Обсуждается природа спин-орбитального вздимодействия и вычисляется значение обусловленного им расщепления спектральных линий у щелочных металлов
Экспериментальные факты. При анализе спектров щелочных металлов с помощью спектроскопических приборов высокой разрешающей силы обнаруживается, что каждая из линий излучения в действительности расщеплена на две линии, т.е. является дублетом.
Расщепление имеет следующие ярко выраженные закономерности:
a) у линий главной серии расщепление не является постоянным, а меняется от линии к линии;
б) у линий диффузной серии расщепление одинаково у всех линий;
в) у линий резкой серии расщепление также одинаково.
Наличие расщепления у линий показывает, что энергия уровней зависит не только от главного квантового $n$ и орбитального $l$ чисел, но и от некоторой дополнительной величины, которая несколько изменяет энергию уровней. Ясно, что это изменение энергии уровней имеет порядок энергии расщепления линий, которая очень мала. Поэтому этот дополнительный фактор дает небольшую поправку к энергии, определяемой формулой (33.10). Можно сказать, что электрон имеет некоторую дополнительную степень свободы, которая сказывается при излучении. Если обозначить квантовое число, соответствующее этой дополнительной степени свободы, $m_{s}$, то энергия уровней электрона зависит от трех квантовых чисел
\[
E=E_{n, l, m_{s}}
\]
а не от двух, как предполагалось в (33.10).
Спин электрона. Таким образом, в физике впервые пришли к необходимости приписать электрону внутреннюю степень свободы. В дальнейшем был открыт ряд других явлений, для объяснения которых оказалось необходимым предположить наличие у электрона внутренней степени свободы. Пришлось допустить, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса, называемым спином электрона. Кроме спина электрон также обладает магнитным моментом.
Для количественного согласия теории с экспериментом механический момент импульса электронаспин – по модулю должен быть равен $\left|L_{s}\right|=\hbar \sqrt{s(s+1)} \quad(s=1 / 2)$,
где $\hbar$-постоянная Планка. Поскольку спин есть момент импульса, формула (34.2) записана в полной аналогии с (28.20a) для орбитального момента импульса частицы. Проекции момента импульса на некоторое направление даются формулой (28.20б). Из (34.2) с учетом (28.20б) следует, что проекция спина на избранное направление может иметь лишь два значения:
$L_{s z}=m_{s} \hbar \quad\left(m_{s}=1 / 2, m_{s}=-1 / 2\right)$.
Спин является квантовой величиной, не имеющей классического аналога. Однако некоторую связь спина с классическими образами можно проследить. Представим электрон окружностью радиуса $r$, по которой равномерно распределена масса с линейной плотностью $m_{e} /(2 \pi r)$. Направим ось вращения электрона перпендикулярно плоскости окружности через ее центр и обозначим $v$ линейную скорость точек окружности при вращении. Момент импульса электрона с учетом релятивистского изменения массы равен $m_{e} r v / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$. Скорость $v$ с учетом (34.3) определяется из уравнения $m_{e} r v / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}=\hbar / 2$.
Она равна
\[
v=c / \sqrt{1+c^{2} / \alpha^{2}}, \quad \alpha=\hbar /\left(2 m_{e} r\right) .
\]
При $r \rightarrow 0$ электрон стягивается в точку, $v \rightarrow c$, а проекция момента импульса на ось вращения сохраняет свое значение $\hbar / 2$. Таким образом, в рамках классических образов можно представить существование точечного объекта, который обладает собственным моментом импульса, т.е. спи-
ном. Однако описать классическими образами поведение спина не удается. Собственный магиитный момент электрона. Для объяснения экспериментальных фактов наряду со спином допускается наличие у электрона магнитного момента, который связан со спином соотношением
$\mu_{s}=(q / m) L_{s}, \quad q=-e$.
Отсюда с учетом (34.3) следует, что
относительно некоторого произвольного направления магнитный момент электрона может ориентироваться лишь двумя способами, когда его проекции на это направление равны $\mu_{s z}= \pm e \hbar /(2 m)$.
Наличие магнитного момента у электрона позволяет объяснить дублетный характер спектров щелочных металлов, так как он дает дополнительное взаимодействие, которое называется спин-орбитальным. Оно обусловлено энергией взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем, равной
$E_{\mathrm{n}}=-\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B}$.
Сущность спин-орбитального взаимодействня. Пусть вокруг ядра движется один электрон. Так как электрон движется в кулоновском поле ядра и никакого магнитного поля нет, то на первый взгляд не видно, из-за чего может появиться дополнительная энергия взаимодействия. Ясно, что нельзя представить себе, что магнитный момент электрона взаимодействует с магнитным полем, создаваемым самим электроном при его движении, хотя бы потому, что в точке нахождения электрона это поле не определено. Наличие спин-орбитального взаимодействия можно доказать двумя способами. Во-первых, движущийся магнитный момент $\boldsymbol{\mu}$ обладает электрическим дипольным моментом
$\mathbf{p}_{e}=\mathbf{v} \times \boldsymbol{\mu} / c^{2}$.
