Главная > Атомная физика (A.H. MATBEEB)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Излагается метод получения приближенных собственных значений ие зависящего от времени оператора Гамильтона и соответствующих собственных функций в случае невырожденных собственных значений.

Постановка задачи. Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии и от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве случаев решение уравнения — сложная математическая задача, которая не может быть выполнена с помощью изученных в математике функций. Поэтому часто приходится применять приближенные методы решения задач, т.е. находить собственные значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим из приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений.

Оператор возмущения. Представим оператор Гамильтона системы в виде суммы двух операторов:
H^=H^(0)+V^

причем точное решение задачи для оператора Гамильтона H^(0) предполагается известным, т.е. известны собственные функции и собственные значения уравнения:
H^(0)Ψn(0)=En(0)Ψn(0).

Если бы оператор V^ в (41.1) был равен нулю, то решение задачи свелось бы к уравнению (41.2). Однако в действительности оператор не равен нулю и необходимо решить уравнение (H^(0)+V^)Ψ=EΨ.
Теория возмущений позволяет сделать это приближенно в предположении «малости» оператора V, который называется возмущением. Математический критерий «малости» оператора V^ будет выяснен в дальнейшем. По смыслу задачи ясно, что этот оператор можно считать «малым» в том случае, когда собственные значения уравнения (41.3) мало отличаются от собственных значений уравнения (41.2) и собственные функции уравнения (41.3) во всех точках пространства мало отличаются от соответствующих собственных функций уравнения (41.2). Таким образом, задача теории возмущений состоит в том, чтобы исходя из известных собственных значений и собственных функций уравнения (41.2) найти с определенной степенью точности собственные значения и собственные функции уравнения (41.3).
В этом параграфе рассмотрен случай, когда собственные значения уравнения (41.2) являются невырожденными и гамильтониан не зависит от времени.
Вычисление поправок к собственным функциям и собственным значениям. Будем искать ту собственную функцию и собственное значение уравнения (41.3), которые при V^=0 переходят в собственную функцию Ψm(0) и собственное значение Em(0) невозмущенного уравнения (41.2). Обозначим эти искомые собственные функции и собственные значения Ψm и Em. Разложим искомую собственную функцию Ψm по собственным функциям Ψn(0) невозмущенного уравнения (41.2):
Ψm=nCnΨn(0).
Подставляя это разложение в уравнение (41.3), находим
n(EmH^(0))CnΨn(0)=nV^CnΨn(0).

Умножая обе части (41.5) на Ψk(0) и интегрируя по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функций, получаем
Ck(EmEk(0))=nVknCn,
где
Vkn=Ψk(0)V^Ψn(0)dx dy dz
— матричные элементы оператора возмущения, вычисленные с помощью невозмущенных функций.

Представим искомые величины Em и Cn в виде разложений в ряд
Em=Em(0)+Em(1)+Em(2)+,
Cn=Cn(0)+Cn(1)+Cn(2)+,
считая Em(1) и Cn(1) величинами того же порядка малости, что и матричные элементы возмущения; Em(p) и Cn(p) считаются величинами p-го порядка малости относительно матричных элементов возмущения.

Подставляя разложения (41.7) и (41.8) в (41.6) и приравнивая между собой величины одного и того же порядка малости, получаем
Ck(0)(Em(0)Ek(0))=0,(41.9a)Ck(0)Em(1)+Ck(1)Em(0)Ck(1)Ek(0)=nVknCn(0),Ck(0)Em(2)+Ck(1)Em(1)+Ck(2)Em(0)Ck(2)Ek(0)==nVknCn(1),....9 B). . . . 

Эта система уравнений может быть решена методом последовательных приближений. Решение уравнения (41.9a):
Ck(0)=δkm,Em(0)=Em(0).
Подставляя (41.10) в (41.9б), получаем
δkmEm(1)+Ck(1)(Em(0)Ek(0))=Vkm.

