Описываются принцилы экспериметальных методов измерения магнитных моментов.

Метод отклонения атомов в неоднородном магнитном поле. Этот метод совершенно аналогичен методу, использованному в опыте Штерна и Герлаха (см. § 15).

Если $J$-квантовое число полного механического момента атома, то число проекций магнитного момента атома на некоторое направление равно $2 J+1$, а значения этих проекций $\mu_{J z}=\mu_{\mathbf{B}} g_{J} m_{J}\left(m_{J}=-J,-J+1, \ldots, J-1, J\right)$.

По числу пучков, на которые расщепляется первоначальный пучок, можно определить $J$, а по отклонению расщепившихся пучков-гиромагнитное отношение. Однако точность этого метода невелика. Поэтому он имеет лишь вспомогательное значение и дает главным образом качественные результаты.

Метод магнитного резонанса. Схематическое устройство прибора для изучения магнитного резонанса показано на рис. 75. Пучок атомов на своем пути проходит магнитные поля, создаваемые магнитами $A, C, D$.

Схема опыта по наблюдению магнитного резонанса для измерения магнитного момента атома

Магнитами $A$ и $D$ создаются сильно неоднородные магнитные поля, градиенты которых направлены противоположно друг другу и перпендикулярно направлению движения пучка. Магнит $C$ создает однородное магнитное поле в перпендикулярном движению пучка направлении. Диафрагма $S$ между магнитами $A$ и $C$ выделяет из потока атомов узкий пучок. Источник атомов $O$ и приемник $\Pi$ атома расположены вдоль оси прибора.

Из источника $O$ атомы испускаются не только параллельно оси, но и под небольшими углами к оси. В отсутствие магнитных полей через диафрагму $S$ проходят лишь атомы, испущенные источником вдоль оси. При включении магнитных полей атомы, испущенные из $O$ вдоль оси, не могут пройти диафрагму $S$, поскольку под действием силы взаимодействия их магнитных моментов с неоднородным магнитным полем они отклоняются от первоначального направления. Однако другие атомы, которые источником $O$ были испущены под некоторым углом, пройдут через диафрагму $S$ (рис. 75). После этого атомы попадают в однородное магнитное поле с индукцией $B_{0}$, в котором их магнитные моменты прецессируют вокруг направления $B_{0}$ с частотами
$\omega_{J}=g_{J} \omega_{L}, \omega_{L}=e B_{0} /\left(2 m_{e}\right)$
[см. (39.13)]. Однако при этой прецессии угол между магнитным моментом и индукцией магнитного поля не изменяется. Пройдя однородное магнитное поле, атом попадает в неоднородное магнитное поле магнита $D$, градиент которого направлен противоположно градиенту магнитного поля магнита $A$. Поскольку угол между магнитным моментом атома и осью $Z$ не изменился, а направление градиента магнитного поля изменилось на обратное, сила, действующая на атом, также изменила свое направление на обратное. Благодаря этому траектория пучка атомов искривляется к оси прибора и при подходящей геометрии прибора и градиентах магнитных полей пучков атомов попадает в приемник $\Pi$ атомов и регистрируется там. Как показывает эксперимент, интенсивность прошедшего пучка в отсутствие магнитных полей и при включенных полях практически одна и та же.
Пусть теперь в области однородного магнитного поля магнита $C$ создано дополнительное магнитное поле, магнитный вектор $B_{1}$ которого вращается в плоскости, перпендикулярной направлению $\mathrm{B}_{0}$ магнитного поля (рис. 76). Благодаря взаимодействию магнитного момента $\mu_{J}$ и дополнительного магнитного поля $\mathrm{B}_{1}$ возникает момент сил
$\mathrm{M}_{1}=\mu_{J} \times \mathrm{B}_{1}$,
который стремится изменить угол между $\mu_{J}$ и $\mathrm{B}_{0}$. Пусть частота вращения $\omega$ дополнительного магнитного поля $\mathrm{B}_{1}$ совпадает с частотой прецессии $\omega_{J}$ атома $\left(\omega=\omega_{J}\right)$ и вращение происходит в том же направлении, что и прецессия. Тогда очевидно, что взаимное расположение $\mu_{J}$ и В $_{1}$ с течением времени остается неизменным и благодаря этому момент силы $\mathrm{M}_{1}$, стремящийся изменить угол между $\mu_{J}$ и $\mathrm{B}_{0}$, действует в одном и том же направлении. Если врашение дополнительного магнитного поля и прецессия происходят в противоположных направлениях, то момент сил (40.3) половину времени стремится увеличить угол между $\mu_{J}$ и $\mathrm{B}_{0}$, а половину времени стремится уменьшить его. В среднем никакого эффекта наблюдаться не будет. То же самое справедливо, если направления вращений совпадают, но частоты не совпадают. В последнем случае, если разность частот невелика, определенный эффект будет наблюдаться, но он слабее, чем когда частоты совпадают.

