Излагаются основные понятия и результаты теории бесконечномерных векторных пространств.

Бескоиечномерный вектор. Из определения размерности векторного пространства заключаем, что в нем число линейно независимых векторов бесконечно. Следовательно, ортонормированный базис состоит из бесконечного числа ортов и в базисном представлении вектор описывается бесконечным числом проекций.

Теория линейного конечномерного векторного пространства, рассмотренная в § 21 , справедлива при любых конечных размерностях, в том числе и сколь угодно больших. Это означает, что теория бесконечномерных линейных векторных пространств может быть построена исходя из теории конечномерного векторного пространства при стремлении числа измерений к бесконечности, т.е. обобщением результатов § 21 на случай бесконечного числа измерений.

Из-за отсутствия наглядного образа бесконечномерного абстрактного вектора целесообразно при обобщении теории конечномерного вектора исходить из базисного представления, в котором вектор характеризуется совокупностью чисел, взятых
в определенной последовательности. Число членов последовательности равно размерности пространства. В этом представлении обобщение теории конечномерных линейных векторных пространств на бесконечномерный случай сравнительно просто.
Рассмотрим функцию $f(x)$, заданную на интервале $(a, b)$. Разобьем этот интервал на отрезки, ограниченные точками $x_{1}=a, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}=b$, причем точки записаны в порядке возрастания $x$. Совокупность чисел $\left\{f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), f\left(x_{3}\right), \ldots, f\left(x_{n}\right)\right\}$ будем рассматривать как базисное представление кет-вектора [см. (21.35)]
$|n, f\rangle \rightarrow\left(\begin{array}{c}f\left(x_{1}\right) \\ f\left(x_{2}\right) \\ \vdots \\ f\left(x_{n}\right)\end{array}\right)$.
Соответствующий бра-вектор [см. (21.45)]
$\left(n, f \mid \rightarrow\left\{f^{*}\left(x_{1}\right), f^{*}\left(x_{2}\right), \ldots, f^{*}\left(x_{n}\right)\right\}\right.$.
Совокупность $n$ чисел, равных значениям функции $g(x)$ в тех же точках $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, является базисным представлением вектора $|n, g\rangle$. Аналогично можно говорить и о других векторах, которые образуются значениями других функций в точках $x_{1}$, $x_{2}, \ldots, x_{n}$. Этим путем осуществляется построение всех возможных векторов линейного векторного $n$-мерного пространства. Совокупность значений $\left\{f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots, f\left(x_{n}\right)\right\}$ описывает приближенно поведение функции $f(x)$ на интервале $(a, b)$. Увеличение числа точек разбиения интервала $(a, b)$ и соответствующее уменьшение интервала между точками приводят в пределе при $n \rightarrow \infty$ к базисному представлению вектора, число проекций которого бесконечно, т.е. к бесконечномерному вектору. Следовательно, функцию $f(x)$ можно рассматривать как базисное представление бесконечномерного кет-вектора $|\infty, f\rangle=|f\rangle$ : $|f\rangle \rightarrow f(x),\langle f| \rightarrow f^{*}(x)$.
Здесь число $f(x)$-проекция вектора $|f\rangle$ на орт $|x\rangle$, т.е.
$f(x)=\langle x \mid f\rangle$,
где $\langle x|=| x\rangle^{+}$. Формулы (22.3) и (22.4) являются в сущности лишь обобщением обозначений и понятий на случай бесконечномерных векторов. Однако их смысл в случае бесконечномерных векторных пространств необходимо уточнить.