При k=m из (41.11) находим первую
поправку к собственной энергии:
Em(1)=Vmm,
а при keqm-коэффициенты
Ck(1)=Vkm/(Em(0)Ek(0)).
Коэффициент Cm(1) этой формулой не определяется. Он может быть найден из условия нормировки, имеюшего с точностью до величин первого порядка малости следующий вид:
|Ψm(0)+Ψm(1)|2 dx dy dz=1+Cm(1)+Cm(1)=1,
T. e.
Cm(1)+Cm(1)=0.
При выводе (41.14) принято во внимание, что если коэффициенты Cn в разложении (41.4) выразить в виде рядов (41.8), то искомая функция
Ψm=i=0Ψm(i),
где
Ψm(i)=nCn(i)Ψn(0)
— поправка i-го порядка малости к искомой волновой функции. Мнимая часть в коэффициенте определяет фазу волновой функции. Фаза волновой функции несущественна. Не ограничивая общности, эту мнимую часть можно считать равной нулю, а из (41.15) следует
Cm(1)=0.
С учетом (41.13) поправка к волновой функции в первом приближении может быть представлена в виде
Ψm(1)=nVnmEm(0)En(0)Ψn(0),
где штрих означает, что в этой сумме член с n=m отсутствует. Очевидно, что требование «малости» возмущения имеет вид

|Vnm||Em(0)En(0)|,
т. е. матричные элементы энергии возмущения должны быть малыми по сравнению с разностями соответствующих невозмущенных уровней энергии. Следующая поправка к собственному значению энергии находится в результате решения уравнения (41.9в). Подставив в это уравнение величины нулевого и первого порядков из (41.10), (41.12) и (41.13), получаем
δkmEm(2)+VkmVmm(1δkm)Em(0)Ek(0)++Ck(2)(Em(0)Ek(0))=nVknVnmEm(0)En(0),

где член 1δkm учитывает условие (41.16). Отсюда находим
Em(2)=nVmnVnmEm(0)En(0)(k=m),

где штрих у знака суммы означает, что член с n=m в этой сумме отсутствует. Следует отметить, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Это видно из формулы (41.20), поскольку в случае основного состояния Em(0) является минимальной энергией и все члены в сумме отрицательны.

При keqm из формулы (41.19) получаются выражения для Ck(2), а с их помощью-выражения для собственных функций с точностью до величин второго порядка малости. Тогда
Ck(2)=VmnVkm(Ek(0)Em(0))2++nVknVnm(Em(0)En(0))(Em(0)Ek(0))(keqm,neqm).

Выписанные выше формулы без труда обобщаются на случай непрерывного спектра собственных значе-
ний: вместо сумм в соответствуюших формулах следует понимать интегралы по значениям энергии непрерывного спектра. Если спектр собственных значений частично дискретен, частично непрерывен, то в соответствующих формулах имеется сумма по дискретному спектру энергии, а интеграл-по непрерывному спектру энергии. Например, вместо (41.17) получается формула
Ψm(1)=nVnmEm(0)En(0)Ψn(0)++VvmEm(0)Ev(0)Ψv(0)dv,

где v-совокупность величин, полностью определяющих состояние; Ev собственное значение энергии состояния, характеризуемого совокупностью величин v;Ev(0) принадлежит непрерывному спектру собственных значений, Ψv(0)-соответствующая волновая функция непрерывного спектра собственных значений.

Пример 41.1. Рассмотреть в первом (борновском) приближении упругое рассеяние заряженной частицы при столкновении с неподвижным силовым центром.

Постановка задачи в теории столкновений. Если параллельный пучок частиц, например электронов, падает на некоторую частицу, например атом, то в результате взаимодействия с этим атомом частицы пучка могут, во-первых, изменить направление своего движения и, во-вторых, претерпеть изменение энергии. Если столкновение произошло без изменения энергии сталкивающихся частиц, то говорят об упругом столкновении (рассеянии). Столкновение с изменением энергии сталкивающихся частиц называется неупругим.

В опыте измеряется число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол dΩ в направлении, составляющем угол θ с первоначальным направлением движения частиц (см. рис. 47). Если ось Z сферической системы координат направить вдоль первоначального направления движения рассеиваемых частиц, а начало координат совместить с рассеивающим центром, то направление движения частиц после рассеивания может быть охарактеризовано полярным углом θ и азимутальным углом φ. Пусть число частиц, рассеянных в указанный угол в единицу времени с потерей энергии ε, равно dNε. Это число, очевидно, пропорционально числу N частиц, падающих в единицу времени на единицу площади в первоначальном потоке, и пропорционально телесному углу dΩ. Таким образом,
dσε=dNε/dN=q(ε,θ,φ)dΩ,

где q(ε,θ,φ)-коэффициент пропорциональности, dσε имеет размерность площади и называется дифференциальным эффективным сечением для неупругого рассеяния в угол dΩ с потерей энергии є. Величина
σε=dNε/N=Nε/N=q(ε,θ,φ)dΩ,

где интеграл взят по полному телесному углу, называется полным эффективным сечением неупругого рассеяния с потерей энергии є. Очевидно, что
Nε=Nσε
— число частиц, отнесенных к единице времени, которые при столкновении потеряли энергию ε [концентрация частиц первоначального потока равна N=N частиц /(M2 с) )].

