Даются количественные характеристики эффекта Штарка
Эффект Штарка первого порядка в атоме водорода. Рассмотрим расщепление энергии атома водорода, помещенного во внешнее однородное электрическое поле напряженностью $\mathscr{E}$. Направим ось $Z$ по напряженности электрического поля и введем сферическую систему координат ( $r, \theta, \varphi$ ) с началом в центре атома.
Потенциальная энергия электрона в этом внешнем электрическом поле равна
$E_{\mathrm{n}}=-q \mathscr{E} z=-q \mathscr{E} r \cos \theta=e \mathscr{\delta} r \cos \theta$
$(q=-e)$.
Эту энергию можно рассматривать как возмущение к гамильтониану $\hat{H}^{(0)}=\hat{p}^{2} /\left(2 m_{e}\right)-e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)$,
описывающему движение электрона в кулоновском поле ядра атома водорода.
Потенциальную энергию (47.1) можно рассматривать как возмущение, если внешнее поле достаточно слабо по сравнению с внутриатомными полями. Это хорошо соблюдается, потому что внутриатомные поля очень велики. Например, напряженность кулоновского поля в атоме водорода на первой боровской орбите $a_{0}$ равна
$\mathscr{E}=e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} a_{0}^{2}\right) \approx 5 \cdot 10^{11} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$
Равенство нулю первой поправки к энергии основного состояния. Собственные функции оператора (47.2) даются формулой (30.39a) при $Z=1$. В § 30 было показано, что четность этих собственных функций совпадает с четностью орбитального квантового числа $l$. Оператор возмущения (47.1) является нечетной функцией, так как функция меняет знак при отражении относительно начала координат. Это означает, что если в качестве невозмущенных функций взять функции (30.39a), то матричные элементы оператора возмущения (47.1) отличны от нуля лишь для переходов между состояниями с противоположными четностями. В частности, первая поправка к уровню энергии атома водорода в нормальном состоянии $(n=1)$ равна нулю.
Расщепление уровней первого возбужденного состояния. Первое возбужденное состояние атома водорода $(n=2)$ четырехкратно вырождено $\left(n^{2}=4\right)$, квантовые числа $l$ и $m$ принимают значения $(0,0),(1,0),(1,1)$,
$(1,-1)$ Поскольку матричные элементы возмущения (47.1) отличны от нуля лишь для переходов с различной четностью, нас могут интересовать только матричные элементы переходов между $l=0$ и $l=1$. Так как (47.1) не зависит от угла $\varphi$, то матричные элементы возмущения отличны от нуля лишь для переходов без изменения магнитного числа $m$, т.е. для переходов между состояниями $(0,0)$ и $(1,0)$. Таким образом, отличным от нуля является лишь матричный элемент
\[
V_{0}=V_{00,10}=V_{10,00}=
\]
\[
\begin{array}{l}
=e \mathscr{E} \int \Psi_{2.10}^{*} r \cos \theta \Psi_{2,00} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z= \\
\left(=\left[e \mathscr{E} /\left(16 a_{0}^{4}\right)\right] \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} r^{4}\left(2-r / a_{0}\right) \exp \left(-r / a_{0}\right) \times 4\right.
\end{array}
\]
$\times \cos ^{2} \theta \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r=-3 e \mathscr{\circ} a_{0}$,
причем индекс $n=2$ в обозначениях матричного элемента здесь не выписывается. Уравнение (42.8) принимает в данном случае следующий вид:
$\left|\begin{array}{lllll}V_{0000}-E^{(1)} & V_{0010} & V_{0011} & V_{0011} \\ V_{1000} & V_{1010}-E^{(1)} & V_{1011} & V_{1011} \\ V_{1100} & V_{11} 10 & V_{1111}-E^{(1)} & V_{111} 1 \\ V_{1100} & V_{110} & V_{1111} & V_{111}-E^{(1)}\end{array}\right|=0$
С учетом значений $V_{\alpha \beta, \gamma \delta}$ это уравнение упрощается и сводится к равенству
\[
\left|\begin{array}{cccc}
-E^{(1)} & V_{00,10} & 0 & 0 \\
V_{10,00} & -E^{(1)} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -E^{(1)} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -E^{(1)}
\end{array}\right|=0
\]
т. е. $\left(E^{(1)}\right)^{2}\left[\left(E^{(1)}\right)^{2}-V_{0}^{2}\right]=0$. Корни этого уравнения:
\[
\begin{array}{l}
E_{1}^{(1)}=-3 e \mathscr{E} a_{0}, E_{2}^{(1)}=3 e \mathscr{E} a_{0}, \\
E_{3}^{(1)}=E_{4}^{(1)}=0 .