Скалярное произведение. В конечномерном случае скалярное произведение векторов
$|n, f\rangle \rightarrow\left(\begin{array}{c}f\left(x_{1}\right) \\ f\left(x_{2}\right) \\ \vdots \\ f\left(x_{n}\right)\end{array}\right), \quad|n, g\rangle \rightarrow\left(\begin{array}{c}g\left(x_{1}\right) \\ g\left(x_{2}\right) \\ \vdots \\ g\left(x_{n}\right)\end{array}\right)$
в соответствии с (21.46б) выражается формулой
$\langle n, g \mid n, f\rangle=\sum_{i=1}^{n} g^{*}\left(x_{\imath}\right) f\left(x_{\imath}\right)$.
Она имеет определенный смысл и может быть использована при любом сколь угодно большом значении $n$, но не имеет смысла при $n \rightarrow \infty$ и, следовательно, нуждается в видоизменении при обобщении на бесконечномерное линейное пространство. Это видоизменение очевидно: при переходе от дискретных значений $x_{1}$ к непрерывно изменяющейся величине $x$ сумма в (22.6a) переходит в интеграл, т.е. скалярное произведение бесконечномерных векторов $|g\rangle$ и $|f\rangle$, базисные представления которых задаются функциями $g(x)$ и $f(x)$, выражается формулой
$\langle g \mid f\rangle=\int_{a}^{b} g^{*}(x) f(x) \mathrm{d} x$.
Условие полноты и нормировка базисных векторов. Условие (21.75) полноты базисных векторов $|x\rangle$ с учетом непрерывности $x$ имеет тот же вид, но с заменой суммы на интеграл:
$\int_{a}^{b}\left|x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime}\right| \mathrm{d} x^{\prime}=\hat{I}$.
Умножим обе стороны равенства (22.7) слева на $\langle x|$ и справа на $|f\rangle$ :
$\int_{a}^{b}\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} \mid f\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}=\langle x|I| f\rangle=\langle x \mid f\rangle$.
На основании (22.4) равенство (22.8) принимает вид
b
$\int_{a}^{b}\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=f(x)$.
Отсюда следует, что $\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle=0$ при $x
eq x^{\prime}$, а в бесконечно малой $\varepsilon$-окрестности точки $x=x^{\prime}$ функция $\left\langle x \mid \mathrm{x}^{\prime}\right\rangle$ отлична от нуля, причем
\[
\int_{x-\varepsilon}^{x+\varepsilon}\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=f(x) \int_{x-\varepsilon}^{x+\varepsilon}\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime},
\]

где использована теорема о среднем. Следовательно,
\[
\int_{x-\varepsilon}^{x+\varepsilon}\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}=1
\]

при бесконечно малом $\varepsilon$. Это означает, что при $x^{\prime}=x$ функция $\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle$ обращается в бесконечность, но так, что интеграл от нее по области, включающей точку $x$, равен единице. Функция $\delta\left(x-x^{\prime}\right)=\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle, \quad$ обладающая такими свойствами, как
\[
\delta\left(x-x^{\prime}\right)=0 \quad\left(x^{\prime}
eq x\right),
\]
\[
\int_{a}^{b} \delta\left(x-x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=1 \quad(a \leqslant x \leqslant b),
\]

является $\delta$-функцией Дирака. С ее помощью условие ортонормированности базисных функций $|x\rangle$ при непрерывно изменяющейся переменной $x$ имеет вид
\[
\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle=\delta\left(x-x^{\prime}\right) .
\]

Свойства $\delta$-функции Дирака. Она является четной функцией своего аргумента. Это следует из (22.13):
$\delta\left(x-x^{\prime}\right)=\left\langle x \mid x^{\prime}\right\rangle=\left\langle x^{\prime} \mid x\right\rangle^{*}=\delta^{*}\left(x^{\prime}-x\right)=$ $=\delta\left(x^{\prime}-x\right), \quad$ (22.14) поскольку $\delta$-функция вещественна. При наличии под интегралом производной от $\delta$-функции по первой переменной в ее аргументе
$\delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \delta\left(x-x^{\prime}\right)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \cdot x^{\prime}} \delta\left(x-x^{\prime}\right)$
вычисление ироизводится следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\int \delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right) f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=\int \frac{\mathrm{d} \delta\left(x-x^{\prime}\right)}{\mathrm{d} x} f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}= \\
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int \delta\left(x-x^{\prime}\right) f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(x) .
\end{array}
\]