Таким образом, задачей теории столкновений является вычисление дифференциального эффективного се-
чения, знание которого позволяет полностью характеризовать распределение рассеянных частиц по углам и энергиям.
Борновское приближение. Рассмотрим упругое рассеяние, когда в результате столкновения энергия частиц не изменяется. В этом случае можно не принимать во внимание внутреннюю структуру атома и считать его точечным силовым центром, в поле которого происходит движение рассеиваемых частиц. Пусть это поле является сферически-симметричным. Обозначим En(r) потенциальную энергию рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Уравнение Шредингера в этом случае
[p^2/(2m)+En(r)]Ψ=EΨ.
Потенциальная энергия En(r) определена с точностью до произвольной постоянной. Эту произвольную постоянную можно выбрать так, чтобы на бесконечности потенциальная энергия обращалась в нуль (Eп ()=0 ). Частица после рассеяния уходит на бесконечность лишь в том случае, когда ее полная энергия больше нуля. Таким образом, при решении уравнения (41.26) нас интересует случай E>0. Обозначив
k2=2mE/2,V(r)=2mEn(r)/2,
где m-масса рассеиваемой частицы, можно уравнение (41.26) записать в виде
abla2Ψ+k2Ψ=V(r)Ψ.
После рассеяния, удалившись на достаточно большое расстояние от рассеивающего центра, рассеиваемые частицы движутся как свободные вдоль радиусов, проведенных от рассеивающего центра. Поэтому после рассеивания движение частиц описывается расходящейся волной. Падающие частицы до рассеяния, очевидно, описываются плоской волной. Следовательно, интересующее нас решение уравнения (41.28) является суперпозицией падающей плоской волны Ψ0 и рассеянной волны Ф :
Ψ=Ψ0+Φ.

Выбирая ось Z системы координат в направлении движения потока частиц до рассеивания, можно функцию Ψ0 представить в виде
Ψ0=L3/2eikz,
где L-размер куба периодичности, который удобно выбрать равным L=1 м. При такой нормировке поток падающих частиц на основании (25.21a) равен
N=j2/e=p/m=v(c1M2).

На больших расстояниях r от рассеивающего центра функция Ф имеет вид сферической расходящейся волны:
Φr(r,θ)=A(θ)eikrr,
где A(θ)-амплитуда рассеянной волны, которая из-за центральной симметрии рассеивающего поля не зависит от угла φ. Ток рассеянных частиц на основании формулы (25.21a) равен
jr=ie2m(ΦΦrΦΦr)=ev|A(θ)|2r2,

и, следовательно, число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол dΩ,
dN=(jr/e)r2 dΩ=v|A(θ)|2 dΩ.

Поэтому на основании (41.23) и (41.31) имеем
dσ(θ)=q(θ)dΩ=dN/N=|A(θ)|2 dΩ.

Таким образом, для нахождения дифференциального эффективного сечения необходимо вычислить амплитуду рассеянной волны. В борновском приближении эта амплитуда вычисляется с помощью теории возмущений, когда в качестве возмущения берется потенциальная энергия рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Подставляя (41.29) в (41.28) и пренебрегая VΦ как величиной второго порядка малости, получаем для определения Ф уравнение
\[

abla^{2} \Phi+k^{2} \Phi=V \Psi_{0} .
\]

Его решение хорошо известно из курса дифференциальных уравнений:
Φ(r)=14πV(r)Ψ0(r)eik(rr)|rr|dxdydz,

где dxdydz — элемент объема интегрирования, радиус-вектор которого r. В этом решении автоматически учтены только расходящиеся волны.

Для нахождения амплитуды A(θ) надо получить для Φ(r) асимптотическое выражение при больших значениях r. Обозначим n0 единичный вектор в направлении оси Z, а n= =r/r — единичный вектор в направлении движения частицы после рассеяния (см. рис. 47). Тогда
|rr|=(rr)2=(r2+r22rr)1/2.

