Записывается уравнение Гельмгольца для волны де Бройля, характеризующей движение частицы в потенциальном поле.

Уравнение Гельмгольца для волн де Бройля. Уравнение Гельмгольца (5.3) описывает волны разнообразной природы в однородных средах и вакууме с постоянной частотой. Постоянство длины волны не предполагается. Поэтому представляется разумным применить это уравнение для описания волн де Бройля, характеризующих волновые свойства корпускул.
Соотношение де Бройля
\[
E=\hbar \omega
\]

показывает, что условие $\omega=$ const
** Уравнение Гельмгольца успешно описывает волны разнообразной природы. Оно было успешно применено для анализа явпений дифракции эпектромагнитных волн. Это делает вероятным успешность применения уравнения Гельмгольца для описания волн де Бройля.
* При каких условиях можно применять уравнение Гельмгольца для описания волн?
влечет за собой удовлетворение равенства $E=$ const. Следовательно, уравнение Гельмгольца можно применить для волн де Бройля при описании движения корпускул в потенциальных полях, когда их полная энергия постоянна:
$E=p^{2} /(2 m)+E_{\mathrm{n}}=$ const,
где $p^{2} /(2 m)=E_{\mathrm{k}}-$ кинетическая и $E_{\mathrm{п}}$ потенциальная энергия корпускулы. Из соотношения де Бройля
$\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$
с учетом (10.2) следует равенство
$k^{2}=\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E \cdots E_{\pi}\right)$.
Подставляя выражение (10.4) для $k^{2}$ в (5.3), получаем уравнение
$
abla^{2} \Psi(\mathbf{r})+\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E-E_{\mathbf{n}}\right) \Psi(\mathbf{r})=0$,
называемое стационарным уравнением Шредингера.
Уравнение ШІредингера. Изложенные в § 5 и в начале этого параграфа соображения делают весьма вероятным предположение, что уравнение (10.5) правильно описывает движение корпускул с учетом их волновых свойств. Однако правильность этого предположения может быть подтверждена лишь согласием выводов из этого уравнения с результатами эксперимента.
Уравнение (10.5) является уравнением в частных производных, которое имеет решение для непрерывной, однозначной и конечной во всех точках функции $\Psi(\mathrm{r})$ не при всех значениях $E$, а лишь при определенных значениях, называемых собственными.
Шредингер после формулировки этого уравнения сразу же применил его к атому водорода и получил для собственных значений энергии спектр, точно совпадающий со спектром атома водорода по старой теории Бора, который с большой точностью совпадал со всеми известными экспериментальными данными. Так было показано, что уравнение (10.5) действительно правильно описывает движение электрона в потенциальном электрическом поле.

Оно было принято в качестве основного уравнения стационарных состояний квантовой механики практически сразу же после его опубликования Шредингером. Однако интер-
претация физического содержания этого уравнения явилась предметом многочисленных работ и дискуссий, продолжающихся до настоящего времени. В частности, важным является вопрос о физическом смысле функции $\Psi(\mathbf{r})$, которая называется волновой функцией. Если функцию Ф(r) в (5.3) интерпретировать так, как в § 5, то $|\Psi(\mathbf{r})|^{2}$ при соответствующей нормировке следует считать плот ностью вероятности нахождения частичы в точке $\mathbf{r}$.