Это вычисление можно осуществить также, произведя в подынтегральном выражении замену:
$\delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)=\delta\left(x-x^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x^{\prime}}$,
причем оператор $\mathrm{d} / \mathrm{d} x^{\prime}$ действует на все функции под интегралом, которые сопровождают $\delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)$. Вычисление интегралов при наличии в подынтегральном выражении производных от $\delta$-функции более высокого порядка удобно производить с помощью замены
$\frac{\mathrm{d}^{n} \delta\left(x-x^{\prime}\right)}{\mathrm{d} x^{n}}=\delta\left(x-x^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{\prime n}}$.
Можно представить $\delta$-функцию в виде предела от функции, которая
отлична от нуля лишь в сколь угодно малой области вблизи точки $x$, однако принимает в этой области такие значения, что интеграл по области равен единице. Например, функция
\[
f_{\sigma}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp \left[-\frac{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}}{\sigma^{2}}\right]
\]

симметрична относительно точки $x$ и является четной функцией своего аргумента. При любом $\sigma$
$\int_{-\infty}^{\infty} f_{\sigma}\left(x-x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=1$.
Очевидно, что
$\lim _{\sigma \rightarrow 0} f_{\sigma}\left(x-x^{\prime}\right)=\left\{\begin{array}{l}0\left(x^{\prime}
eq x\right), \\ \infty\left(x^{\prime}=x\right) .\end{array}\right.$
Следовательно,
$\lim _{\sigma \rightarrow 0} f_{\sigma}\left(x-x^{\prime}\right)=\delta\left(x-x^{\prime}\right)$.
Такого рода представлений $\delta$ функции в виде предела других функций существует бесконечное множество. Можно ее выразить также в виде производной по $x^{\prime}$ от функции, которая везде постоянна, за исключением точки $x^{\prime}=x$, где она испытывает разрыв непрерывности с изменением значения на 1 .

Другие полезные представления $\delta$-функции могут быть получены из теории рядов и интегралов Фурье. Например, известные из теории интегралов Фурье соотношения
$f(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-i k x^{\prime}} f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}$,
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(k) \mathrm{e}^{i k x} \mathrm{~d} k$,
записанные в виде равенства
$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{i k\left(x-x^{\prime}\right)} \mathrm{d} k\right] f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}$,

показывают, что
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{i k\left(x-x^{\prime}\right)} \mathrm{d} k=\delta\left(x-x^{\prime}\right) .
\]

Бесконечиомерные операторы. Их свойства целесообразно рассмотреть на примерах конкретных бесконечномерных операторов, которые играют главную роль в квантовой механике.

Бесконечномерный оператор определяется в полной аналогии с конечномерным как правило, по которому бесконечномерному вектору $|\Psi\rangle$ сопоставляется бесконечномерный вектор $|\varphi\rangle$ [см. (21.18)]:
$|\varphi\rangle=\hat{A}|\Psi\rangle$.
В базисном представлении действие оператора сводится к преобразованию проекций вектора $|\Psi\rangle$ в проекции вектора $|\varphi\rangle$, т.е. к преобразованию функции $\Psi(x)$ в функцию $\varphi(x)$. Рассмотрим оператор $\tilde{D}$, действия которого в базисном представлении сводятся к преобразованию функции $\Psi(x)$ в ее производную $\varphi(x)=d \Psi / \mathrm{d} x$. Для соответствующих векторов равенство (22.26) принимает вид
\[
|\mathrm{d} \Psi / \mathrm{d} x\rangle=\hat{D}|\Psi\rangle .
\]

Так же как и в случае конечного числа измерений, бесконечномерные операторы в базисном представлении описываются матричными элементами, образующими бесконечномерные матрицы.

