Описываются интерференционные опыты при малых интенсивностях светового потока, из которых делается вывод о существовании явления интерференции при наличии лишь одного фотона. Этот вывод выражается словами: «фотон интерферирует сам с собой». Обсуждается интерпретация явлений интерференции в рамках корпускулярных представлений.
Интерференция электромагнитных волн. Интерференция электромагнитных волн подробно изучена в электромагнетизме и оптике. Математически волна любой природы в однородной среде описывается универсальным волновым уравнением
\[
abla^{2} \Phi(\mathbf{r}, t)-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi(\mathbf{r}, t)}{\partial t^{2}}=0,
\]
где $\Phi$-скалярная величина, характеризующая волну, $v$-скорость волны. Для электромагнитной волны $\Phi$ любая из проекций напряженности электрического и магнитного полей или векторного потенциала на оси декартовой системы координат. В вакууме $v=c$ – скорость света.
При гармонической зависимости $\Phi(\mathbf{r}, t)$ от времени, одинаковой для всех точек пространства, полагаем $\Phi(\mathbf{r}, t)=\Phi(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-i \omega t}$.
Подставив (5.2) в (5.1), находим для $\Phi(\mathbf{r})$ уравнение
$
abla^{2} \Phi(\mathbf{r})+k^{2} \Phi(\mathbf{r})=0$,
где $k=\omega / v=2 \pi /(v T)=2 \pi / \lambda, \quad T$-период, $\lambda$-длина волны.
Уравнение Гельмгольца (5.3) универсально для описания координатной зависимости характеристик гармонических волн.
В рамках этого уравнения построена теория Кирхгофа дифракции и интерференции света, которая блестяще подтверждается громадным экспериментальным материалом. Это уравнение описывает правильно также и другие гармонические волны, например акустические, гидродинамические и т.д. Поэтому напрашивается вывод, что оно является универсальным уравнением для описания гармонических волн любой природы. Отметим, что при его выводе частота гармонических волн предполагалась постоянной ( $\omega=$ const $)$. Это будет использовано при обсуждении возможного вида уравнения для описания движения частиц с отличной от нуля массой покоя (см. § 10,16 ).
В световом диапазоне напряженности электромагнитного поля волны – ненаблюдаемые величины из-за большой частоты колебаний $\left(\omega \sim 10^{15} c^{-1}\right)$, поскольку измеряется всегда среднее значение по конечному
23
Опыт Винера
промежутку времени, которое равно нулю при усреднении напряженности электромагнитного поля волны по периоду колебаний или многим периодам. Поэтому в световом диапазоне электромагнитных волн величины $\Phi(\mathbf{r}, t)$ ненаблюдаемы Наблюдаемыми являются энергетические величины светового потока, пропорциональные квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны. Можно говорить также об объемной плотности электромагнитной энергии волны как о наблюдаемой величине. Эти величины однозначно связаны между собой. Если $\mathscr{E}_{0}$-амплитуда напряженности линейно поляризованной плоской волны, то средняя объемная плотность электромагнитной энергии в вакууме равна $w=1 / 2 \varepsilon_{0} \mathscr{E}_{0}^{2}$, а средняя плотность потока энергии выражается формулой $\langle S\rangle=c w$, где $c-$ скорость света в вакууме.
Интерференция обусловливается
суперпозицией напряженностей электромагнитных полей интерферирующих волн, а проявляется она как изменение средней объемной плотности энергии или как изменение среднего потока энергии электромагнитных волн в пространстве.
Из изложенного можно сделать два важных вывода.
Во-первых, если световой поток представить как поток фотонов, то необходимо допустить, что концентрация фотонов в потоке пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны $\left(n \sim \mathscr{E}_{0}^{2}\right) \quad$ Во-вторых, нельзя предсгавить интерференцию как процесс «суперпозиции фотонов»
Корпускулярная интерпретация опытов Винера. Электромагнитная природа света была впервые экспериментально подтверждена в классических опытах О. Винера (1890), который наблюдал интерференцию от двух монохроматических световых волн, распространяющихся навстречу друг другу. Такие движуциеся в противоположных направлениях взаимно когерентные волны возникают в результате отражения от зеркала световой волны, падающей на него по нормали. При отражении от металлического зеркала фаза колебаний вектора напряженности электрического поля волны изменяется на $\pi$, что обеспечивает соблюдение равенства нулю тангенциальной составляющей электрического поля на поверхности металла. Направляя ось $Z$ по нормали к поверхности зеркала, а ось $X$-коллинеарно линии колебаний вектора напряженности $\mathscr{E}$ электрического поля волны (рис. 23), можно для падающей и отраженной волн написать:
\[
\mathscr{E}_{1}=\mathscr{E}_{1 x}(z, t)=\mathscr{E}_{0} \cos (\omega t+k z),
\]
\[
\mathscr{E}_{2}=\mathscr{E}_{2 x}(z, t)=\mathscr{E}_{0} \cos (\omega t-k z+\pi),
\]
где приняты одинаковыми амплитуды падающей и отраженной волн и учтено изменение фазы волны при отражении на $\pi$. В результате суперпозиции волн возникает стоячая волна, напряженность которой
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}=\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}= \\
=2 \mathscr{E}_{0} \cos (k z-\pi / 2) \cos (\omega t+\pi / 2)= \\
=-2 \mathscr{E}_{0} \sin k z \sin \omega t .
