Излагается абстрактная формулировка квантовой механики

Смысл аксиоматического представления физической теории. Физическая теория всегда возникает как результат наблюдений, опыта и экспериментальных исследований, приводящих к построению физической модели соответствующей области явлений. Модель формулируется и описывается на математическом языке и называется теорией данной группы явлений. Все обширное содержание теории можно свести к небольшому числу основных положений, из которых посредством логических и математических операций можно получить все следствия теории. Совокупность этих основных положений принято называть аксиомами или постулатами теории. Вся классическая механика Ньютона базируется на трех постулатах — законах Ньютона; вся классическая электродинамика-на уравнениях Максвелла и т. д.
Изложение теории исходя из ее
постулатов является наиболее кратким и в большинстве случаев наиболее изящным. Оно широко используется в теоретической физике. Однако при этом предполагается, что физическая модель и соотношение используемых в модели понятий с физической реальностью имеют ясное и непротиворечивое толкование, а само аксиоматическое изложение теории не затушевывает ее экспериментального происхождения. Аксиоматическая формулировка физической теории-результат экспериментальных и теоретических исследований, а отнюдь не инструмент этих исследований. Тем не менее это важный фактор физических исследований, потому что в наиболее ясной и краткой форме представляет проблему соотношения физической теории и физической реальности.
В первых четырех главах этой книги были изложены экспериментальные факты, которые привели к возникновению квантовой механики, а также основные положения квантовой механики в наиболее привычном представлении — координатном. Это представление кажется некоторой модификацией моделей классической физики и выглядит наиболее «естественным» и «понятным». Однако именно благодаря этому оно наименее приемлемо для изложения существа квантовой механики и часто приводит к его искажению. Например, квантовая механика излагается как теория, основанная на дифференциальном уравнении Шредингера, а затем говорится об «операторном методе» квантовой механики. При таком подходе невозможно вообще понять суть квантовой механики, потому что при этом не учитывается различие физической природы динамических переменных классической и квантовой физики. Этим же обстоятельством обусловливаются некоторые «парадоксы» квантовой механики, которые по своей сути являются недоразумениями. Поэтому целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики в абстрактном представлении, когда все эıи ıрудносіи устраняются сами собой.

Постулаты квантовой механики. Целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики для наиболее простого случая нерелятивистского движения отдельной частицы в одном измерении. Обобщение этих положений на случай многих частиц и многих измерений будет обсуждено в конце параграфа. Постулаты квантовой механики могут быть сформулированы в виде следующих четырех положений.
1. Состояние движения частицы представляется вектором $\mid \mathrm{\Psi }(t)>$ в гильбертовом пространстве.
2. Независимые динамические переменные, соответствующие классическим координате $x$ и импульсу $p$ частицы, представляются эрмитовыми операторами $\hat{X}$ и $\hat{P}$, матричные элементы которых в собственном базисе оператора $\hat{X}$ равны
$$\begin{array}{l}⟨x|\hat{X}|x^{\prime }⟩=x\delta (x-x^{\prime }),\\ ⟨x|\hat{P}|x^{\prime }⟩=-i\hslash {\delta }^{\prime }(x-x^{\prime }).\end{array}$$

Другие динамические переменные, соответствующие классическим функциям $F(x,p)$, представляются эрмитовыми операторами $\hat{F}(\hat{X},\hat{P})=$ $=F(x\to \hat{X},p\to \hat{P})$.
3. В состоянии $|\mathrm{\Psi }⟩$ измерение динамической переменной $\hat{A}$ дает с вероятностью $\mathcal{P}(A)=|⟨A\mid \mathrm{\Psi }⟩{|}^2$ одно из собственных значений $A$ оператоpa $\hat{A}$.
В результате этого измерения сис-
тема переходит из состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$ в состояние $|A⟩$.
4. Вектор состояния $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ подчиняется уравнению Шредингера
$-\frac{\hslash \mathrm{d}}{i\mathrm{d}t}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\hat{H}|\mathrm{\Psi }(t)⟩$,
где $\hat{H}=\hat{H}(\hat{X},\hat{P})$ — оператор Гамильтона, получающийся из гамильтониана $H(x,p)$ соответствующей классической проблемы по правилу $\hat{H}(\hat{X},\hat{P})=H(x\to \hat{X},p\to \hat{P})$.
Смысл и содержание этих постулатов достаточно подробно были рассмотрены в $x$-представлении (см. гл. 4). Здесь необходимо сделать лишь несколько пояснительных замечаний.
В постулате 2 далеко не всегда понятно, как построить оператор $\hat{F}(\hat{X},\hat{P})=\hat{F}(x\to \hat{X},p\to \hat{P})$. Пусть, например, $F=xp=px$. Поэтому не ясно, будет ли $\hat{F}(\hat{X},\hat{P})=\hat{X}\hat{P}$ или $\hat{F}(\hat{X},\hat{P})=\hat{P}\hat{X}$, хотя эти операторы различны $(\hat{X},\hat{P}eq\hat{P}\hat{X})$. Универсального правила преодоления этой трудности не существует. В рассматриваемом случае используется прием симметризации и принимается, что $\hat{F}(\hat{X},\hat{P})=$ $=(\hat{X}\hat{P}+P\hat{X})/2$. Однако уже для второй сенени или выше $x$ или $p$ в произведении этот прием не может быть применен. Задача сводится к нахождению такого правила написания оператора, которое приводило бы к согласию выводов теории с результатами экспериментов.
В постулате 3 в случае вырожденного собственного значения $A$ для вычисления $\mathcal{P}(A)$ надо принять во внимание полную проекцию состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$ на подпространство, принадлежащее вырожденному собственному значению. Например, если собственное значение $A$ вырождено двукратно ( $A=A_1=A_2$ ), то в пространстве векторов, принадлежащих этому собственному значению, можно построить некоторый ортонормированный базис $|A,1⟩$ и $|A,2⟩$. Тогда $\mathcal{P}(A)=|⟨A,1\mid \mathrm{\Psi }⟩{|}^2+|⟨A,2\mid \mathrm{\Psi }⟩{|}^2\cdot (23.4)$