Умножая обе части уравнения (22.27) слева на $\langle x|$, получаем $\mathrm{d} \Psi / \mathrm{d} x=\langle x|\hat{D}| \Psi\rangle$,
где учтено соотношение (22.4). Принимая во внимание (22.7), перепишем (22.28) в виде
\[
\mathrm{d} \Psi / \mathrm{d} x=\int\left\langle x|\hat{D}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} \mid \Psi\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}=
\]
\[
=\int\left\langle x|\hat{D}| x^{\prime}\right\rangle \Psi\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} .
\]

Сравнивая (22.29) с (22.16), находим выражение для матричного элемента оператора $\hat{D}$ в ортонормированном базисе векторов $|x\rangle$ :
\[
\left\langle x|\hat{D}| x^{\prime}\right\rangle=D_{x x^{\prime}}=\delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)=
\]
\[
=\delta\left(x-x^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x^{\prime}},
\]

где использовано равенство (22.15). Заметим, что в $D_{x x^{\prime}}=\delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)$ предусмотрено интегрирование по второму индексу $x^{\prime}$, а действие оператора сводится к взятию производной по первому индексу $x$. Формула (22.29), представленная в виде
$\mathrm{d} \Psi / \mathrm{d} x=\varphi(x)=\int \hat{D}_{x x^{\prime}} \Psi\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}$,
аналогична (21.38) и отличается от нее только тем, что величины $k$ и $i$ в (21.38) принимают дискретные значения, а величины $x$ и $x^{\prime}$ в (22.31) непрерывны. Бесконечномерный оператор $D_{x x^{\prime}}$ является бесконечномерной матрицей, аналогичной матрице в равенстве (21.40), и его применение к вектору в базисном представлении сводится к интегрированию по второй переменной $x^{\prime}$. Однако записать $D_{x x^{\prime}}$ в виде матрицы затруднительно, а представить его действие в виде результата интегрирования слишком громоздко. Учитывая, что
$\int \delta\left(x-x^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \Psi\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \Psi\left(x^{\prime}\right)\right|_{x=x^{\prime}}=$ $=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \Psi(x)$,
можно показать, что действие оператора $\hat{D}$ в $x$-представлении сводится к взятию производной $\mathrm{d} \Psi / \mathrm{d} x$ без всякого интегрирования по переменной $x^{\prime}$, т.е. просто как оператор дифференцирования. Именно такая процедура обычно применяется при вычислении действия оператора $\hat{D}$. Однако при этом необходимо помнить условный характер такой процедуры, потому что в базисном представлении оператор $\hat{D}$, как и все другие линейные операторы, описывается матрицей.

Оператор $\hat{D}$ не является эрмитовым оператором, потому что
\[
\begin{array}{l}
D_{x x^{\prime}}^{*}=\delta^{\prime *}\left(x-x^{\prime}\right)=\delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)= \\
=-\delta^{\prime}\left(x^{\prime}-x\right)=-D_{x^{\prime} x},
\end{array}
\]

в то время как для эрмитова оператора должно было бы выполняться равенство
\[
D_{x x^{\prime}}^{*}=D_{x^{\prime} x} \text {. }
\]

Чтобы сделать оператор $\hat{D}$ эрмитовым, необходимо умножить его на чисто мнимое число, которое принято выбирать в виде $-i=-\sqrt{-1}$. Получающийся в результате этого оператop
$\hat{K}=\rightarrow i \hat{D}$
удовлетворяет условию эрмитовости (21.25):
$K_{x x^{\prime}}^{*}=\left(-i \hat{D}_{x x^{\prime}}\right)^{*}=i D_{x x^{\prime}}^{*}=-i D_{x^{\prime} x}=K_{x^{\prime} x}$.

