Излагается метод получения приближенных собственных значений ие зависящего от времени оператора Гамильтона и соответствующих собственных функций в случае невырожденных собственных значений.

Постановка задачи. Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии и от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве случаев решение уравнения — сложная математическая задача, которая не может быть выполнена с помощью изученных в математике функций. Поэтому часто приходится применять приближенные методы решения задач, т.е. находить собственные значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим из приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений.

Оператор возмущения. Представим оператор Гамильтона системы в виде суммы двух операторов:
\[
\hat{H}=\hat{H}^{(0)}+\hat{V} \text {, }
\]

причем точное решение задачи для оператора Гамильтона $\hat{H}^{(0)}$ предполагается известным, т.е. известны собственные функции и собственные значения уравнения:
\[
\hat{H}^{(0)} \Psi_{n}^{(0)}=E_{n}^{(0)} \Psi_{n}^{(0)} .
\]

Если бы оператор $\hat{V}$ в (41.1) был равен нулю, то решение задачи свелось бы к уравнению (41.2). Однако в действительности оператор не равен нулю и необходимо решить уравнение $\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V}\right) \Psi=E \Psi$.
Теория возмущений позволяет сделать это приближенно в предположении «малости» оператора V, который называется возмущением. Математический критерий «малости» оператора $\hat{V}$ будет выяснен в дальнейшем. По смыслу задачи ясно, что этот оператор можно считать «малым» в том случае, когда собственные значения уравнения (41.3) мало отличаются от собственных значений уравнения (41.2) и собственные функции уравнения (41.3) во всех точках пространства мало отличаются от соответствующих собственных функций уравнения (41.2). Таким образом, задача теории возмущений состоит в том, чтобы исходя из известных собственных значений и собственных функций уравнения (41.2) найти с определенной степенью точности собственные значения и собственные функции уравнения (41.3).
В этом параграфе рассмотрен случай, когда собственные значения уравнения (41.2) являются невырожденными и гамильтониан не зависит от времени.
Вычисление поправок к собственным функциям и собственным значениям. Будем искать ту собственную функцию и собственное значение уравнения (41.3), которые при $\hat{V}=0$ переходят в собственную функцию $\Psi_{m}^{(0)}$ и собственное значение $E_{m}^{(0)}$ невозмущенного уравнения (41.2). Обозначим эти искомые собственные функции и собственные значения $\Psi_{m}$ и $E_{m}$. Разложим искомую собственную функцию $\Psi_{m}$ по собственным функциям $\Psi_{n}^{(0)}$ невозмущенного уравнения (41.2):
$\Psi_{m}=\sum_{n} C_{n} \Psi_{n}^{(0)}$.
Подставляя это разложение в уравнение (41.3), находим
\[
\sum_{n}\left(E_{m}-\hat{H}^{(0)}\right) C_{n} \Psi_{n}^{(0)}=\sum_{n} \hat{V} C_{n} \Psi_{n}^{(0)} .
\]

Умножая обе части (41.5) на $\Psi_{k}^{(0) *}$ и интегрируя по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функций, получаем
$C_{k}\left(E_{m}-E_{k}^{(0)}\right)=\sum_{n} V_{k n} C_{n}$,
где
$V_{k n}=\int \Psi_{k}^{(0) *} \hat{V} \Psi_{n}^{(0)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$
— матричные элементы оператора возмущения, вычисленные с помощью невозмущенных функций.

Представим искомые величины $E_{m}$ и $C_{n}$ в виде разложений в ряд
$E_{m}=E_{m}^{(0)}+E_{m}^{(1)}+E_{m}^{(2)}+\ldots$,
$C_{n}=C_{n}^{(0)}+C_{n}^{(1)}+C_{n}^{(2)}+\ldots$,
считая $E_{m}^{(1)}$ и $C_{n}^{(1)}$ величинами того же порядка малости, что и матричные элементы возмущения; $E_{m}^{(p)}$ и $C_{n}^{(p)}$ считаются величинами $p$-го порядка малости относительно матричных элементов возмущения.

