Описывается квантовая картина поведення двухуровневого атома в иоле когерентного резонансного излучения.
Двухуровневый атом. Наиболее простая ситуация при взаимодействии электромагнитного излучения с атомом возникает тогда, когда можно считать, что излучение влияет лишь на два состояния атома, а его влияние на остальные состояния пренебрежимо мало. Ясно, что возможность такого подхода обусловливается как свойствами энергетического спектра и состояний атома, так и свойствами излучения. Для этого
необходимо. чтобы излучение было достаточно когерентным, ширина линий излучения была достаточно малой и, кроме того, центральная частота $\omega$ линии излучения находилась в резонансе с частотой квантового перехода между соответствующими энергетическими уровнями,
т. е. выполнялось условие $\omega=\left(E_{2}-\right.$ – $\left.E_{1}\right) / \hbar$, где $E_{1}$ и $E_{2}>E_{1}$ – собственные значения энергии квантовых состояний атома. Если выполнение этого условия оказывается достаточным для того, чтобы можно было пренебречь взаимодействием излучения с другими квантовыми состояниями атома, то атом рассматривается как двухуровневый. Для упроцения расчетов пренебрегают также конечностью времени когерентности, считая излучение монохроматичным с частотой $\omega$, поскольку учет конечности ширины линии излучения при выполнении условий, обеспечивающих возможность рассматривать атом как двухуровневый, тривиален. По тем же соображениям волну можно считать линейно поляризованной.
Уравнение Шредингера. Длина электромагнитной волны много больше размеров атома, и поэтому во всем объеме атома напряженность электрического поля волны может быть принята постоянной и равной
$\overrightarrow{\mathscr{E}}=\overrightarrow{\mathscr{E}}_{0} \cos (\omega t)$.
Потенциальная энергия электрона в электрическом поле напряженности $\mathscr{E}$ равна
$V=-q \mathbf{r} \cdot \overrightarrow{\mathscr{E}}=-g \mathbf{r} \cdot \overrightarrow{\mathscr{E}}_{0} \cos (\omega t)(q=-e)$.
где начало координат помещено в центр атома и $\mathbf{r}$-радиус-вектор электрона. Взаимодсйствием электрона с магнитным полем волны пренебрегаем, поскольку оно имеет релятивистский порядок малости по сравнению с электрическим взаимодействием. Обозначив оператор Гамильтона для электрона в атоме в отсутствие внешнего поля $\hat{H}^{(0)}$, запишем уравнение Шредингера в атоме при наличии внешнего поля (48.1) в виде
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} \Psi(\mathbf{r}, t)}{i \mathrm{~d} t}=\left[\hat{H}^{(0)}+\hat{V}(t)\right] \Psi(\mathbf{r}, t),
\]
где
$\hat{V}(t)=-q \hat{\mathbf{r}} \cdot \overrightarrow{\hat{\mathscr{E}}}_{0} \cos (\omega t)$
– оператор энергии взаимодействия, соответствующий классическому выражению энергии взаимодействия (48.2). Волновые функции стационарных состояний $\Psi_{1}(\mathbf{r})$ и $\Psi_{2}(\mathbf{r})$, относящихся к рассматриваемым уровням энергии, удовлетворяют уравнениям Шредингера, независимым от времени:
\[
E_{1} \Psi_{1}=\hat{H}^{(0)} \Psi_{1}, E_{2} \Psi_{2}=\hat{H}^{(0)} \Psi_{2} .
\]
Волновые функции $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$ ортонормированы. Волновую функцию $\Psi(\mathbf{r}, t)$, удовлетворяюшую (48.3), ищем в виде
\[
\Psi(\mathbf{r}, t)=a_{1}(t) \Psi_{1}(\mathbf{r})+a_{2}(t) \Psi_{2}(\mathbf{r}) .
\]
Подставляя (48.6) в (48.3), получаем
\[
\begin{array}{l}
=\frac{\hbar \mathrm{d} a_{1}}{i} \frac{\hbar}{\mathrm{d} t} \Psi_{1}-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{2}}{i} \Psi_{2}= \\
=a_{1}\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V}\right) \Psi_{1}+a_{2}\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V}\right) \Psi_{2} .
