Обсуждаются уравнения де Бройля и свойства волн де Бройля. Показывается несостоятельность представления о частице как о волновом пакете.

Уравнения де Бройля. Наличие у света корпускулярных свойств в течение длительного времени оставалось незамеченным. После обнаружения у электромагнитных волн корпускулярных свойств возникает вопрос, не обладают ли, в свою очередь, мате-
риальные частицы волновыми свойствами. Утвердительный ответ на этот вопрос дал де Бройль, выдвинув гипотезу, что все материальные частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Необходимо было вывести соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц. Ясно, что эти соотношения должны быть релятивистски инвариантными.
Состояние движения материальной частицы характеризуется четырехмерным вектором энергииимпульса $\left(p_{x}, p_{y}, p_{z}, i E / c\right)$. Плоская волна характеризуется совокупностью величин ( $k_{x}, k_{y}, k_{z}, i \omega / c$ ), которые также образуют четырехмерный вектор. Релятивистски инвариантное соотношение между этими двумя векторами должно иметь следующий вид:
$\frac{p_{x}}{k_{x}}=\frac{p_{y}}{k_{y}}=\frac{p_{z}}{k_{z}}=\frac{E}{\omega}=h^{\prime}$,
где $h^{\prime}$ – некоторая постоянная, или
$E=h^{\prime} \omega, \quad \mathbf{p}=h^{\prime} \mathbf{k}$,
где $\mathbf{p}$ и $\mathbf{k}$-трехмерный вектор импульса частицы и волновой вектор. Де Бройль отождествил постоянную $h^{\prime}$ в (8.2) с универсальной постоянной $\bar{\hbar}$, входящей в формулы (1.2) и (1.7), т.е. принял, что
$h^{\prime}=\hbar$,
где $\hbar=1,05 \cdot 10^{-34}$ Дж сс – постоянная Планка. Основанные на этом предположении эксперименты в последующем полностью это обосновали. Соотношения
$E=\hbar \omega$,
$\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$,
выражающие связь между корпускулярными и волновыми свойствами частиц, называются уравнениями де Бройля.

Плоские волны и фазовая скорость. Из оптики известно, что плоская волна с частотой $\omega$ и волновым вектором $\mathbf{k}$ может быть представлена в комплексной форме в виде функции $\Psi(\mathbf{r}, t)=A \mathrm{e}^{-t(\omega t-\mathbf{k} \mathbf{r})}$,
где $A$-амплитуда волны. На основании уравнений (8.4) и (8.5) можно сказать, что волновые свойства частицы, имеющей импульс р и энергию $E$, описываются плоской волной
$\Psi(\mathbf{r}, t)=A \mathrm{e}^{-\frac{1}{\hbar}(E t-\mathbf{p} \mathbf{r})}$.
Фазовой скоростью волны называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной фазой. Если ось $X$ направлена по вектору $\mathbf{p}$, то условие постоянства фазы $E t$ $-p x=$ const. Фазовая скорость волн де Бройля вычисляется в результате дифференцирования этого уравнения по времени:
$E-p \mathrm{~d} x / \mathrm{d} t=0$,
откуда
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v_{\phi}=E / p=\frac{m c^{2}}{m v}=c \frac{c}{v}$,
где $v$-скорость частицы.
Бройль Луи Внктор де (1892-1987) Французский физик, один из создателей квлнтовой теории Открыл волновую природу электрона Автор работ по теории атомного ядра, распространения электромагнитных волн в волноводах, истории и методологии физики
34
Распределение амплитуд в группе волн
Так как $v<c$, то
фазовая скоросіь волн де Бройля всегда больше скорости света.
Однако это не составляет какого-либо противоречия с теорией относительности, которая запрецает существование скоростей, бо́льших скорости света. Утверждение теории относительности справедливо лишь для процессов, связанных с переносом массы и энергии. Фазовая же скорость волны не характеризует скорость переноса энергии и массы частицы. Их перенос характеризуется скоростью частицы, которая определяется не фазовой, а групповой скоростью волн де Бройля.
Волновой пакет и групповая скорость. Из плоских волн можно построить группу волн, т.е. совокупность волн, волновые числа которых $k$ заключены в достаточно узком интервале. Математически эту группу волн можно представить следующим образом:
\[
\Psi(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) \mathrm{e}^{-\imath[\omega(k) t-k x]} \mathrm{dk},
\]

где $A(k)$ отлична от нуля лишь в узком интервале волновых чисел $\left(k_{0}-\varepsilon, k_{0}+\varepsilon\right)$ (рис. 34). Множитель $1 /(2 \pi)$ введен для того, чтобы согласовать выражение (8.10) с обозначениями, принятыми в теории интегралов Фурье.

Волновой пакет, представляемый функцией (8.10), зависит от $(x, t)$. Он отличается от нуля в некоторой области значений $x$, а его форма и размеры меняются с течением времени. Из общих свойств преобразований Фурье можно сделать заключение о длине волнового пакета в пространстве:
чем в более узком интервале волновых чисел амплитуда $A(k)$ в (8.10) отлична от нуля, тем больше пространственные размеры волнового пакета.