Однако для бесконечномерных операторов выполнение равенства (22.36) является лишь необходимым условием эрмитовости, но не достаточным. Чтобы в этом убедиться, возьмем два вектора $|\varphi\rangle$ и $|\Psi\rangle$, представления которых в базисе векторов $|x\rangle$ даются функциями $\varphi(x)$ и $\Psi(x)$ на интервале $(a, b)$. Эрмитов оператор $\hat{K}$ должен удовлетворять соотношению $\langle\varphi|\hat{K}| \Psi\rangle=\langle\varphi \mid \hat{K} \Psi\rangle=\langle\hat{K} \Psi \mid \varphi\rangle^{*}=$ $=\left\langle\Psi\left|\hat{R}^{+}\right| \varphi\right\rangle^{*}=\langle\Psi|\hat{R}| \varphi\rangle^{*}$.
Вычислим левую и правую части (22.37) в базисном $x$-представлении: $\left\langle\varphi_{b b}|\hat{K}| \Psi\right\rangle=$ $=\int_{a} \int_{a}\langle\varphi \mid x\rangle\left\langle x|\hat{K}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} \mid \Psi\right\rangle \mathrm{d} x \mathrm{~d} x^{\prime}=$
\[
\begin{array}{l}
=\iint_{a}^{b} \varphi^{*}(x) K_{x x^{\prime}} \Psi\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} x^{\prime}= \\
=-i \iint_{a}^{b} \varphi^{*}(x) \delta\left(x-x^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d} \Psi\left(x^{\prime}\right)}{\mathrm{d} x^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} x^{\prime}= \\
=-i \int_{a}^{b} \varphi^{*}(x) \frac{\mathrm{d} \Psi(x)}{\mathrm{d} x} \mathrm{~d} x, \\
\langle\Psi|\hat{\mathrm{K}}| \varphi\rangle^{*}=\left[\int_{a}^{b b} \int_{a}^{*}(x) K_{x x^{\prime}} \varphi\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} x^{\prime}\right]^{*}= \\
=i \int_{a}^{b} \Psi(x) \frac{\mathrm{d} \varphi^{*}(x)}{\mathrm{d} x} \mathrm{~d} x= \\
=\left.i \Psi(x) \varphi^{*}(x)\right|_{a} ^{b}-i \int_{a}^{b} \varphi^{*}(x) \frac{\mathrm{d} \Psi(x)}{\mathrm{d} x} \mathrm{~d} x, \text { (22.39) }
\end{array}
\]

где произведено интегрирование по частям. Видно, что
$\langle\varphi|\hat{K}| \Psi\rangle-\langle\Psi|\hat{K}| \varphi\rangle^{*}=$
$=\left.i \Psi(x) \varphi^{*}(x)\right|_{a} ^{b}$.
Следовательно, условие эрмитовости (22.37) для оператора $\widehat{K}$ не выполняется, т.е. удовлетворение условию (22.34) еще недостаточно, чтобы оператор $K$ был эрмитовым. Еще необходимо, чтобы правая часть в (22.40) была равна нулю:
$\left.i \Psi(x) \varphi^{*}(x)\right|_{a} ^{b}=0$,
т.е. оператор $\hat{K}$, определенный равенствами (22.36), является эрмитовым лишь в том случае, когда проекции образующих его векторов в базисном представлении удовлетворяют условиям (22.41). Эти условия соблюдаются лишь при функциях, обращающихся в нуль на границах интервала $(a, b)$, а также при периодических функциях, у которых период в целое число раз меньше длины инервала $b-a$, т. е. равен $(b-a) / n, n=$ $=1,2, \ldots$, благодаря чему на границах интервала ( $a, b$ ) они имеют одно и то же значение.