Если в процессе прохождения однородного магнитного поля $B_{0}$ угол между магнитным моментом атомов и направлением магнитного поля изменяется, то траектория атомов в неоднородном поле магнита также изменяется. Следовательно, соответствующие атомы уже не попадут в приемник $П$ атомов. Таким образом, если снять кривую зависимости тока атомов от частоты вращения дополнительного магнитного поля, то она будет иметь вид, показанный на рис. 77. Кривая имеет резонансный характер и обладает резко выраженным минимумом. Измерив частоту $\omega_{\text {мин }}$ вращающегося поля, соответствующего минимуму тока атомов, мы получаем частоту прецессии $\omega_{J}=\omega_{\text {мин }}$ атомов в однородном магнитном поле. Затем по формуле (40.2) определяем гиромагнитное отношение:
$g_{J}=\omega_{J} / \omega_{L}=\omega_{\text {мин }} / \omega_{L}, \omega_{L}=e B_{0} /\left(2 m_{e}\right)$.
Вместо вращающегося дополнительного магнитного поля можно пользоваться линейно осциллирую$15^{*}$
76
Вращающееся магнитное поле в области магнита $C$
77
Зависимость тока атомов от частоты вращающегося магнитного поля
78
Линейно осциллирующее поле как суперпозиция вращающихся полей
щим магнитным полем. Его можно представить как суперпозицию двух полей, вращающихся в противоположных направлениях (рис. 78). Компонента, направление вращения которой противоположно направлению прецессии атома, никакого действия на атом не производит. Другая компонента поля вращается в том же направлении, что и направление прецессии, и изменяет угол между магнитным моментом атома и направлением магнитного поля. Таким образом, линейно осциллирующее магнитное поле с этой точки зрения полностью эквивалентно вращающемуся полю.

В описанной картине изменения угла между магнитным моментом атома и индукцией магнитного поля мы пользовались классическими понятиями. При квантовом подходе этот процесс интерпретируется следующим образом. Дополнительное осциллирующее магнитное поле эквивалентно наличию квантов электромагнитного излучения $\hbar \omega$, где $\omega$-частота осциллирующего поля. Эти кванты могут быть поглощены атомом, в результате чего в магнитном поле энергия атома
\[
E_{\mathrm{n}}=-\mu_{J} \cdot \mathrm{B}=-\mu_{J z} B_{0}
\]