Подставляя разложения (41.7) и (41.8) в (41.6) и приравнивая между собой величины одного и того же порядка малости, получаем
\[
\begin{array}{l}
C_{k}^{(0)}\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)=0, \quad(41.9 \mathrm{a}) \\
C_{k}^{(0)} E_{m}^{(1)}+C_{k}^{(1)} E_{m}^{(0)}-C_{k}^{(1)} E_{k}^{(0)}=\sum_{n} V_{k n} C_{n}^{(0)}, \\
C_{k}^{(0)} E_{m}^{(2)}+C_{k}^{(1)} E_{m}^{(1)}+C_{k}^{(2)} E_{m}^{(0)}-C_{k}^{(2)} E_{k}^{(0)}= \\
=\sum_{n} V_{k n} C_{n}^{(1)}, \\
. . . .9 \mathrm{~B}) \\
\text {. . . . }
\end{array}
\]

Эта система уравнений может быть решена методом последовательных приближений. Решение уравнения (41.9a):
$C_{k}^{(0)}=\delta_{k m}, E_{m}^{(0)}=E_{m}^{(0)}$.
Подставляя (41.10) в (41.9б), получаем
\[
\delta_{k m} E_{m}^{(1)}+C_{k}^{(1)}\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)=V_{k m} .
\]

При $k=m$ из (41.11) находим первую
поправку к собственной энергии:
$E_{m}^{(1)}=V_{m m}$,
а при $k
eq m$-коэффициенты
$C_{k}^{(1)}=V_{k m} /\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)$.
Коэффициент $C_{m}^{(1)}$ этой формулой не определяется. Он может быть найден из условия нормировки, имеюшего с точностью до величин первого порядка малости следующий вид:
$\int\left|\Psi_{m}^{(0)}+\Psi_{m}^{(1)}\right|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=1+C_{m}^{(1)}+C_{m}^{(1) *}=1$,
T. e.
$C_{m}^{(1)}+C_{m}^{(1) *}=0$.
При выводе (41.14) принято во внимание, что если коэффициенты $C_{n}$ в разложении (41.4) выразить в виде рядов (41.8), то искомая функция
$\Psi_{m}=\sum_{i=0}^{\infty} \Psi_{m}^{(i)}$,
где
$\Psi_{m}^{(i)}=\sum_{n} C_{n}^{(i)} \Psi_{n}^{(0)}$
— поправка $i$-го порядка малости к искомой волновой функции. Мнимая часть в коэффициенте определяет фазу волновой функции. Фаза волновой функции несущественна. Не ограничивая общности, эту мнимую часть можно считать равной нулю, а из (41.15) следует
$C_{m}^{(1)}=0$.
С учетом (41.13) поправка к волновой функции в первом приближении может быть представлена в виде
$\Psi_{m}^{(1)}=\sum_{n}^{\prime} \frac{V_{n m}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}} \Psi_{n}^{(0)}$,
где штрих означает, что в этой сумме член с $n=m$ отсутствует. Очевидно, что требование «малости» возмущения имеет вид

\[
\left|V_{n m}\right|\left\langle\left\langle\left|E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right|,\right.\right.
\]
т. е. матричные элементы энергии возмущения должны быть малыми по сравнению с разностями соответствующих невозмущенных уровней энергии. Следующая поправка к собственному значению энергии находится в результате решения уравнения (41.9в). Подставив в это уравнение величины нулевого и первого порядков из (41.10), (41.12) и (41.13), получаем
\[
\begin{array}{l}
\delta_{k m} E_{m}^{(2)}+\frac{V_{k m} V_{m m}\left(1-\delta_{k m}\right)}{E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}+ \\
+C_{k}^{(2)}\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)=\sum_{n}^{\prime} \frac{V_{k n} V_{n m}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}},
\end{array}
\]

где член $1-\delta_{k m}$ учитывает условие (41.16). Отсюда находим
\[
E_{m}^{(2)}=\sum_{n}^{\prime} \frac{V_{m n} V_{n m}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}} \quad(k=m),
\]

где штрих у знака суммы означает, что член с $n=m$ в этой сумме отсутствует. Следует отметить, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Это видно из формулы (41.20), поскольку в случае основного состояния $E_{m}^{(0)}$ является минимальной энергией и все члены в сумме отрицательны.