Если интервал $(a, b)$ бесконечен, т. е. $a=-\infty, b=\infty$, то требования к функциям для удовлетворения условия (22.41) необходимо уточнить. Если при $x \rightarrow-\infty$ и $x \rightarrow \infty$ функции стремятся к нулю, то соблюдение условий (22.41) очевидно. Однако представляется вероятным, что имеется и другой класс функций, которые в определенном смысле удовлетворяют условию (22.41), хотя и не стремятся к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$. Возьмем в качестве примера функции $\mathrm{e}^{\boldsymbol{i k x}}$ при всевозможных вещественных значениях параметра $k$. Они являются осциллирующими функциями при $x \rightarrow$ $\rightarrow \pm \infty$ и не стремятся к определенному пределу. Не стремится к определенному пределу и произведение $\mathrm{e}^{i k x} \mathrm{e}^{-i k^{\prime} x}$ при $k
eq k^{\prime}$, хотя при $k=k^{\prime}$ предельные значения равны 1 и условие (22.41) соблюдается. При $k
eq$ $
eq k^{\prime}$ предельное значение произведения функций при $x \rightarrow \infty$ определяется как среднее значение по бесконечному интервалу, начинающемуся со сколь угодно большого значения $x$, и если при этом значении произведение стремится к нулю, то в соответствующем векторном пространстве оператор $\hat{K}$ эрмитов. Для функций $\mathrm{e}^{i k x}$ это условие имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{i k x} \mathrm{e}^{-i k x}= \\
=\lim _{\substack{a \rightarrow \infty \\
L \rightarrow \infty}} \frac{1}{L} \int_{a}^{a+L} \mathrm{e}^{\mathrm{l}(k-k) x} \mathrm{~d} x=0 \quad\left(k
eq k^{\prime}\right),
\end{array}
\]
т.е. оператор $R$ действительно эрмитов в пространстве соответствующих векторов

Собственные значеиия и собственные векторы. Проблема нахождения собственных значений и собственных векторов в бесконечномерном век-
торном пространстве значительно усложняется. Во-первых, уравнение (21.56) для определения собственных значений может быть в принципе записано и решено для сколь угодно большой степени $n$. В результате можно получить $n$ собственных значений и соответствующее число собственных векторов. Однако эти собственные векторы заведомо не могут составить полную систему линейно независимых векторов для образования базиса векторного пространства, поскольку пространство бесконечномерно. Во-вторых, наличие совокупносาи бесконечного числа ортонормированных векторов в бесконечномерном линейном векторном пространстве не гарантирует полноту образованного из векторов этой совокупности базиса, потому что при вычитании из этой совокупности конечного числа векторов в ней по-прежнему остается их бесконечное число.
Рассмотрим решение этой проблемы на примере оператора $\hat{K}$. Уравнение (21.53) для определения собственных функций и собственных значений имеет вид
$\hat{K}|k\rangle=k|k\rangle$,
где $k$-собственное значение, $|k\rangle$ собственный вектор оператора $\hat{K}$, принадлежащий собственному значению $k$. Будем решать это уравнение в базисном представлении. Удобно перейти к $x$-представлению. Умножим обе части (22.43) на $\langle x|$ слева:
\[
\langle x|\hat{K}| k\rangle=k\langle x \mid k\rangle .
\]

Преобразуя левую часть этого уравнения аналогично (22.29), находим
\[
\begin{array}{l}
\langle x|\hat{K}| k\rangle=\int\left\langle x|\hat{K}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} \mid k\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}= \\
=-\imath \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\langle x \mid k\rangle,
\end{array}
\]

