение (15.7) с учетом (28.20a) и (28.20б) показывает, что модуль магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона,
\[
\mu_{l}=\left[e \hbar /\left(2 m_{e}\right)\right] \sqrt{l(l+1)}=\mu_{\mathrm{B}} \sqrt{l(l+1)},
\]
где $\mu_{\mathrm{B}}=e \hbar /\left(2 m_{e}\right)$ – магнетон Бора.
Проекции магнитного момента на некоторое направление в соответствии с формулой (28.20б) равны
$\mu_{l z}=\mu_{\mathrm{B}} m(m=-l,-l+1, \ldots, l-1, l)$,
** Соотношение между магнитным и механическим орбитальными моментами в квантовой и классической теории одинаково. Собственный магнитный момент и спин электрона не имеют классических аналогов.
Гиромагнитное отношение для орбитального движения равно 1, а для спина равно 2.
* Какие значения может принимать проекция орбитапьного магнитного момента на заданное направпение?
Чему равен модуль орбитального магнитного момента?
Какой смысл имеет угол между направлением магнитного момента и заданным направлением?
70
Схема возможных ориентировок магнитного момента
т.е. всего возможны $2 l+1$ способа ориентации магнитного момента относительно избранного направления.
Очевидно, что углы, которые образуют вектор $\mathbf{L}_{l}$ с некоторым избранным направлением, например с осью $Z$, могут быть найдены по формуле
$\cos \left(\mathbf{i}_{z}, \mathbf{L}_{l}\right)=L_{l z} /\left|\mathbf{L}_{l}\right|$,
где $\mathbf{i}_{z}$-единичный вектор в направлении оси $Z,\left(\mathbf{i}_{z}, \mathbf{L}_{l}\right)$ – угол между $\mathbf{L}_{l}$ и осью $Z$. Учитывая (28.20a) и (28.20б), перепишем (35.15):
$\cos \left(\mathbf{i}_{z}, \mathbf{L}_{l}\right)=m / \sqrt{l(l+1)}$.
Поскольку максимальное абсолютное значение $m=l$, из формулы (35.16) следует, что угол ( $\mathbf{i}_{z}, \mathbf{L}_{l}$ ) не может быть равен 0 или $\pi$, т.е. нельзя себе представить, что вектор $\mathbf{L}_{l}$ ориентируется строго вдоль некоторого направления. Это и понятно, потому что если бы это было так, то, зная модуль вектора $\mathbf{L}_{l}$ и его ориентировку, можно было бы одновременно определить его три проекции на оси координат. Но это запрещается правилами коммутации для операторов $\hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}, \hat{L}_{z}$. Схематически различные возможные ориентировки магнитного момента изображены на рис. 70. Эта дискретность в ориентировке магнит-
71
Прецессия момента импульса
ного момента называется обычно пространственным квантованием. Оно было подтверждено в опытах, которые изложены в § 15 .
То обстоятельство, что невозможно одновременно измерить все три проекции вектора $\mathbf{L}_{l}$, а можно лишь измерить модуль вектора $\left|\mathbf{L}_{l}\right|$ и одну из его проекций, может быть наглядно интерпретировано следующим образом. Представим себе, что вектор $\mathbf{L}_{l}$ прецессирует вокруг избранного направления (рис. 71). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция вектора $\mathbf{L}_{l}$ на направление, вокруг которого он прецессирует. Две другие проекции вектора $\mathbf{L}_{l}$ на направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси прецессии, остаются полностью неопределенными.
Напомним еще раз, что наиболее разительным отличием квантового представления об орбитальном моменте от классического является то, что в $s$-состоянии орбитальный момент равен нулю. Дать какую-то классическую интерпретацию этого явления с точки зрения классических представлений невозможно.
Заметим, что, как следует из
(35.13), орбитальный магнитный момент электрона в $s$-состоянии также равен нулю.
Гиромагнитное отношение. Отношение модуля магнитного момента к модулю механического момента в единицах $e /\left(2 m_{e}\right)$ называется гиромагнитным отношением. Иначе говоря, если отношение этих величин представить в виде
$\frac{\mu}{L}=\frac{e}{2 m_{e}} g$.
то безразмерное число $g$ называется гиромагнитным отношением. Гиромагнитное отношение характеризует соотношение между магнитным и механическим моментами системы. Из формулы (15.7) следует, что
\[
\frac{\mu_{t}}{L_{1}}=\frac{e}{2 m_{e}} .
\]
Сравнение (35.18) с (35.17) показывает, что для орбитального магнитного и механического моментов электрона гиромагнитное отношение $g_{l}$ равно единице, т.е.
$g_{l}=1$.
Гиромагнитное отношение для спина электрона может быть найдено из формулы (34.7). Эта формула может быть записана в виде
$\mu_{s} / L_{s}=2 e /\left(2 m_{e}\right)$.
Следовательно, гиромагнитное отношение для спина равно 2 :
$g_{s}=2$.
Отличие гиромагнитного отношения для спина от гиромагнитного отношения для орбитального движения имеет существенное значение при рассмотрении полного механического и магнитного моментов атома.