Поэтому для rr
|rr|rnr+,

где многоточием обозначены члены порядка r/r и выше. Подставляя (41.38) в (41.37) и пренебрегая в знаменателе nr по сравнению с r, получаем при больших r
Φ(r)=14πeikrreik(n0n)rV(r):dxdydz,

где учтено значение Ψ0(r) по (41.30) и принято во внимание, что z=rn0. Сравнение (41.39) с (41.32) показывает, что
A(θ)=14πeik(n0n)rV(r)dxdydz.
Удобно ввести обозначение
K=k(n0n),|K|=K=k|n0n|=
=2ksin(θ/2).
Тогда (41.40) с учетом (41.27) можно записать в виде
A(θ)=14π2m2ei KrEn(r)dxdydz.

На основании (41.35) дифференциальное эффективное сечение равно
dσ(θ)dΩ=q(θ)=116π2(2m2)2××|eKrEn(r)dxdydz|2.

Не вдаваясь в подробности условий применимости приближения Борна, отметим лишь, что это приближение всегда пригодно при достаточно большой энергии рассеиваемых частиц.

Формула Резерфорда. Приближение Борна можно использовать для нахождения рассеяния частиц кулоновским центром (см. §14). Потенциальная энергия α-частица, заряд которой 2e, в поле ядра номера Z имеет вид
Eп(r)=2Ze2/(4πε0r).
Подставляя (41.44) в (41.42), находим A(θ)=m1Ze24π2ε02eKrrdxdydz,
где m1 — масса α-частицы. Для вычисления этого интеграла ось Z сферической системы координат направим вдоль вектора K. Тогда
I=eiKrrdxdydz=
=0drr202πdφ0πsinθdθei Krcosθr,

где θ — угол между K и r. Интегрируя (42.46) по φ и по углу θ, находим I=(4π/K)0sin(Kr)dr.
Этот интеграл не является сходящимся в обычном смысле. Однако его можно представить как предел другого интеграла, сходящегося в обычном смысле, с помощью формулы
0sin(Kr)dr=limα00eαrsin(Kr)dr.

Интеграл, стоящий в правой части равенства (41.48), легко вычисляется с помощью интегрирования по частям:
0eαrsin(Kr)dr=K/(α2+K2).

Поэтому из (41.47) с учетом (41.48) и (41.49) окончательно получаем
I=4π/K2.
Следовательно,
A(θ)=m1Ze2ε021K2.
Принимая во внимание, что
K2=4k2sin2(θ/2)=(4m12v2/2)sin2(θ/2),

на основании (41.43) находим
q(θ)=|A(θ)|2=(Ze24πε0m1v2)21sin4(θ/2).

Итак, если в падающем потоке в единицу времени на единицу поверхности падает N частиц, то дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол dΩ=2πsinθdθ
dσ=dNN=(Ze24πε0m1v2)2dΩsin4(θ/2),

что совпадает с формулой (14.7), полученной по классической теории. Таким образом, первое борновское приближение для рассеяния на неподвижном кулоновском центре дает результат, совпадающий с результатом классической теории.

Пример 41.2. Пространственный ротатор с моментом инерции J и электрическим дипольным моментом р помещен в однородное электрическое поле E. Рассматривая электрическое поле E как возмущение, вычислить первую неисчезающую поправку к основному энергетическому уровню ротатора.

Направляя полярную ось Z сферической системы координат вдоль вектора E, можно энергию возмущения записать в виде V=pE=pEcosθ. Волновые функции пространственного ротатора и собственные значения энергии определяются формулами (28.16) и (28.22). В частности, для основного состояния
Y00=1/4π,E0(0)=0.

Первая поправка к энергии находится по формуле (41.12):
E0(1)=V0000=Y00VY0(0)dx dy dz=0.

Поэтому надо вычислить вторую поправку по формуле (41.20). Прежде всего учтем, что матричные элементы энергии возмущения между основным невозмущенным состоянием и другими невозмущенными состояниями равны
Vlm00=V00lm=02π0πY0(0)VYl(m)sinθdθdφ=
=(pE/3)δl1δm0,
где использовано условие ортонормированности для шаровых функций. Отсюда по формуле (41.20) находим E0(2)=lm|Vlm00|2E0(0)El(0)=|V1000|2E0(0)E1(0)= =(pE)232J.

1
Оглавление
email@scask.ru