Обсуждаелся свободное движение часицы в неограниченном пространстве и возможность его приближенного представления посредством нормирования волновых функций на длину периодичности
Волновые функции. В случае свободного движения внешние силы отсутствуют. Ограничимся рассмотрением движения в одном измерении. Оператор Гамильтона $\hat{H}$ и уравнение Шредингера можно записать следующим образом:
$\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$,
$-\frac{\hbar \partial \Psi}{i} \frac{\partial t}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}$.
Положив
$\Psi(x, t)=\mathrm{e}^{-t E t / \hbar} \Psi_{0}(x)$,
получим для $\Psi_{0}(x)$ уравнение
$\frac{\mathrm{d}^{2} \Psi_{0}}{\mathrm{~d} x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}} E \Psi_{0}=0$,
решение которого
$\Psi_{0}(x)=A \mathrm{e}^{i p_{x} x / \hbar}+B \mathrm{e}^{-t p_{x} x / \hbar}$,
где учтено, что импульс $p_{x}$ свободной частицы связан с ее энергией соотношением $p_{x}=\sqrt{2 m E}, A$ и $B$-произвольные постоянные.
Первое слагаемое в (25.5) описывает движение частицы в положительном направлении оси $X$, а второе-в отрицательном. Чтобы в этом убедиться, надо вернуться к функции (25.3) и посмотреть [с учетом (25.5)], в каком направлении перемещаются точки постоянной фазы у первого и второго слагаемых функции (25.3). Например, условие постоянства фазы первого члена имеет вид $E t-p_{x} x=$ $=$ const. Дифференцируя это равенство по $t$, убеждаемся, что фазовая скорость направлена вдоль положитель-
ного направления оси $X$. Аналогично анализируется второе слагаемое функции (25.5). Рассматривая для определенности движение в положительном направлении, необходимо положить $B=0$. Тогда на основании (25.3) замечаем, что волновая функция свободной частицы имеет вид плоской волны:
$\Psi(x, t)=A \mathrm{e}^{-i\left(E t-p_{x} x\right) / \hbar}$.
Уравнение (25.4) имеет однозначное, конечное и непрерывное решение при любой энергии $E$. Это означает, что спектр энергий свободной частицы непрерывен.
Очевидно, что скобки Пуассона $\left[\hat{H}, \hat{p}_{x}\right]$ в случае свободной частицы равны нулю:
$\left[\hat{H}, \hat{p}_{x}\right]=0$.
Следовательно, импульс свободной частицы-интеграл движения, т.е. импульс свободной частицы равен постоянной величине. Кроме того, из равенства нулю коммутатора (25.7) следует, что энергия свободной частицы и ее импульс являются одновременно измеримыми величинами.
Нормировка на длину периодичности. Поскольку спектр собственных значений свободной частицы непрерывен, нормировка собственных функций на единицу невозможна, так как
\[
\int_{-\infty}^{\kappa} \Psi * \Psi \mathrm{d} x=A^{2} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} x=\infty,
\]
и следует пользоваться условием нормировки на $\delta$-функцию. Однако вместо этого часто пользуются способом нормировки на длину периодичности, который заключается в следующем. Предположим, что нас интересует движение частицы на участке длиной L. В этом случае можно рассматривать не все бесконечное пространство, а лишь участок длины $L$. Вне этого участка волновую функцию можно считать периодически повторяющейся, т. е. можно наложить на волновую функцию следующее условие периодичности:
\[
\Psi_{0}(x+L)=\Psi_{0}(x) .
\]
Ясно, что после этого частица уже не может считаться полностью свободной, ее движение ограничено условием (25.9). Благодаря этому спектр энергии частицы перестает быть непрерывным. Однако, если длина $L$ выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного может быть сколь угодно малым.
Спектр энергии может быть найден из условия (25.9), которое с учетом (25.6) принимает вид
\[
A \mathrm{e}^{i(\mathrm{x}+L) p_{\mathrm{v}} / \hbar}=A \mathrm{e}^{t x p_{\mathrm{x}} / \hbar}
\]
или
$\mathrm{e}^{t p_{x} L / h}=1$.
Следовательно, $p_{x}$ не может принимать произвольные значения, а может принимать лишь дискретный ряд значений $p_{x n}$, определяемых на основании (25.11) равенством
\[
p_{x n}=2 \pi \hbar n_{x} / L \text {, }
\]
где $n_{x}$-целое число. Таким образом, введение условия периодичности (25.9) приводит к переходу от непрерывного спектра к дискретному:
\[
E_{n}=p_{x n}^{2} /(2 m)=2 \pi^{2} \hbar^{2} n_{x}^{2} /\left(m L^{2}\right) .
\]
В дискретном спектре необходимо воспользоваться условием ортонормированности (17.23), которое в данном случае имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\delta_{n n^{\prime}}=\int_{-L / 2}^{L / 2} \Psi_{o n^{\prime}}^{*} \Psi_{o n} \mathrm{~d} x=A^{2} \int_{-L / 2}^{L / 2} \mathrm{e}^{2 \pi i\left(n-n^{\prime}\right) r} \mathrm{~d} x= \\
=A^{2} L \frac{\sin \pi\left(n-n^{\prime}\right)}{\pi\left(n-n^{\prime}\right)}=\left\{\begin{array}{cc}
A^{2} L\left(n=n^{\prime}\right), \\
0 & \left(n
eq n^{\prime}\right) .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
Отсюда следует, что
\[
A^{2} L=1, A=1 / \sqrt{L} \text {, }
\]
и система ортонормированных функций записывается следующим образом:
\[
\Psi_{o n}(x)=\mathrm{e}^{i p_{x n} x / \hbar} L^{-1 / 2}=L^{-1 / 2} \mathrm{e}^{i k_{x n} x},
\]
\[
p_{x n}=2 \pi \hbar n_{x} / L, k_{x n}=2 \pi n_{x} / L .