Энергия взаимодействия этого дипольного момента с кулоновским полем ядра
$E_{\mathrm{n}}=\underset{\vec{E}}{=} \mathbf{p}_{e} \cdot \overrightarrow{\mathscr{E}}$,
где $\overrightarrow{\mathscr{E}}$-напряженность кулоновского поля ядра в точке нахождения электрона. Подставляя (34.9) в (34.10), получаем, что энергия взаимодействия магнитного момента электрона с кулоновским полем ядра
$E_{\mathrm{\pi}}=-(\mathrm{v} \times \mu) \cdot \overrightarrow{\mathscr{E}} / \mathrm{c}^{2}$.
Другой способ доказать наличие спин-орбитального взаимодействия состоит в следующем. Перейдем в систему координат, связанную с электроном, движущимся вокруг ядра. В этой системе электрон покоится в начале координат, а ядро движется вокруг электрона. При своем движении положительно заряженное ядро создает в точке нахождения электрона магнитное поле $\mathbf{B}_{\text {эф }}$, которое приводит к появлению энергии взаимодействия [см. (34.8)]. Поскольку магнитный момент может ориентироваться лишь двумя способами относительно направления $\mathbf{B}_{\text {эф }}$, энергия взаимо-
** При анализе спектров щелочных металлов с помощью спектроскопических приборов высокой разрешающей способности обнаруживается дубпетный характер линий изпучения. Это показывает, что энергия уровней атома зависит не только от главного квантового числа $n$ и орбитапьного числа $l$, но и от некоторой дополнительной величины. Этой величиной является спин и связанный с ним собственный магнитный момент электрона.
* В чем состоит сущность спин-орбитального взаимодействия?
Как образуется дублетный характер пиний изпучения при учете спин-орбитального взаимодействия? Проследите это расщепление для главной, резкой и диффузной серий.
действия может принимать лишь два значения:
[см. (34.7)]. Энергия спин-орбитального взаимодействия прибавляется или вычитается от энергии соответствующего уровня электрона (33.10). В результате этого каждый уровень расщепляется на два подуровня. Расщепление уровней энергии на подуровни, обусловленное спин-орбитальным взаимодействием, называется тонкой структурой уровней. Однако не каждый уровень имеет тонкую структуру, т.е. не каждый уровень расщеплен: $s$-уровни синглетны, никогда не расщепляются, что связано с особенностями движения электронов в $s$-состоянии. В $s$-состоянии электронное облако распределено сферически-симметрично вокруг ядра и движение является радиальным, поскольку орбитальный момент равен нулю. Следовательно, в $s$-состояниях спин-орбитальное взаимодействие отсутствует и соответствующие энергетические уровни являются синглетными.
Тонкая структура энергетических уровней полностью объясняет особенности спектра излучения щелочных металлов. Рассмотрим для примера спектр лития. С учетом тонкой структуры все уровни энергии атома лития (см. рис. 65) дублетны, за исключением $s$-уровней, которые синглетны. Рассмотрим переходы между ними.
Энергия спин-орбитального взаимодействия очень мала. Это обстоятельство наводит на предположение, что при оптических переходах ориентировка спина не меняется. Более строгое теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что это действительно так, т.е. правило отбора для квантового числа $m_{s}$ при оптических переходах может быть записано следующим образом:
$\Delta m_{s}=0$.
Объяснение закономерностей расщепления линий. Исследуем прежде всего главную серию (рис. 67). Очевидно, что переходы с близко расположенных друг к другу уровней $p$ на один и тот же уровень $s$ дают две близко расположенные линии излучения, т.е. дублет. Расщепление различных уровней $p$ различно; следовательно, расщепление различных дублетов главной серии щелочных металлов также различно, что и наблюдается в эксперименте.
Рассмотрим резкую серию, которая получается в результате переходов с $s$-уровней на $2 p$-уровень (рис. 68). В этом случае расщепление у линий серии одно и то же, поскольку у всех линий оно обусловливается расщеплением одного и того же уровня $2 p$. Линии в дублете резки, потому что это действительно две линии, т.е. дублет.
Диффузная серия получается в результате переходов с $d$-уровней на $2 p$-уровень (рис. 69). Расщепление уровней $d$ много меньше, чем расщепление уровня $2 p$. Фактически при переходах с уровней $d$ на уровень $2 p$ излучаются три линии, поскольку изображенный штриховой линией переход запрещен правилами отбора. Однако две линии, получающиеся при переходе с двух расщепленных уровней $d$ на один и тот же уровень $p$, расположены весьма близко друг к другу и практически сливаются. Благодаря этому они воспринимаются как одна размытая линия. Расщепление же между парой линий и одиночной линией значительно. Поэтому в целом все эти три линии воспринимаются как дублет из размытых ли-
67
Схема переходов с уровней $p$ на уровень $2 s$ с учетом тонкой структуры
68
Схема переходов с $s$-уровней на $2 p$-уровень
69
Схема переходов с $d$-уровней на $2 p$-уровень
ний, а вся серия названа диффузной. Расщепление дублета у всех линий серии одно и то же, поскольку оно определяется расщеплением одного и того же уровня $2 p$.
Таким образом, дублетный характер линий спектра излучения щелочных металлов и водорода объясня- Однако это не единственный фактор, ется наличием у электрона магнит- определяющий расщепление. Вторым ного момента, или, что то же самое, фактором являются релятивистские спин-орбитальным взаимодействием. эффекты, которые учтены в § 72.