Если амплитуда $A(k)$ отлична от нуля в достаточно малом интервале значений волнового числа $k$ вблизи $k_{0}$, то функцию $\omega(k)$ можно разложить в ряд Тейлора в точке $k_{0}$ и ограничиться первым членом по $k-$ $-k_{0}$ :
$\omega(k)=\omega_{0}+\left(k-k_{0}\right) \mathrm{d} \omega_{0} / \mathrm{d} k_{0}$,
где $\omega_{0}=\omega\left(k_{0}\right), \mathrm{d} \omega_{0} / \mathrm{d} k_{0}=\mathrm{d} \omega /\left.\mathrm{d} k\right|_{k=k_{0}}$.
Тогда [см. (8.10)]
$\Psi=\exp \left\{-i\left[\omega_{0}-k_{0}\left(\mathrm{~d} \omega_{0} / \mathrm{d} k_{0}\right)\right] t\right\} \times$
$\times \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) \exp \left[i k\left(x-\frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}} t\right)\right] \mathrm{d} k$.
Формула (8.10) при $t=0$ принимает вид
** Волна де Бройля описывает волновые свойства микрочастиц, но не свидетельствует о возможности представления микрочастиц волнами. Микрочастицы нельзя также представить волновым пакетом Волны де Бройля обпадают дисперсией в свободном пространстве (в вакууме). Групповая скорость волны де Бройпя равна скорости микрочастицы, а еe фазовая скорость всегда больше скорости света.
* Каково универсальное соотношение между групповой и фазовой скоростями волн де Бройля?
$\Psi(x, 0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) \mathrm{e}^{i k x} \mathrm{~d} k$,
где $\Psi(x, 0)$ описывает волновой пакет в пространстве в начальный момент времени. Из (8.13) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) \exp \left[i k\left(x-\frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}} t\right)\right] \mathrm{d} k= \\
=\Psi\left(x-\frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}} t, 0\right) .
\end{array}
\]

Тогда [см. (8.12)]
\[
\begin{array}{l}
\Psi(x, t)=\Psi\left(x-\frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}} t, 0\right) \times \\
\times \exp \left[-i\left(\omega_{0}-k_{0} \frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}}\right) t\right] .
\end{array}
\]

Амплитуда этого волнового пакета
$|\Psi(x, t)|=\left|\Psi\left(x-\frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}} t, 0\right)\right|$.
Следовательно, волновой пакет в первом приближении движется без изменения формы.

Скорость его движения определяется дифференцированием по $t$ условия постоянства аргумента функции в правой части (8.16):
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(x-\frac{\mathrm{d} \omega_{0}}{\mathrm{~d} k_{0}} t\right)=0$.
Она называется групповой скоростью волнового пакета и равна
\[
v_{\mathrm{r}}=\mathrm{d} \omega /\left.\mathrm{d} k\right|_{k=k_{0}} .
\]

Для волн де Бройля
\[
v_{\mathrm{r}}=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k=\mathrm{d} E / \mathrm{d} p .
\]

Учитывая, что $E=c \sqrt{p^{2}+m_{0}^{2} c^{2}}$, получаем

\[
\begin{array}{l}
v_{\mathrm{r}}=c p / \sqrt{p^{2}+m_{0}^{2} c^{2}}=c^{2} p / E= \\
=c^{2} m v /\left(m c^{2}\right)=v .
\end{array}
\]

Групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы, свойства которой описываются посредством этих волн.

Сравнение (8.20) с (8.9) приводит к весьма важному универсальному соотношению между фазовой и групповой скоростями волн де Бройля:
\[
v_{\phi} v_{\mathrm{r}}=c^{2} \text {. }
\]

Формула (8.20) наводит на мысль представить частицу в виде волнового пакета. Такая идея кажелся очень привлекательной, потому что в одном образе объединяет волну и частицу, но она несостоятельна.

Несостоятельность гипотезы волнового пакета. Главный аргумент против этой гипотезы заключается в следующем. Частица является стабильным образованием. В процессе своего движения частица как таковая не изменяется. Такими же свойствами должен обладать и волновой пакет, претендующий представлять частицу. Поэтому надо потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою пространственную форму или по меньшей мере сохранял свою ширину. Однако именно этим необходимым свойством волновой пакет не обладает: только в первом приближении, как это видно из (8.15), он сохраняет свою форму и ширину. Учет следующих членов в разложении (8.11) показывает, что волновой пакет с течением времени расплывается и не сохраняет ни свою форму, ни ширину. Причиной расплывания волнового пакета является дисперсия фазовых скоростей составляющих его волн, вследствие чего более быстрые волны уходят вперед, а более медленные отстают от волн со средней ско-
ростью. Поэтому
представление частицы в виде волнового пакета несостоятельно.
Однако такое заключение справедливо лишь для волн, описываемых линейными уравнениями. Для нелинейных волн ситуация другая-возможны уединенные волны («солитоны»), которые пространственно сосредоточены в малой области пространства и распространяются без изменения своей формы и размеров. Хотя солитоны были открыты более 100 лет назад, особенно большой интерес возник к ним в настоящее время в связи с решением некоторых задач квантовой механики. Затем солитонные решения были найдены во многих явлениях, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Солитоны также рассматривались в качестве кандидатов на роль частиц. Однако достаточно удовлетворительных результатов в этом направлении не получено.