\end{array}
\]
Умножая слева (48.7) на $\Psi_{1}^{*}$ и $\Psi_{2}^{*}$ и интегрируя обе части равенства по пространственным переменным с учетом условия ортонормированности функции $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$
$\int \Psi_{i}^{*} \Psi_{j} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\delta_{i j}$,
находим
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{1}}{i \mathrm{~d} t}=a_{1} E_{1}+a_{1} V_{11}+a_{2} V_{12}, \\
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{2}}{i \mathrm{~d} t}=a_{1} V_{21}+a_{2} E_{2}+a_{2} V_{22}, \\
V_{i j}=\int \Psi_{i}^{*} \hat{V} \Psi_{j} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\end{array}
\]
– матричные элементы оператора $\hat{V}$.
Решение уравнения Шредингера. Уравнения (48.9) и (48.10) упрощаются, если $V_{11}=0$ и $V_{22}=0$. Это обусловлено свойствами симметрии волновых функций $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$. С учетом (48.4) выражение (48.11) может быть записано в виде
\[
V_{i j}=-q \overrightarrow{\mathscr{E}}_{0} \cos (\omega t) \int \Psi_{i}^{*}(\mathbf{r}) \mathbf{r} \Psi_{j}(\mathbf{r}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
\]
Поскольку функции $\Psi_{i}$ обладают определенной четностью и, следовательно, $\Psi_{i}^{*}(-\mathbf{r}) \Psi_{i}(-\mathbf{r})=\Psi_{i}^{*}(\mathbf{r}) \Psi_{i}(\mathbf{r})$, замечаем, что
\[
\int \Psi_{i}^{*}(\mathbf{r}) \mathbf{r} \Psi_{i}(\mathbf{r}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0
\]
и поэтому с учетом (48.12) $V_{11}=0$, $V_{22}=0$. В результате этого уравнения (48.9) и (48.10) упрощаются:
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{1}}{i \mathrm{~d} t}=a_{1} E_{1}+a_{2} V_{12} \text {, }
\]
\[
-\frac{\hbar \mathrm{d} a_{2}}{i \mathrm{~d} t}=a_{1} V_{21}+a_{2} E_{2} .
\]
Для решения этой системы уравнений перейдем к новым неизвестным функциям $b_{1}(t)$ и $b_{2}(t)$ по формулам $a_{j}(t)=b_{j}(t) \exp \left(-i E_{j} t / \hbar\right)(j=1,2)$.
Уравнения (48.14) принимают вид $-\frac{\hbar \mathrm{d} b_{1}}{i \mathrm{~d} t}=b_{2} V_{12} \exp \left[-i\left(E_{2}-E_{1}\right) t / \hbar\right]=$ $=b_{2} V_{12} \exp (-i \omega t)$,
$-\frac{\hbar \mathrm{d} b_{2}}{i} \frac{\mathrm{d} t}{}=b_{1} V_{21} \exp \left[i\left(E_{2}-E_{1}\right) t / \hbar\right]=$
\[
=b_{1} V_{21} \exp (i \omega t) \text {, }
\]
где $E_{2}-E_{1}=\hbar \omega$. Учитывая, что собственные функции определяются лишь с точностью до фазового множителя, можно всегда подходящим выбором этого фазового множителя сделать матричные элементы (48.12) вещественными числами и положить
\[
V_{12}=V_{21}=2 \hbar \Omega \cos (\omega t)=\hbar \Omega\left(\mathrm{e}^{i \omega t}+\mathrm{e}^{-i \omega t}\right),
\]
где
$2 \hbar \Omega=-q \overrightarrow{\mathscr{E}}_{0} \int \Psi_{1}^{*}(\mathbf{r}) \mathbf{r} \Psi_{2}(\mathbf{r}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
$=-q \overrightarrow{\mathscr{E}}_{0} \int \Psi_{2}^{*}(\mathbf{r}) \mathbf{r} \Psi_{1}(\mathbf{r}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$,
а множитель $2 \hbar$ введен для удобства. Подставим (48.17) в (48.16):
\[
\begin{array}{l}
i \frac{\mathrm{d} b_{1}}{\mathrm{~d} t}=\Omega b_{2}\left(1+\mathrm{e}^{-2 i \omega t}\right), \\
i \frac{\mathrm{d} b_{2}}{\mathrm{~d} t}=\Omega b_{1}\left(1+\mathrm{e}^{2 i \omega t}\right) .