\end{array}
\]
Следовательно, распределение интенсивности интерференционной картины по оси $Z$
\[
\begin{array}{l}
I=\left\langle\mathscr{E}^{2}\right\rangle=4 \mathscr{E}_{0}^{2} \sin ^{2} k z\left\langle\sin ^{2} \omega t\right\rangle= \\
=2 \mathscr{E}_{0}^{2} \sin ^{2} k z
\end{array}
\]
(рис. 23). Поскольку расстояние между пучностями в интерференционной картине очень мало ( $\approx 0,3$ мкм), Винер измерил почернение в тонком светочувствительном слое $A B$ (порядка $\lambda / 20$ ), расположенном под очень малым углом $\varphi$ к поверхности зеркала (рис. 23). Если расстояния между пучностями по нормали к поверхности зеркала равны $\lambda / 2$, то в наклонном тонком светочувствительном слое эти расстояния равны $d=$ $=\lambda /(2 \sin \varphi)$, т.е. при достаточно малых углах $\varphi$ могут быть сделаны достаточно большими и их можно измерить. Предсказания электромагнитной теории света в опытах Винера полностью подтвердились. Кроме того, они доказали, что фотографическое действие обусловлено электрической напряженностью поля волны, а не индукцией магнитного поля волны.
Для корпускулярной интерпретации опытов Винера надо принять во внимание физику явлений, обусловливающих фотографический процесс. Светочувствительный слой состоит из частиц галоидного серебра (бромистое серебро), рассеянного в желатине. При попадании света на частицу галоидного серебра в ней возникают
центры восстановленного серебра. Это центры проявления. Частицы, в которых имеются центры проявления, восстанавливаются при проявлении светочувствительного слоя до металлического серебра. Там, где нет центров проявления, частицы остаются галоидными. После проявления при «фиксации» частицы галоидного серебра удаляются и в слое остается лишь металлическое серебро в мелких частицах, которые образуют почернение слоя.
При использовании представления о фотонах образование центров проявления объясняется поглощением фотонов частицами галоидного серебра. Частицы галоидного серебра равномерно распределены по объему светочувствительного слоя. Вероятность поглощения фотона галоидной частицей для фотонов фиксированной частоты может считаться постоянной. Число поглощенных фотонов в некотором физически бесконечно малом объеме пропорционально произведению числа частиц галоидного серебра в этом объеме, вероятности поглощения фотона и концентрации фотонов. «Почернение» объема, с одной стороны, пропорционально числу поглоценных фотонов, а с другой стороны, интенсивности (5.6) интерференционной картины. Отсюда заключаем, что концентрация фотонов в стоячей волне пропорциональна $\sim \mathscr{E}_{0}^{2} \sin ^{2} k z$, т.е. изменяется на длине стоячей волны и определяется квадратом амплитуды $\left(\mathscr{E}_{0} \sin k z\right)^{2}$ колебаний вектора напряженности электрического поля в соответствующих точках стоячей волны.
Поглощение фотона частицей галоидного серебра означает физически обнаружение фотона в области этой частицы. Поглоцение фотона галоидной частицей является случай-
24
Интерференционный опыт Юнга
ным процессом и может описываться лишь вероятностными методами. Изложенные рассуждения позволяют сделать заключение, что
плотность вероятности обнаружить фотон вблизи координаты $z$ пропорциональна $\left|\mathscr{E}_{0} \sin k z\right|^{2}$, т.е. квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны.
Этот вывод важен для корпускулярной интерпретации интерференции электромагнитных волн, но он не означает, что фотон обладает координатами и движется по какой-то траектории.
** Для корпускулярной интерпретации явлеНий интерференции электромагнитных волн Необходимо допустить, что концентрация фотонов в электромагнитной волНе пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны. Отсюда Нельзя сделать заключение, что амллитуда волны может рассматриваться как волновая функция фотона, но это важно при обсуждении физического смысла волновой функции.
* Что означает утверждение, что «фотон интерферирует сам с собой», и что доказывает справедливость этого утверждения?
Как интерпретируется возникновение интерференционной картины при суперпозиции взаимно когерентных излучений двух одномодовых лазеров, если «фотон интерферирует сам с собой»?