где $\hat{K}=-i \hat{D}$. Обозначая $\langle x \mid k\rangle=$ $=\Psi_{k}(x)$, получаем вместо (22.44) уравнение для определения собственных значений и собственных функций: $-i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \Psi_{k}(x)=k \Psi_{k}(x)$.
Его решение
$\Psi_{k}(x)=A \mathrm{e}^{i k x}$,
где $A$-произвольная постоянная, $k-$ произвольный вещественный параметр, который является собственным значением оператора-id/d $x$, входящего в (22.46). Функция $\Psi_{k}(x)$ для области $-\infty<x<\infty$ может быть принята в качестве собственной функции, принадлежащей собственному значению $k$. Она удовлетворяет условию (22.42).
Формально функция (22.47) удовлетворяет уравнению (22.46) не только при действительных, но и при комплексных значениях $k$. Однако при комплексных значениях $k$ условие (22.42) не удовлетворяется и, следовательно, $\widehat{K}$ не эрмитов оператор. Пространство функций, которые могут быть нормированы либо на единицу, либо на $\delta$-функцию Дирака, называется физическим гильбертовым пространством. В математике гильбертовым пространством функции называется векторное пространство, которое содержит только собственные векторы, нормируемые на единицу. Однако в квантовой механике чрезвычайно большая роль принадлежит несобственным векторам, которые не могут быть нормированы на единицу, а нормируются на $\delta$-функцию Дирака. Это приводит к необходимости соответствующего расширения понятия гильбертова пространства. Принимается, что теорема о полноте базиса, образованного собственными векторами эрмитова оператора,
справедлива также для физического гильбертова пространства, в названии которого для сокращения слово «физическое» обычно опускается.
Значение постоянной $A$ в (22.47) находится из условия нормировки $\Psi_{k}(x)$ на $\delta$-функцию и поэтому принимается равным $1 / \sqrt{2 \pi}$ [см. (22.25)]:
$\left\langle k \mid k^{\prime}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\langle k \mid x\rangle\left\langle x \mid k^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} x=$
$=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\alpha} \mathrm{e}^{-i\left(k-k^{\prime}\right) x} \mathrm{~d} x=\delta\left(k-k^{\prime}\right)$,
где $\langle x \mid k\rangle=\Psi_{k}(x)$ и учтено равенство (22.25). Таким образом, проекции вектора $|k\rangle$ в базисе векторов $|x\rangle$ задаются функциями $\Psi_{k}(x)$ :
$|k\rangle \rightarrow(1 / \sqrt{2 \pi}) \mathrm{e}^{i k x}$.
Поскольку $\hat{R}$-эрмитов оператор, совокупность векторов $|k\rangle$ образует полный базис, по которому можно разложить произвольную функцию $|f\rangle$, принадлежащую гильбертову пространству:
$f(k)=\langle k \mid f\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\langle k \mid x\rangle\langle x \mid f\rangle \mathrm{d} x=$
$=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-i k x} f(x) \mathrm{d} x$.
Разложение функции $|f\rangle$ по базису векторов $|x\rangle$ имеет вид
\[
f(x)=\langle x \mid f\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\langle x \mid k\rangle\langle k \mid f\rangle \mathrm{d} k=
\]
\[
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{i k x} f(k) \mathrm{d} k .
\]

Сравнение этих формул с (22.23) показывает, что преобразование Фурье дает переход от представления вектора в одном полном базисе $|\lambda\rangle$ к его представлению в другом полном базисе $|k\rangle$. Оба эти базиса одинаково пригодны для представления векторов, принадлежащих гильбертову пространству

Базис из векторов $|k\rangle$ генерируется эрмитовым оператором $K$, матричные элементы которого в этом базисе равны
\[
\begin{array}{l}
\left\langle k \mid K \hat{\mid} k^{\prime}\right\rangle= \\
=k^{\prime}\left\langle k \mid k^{\prime}\right\rangle=k^{\prime} \delta\left(k-k^{\prime}\right)
\end{array}
\]

Обозначим $\hat{X}$-оператор, которым генерируется базис из векторов $|x\rangle$ Собственные векторы $|x\rangle$, по определению оператора $\hat{X}$, удовлетворяют уравнению
\[
\hat{X}|x\rangle=x|x\rangle,
\]

и, следовательно, матричные элементы оператора $\hat{X}$ в этом базисе равны
\[
\left\langle x^{\prime}|\hat{X}| x\right\rangle=x \delta\left(x^{\prime}-x\right)
\]