изменяется. Это изменение может произойти только в результате переориентировки атома в пространстве, т.е. при изменении проекции $\mu_{J z}$ магнитного момента в магнитном поле. Аналогично, атом может излучить квант энергии $\hbar \omega$ и изменить свою ориентировку в магнитном поле. Изменение энергии при переориентировке атома
$\Delta E_{\mathrm{n}}=-B_{0} \Delta \mu_{J z}=-B_{0} g_{J} \mu_{\mathrm{B}} \Delta m_{J}$.
Правило отбора для квантового числа $m_{J}$ :
$\Delta m_{J}=0, \pm 1$.
Поэтому формула (40.6) принимает вид
* Какой основной недостаток метода отклонения атомов в неоднородном магнитном поле? Благодаря чему в резонансном методе вместо вращающегося дополнительного магнитного поля можно пользоваться линейно осциллирующим магнитным полем?
$\Delta E_{\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{l}g_{J} \omega_{L} \check{\hbar}, \\ 0, \\ -g_{J} \omega_{L} \check{h},\end{array}\right.$
где
$B_{0} g_{J} \mu_{\mathrm{B}}=g_{J} \omega_{L} \hbar$.
Очевидно, что поглощение и испускание атомами квантов наиболее интенсивно происходит в том случае, когда энергия квантов $\hbar \omega_{\text {мин }}$ дополнительного поля равна энергии возможной переориентировки атомов:
$\Delta E=\hbar \omega_{\text {мин }}$
Отсюда с учетом (40.8) находим условие резонанса:
$\omega_{\text {мин }}=g_{J} \omega_{L}$,
т.е. условие (40.4), которое в данном случае получено на основе квантовых представлений.
Резонансный метод позволяет с большой точностью определить гиромагнитное отношение $g_{J}$. Если из других опытов известно значение $J$, то магнитный момент
$\mu_{J}=\mu_{\mathrm{B}} g_{J} \sqrt{J(J+1)}$.
Величина $J$ может быть определена либо методом отклонения атомов в неоднородном магнитном поле, либо из оптических наблюдений (см. § 44).
Для вычисления значений орбитального и спинового моментов можно использовать формулу для множителя Ланде:
\[
g_{J}=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2 J(J+1)} .
\]

Величина $S$ в (40.18) может быть определена по мультиплетности спектров (см. § 44). При известных $g_{J}, J, S$ по формуле (40.13) вычисляется $L$. В результате этого известны все квантовые числа атома и спиновый, орбитальный и полный магнитные моменты атома.

Пример 40.1. Рассмотреть квантово-механическими методами поведение полного момента атома водорода в основном состоянии при прохождении магнитного поля между магнитами $C$ (рис. 75 ), считая, что в плоскости $X Y$ действует пульсирующее магнитное поле $\mathbf{B}_{\perp}=B_{10} \cos (\omega t)$ (рис. 78).

Не ограничивая общности, можно считать, что пульсирующее поле коллинеарно оси $X$, т. е. $\mathbf{B}=\left(B_{10} \cos (\omega t)\right.$, $0, B_{0}$ ). В основном состоянии атома водорода $j=1 / 2$, и, следовательно, его полный момент описывается операторами спина (36.5)-(36.7). При анализе поведения магнитного момента можно не учитывать движения атома как целого и при $j=1 / 2$ представить гамильтониан в виде (38.4), в котором
\[
\mathbf{B} \cdot \mathbf{s}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cc}
B_{0} & B_{10} \cos (\omega t) \\
B_{10} \cos (\omega t) & -B_{0}
\end{array}\right) .
\]

Зависящее от времени уравнение Шредингера имеет вид
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\Psi(t)\rangle= \\
=\mu_{\mathrm{B}}\left(\begin{array}{cc}
B_{0} & B_{10} \cos (\omega t) \\
B_{10} \cos (\omega t) & -B_{0}
\end{array}\right)|\Psi(t)\rangle,
\end{array}
\]

где $\mu_{\text {в }}$-магнетон Бора, $|\Psi(t)\rangle$ дается формулами (38.9) и (38.10). Отсюда
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{+}}{i \mathrm{~d} t}=\mu_{\mathrm{B}} B_{0} a_{+}+\mu_{\mathrm{B}} B_{10} \cos (\omega t) a_{-}, \\
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{-}}{i \mathrm{~d} t}=\mu_{\mathrm{B}} B_{10} \cos (\omega t) a_{+}-\mu_{\mathrm{B}} B_{0} a_{-} .
\end{array}
\]