Корпускулярная интерпретация опыта Юнга. Опыт Юнга (1801) по интерференции света от двух взаимно когерентных источников сыграл историческую роль при переходе от теории истечения Ньютона к волновой теории света. Взаимно когерентными источниками являются две щели $S_{1}$ и $S_{2}$ в непрозрачном экране, на который падает плоская волна (рис. 24). От каждой из щелей в точку экрана с координатой $у$ приходит луч света, дающий на экране интенсивность освещения $I_{0}=1 / \mathscr{E}_{0}^{2}$ при закрытой другой щели. При открытых одновременно двух щелях интенсивность
\[
\begin{array}{l}
I(y)=\mathscr{E}_{0}^{2}(1+\cos \delta)= \\
=2 I_{0}(1+\cos \delta),
\end{array}
\]
где
$\delta=2 \pi d /(\lambda l)$
– разность фаз между интерференцирующими волнами; $d, \lambda, l$-соответственно расстояние между щелями, длина волны света, расстояние между непрозрачным экраном и экраном, на котором наблюдается интерференция. Таким образом, интенсивность интерференционной картины в точках экрана не равна сумме интенсивностей от щелей по отдельности. Отличие обусловливается разностью фаз волн от щелей. Отсюда для корпускулярной интерпретации опыта Юнга возникают чрезвычайно большие трудности. Если каким-то образом приписать отдельному фотону фазу, тогда необходимо считать, что $\delta$ в (5.7) является разностью фаз двух фотонов, прошедших через различные щели. Но это противоречит закону сохранения энергии, поскольку два фотона при попадании в одну точку экрана выделяют энергию, не равную сумме их энергий. При некоторых условиях ( $\cos \delta=-1$ ) они могут взаимно уничтожить друг друга, при других ( $\cos \delta=1)$-выделенная энергия в два раза больше, чем сумма энергий фотонов. Ясно, что такая интерпретация неприемлема. Поэтому
не представляется возможным приписать фотону характеристику, аналогичную фазе электромагнитной волны. Характеристика, аналогичная фазе волны, принадлежит не фотону, а состоянию, которое описывает его движение.
Это означает, что интерференцию необходимо описать как явление, происходящее при наличии лишь одного фотона. Но прежде это надо проверить экспериментально.
Для экспериментальной проверки утверждения, что возникновение интерференционной картины не обусловлено одновременным участием в процессе большого числа фотонов, были поставлены многие интерференционные опыты с очень малыми интенсивностями света, когда можно было быть уверенным, что одновременно в образовании интерференционной картины участвует не более одного фотона и, следовательно, интерференционная картина образуется последовательным попаданием на экран отдельных фотонов. Результаты этих опытов однозначно свидетельствуют, что
движение отдельного фотона в интерференционных опытах не зависит от наличия других. Фотон интерферирует сам с собой.
Распределение интенсивности в интерференционной картине, как и в опыте Винера, характеризуется квадратом амплитуды напряженности электрического поля волны, образующегося в результате суперпозиции интерферирующих волн. Другими словами,
квадрат амплитуды электрического поля в точке экрана характеризует плотность вероятности обнаружения фотона в этой точке.
Поскольку в теории дифракции, основанной на уравнении (5.3), величина $|\Phi(\mathbf{r})|$ имеет смысл амплитуды электрического поля волны, можно сказать, что $|\Phi(\mathbf{r})|^{2}$ характеризует плотность вероятности обнаружения фотона вблизи точки с радиусом-вектором $\mathbf{r}$, т. е.
уравнение (5.3) при корпускулярной интерпретации описывает не координаты фотона, а позволяет найти плотность вероя1 ности его обнаружения в различных точках пространства. Корпускулярное описание не позволяет также говорить о движении фотона по какой-то траектории. Не имеет смысла говорить, что фотон прошел через ту или иную щель.
Изложенные соображения о корпускулярной интерпретации интерференции и истолкование смысла уравнения (5.3) в рамках этой интерпретации будут использованы при обсуждении вопросов движения микрочастиц с учетом их волновых свойств.
Стационарное состояние. Явления интерференции описываются решением $\Phi(\mathbf{r})$ уравнения (5.3). Можно сказать, что функция $\Phi(\mathbf{r})$ описывает состояние движения фотона в явлениях интерференции. Состояние движения $\Phi(\mathbf{r})$ не зависит от времени и осуществляется при постоянной частоте $\omega=$ $=$ const. Tакое состояние движения называется стационарным.
Главное свойство стационарного состояния, посредством которого описывается движение фотона, заключается в его единстве. Фотон принадлежит состоянию в целом, и нельзя состояние разделить на части.
Например, в интерференционном опыте Юнга (рис. 24) состояние фотона описывается функцией $\Phi(\mathbf{r})$, этой области значениями функции являющейся решением уравнения (5.3), имеюцей определенное значение в любой точке пространства. Однако нельзя сказать, что фотон при своем движении проходит последовательно различные области пространства, в которых состояние его движения описывается относящимися к $\Phi(\mathbf{r})$, потому что
нельзя соотнести движение фотона с его пребыванием в различных областях пространства и нельзя представить единое во всем пространстве состояние движения фотона слагающимся из состояний его движения в отдельных областях пространства.