При $k
eq m$ из формулы (41.19) получаются выражения для $C_{k}^{(2)}$, а с их помощью-выражения для собственных функций с точностью до величин второго порядка малости. Тогда
\[
\begin{array}{l}
C_{k}^{(2)}=-\frac{V_{m n} V_{k m}}{\left(E_{k}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}+ \\
+\sum_{n}^{\prime} \frac{V_{k n} V_{n m}}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left(E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)} \\
(k
eq m, n
eq m) .
\end{array}
\]

Выписанные выше формулы без труда обобщаются на случай непрерывного спектра собственных значе-
ний: вместо сумм в соответствуюших формулах следует понимать интегралы по значениям энергии непрерывного спектра. Если спектр собственных значений частично дискретен, частично непрерывен, то в соответствующих формулах имеется сумма по дискретному спектру энергии, а интеграл-по непрерывному спектру энергии. Например, вместо (41.17) получается формула
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{m}^{(1)}=\sum_{n}^{\prime} \frac{V_{n m}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}} \Psi_{n}^{(0)}+ \\
+\int \frac{V_{v m}}{E_{m}^{(0)}-E_{v}^{(0)}} \Psi_{v}^{(0)} \mathrm{d} v,
\end{array}
\]

где $v$-совокупность величин, полностью определяющих состояние; $E_{v}$ собственное значение энергии состояния, характеризуемого совокупностью величин $v ; E_{v}^{(0)}$ принадлежит непрерывному спектру собственных значений, $\Psi_{v}^{(0)}$-соответствующая волновая функция непрерывного спектра собственных значений.

Пример 41.1. Рассмотреть в первом (борновском) приближении упругое рассеяние заряженной частицы при столкновении с неподвижным силовым центром.

Постановка задачи в теории столкновений. Если параллельный пучок частиц, например электронов, падает на некоторую частицу, например атом, то в результате взаимодействия с этим атомом частицы пучка могут, во-первых, изменить направление своего движения и, во-вторых, претерпеть изменение энергии. Если столкновение произошло без изменения энергии сталкивающихся частиц, то говорят об упругом столкновении (рассеянии). Столкновение с изменением энергии сталкивающихся частиц называется неупругим.

В опыте измеряется число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол $\mathrm{d} \Omega$ в направлении, составляющем угол $\theta$ с первоначальным направлением движения частиц (см. рис. 47). Если ось $Z$ сферической системы координат направить вдоль первоначального направления движения рассеиваемых частиц, а начало координат совместить с рассеивающим центром, то направление движения частиц после рассеивания может быть охарактеризовано полярным углом $\theta$ и азимутальным углом $\varphi$. Пусть число частиц, рассеянных в указанный угол в единицу времени с потерей энергии $\varepsilon$, равно $\mathrm{d} N_{\varepsilon}$. Это число, очевидно, пропорционально числу $N$ частиц, падающих в единицу времени на единицу площади в первоначальном потоке, и пропорционально телесному углу $\mathrm{d} \Omega$. Таким образом,
\[
\mathrm{d} \sigma_{\varepsilon}=\mathrm{d} N_{\varepsilon} / \mathrm{d} N=q(\varepsilon, \theta, \varphi) \mathrm{d} \Omega,
\]

где $q(\varepsilon, \theta, \varphi)$-коэффициент пропорциональности, $\mathrm{d} \sigma_{\varepsilon}$ имеет размерность площади и называется дифференциальным эффективным сечением для неупругого рассеяния в угол $\mathrm{d} \Omega$ с потерей энергии є. Величина
\[
\sigma_{\varepsilon}=\int \mathrm{d} N_{\varepsilon} / N=N_{\varepsilon} / N=\int q(\varepsilon, \theta, \varphi) \mathrm{d} \Omega,
\]

где интеграл взят по полному телесному углу, называется полным эффективным сечением неупругого рассеяния с потерей энергии є. Очевидно, что
\[
N_{\varepsilon}=N \sigma_{\varepsilon}
\]
— число частиц, отнесенных к единице времени, которые при столкновении потеряли энергию $\varepsilon$ [концентрация частиц первоначального потока равна $N=N$ частиц $/\left(\mathrm{M}^{2} \cdot\right.$ с) $\left.)\right]$.