Результат действия оператора $\hat{X}$ на вектор $|f\rangle$ обозначим $|\varphi\rangle$.
\[
\hat{X}|f\rangle=|\varphi\rangle
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\langle x|\hat{X}| f\rangle=\int\left\langle x|\hat{X}| x^{\prime}\right\rangle\left\langle x^{\prime} \mid f\right\rangle \mathrm{d} x^{\prime}= \\
=x f(x)=\langle x \mid \varphi\rangle=\varphi(x)
\end{array}
\]

Следовательно, $\varphi(x)=x f(x)$ и действие оператора $\hat{X}$ на вектор $|f\rangle$ сводится в $x$-представлении к умножению на $x$ проекций $f(x)$ этого вектора: $\hat{X}|f(x)\rangle=|x f(x)\rangle$,
где под $|x f(x)\rangle$ понимается кет-вектор, проекции которого на базисные векторы $|x\rangle$ равны $x f(x)$.

Коммутатор операторов $\hat{\boldsymbol{X}}$ и $\hat{\boldsymbol{K}}$. Действиям операторов $\hat{X}$ и $\hat{K}$ на кетвектор $|f\rangle$ соответствуют в $x$-пред-
ставлении следующие операции над проекциями вектора
$\hat{X}|f\rangle \rightarrow x f(x)$,
(22 58a)
$\hat{R}|f\rangle \rightarrow-l \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$
Следовательно,
$\hat{X} \hat{K}|f\rangle \rightarrow-l x \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$,
$\hat{X} \hat{K}|f\rangle \rightarrow-l \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} x f(x)$
и поэтому
$[\hat{X}, \hat{K}]|f\rangle \rightarrow-\imath x \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}+\imath x \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}+$
$+\imath f(x)=\imath f(x) \rightarrow \imath \hat{I}|f\rangle$
Поскольку $|f\rangle$-произвольный кетвектор, из (22.60) получаем
$[\hat{X}, \hat{K}]=\imath \hat{I}$
Это важное коммутационное соотношение между $\hat{X}$ и $\hat{K}$, которые являются основными операторами квантовой механики. Большинство других операторов квантовой механики выражается в виде функции от $\hat{X}$ и $\hat{\mathscr{P}}=$ $=\hbar \hat{K}$, где $\hbar$-постоянная Планка.
Соотношение взаимности операторов $\hat{\boldsymbol{X}}_{\text {и }} \hat{\boldsymbol{K}}$. Матричные элементы операторов $\dot{\hat{X}}$ и $\hat{R}$ в своих собственных базисах даются выражениями (22 54) и (22.52). Найдем матричный элемент оператора $\hat{X}$ в собственном базисе оператора $\hat{K}$ :
$\left\langle k|\hat{X}| k^{\prime}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\imath k x} x \mathrm{e}^{\imath k x} \mathrm{~d} x=$
$=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} x \mathrm{e}^{i(k-k) x} \mathrm{~d} x=$
$=\imath \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k} \delta\left(k-k^{\prime}\right)=\imath \delta^{\prime}\left(k-k^{\prime}\right)$, где при переходе от первого интеграла ко второму произведена замена переменной интегрирования $x \rightarrow-x$, или, другими словами, учтено, что $\delta\left(k^{\prime}-k\right)=\delta\left(k-k^{\prime}\right)$. Обозначим $f(k)$ проекции вектора $|f\rangle$ в базисе оператора $\hat{K}$. Из (22.62) следует, что проекции вектора $\hat{X}|f\rangle$ в этом базисе равны $i \mathrm{~d} f(k) / \mathrm{d} k$. Проекции вектора $\hat{X}|f\rangle$ в собственном базисе $\hat{K}$ на основании (22.52) выражаются в виде $k f(k)$. С учетом (22.58) заключаем, что проекции векторов $\hat{X}|f\rangle$ и $\hat{K}|f\rangle$ в базисе оператора $\hat{X}$ равны соответственно $x f(x)$ и – $i \mathrm{~d} f(x) / \mathrm{d} x$, а в базисе оператора $\hat{K}$ – соответственно $i \mathrm{~d} f(k) / \mathrm{d} k$ и $k f(k)$.