\end{array}
\]
Таким образом, уровень $n=2$ в атоме водорода расщепляется на три. Поэтому при переходе атома на уровень $n=1$ в спектре излучения вместо
одной линии должны наблюдаться три, расположенные очень близко друг от друга. Однако вырождение снято не полностью (не все корни получились различными). Это связано с тем, что поле атома в однородном внешнем электрическом поле симметрично относительно отражения в плоскости, проходящей через ядро атома в направлении поля, в данном случае через ось $Z$. Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством такого отражения, должны иметь одинаковую энергию. Таким образом, оставшееся вырождение является следствием того, что возмущение не нарушило всех свойств симметрии исходного гамильтониана.
Учитывая (47.6), можно найти коэффициенты ( $\left.C_{00}^{0}, C_{10}^{0}, C_{11}^{0}, C_{10}^{0}\right)$ при волновых функциях $\Psi_{2,00}^{0}, \Psi_{2}^{0} 10$, $\Psi_{2,11}^{0}, \Psi_{2,1-1}^{0}$. Например, при $E^{(1)}=$ $=V_{0}=-3$ e $\mathscr{E} a_{0}$ система уравнений для искомых коэффициентов имеет вид
\[
\begin{aligned}
-V_{0} C_{00}^{(0)} & +V_{0} C_{10}^{(0)}=0 \\
V_{0} C_{00}^{(0)} & -V_{0} C_{10}^{(0)}=0 \\
& -V_{0} C_{11}^{(0)}=0 \\
& -V_{0} C_{1,-1}^{(0)}=0 .
\end{aligned}
\]
Отсюда следует, что
\[
C_{00}^{(0)}=C_{10}^{(0)}, C_{11}^{(0)}=C_{1-1}^{(0)}=0
\]
и соответствующая волновая функция
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{(1,2)}^{(0)}=C_{00}^{(0)} \Psi_{2,00}^{(0)}+C_{10}^{(0)} \Psi_{2,10}^{(0)}+ \\
+C_{11}^{(0)} \Psi_{2,11}^{(0)}+C_{1-1}^{(0)} \Psi_{2,1-1}^{(0)}
\end{array}
\]
** Эффектом Штарка называется расщепление уровней энергии атома во внешнем однородном электрическом поле. Это расщепление может быть как линейным по внешнему полю, так и квадратичным в зависимости от характера вырождения уровней энергии в отсутствие внешнего поля.
в данном случае равна
$\Phi_{1}^{(0)}=\left(\Psi_{2,00}^{(0)}+\Psi_{2,10}\right) / \sqrt{2}$
где коэффициенты $C_{00}^{(0)}=C_{10}^{0}$ найдены из условия нормировки функции $\Phi_{1}^{(0)}$ на единицу. Аналогично находится и функция $\Phi_{2}^{(0)}$ :
$\Phi_{2}^{(0)}=\left(\Psi_{2,00}^{(0)}-\Psi_{2,10}^{(0)}\right) / \sqrt{2}$.
Наиболее общая волновая функция, соответствующая решению $E_{3}^{(1)}=$ $=E_{4}^{(1)}=0$ и описывающая оставшиеся вырожденные состояния, имеет вид $\Phi_{(3,4)}^{(0)}=C_{11}^{(0)} \Psi_{2,11}+C_{1,-1}^{(0)} \Psi_{2,1-1}^{(0)},(47.11)$ причем коэффициенты $C_{11}^{(0)}$ и $C_{1-1}^{(0)}$ произвольны с точностью до нормировочного множителя. Можно, в частности, положить
\[
\Phi_{3}^{(0)}=\Psi_{2,11}^{(0)}, \Phi_{4}^{(0)}=\Psi_{2,1-1}^{(0)} .
\]
Квадратичный эффект Штарка. Отметим, что наличие смещения квантовых уровней, пропорциональное первой степени напряженности электрического поля, связано с тем, что в атоме водорода происходит $l$-вырождение, т.е. энергия атома не зависит от орбитального квантового числа $l$. В общем случае вырождения по $l$ нет, a при заданных квантовых числах $(n, l)$ наблюдается вырождение по магнитному числу $m(m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, $\pm l$ ) всего $2 l+1$ состояний. Однако в этом случае различные волновые функции, принадлежащие вырожденному состоянию ( $n, l$ ), обладают одинаковой четностью и матричные элементы энергии возмущения равны нулю. Следовательно, первая поправка, линейная относительно напряженности поля, равна нулю. Смещение квантовых уровней пропорционально $\mathscr{E}^{2}$. Этот эффект называется квадратичным эффектом Штарка. Величины смещений уровней энергии находятся в результате решения (42.16).