\]
Воспользовавшись формулой (25.13) для собственных значений энергии, нетрудно убедиться, что если $L$ имеет макроскопические размеры, то дискретные уровни $E_{n}$ находятся очень близко друг к другу, почти сливаясь в непрерывный спектр. Благодаря этому при использовании вместо волновых функций непрерывного спектра волновых функций с нормировкой на длину периодичности мы допускаем не очень большую погрешность, но зато часто очень сильно упрощаем вычисления и интерпретацию полученных результатов. Не следует забывать, что все же эти результаты приближенные и спектр свободного движения в неограниченной области является непрерывным.
Непрерывный спектр. В случае непрерывного спектра волновое число $k_{x}$ принимает непрерывный ряд значений, а волновая функция
$\Psi_{k_{x}}(x)=A_{1} \mathrm{e}^{i k_{x} x}$.
Условие нормировки на $\delta$-функцию имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} \Psi_{k_{x}}^{*}(x) \Psi_{k_{x}}(x) \mathrm{d} x= \\
=A_{1}^{2} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{i\left(k_{x}-k_{x}^{\prime}\right) x} \mathrm{~d} x=\delta\left(k_{x}-k_{x}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]
В теории интегралов Фурье доказывается равенство
\[
(2 \pi)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{i\left(k-k^{\prime}\right) x} \mathrm{~d} x=\delta\left(k-k^{\prime}\right) .
\]
$\mathrm{II}^{*}$
Сравнение (25.18) с (25.19) показывает, что $A_{1}=1 / \sqrt{2 \pi}$, и система функций непрерывного спектра, нормированных на $\delta$-функцию, приобретает вид
$\Psi_{k_{x}}(x)=(2 \pi)^{-1 / 2} \mathrm{e}^{i k_{x} x}, k_{x}=p_{x} / h$.
Плотность заряда и плотность тока. Из (25.6) вытекает, что $\partial \Psi / \partial x=\left(i p_{x} / \hbar\right) \Psi, \partial \Psi^{*} / \partial x=-\left(i p_{x} / \hbar\right) \Psi^{*}$, поэтому (16.20) для плотности тока и заряда выражаются формулами $j_{x}=[i q \hbar /(2 m)](\Psi \partial \Psi * / \partial x-\Psi * \partial \Psi / \partial x)=$ $=\left(q p_{x} / m\right) \Psi * \Psi=\left(q p_{x} / m\right)|A|^{2}$,
$\rho=q \Psi * \Psi=q|A|^{2}$,
T. e.
$j_{x}=\rho p_{x} / m=\rho v_{x}$,
что находится в согласии с выражением для плотности тока, известным из классической электродинамики.
Для упрощения написания формул все вычисления в этом параграфе проводились применительно к одной координате. Аналогичные вычисления справедливы для двух других координат и волновую функцию свободной частицы в трех измерениях $\Psi(\mathbf{r}, t)$ можно представить как произведение
$\Psi(\mathbf{r}, t)=\Psi(x, t) \Psi(y, t) \Psi(z, t)$.
причем каждая из функций в правой части равенства определяется форму-
** В свободном пространстве энергия и импульс частицы обладают непрерывными спектрами значений.
Для удобства вычислений волновую функцию свободной частицы можно нормировать на длину периодичности. Однако при этом спектр энергии частицы становится дискретным, а волновая функция-приближенной. Если длина периодичности выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного может быть сделано достаточно малым.
лой вида (25.6). Волновая функция свободной частицы в трех измерениях $\Psi(\mathbf{r}, t)=A e^{-i(E t-\mathbf{p} \cdot \mathbf{R}) / \hbar}$,
где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}=p_{x} x+p_{y} y+p_{z} z, \\
E=p^{2} /(2 m)=\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right) /(2 m),
\end{array}
\]
$A=(2 \pi)^{-3 / 2}$ – нормировочная постоянная. При нормировке на объем периодичности аналогично условию (25.15) находим нормировочную постоянную:
$A=\left(L_{x} L_{y} L_{z}\right)^{-1 / 2}$,
где $L_{x}, L_{y}, L_{z}$ – длины периодичности в направлении осей $X, Y, Z$ соответственно. Волновая функция при этом равна
\[
\Psi_{n_{x} y_{y} n_{z}}=\left(L_{x} L_{y} L_{z}\right)^{-1 / 2} \mathrm{e}^{i\left(k_{n_{x}} x+k_{n_{y}} y+k_{n_{z}} z\right)},
\]
$k_{n_{x}}=2 \pi n_{x} / L_{x}, k_{n_{y}}=2 \pi n_{y} / L_{y}$,
$k_{n_{z}}=2 \pi n_{z} / L_{z}$,
где $n_{x}, n_{y}, n_{z}$ – целые независимые числа.
Для непрерывного спектра вместо формулы (25.20) находим волновую функцию:
\[
\Psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=(2 \pi)^{-3 / 2} \mathrm{e}^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}(\mathbf{k}=\mathbf{p} / \hbar) \text {. }
\]
Вместо (25.21) и (25.22) получаем:
\[
\mathbf{j}=q \mathbf{p}|A|^{2} / m, \rho=q|A|^{2},
\]
$\mathbf{j}=\rho \mathbf{p} / m=\rho \mathbf{v}$.