В случае непрерывного спектра собственных значений оператора $\hat{A}$ величина $|⟨A\mid \mathrm{\Psi }⟩{|}^2$ в постулате 3 дает не вероятность, а плотность вероятности, поскольку собственные векторы $|A⟩$ в этом случае нормированы не на 1 , а на $\delta$-функцию. Полная вероятность получить при измерении какое-либо значение $A$ равна, конечно, единице:
$$\begin{array}{l}\mathcal{P}=\int \mathcal{P}(A)\mathrm{d}A=\int |⟨A\mid \mathrm{\Psi }⟩{|}^2\mathrm{d}A=\\ =\int ⟨\mathrm{\Psi }\mid A⟩⟨A\mid \mathrm{\Psi }⟩\mathrm{d}A=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{I}|\mathrm{\Psi }⟩=1.\end{array}$$

В частности, спектр собственных значений оператора координаты $\hat{X}$ непрерывен. Волновая функция $\mathrm{\Psi }(x)=⟨x\mid \mathrm{\Psi }⟩$ позволяет находить не вероятность нахождения частицы в точке $x$, а плотность вероятности $|\mathrm{\Psi }(x){|}^2$; вероятность нахождения частицы в интервале $\mathrm{d}x$ вблизи $x$ равна $|\mathrm{\Psi }(x){|}^2\mathrm{d}x$. Однако вектор $|\mathrm{\Psi }⟩$ содержит информацию не только о местонахождении частицы, но и об ее импульсе. Плотность вероятности для частицы иметь импульс $p$ дается проекцией $\mathrm{\Psi }(p)=⟨p\mid \mathrm{\Psi }⟩$ вектора состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$ на базисный вектор $|p⟩$ оператора $P$. Существуют динамические переменные, для которых нет классического аналога. В этом случае оператор динамических переменных должен быть построен так, чтобы давать результаты, согласующиеся с экспериментом.

Обобщение постулатов на многие степени свободы. В этом случае модифицируется лишь постулат 2 , остальные остаются без изменения. Этот
постулат может быть сформулирован так:
$N$ степеням свободы, относящимся к $N$ декартовым координатам $x_1,x_2$, $\dots ,x_N$ классической системы, в квантовой теории соответствуют $N$ взаимно коммутирующих операторов ${\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,\dots ,{\hat{X}}_N$.
Собственный координатный базис $|x_1,x_2,\dots ,x_N⟩$ этих операторов нормируется условиями
$$\begin{array}{l}⟨x_1,x_2,\dots ,x_N\mid x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_N^{\prime }⟩=\\ =\delta (x_1-x_1^{\prime })\delta (x_2-x_2^{\prime })\dots \delta (x_N-x_N^{\prime }).\end{array}$$

Связь векторов состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$ с волновыми функциями $\mathrm{\Psi }(x_1,x_2,\dots ,x_N)$ в $x$-представлении и действия операторов ${\hat{X}}_i$ и ${\hat{P}}_i$ в этом представлении выражаются формулами
$$\begin{array}{l}|\mathrm{\Psi }⟩\to ⟨x_1,x_2,\dots x_N\mid \mathrm{\Psi }⟩=\\ =\mathrm{\Psi }(x_1,x_2,\dots ,x_N),\\ {\hat{X}}_i|\mathrm{\Psi }⟩\to ⟨x_1,x_2,\dots ,x_N\left|{\hat{X}}_i\right|\mathrm{\Psi }⟩=\\ =x_i\mathrm{\Psi }(x_1,x_2,\dots ,x_N).\\ {\hat{P}}_i|\mathrm{\Psi }⟩\to ⟨x_1,x_2,\dots ,x_N\left|{\hat{P}}_i\right|\mathrm{\Psi }⟩=\\ =\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x_i}\mathrm{\Psi }(x_1,x_2,\dots ,x_N).\end{array}$$

Операторы динамических переменных образуются по правилу
$$\hat{F}({\hat{X}}_1,{\hat{P}}_i)=F(x_i\to {\hat{X}}_i,p_i\to {\hat{P}}_i).$$

Формулировка этих правил справедлива лишь в декартовых координатах, потому что только в них справедливо в $x$-представлении простое описание действия операторов $\hat{X}$ и $\hat{P}$ по схеме ${\hat{X}}_i\to x_i,{\hat{P}}_i\to -i\hslash \partial /\partial x_i$. Лишь после формулировки и записи уравнений в декартовых координатах для решения полученных дифференциальных уравнений можно переходить к любым другим координатам заменой переменных.