\end{array}
\]
Величина $\Omega$, имеющая размерность $\mathrm{c}^{-1}$, в уравнении (48.18) определяет скорость изменения $b_{1}$ и $b_{2}$. При не очень больших амплитудах $\mathscr{E}_{0}$ электрического поля волны она достаточно мала по сравнению с $\omega$. Это означает, что решение уравнения (48.18) представляет сравнительно медленное изменение $b_{1}$ и $b_{2}$, на которое накладываются быстрые колебания с частотой $\omega$. От этих быстрых колебаний можно избавиться, произведя усреднение уравнения по периоду $2 \pi / \omega$, в течение которого $b_{1}$ и $b_{2}$ изменяются незначительно и могут считаться постоянными. В результате усреднения получаем
\[
i \frac{\mathrm{d} b_{1}}{\mathrm{~d} t}=\Omega b_{2}, i \frac{\mathrm{d} b_{2}}{\mathrm{~d} t}=\Omega b_{2},
\]
где $\left\langle\mathrm{e}^{ \pm 2 i \omega t}\right\rangle=0$. Представление решения этих уравнений в виде
\[
b_{1}(t)=\cos (\Omega t), b_{2}(t)=-i \sin (\Omega t)
\]
обеспечивает нахождение двухуровневого атома при $t=0$ в состоянии $\Psi_{1}$, поскольку $b_{2}(0)=0$. С учетом (48.20), и (48.15) можно вместо (48.6) написать
\[
\begin{array}{l}
\Psi(\mathbf{r}, t)=\cos (\Omega, t) \mathrm{e}^{-t E_{1} t / \hbar} \Psi_{1}(\mathbf{r})- \\
-i \sin (\Omega t) \mathrm{e}^{-t E_{2} t / \hbar} \Psi_{2}(\mathbf{r}) .
\end{array}
\]
Очевидно, что $\Psi(\mathbf{r}, t)$ нормировано на единицу.
Обсуждение физического содержания решения. Из (48.21) следует, что с течением времени электрон переходит из состояния, описываемого волновой функцией $\Psi_{1}$, в состояние $\Psi_{2}$. Вероятность обнаружить его в состояниях 1 и 2 в момент времени $t$ равна соответственно $\cos ^{2}(\Omega t)$ и $\sin ^{2}(\Omega t)$. Таким образом, электрон с частотой $\Omega$ осциллирует между состояниями.
Среднее значение дипольного момента
\[
\mathbf{p}=-q \mathscr{E} \cdot \mathbf{r}
\]
равно
$\langle\mathbf{p}\rangle=\int \Psi^{*} \mathbf{p} \Psi \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
\[
=\mathbf{p}_{12} a_{1}^{*} a_{2}+\mathbf{p}_{21} a_{2}^{*} a_{1} \text {, }
\]
где
$\mathbf{p}_{i j}=\int \Psi_{i}^{*} \mathbf{p} \Psi_{j} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$.
Учитывая, что $\mathbf{p}_{12}=\mathbf{p}_{21}$ и значения $a_{1}$ и $a_{2}$ по (48.22), можно представить (48.23) в виде
$\langle\mathbf{p}\rangle=-\mathbf{p}_{12} \sin (2 \Omega t) \sin (\omega t)$.
Следовательно,
дипольный момент осциллирует с частотой внешнего поля волны $\omega$, а амплитуда этих осцилляций изменяется сравнительно медленно с частотой $2 \Omega$.
Максимального значения дипольный момент достигает в тот момент времени, когда $\cos (\Omega t)=\sin (\Omega t)=$ $=1 / \sqrt{2}$.
