Излагается абстрактная формулировка квантовой механики

Смысл аксиоматического представления физической теории. Физическая теория всегда возникает как результат наблюдений, опыта и экспериментальных исследований, приводящих к построению физической модели соответствующей области явлений. Модель формулируется и описывается на математическом языке и называется теорией данной группы явлений. Все обширное содержание теории можно свести к небольшому числу основных положений, из которых посредством логических и математических операций можно получить все следствия теории. Совокупность этих основных положений принято называть аксиомами или постулатами теории. Вся классическая механика Ньютона базируется на трех постулатах – законах Ньютона; вся классическая электродинамика-на уравнениях Максвелла и т. д.
Изложение теории исходя из ее
постулатов является наиболее кратким и в большинстве случаев наиболее изящным. Оно широко используется в теоретической физике. Однако при этом предполагается, что физическая модель и соотношение используемых в модели понятий с физической реальностью имеют ясное и непротиворечивое толкование, а само аксиоматическое изложение теории не затушевывает ее экспериментального происхождения. Аксиоматическая формулировка физической теории-результат экспериментальных и теоретических исследований, а отнюдь не инструмент этих исследований. Тем не менее это важный фактор физических исследований, потому что в наиболее ясной и краткой форме представляет проблему соотношения физической теории и физической реальности.
В первых четырех главах этой книги были изложены экспериментальные факты, которые привели к возникновению квантовой механики, а также основные положения квантовой механики в наиболее привычном представлении – координатном. Это представление кажется некоторой модификацией моделей классической физики и выглядит наиболее «естественным» и «понятным». Однако именно благодаря этому оно наименее приемлемо для изложения существа квантовой механики и часто приводит к его искажению. Например, квантовая механика излагается как теория, основанная на дифференциальном уравнении Шредингера, а затем говорится об «операторном методе» квантовой механики. При таком подходе невозможно вообще понять суть квантовой механики, потому что при этом не учитывается различие физической природы динамических переменных классической и квантовой физики. Этим же обстоятельством обусловливаются некоторые «парадоксы» квантовой механики, которые по своей сути являются недоразумениями. Поэтому целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики в абстрактном представлении, когда все эıи ıрудносіи устраняются сами собой.

Постулаты квантовой механики. Целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики для наиболее простого случая нерелятивистского движения отдельной частицы в одном измерении. Обобщение этих положений на случай многих частиц и многих измерений будет обсуждено в конце параграфа. Постулаты квантовой механики могут быть сформулированы в виде следующих четырех положений.
1. Состояние движения частицы представляется вектором $\mid \Psi(t)>$ в гильбертовом пространстве.
2. Независимые динамические переменные, соответствующие классическим координате $x$ и импульсу $p$ частицы, представляются эрмитовыми операторами $\hat{X}$ и $\hat{P}$, матричные элементы которых в собственном базисе оператора $\hat{X}$ равны
\[
\begin{array}{l}
\left\langle x|\hat{X}| x^{\prime}\right\rangle=x \delta\left(x-x^{\prime}\right), \\
\left\langle x|\hat{P}| x^{\prime}\right\rangle=-i \hbar \delta^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Другие динамические переменные, соответствующие классическим функциям $F(x, p)$, представляются эрмитовыми операторами $\hat{F}(\hat{X}, \hat{P})=$ $=F(x \rightarrow \hat{X}, p \rightarrow \hat{P})$.
3. В состоянии $|\Psi\rangle$ измерение динамической переменной $\hat{A}$ дает с вероятностью $\mathscr{P}(A)=|\langle A \mid \Psi\rangle|^{2}$ одно из собственных значений $A$ оператоpa $\hat{A}$.
В результате этого измерения сис-
тема переходит из состояния $|\Psi\rangle$ в состояние $|A\rangle$.
4. Вектор состояния $|\Psi(t)\rangle$ подчиняется уравнению Шредингера
$-\frac{\hbar \mathrm{d}}{i \mathrm{~d} t}|\Psi(t)\rangle=\hat{H}|\Psi(t)\rangle$,
где $\hat{H}=\hat{H}(\hat{X}, \hat{P})$ – оператор Гамильтона, получающийся из гамильтониана $H(x, p)$ соответствующей классической проблемы по правилу $\hat{H}(\hat{X}, \hat{P})=H(x \rightarrow \hat{X}, p \rightarrow \hat{P})$.
Смысл и содержание этих постулатов достаточно подробно были рассмотрены в $x$-представлении (см. гл. 4). Здесь необходимо сделать лишь несколько пояснительных замечаний.
В постулате 2 далеко не всегда понятно, как построить оператор $\hat{F}(\hat{X}, \hat{P})=\hat{F}(x \rightarrow \hat{X}, p \rightarrow \hat{P})$. Пусть, например, $F=x p=p x$. Поэтому не ясно, будет ли $\hat{F}(\hat{X}, \hat{P})=\hat{X} \hat{P}$ или $\hat{F}(\hat{X}, \hat{P})=\hat{P} \hat{X}$, хотя эти операторы различны $(\hat{X}, \hat{P}
eq \hat{P} \hat{X})$. Универсального правила преодоления этой трудности не существует. В рассматриваемом случае используется прием симметризации и принимается, что $\hat{F}(\hat{X}, \hat{P})=$ $=(\hat{X} \hat{P}+P \hat{X}) / 2$. Однако уже для второй сенени или выше $x$ или $p$ в произведении этот прием не может быть применен. Задача сводится к нахождению такого правила написания оператора, которое приводило бы к согласию выводов теории с результатами экспериментов.
В постулате 3 в случае вырожденного собственного значения $A$ для вычисления $\mathscr{P}(A)$ надо принять во внимание полную проекцию состояния $|\Psi\rangle$ на подпространство, принадлежащее вырожденному собственному значению. Например, если собственное значение $A$ вырождено двукратно ( $A=A_{1}=A_{2}$ ), то в пространстве векторов, принадлежащих этому собственному значению, можно построить некоторый ортонормированный базис $|A, 1\rangle$ и $|A, 2\rangle$. Тогда $\mathscr{P}(A)=|\langle A, 1 \mid \Psi\rangle|^{2}+|\langle A, 2 \mid \Psi\rangle|^{2} \cdot(23.4)$