Таким образом, задачей теории столкновений является вычисление дифференциального эффективного се-
чения, знание которого позволяет полностью характеризовать распределение рассеянных частиц по углам и энергиям.
Борновское приближение. Рассмотрим упругое рассеяние, когда в результате столкновения энергия частиц не изменяется. В этом случае можно не принимать во внимание внутреннюю структуру атома и считать его точечным силовым центром, в поле которого происходит движение рассеиваемых частиц. Пусть это поле является сферически-симметричным. Обозначим $E_{\mathrm{n}}(r)$ потенциальную энергию рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Уравнение Шредингера в этом случае
$\left[\hat{p}^{2} /(2 m)+\mathrm{E}_{\mathrm{n}}(r)\right] \Psi=E \Psi$.
Потенциальная энергия $E_{n}(r)$ определена с точностью до произвольной постоянной. Эту произвольную постоянную можно выбрать так, чтобы на бесконечности потенциальная энергия обращалась в нуль $\left(E_{\text {п }}(\infty)=0\right.$ ). Частица после рассеяния уходит на бесконечность лишь в том случае, когда ее полная энергия больше нуля. Таким образом, при решении уравнения (41.26) нас интересует случай $E>0$. Обозначив
$k^{2}=2 m E / \hbar^{2}, \quad V(r)=2 m E_{\mathrm{n}}(r) / \hbar^{2}$,
где $m$-масса рассеиваемой частицы, можно уравнение (41.26) записать в виде
$
abla^{2} \Psi+k^{2} \Psi=V(r) \Psi$.
После рассеяния, удалившись на достаточно большое расстояние от рассеивающего центра, рассеиваемые частицы движутся как свободные вдоль радиусов, проведенных от рассеивающего центра. Поэтому после рассеивания движение частиц описывается расходящейся волной. Падающие частицы до рассеяния, очевидно, описываются плоской волной. Следовательно, интересующее нас решение уравнения (41.28) является суперпозицией падающей плоской волны $\Psi_{0}$ и рассеянной волны $Ф$ :
\[
\Psi=\Psi_{0}+\Phi .
\]

Выбирая ось $Z$ системы координат в направлении движения потока частиц до рассеивания, можно функцию $\Psi_{0}$ представить в виде
$\Psi_{0}=L^{-3 / 2} \mathrm{e}^{i k z}$,
где $L$-размер куба периодичности, который удобно выбрать равным $L=1$ м. При такой нормировке поток падающих частиц на основании (25.21a) равен
\[
N=j_{2} / \mathrm{e}=p / m=v\left(\mathrm{c}^{-1} \cdot \mathrm{M}^{-2}\right) .
\]

На больших расстояниях $r$ от рассеивающего центра функция Ф имеет вид сферической расходящейся волны:
$\Phi_{r \rightarrow \infty}(r, \theta)=A(\theta) \frac{\mathrm{e}^{i k r}}{r}$,
где $A(\theta)$-амплитуда рассеянной волны, которая из-за центральной симметрии рассеивающего поля не зависит от угла $\varphi$. Ток рассеянных частиц на основании формулы (25.21a) равен
\[
j_{r}=\frac{i e \hbar}{2 m}\left(\Phi \frac{\partial \Phi^{*}}{\partial r}-\Phi^{*} \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right)=\frac{e v|A(\theta)|^{2}}{r^{2}},
\]

и, следовательно, число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол $\mathrm{d} \Omega$,
\[
\mathrm{d} N=\left(j_{r} / e\right) r^{2} \mathrm{~d} \Omega=v|A(\theta)|^{2} \mathrm{~d} \Omega .
\]

Поэтому на основании (41.23) и (41.31) имеем
\[
\mathrm{d} \sigma(\theta)=q(\theta) \mathrm{d} \Omega=\mathrm{d} N / N=|A(\theta)|^{2} \mathrm{~d} \Omega .
\]

Таким образом, для нахождения дифференциального эффективного сечения необходимо вычислить амплитуду рассеянной волны. В борновском приближении эта амплитуда вычисляется с помощью теории возмущений, когда в качестве возмущения берется потенциальная энергия рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Подставляя (41.29) в (41.28) и пренебрегая $V \Phi$ как величиной второго порядка малости, получаем для определения Ф уравнение
\[

abla^{2} \Phi+k^{2} \Phi=V \Psi_{0} .
\]

Его решение хорошо известно из курса дифференциальных уравнений:
\[
\Phi(r)=-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{V\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \Psi_{0}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \mathrm{e}^{i \mathbf{k} \cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r})}}{\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right|} \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime},
\]

где $\mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}$ — элемент объема интегрирования, радиус-вектор которого $\mathbf{r}^{\prime}$. В этом решении автоматически учтены только расходящиеся волны.

