Главная > Атомная физика (A.H. MATBEEB)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Даются количественные характеристики эффекта Штарка

Эффект Штарка первого порядка в атоме водорода. Рассмотрим расщепление энергии атома водорода, помещенного во внешнее однородное электрическое поле напряженностью E. Направим ось Z по напряженности электрического поля и введем сферическую систему координат ( r,θ,φ ) с началом в центре атома.

Потенциальная энергия электрона в этом внешнем электрическом поле равна
En=qEz=qErcosθ=eδrcosθ
(q=e).

Эту энергию можно рассматривать как возмущение к гамильтониану H^(0)=p^2/(2me)e2/(4πε0r),
описывающему движение электрона в кулоновском поле ядра атома водорода.

Потенциальную энергию (47.1) можно рассматривать как возмущение, если внешнее поле достаточно слабо по сравнению с внутриатомными полями. Это хорошо соблюдается, потому что внутриатомные поля очень велики. Например, напряженность кулоновского поля в атоме водорода на первой боровской орбите a0 равна
E=e2/(4πε0a02)51011 B/M
Равенство нулю первой поправки к энергии основного состояния. Собственные функции оператора (47.2) даются формулой (30.39a) при Z=1. В § 30 было показано, что четность этих собственных функций совпадает с четностью орбитального квантового числа l. Оператор возмущения (47.1) является нечетной функцией, так как функция меняет знак при отражении относительно начала координат. Это означает, что если в качестве невозмущенных функций взять функции (30.39a), то матричные элементы оператора возмущения (47.1) отличны от нуля лишь для переходов между состояниями с противоположными четностями. В частности, первая поправка к уровню энергии атома водорода в нормальном состоянии (n=1) равна нулю.

Расщепление уровней первого возбужденного состояния. Первое возбужденное состояние атома водорода (n=2) четырехкратно вырождено (n2=4), квантовые числа l и m принимают значения (0,0),(1,0),(1,1),
(1,1) Поскольку матричные элементы возмущения (47.1) отличны от нуля лишь для переходов с различной четностью, нас могут интересовать только матричные элементы переходов между l=0 и l=1. Так как (47.1) не зависит от угла φ, то матричные элементы возмущения отличны от нуля лишь для переходов без изменения магнитного числа m, т.е. для переходов между состояниями (0,0) и (1,0). Таким образом, отличным от нуля является лишь матричный элемент
V0=V00,10=V10,00=
=eEΨ2.10rcosθΨ2,00 dx dy dz=(=[eE/(16a04)]0π0πr4(2r/a0)exp(r/a0)×4
×cos2θsinθdθdr=3ea0,
причем индекс n=2 в обозначениях матричного элемента здесь не выписывается. Уравнение (42.8) принимает в данном случае следующий вид:
|V0000E(1)V0010V0011V0011V1000V1010E(1)V1011V1011V1100V1110V1111E(1)V1111V1100V110V1111V111E(1)|=0

С учетом значений Vαβ,γδ это уравнение упрощается и сводится к равенству
|E(1)V00,1000V10,00E(1)0000E(1)0000E(1)|=0
т. е. (E(1))2[(E(1))2V02]=0. Корни этого уравнения:
E1(1)=3eEa0,E2(1)=3eEa0,E3(1)=E4(1)=0.

Таким образом, уровень n=2 в атоме водорода расщепляется на три. Поэтому при переходе атома на уровень n=1 в спектре излучения вместо
одной линии должны наблюдаться три, расположенные очень близко друг от друга. Однако вырождение снято не полностью (не все корни получились различными). Это связано с тем, что поле атома в однородном внешнем электрическом поле симметрично относительно отражения в плоскости, проходящей через ядро атома в направлении поля, в данном случае через ось Z. Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством такого отражения, должны иметь одинаковую энергию. Таким образом, оставшееся вырождение является следствием того, что возмущение не нарушило всех свойств симметрии исходного гамильтониана.

Учитывая (47.6), можно найти коэффициенты ( C000,C100,C110,C100) при волновых функциях Ψ2,000,Ψ2010, Ψ2,110,Ψ2,110. Например, при E(1)= =V0=3 e Ea0 система уравнений для искомых коэффициентов имеет вид
V0C00(0)+V0C10(0)=0V0C00(0)V0C10(0)=0V0C11(0)=0V0C1,1(0)=0.

Отсюда следует, что
C00(0)=C10(0),C11(0)=C11(0)=0

и соответствующая волновая функция
Φ(1,2)(0)=C00(0)Ψ2,00(0)+C10(0)Ψ2,10(0)++C11(0)Ψ2,11(0)+C11(0)Ψ2,11(0)
** Эффектом Штарка называется расщепление уровней энергии атома во внешнем однородном электрическом поле. Это расщепление может быть как линейным по внешнему полю, так и квадратичным в зависимости от характера вырождения уровней энергии в отсутствие внешнего поля.
в данном случае равна
Φ1(0)=(Ψ2,00(0)+Ψ2,10)/2
где коэффициенты C00(0)=C100 найдены из условия нормировки функции Φ1(0) на единицу. Аналогично находится и функция Φ2(0) :
Φ2(0)=(Ψ2,00(0)Ψ2,10(0))/2.
Наиболее общая волновая функция, соответствующая решению E3(1)= =E4(1)=0 и описывающая оставшиеся вырожденные состояния, имеет вид Φ(3,4)(0)=C11(0)Ψ2,11+C1,1(0)Ψ2,11(0),(47.11) причем коэффициенты C11(0) и C11(0) произвольны с точностью до нормировочного множителя. Можно, в частности, положить
Φ3(0)=Ψ2,11(0),Φ4(0)=Ψ2,11(0).

Квадратичный эффект Штарка. Отметим, что наличие смещения квантовых уровней, пропорциональное первой степени напряженности электрического поля, связано с тем, что в атоме водорода происходит l-вырождение, т.е. энергия атома не зависит от орбитального квантового числа l. В общем случае вырождения по l нет, a при заданных квантовых числах (n,l) наблюдается вырождение по магнитному числу m(m=0,±1,±2,, ±l ) всего 2l+1 состояний. Однако в этом случае различные волновые функции, принадлежащие вырожденному состоянию ( n,l ), обладают одинаковой четностью и матричные элементы энергии возмущения равны нулю. Следовательно, первая поправка, линейная относительно напряженности поля, равна нулю. Смещение квантовых уровней пропорционально E2. Этот эффект называется квадратичным эффектом Штарка. Величины смещений уровней энергии находятся в результате решения (42.16).

1
Оглавление
email@scask.ru