В случае непрерывного спектра собственных значений оператора $\hat{A}$ величина $|\langle A \mid \Psi\rangle|^{2}$ в постулате 3 дает не вероятность, а плотность вероятности, поскольку собственные векторы $|A\rangle$ в этом случае нормированы не на 1 , а на $\delta$-функцию. Полная вероятность получить при измерении какое-либо значение $A$ равна, конечно, единице:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}=\int \mathscr{P}(A) \mathrm{d} A=\int|\langle A \mid \Psi\rangle|^{2} \mathrm{~d} A= \\
=\int\langle\Psi \mid A\rangle\langle A \mid \Psi\rangle \mathrm{d} A=\langle\Psi|\hat{I}| \Psi\rangle=1 .
\end{array}
\]

В частности, спектр собственных значений оператора координаты $\hat{X}$ непрерывен. Волновая функция $\Psi(x)=\langle x \mid \Psi\rangle$ позволяет находить не вероятность нахождения частицы в точке $x$, а плотность вероятности $|\Psi(x)|^{2}$; вероятность нахождения частицы в интервале $\mathrm{d} x$ вблизи $x$ равна $|\Psi(x)|^{2} \mathrm{~d} x$. Однако вектор $|\Psi\rangle$ содержит информацию не только о местонахождении частицы, но и об ее импульсе. Плотность вероятности для частицы иметь импульс $p$ дается проекцией $\Psi(p)=\langle p \mid \Psi\rangle$ вектора состояния $|\Psi\rangle$ на базисный вектор $|p\rangle$ оператора $P$. Существуют динамические переменные, для которых нет классического аналога. В этом случае оператор динамических переменных должен быть построен так, чтобы давать результаты, согласующиеся с экспериментом.

Обобщение постулатов на многие степени свободы. В этом случае модифицируется лишь постулат 2 , остальные остаются без изменения. Этот
постулат может быть сформулирован так:
$N$ степеням свободы, относящимся к $N$ декартовым координатам $x_{1}, x_{2}$, $\ldots, x_{N}$ классической системы, в квантовой теории соответствуют $N$ взаимно коммутирующих операторов $\hat{X}_{1}, \hat{X}_{2}, \ldots, \hat{X}_{N}$.
Собственный координатный базис $\left|x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right\rangle$ этих операторов нормируется условиями
\[
\begin{array}{l}
\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N} \mid x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{N}^{\prime}\right\rangle= \\
=\delta\left(x_{1}-x_{1}^{\prime}\right) \delta\left(x_{2}-x_{2}^{\prime}\right) \ldots \delta\left(x_{N}-x_{N}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Связь векторов состояния $|\Psi\rangle$ с волновыми функциями $\Psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right)$ в $x$-представлении и действия операторов $\hat{X}_{i}$ и $\hat{P}_{i}$ в этом представлении выражаются формулами
\[
\begin{array}{l}
|\Psi\rangle \rightarrow\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots x_{N} \mid \Psi\right\rangle= \\
=\Psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right), \\
\hat{X}_{i}|\Psi\rangle \rightarrow\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\left|\hat{X}_{i}\right| \Psi\right\rangle= \\
=x_{i} \Psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right) . \\
\hat{P}_{i}|\Psi\rangle \rightarrow\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\left|\hat{P}_{i}\right| \Psi\right\rangle= \\
=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \Psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right) .
\end{array}
\]

Операторы динамических переменных образуются по правилу
\[
\hat{F}\left(\hat{X}_{1}, \hat{P}_{i}\right)=F\left(x_{i} \rightarrow \hat{X}_{i}, p_{i} \rightarrow \hat{P}_{i}\right) .
\]

Формулировка этих правил справедлива лишь в декартовых координатах, потому что только в них справедливо в $x$-представлении простое описание действия операторов $\hat{X}$ и $\hat{P}$ по схеме $\hat{X}_{i} \rightarrow x_{i}, \quad \hat{P}_{i} \rightarrow-i \hbar \partial / \partial x_{i}$. Лишь после формулировки и записи уравнений в декартовых координатах для решения полученных дифференциальных уравнений можно переходить к любым другим координатам заменой переменных.