Для нахождения амплитуды $A(\theta)$ надо получить для $\Phi(\mathbf{r})$ асимптотическое выражение при больших значениях $r$. Обозначим $\mathbf{n}_{0}$ единичный вектор в направлении оси $Z$, а $\mathbf{n}=$ $=\mathbf{r} / r$ — единичный вектор в направлении движения частицы после рассеяния (см. рис. 47). Тогда
\[
\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right|=\sqrt{\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)^{2}}=\left(r^{2}+r^{\prime 2}-2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime}\right)^{1 / 2} .
\]

Поэтому для $r \gg r^{\prime}$
\[
\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right| \approx r-\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}^{\prime}+\ldots,
\]

где многоточием обозначены члены порядка $r^{\prime} / r$ и выше. Подставляя (41.38) в (41.37) и пренебрегая в знаменателе $\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}^{\prime}$ по сравнению с $r$, получаем при больших $r$
\[
\Phi(\mathbf{r})=-\frac{1}{4 \pi} \frac{\mathrm{e}^{i k r}}{r} \int \mathrm{e}^{i k\left(\mathbf{n}_{0}-\mathbf{n}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime}} V\left(\mathbf{r}^{\prime}\right): \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime},
\]

где учтено значение $\Psi_{0}(\mathbf{r})$ по (41.30) и принято во внимание, что $z^{\prime}=\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{n}_{0}$. Сравнение (41.39) с (41.32) показывает, что
$A(\theta)=-\frac{1}{4 \pi} \int \mathrm{e}^{i k\left(\mathbf{n}_{0}-\mathbf{n}\right) \mathbf{r}^{\prime}} V\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}$.
Удобно ввести обозначение
$\mathbf{K}=k\left(\mathbf{n}_{0}-\mathbf{n}\right),|\mathbf{K}|=K=k\left|\mathbf{n}_{0}-\mathbf{n}\right|=$
$=2 k \sin (\theta / 2)$.
Тогда (41.40) с учетом (41.27) можно записать в виде
\[
A(\theta)=-\frac{1}{4 \pi} \frac{2 m}{\hbar^{2}} \int \mathrm{e}^{i \mathrm{~K}} \mathbf{r}^{\prime} E_{\mathrm{n}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime} .
\]

На основании (41.35) дифференциальное эффективное сечение равно
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} \sigma(\theta)}{\mathrm{d} \Omega}=q(\theta)=\frac{1}{16 \pi^{2}}\left(\frac{2 m}{\hbar^{2}}\right)^{2} \times \\
\times\left|\int \mathrm{e}^{\prime \mathrm{K} \mathrm{r}^{\prime}} E_{\mathrm{n}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}\right|^{2} .
\end{array}
\]

Не вдаваясь в подробности условий применимости приближения Борна, отметим лишь, что это приближение всегда пригодно при достаточно большой энергии рассеиваемых частиц.

Формула Резерфорда. Приближение Борна можно использовать для нахождения рассеяния частиц кулоновским центром (см. §14). Потенциальная энергия $\alpha$-частица, заряд которой $2 e$, в поле ядра номера $Z$ имеет вид
$E_{\mathrm{п}}(r)=2 \mathrm{Z} e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)$.
Подставляя (41.44) в (41.42), находим $A(\theta)=-\frac{m_{1} Z e^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} \hbar^{2}} \int \frac{\mathrm{e}^{\prime \mathrm{K} r^{\prime}}}{r^{\prime}} \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}$,
где $m_{1}$ — масса $\alpha$-частицы. Для вычисления этого интеграла ось $Z$ сферической системы координат направим вдоль вектора K. Тогда
$I=\int \frac{\mathrm{e}^{i \mathbf{K} \mathrm{r}}}{r^{\prime}} \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=$
\[
=\int_{0}^{\infty} \mathrm{d} r^{\prime} r^{\prime 2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \varphi^{\prime} \int_{0}^{\pi} \sin \theta^{\prime} \mathrm{d} \theta^{\prime} \frac{\mathrm{e}^{i \mathrm{~K} r^{\prime} \cos \theta^{\prime}}}{r^{\prime}},
\]