Обозначив $\quad \omega_{0}=2 \mu_{\mathrm{B}} B_{0} / h, \quad \omega_{1}=$ $=2 \mu_{\mathrm{B}} B_{10} / \hbar$ и переходя к новым не-
зависимым переменным
$b_{+}=a_{+} \exp \left(i \omega_{0} t / 2\right), b_{–}=a_{-} \exp \left(-i \omega_{0} t / 2\right)$,
вместо (40.16) получаем
$i \mathrm{~d} b_{+} / \mathrm{d} t=\left(\omega_{1} / 2\right) \cos (\omega t) \exp \left(i \omega_{0} t\right) b$
$i \mathrm{~d} b_{-}^{+} / \mathrm{d} t=\left(\omega_{1} / 2\right) \cos (\omega t) \exp \left(-i \omega_{0} t\right) b_{+}^{(4 .}$.
В произведениях $\cos (\omega t) \exp \left( \pm i \omega_{0} t\right)$ члены с $\exp \left[ \pm i\left(\omega+\omega_{0}\right) t\right]$ быстро осциллируют и вносят малый вклад в $\mathrm{d} b_{ \pm} / \mathrm{d} t$. Ими можно пренебречь по сравнению с членами, в которые входят $\exp \left[ \pm i\left(\omega-\omega_{0}\right) t\right]$. Поэтому с достаточно хорошим приближением уравнения (40.18) можно представить в виде
$i \mathrm{~d} b_{+} / \mathrm{d} t=\left(\omega_{1} / 4\right) \exp \left[i\left(\omega_{0}-\omega\right) t\right] b_{-}$
$i \mathrm{~d} b_{-}^{+} / \mathrm{d} t=\left(\omega_{1} / 4\right) \exp \left[-i\left(\omega_{0}-\omega\right) t\right] b_{+}$?
Посредством перехода в (40.19) к уравнению второго порядка находим решение этой системы
$b_{+}=A_{1} \exp \left(i \omega_{+} t\right)+A_{2} \exp \left(i \omega_{-} t\right)$,
$b_{-}^{+}=-\left(4 / \omega_{1}\right)\left[A_{1} \omega_{+} \exp \left(i \omega_{+} t\right)+\right.$
$\left.+A_{2} \omega_{\ldots} \exp \left(i \omega_{-} t\right)\right] \exp \left[i\left(\omega-\omega_{0}\right) t\right]$,
где $A_{1}$ и $A_{2}$-постоянные интегрирования,
$\omega_{ \pm}=1 / 2\left\{\left(\omega_{0}-\omega\right) \pm\right.$
$\left.\pm\left[\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\omega_{1}^{2} / 4\right]^{1 / 2}\right\}$.
При начальных условиях $b_{+}(0)=1$, $b_{-}(0)=0$ из (40.20) находим
$A_{1}=\omega_{-} /\left(\omega_{-}-\omega_{+}\right), A_{2}=-\omega_{+} /\left(\omega_{-}-\omega_{+}\right)$,
и, следовательно, вероятности $\mathscr{P}_{+}(t)$ и $\mathscr{P}_{-}(t)$ ориентировки момента атома в положительном и отрицательном направлениях оси $Z$ даются выражениями
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}_{+}(t)=b_{+}^{*} b_{+}=\cos ^{2}(\Omega t / 2)+ \\
+\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}\left[\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\omega_{1}^{2} / 4\right]^{-1} \sin ^{2}(\Omega t / 2),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P} \ldots(t)=b_{-}^{*} b_{-}=\left(\omega_{1}^{2} / 4\right)\left[\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\right. \\
\left.+\omega_{1}^{2} / 4\right]^{-1} \sin ^{2}(\Omega t / 2),
\end{array}
\]

где
\[
\Omega=\omega_{+}-\omega_{-}=\left[\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\omega_{1}^{2} / 4\right]^{1 / 2}
\]

характеризует частоту изменений ориентации момента вдоль оси $Z$.

При $B_{10} \ll B_{0}, \quad \omega_{1} \ll \omega_{0}$ вероятность $\mathscr{P}-(t)$ в максимуме существенно отлична от нуля лишь при $\omega \rightarrow \omega_{0}$ и достигает единицы при $\omega=\omega_{0}$. Видно, что энергия кванта поля при этом $\Delta E=\hbar \omega_{0}=2 \mu_{\mathrm{B}} B_{0}$

равна разности энергий между состояниями двухуровневой системы
$(2 J+1=2)$ с полным моментом $J=1 / 2$. В общем случае при не равном нулю полном моменте атома имеется $2 J+1$ уровней энергии. Резонансы осуществляются при таких частотах осциллирующего поля, при которых энергия квантов поля равна разности энергий между различными энергетическими уровнями системы, как это было пояснено выше в рамках полуклассической картины взаимодействия магнитного момента с магнитным полем. Математически задача в этом случае сводится к решению системы $2 J+1$ уравнений.