где $\theta^{\prime}$ — угол между $\mathbf{K}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$. Интегрируя (42.46) по $\varphi^{\prime}$ и по углу $\theta^{\prime}$, находим $I=(4 \pi / K) \int_{0}^{\infty} \sin \left(K r^{\prime}\right) \mathrm{d} r^{\prime}$.
Этот интеграл не является сходящимся в обычном смысле. Однако его можно представить как предел другого интеграла, сходящегося в обычном смысле, с помощью формулы
\[
\int_{0}^{\infty} \sin \left(K r^{\prime}\right) \mathrm{d} r^{\prime}=\lim _{\alpha \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha r} \sin \left(K r^{\prime}\right) \mathrm{d} r^{\prime} .
\]

Интеграл, стоящий в правой части равенства (41.48), легко вычисляется с помощью интегрирования по частям:
\[
\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha r^{\prime}} \sin \left(K r^{\prime}\right) \mathrm{d} r^{\prime}=K /\left(\alpha^{2}+K^{2}\right) .
\]

Поэтому из (41.47) с учетом (41.48) и (41.49) окончательно получаем
$I=4 \pi / K^{2}$.
Следовательно,
$A(\theta)=-\frac{m_{1} Z e^{2}}{\varepsilon_{0} \hbar^{2}} \frac{1}{K^{2}}$.
Принимая во внимание, что
$K^{2}=4 k^{2} \sin ^{2}(\theta / 2)=\left(4 m_{1}^{2} v^{2} / \hbar^{2}\right) \sin ^{2}(\theta / 2)$,

на основании (41.43) находим
\[
q(\theta)=|A(\theta)|^{2}=\left(\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} v^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\sin ^{4}(\theta / 2)} .
\]

Итак, если в падающем потоке в единицу времени на единицу поверхности падает $N$ частиц, то дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол $\mathrm{d} \Omega=2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta$
\[
\mathrm{d} \sigma=\frac{\mathrm{d} N}{N}=\left(\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} v^{2}}\right)^{2} \frac{\mathrm{d} \Omega}{\sin ^{4}(\theta / 2)},
\]

что совпадает с формулой (14.7), полученной по классической теории. Таким образом, первое борновское приближение для рассеяния на неподвижном кулоновском центре дает результат, совпадающий с результатом классической теории.

Пример 41.2. Пространственный ротатор с моментом инерции $J$ и электрическим дипольным моментом р помещен в однородное электрическое поле $\mathscr{E}$. Рассматривая электрическое поле $\mathscr{E}$ как возмущение, вычислить первую неисчезающую поправку к основному энергетическому уровню ротатора.

Направляя полярную ось $Z$ сферической системы координат вдоль вектора $\mathscr{E}$, можно энергию возмущения записать в виде $V=-\mathbf{p} \cdot \overrightarrow{\mathscr{E}}=-p \mathscr{E} \cos \theta$. Волновые функции пространственного ротатора и собственные значения энергии определяются формулами (28.16) и (28.22). В частности, для основного состояния
\[
Y_{0}^{0}=1 / \sqrt{4 \pi}, \quad E_{0}^{(0)}=0 .
\]

Первая поправка к энергии находится по формуле (41.12):
\[
E_{0}^{(1)}=V_{00}^{00}=\int Y_{0}^{0^{*}} V Y_{0}^{(0)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 .
\]

Поэтому надо вычислить вторую поправку по формуле (41.20). Прежде всего учтем, что матричные элементы энергии возмущения между основным невозмущенным состоянием и другими невозмущенными состояниями равны
\[
V_{l m}^{00}=V_{00}^{l m}=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} Y_{0}^{(0)}{ }^{*} V Y_{l}^{(m)} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi=
\]
$=-(p \mathscr{E} / \sqrt{3}) \delta_{l 1} \delta_{m 0}$,
где использовано условие ортонормированности для шаровых функций. Отсюда по формуле (41.20) находим $E_{0}^{(2)}=\sum_{l}^{\prime} \sum_{m} \frac{\left|V_{l m}^{00}\right|^{2}}{E_{0}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}=\frac{\left|V_{10}^{00}\right|^{2}}{E_{0}^{(0)}-E_{1}^{(0)}}=$ $=-\frac{(p \mathscr{E})^{2}}{3 \hbar^{2}} J$.