Описываются опыты, в которых впервые было обнаружено явление пространственного квантования, и обсуждается его теоретическая интерпретация.
Орбитальный магнитный момент атома по классической теории. Электрон, движущийся по замкнутой орбите вокруг ядра, эквивалентен круговому току, магнитный момент которого
$p_{\mathrm{m}}=e S / T$
где $T$-период обращения электрона; $S$-площадь, охватываемая орбитой электрона. В поле центральных сил момент импульса $L$ является интегралом движения:
$m r^{2} \mathrm{~d} \varphi / \mathrm{d} t=L=$ const,
где $m$-масса электрона, $r, \varphi$-полярные координаты (рис. 51). Начало системы координат совпадает с ядром. Площадь эллиптической или круговой орбиты электрона
$S=1 / 2 \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \mathrm{~d} \varphi$.
Из (15.2) получаем $\mathrm{d} \varphi=\left[L /\left(m r^{2}\right)\right] \mathrm{d} t$ и, следовательно,
$S=\frac{1}{2} \int_{0}^{T}\left[r^{2} L /\left(m r^{2}\right)\right] \mathrm{d} t=T L /(2 m)$.
Поэтому [см. (15.1)]
$p_{m}=\frac{1}{2} \frac{e}{m} L$.
Магнитный и механический моменты являются векторами. Из их определения как векторных величин следует, что для положительно заряженной частицы направления магнитного и механического моментов совпадают,
а для отрицательно заряженной частицы они противоположны. Поэтому, обозначая алгебраическое значение заряда точечной частицы $q$, можно написать
$\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} \frac{q}{m} \mathbf{L}$.
Для электрона $q=-e ; m$-его масса. Из (14.13) видно, что естественной единицей орбитального момента является постоянная Планка $\hbar$. Поэтому для электрона (15.6) целесообразно представить в виде
$\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=-\mu_{\mathrm{B}} \mathbf{L} / h$,
где
$\mu_{\mathbf{B}}=e \hbar /(2 m)$
– магнетон Бора. Величина $L / \hbar$ безразмерна и поэтому (15.7) дает значение магнитного момента в единицах магнетона Бора:
$\mu_{\mathrm{B}}=9,27 \cdot 10^{-24} \mathrm{~A} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
Движение магнитного момента в магнитном поле. Из курса электричества и магнетизма известно, что в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В атом с постоянным магнитным моментом совершает, подобно гироскопу, прецессионное движение вокруг направления индукции магнитного поля, называемое ларморовой пречессией. Для орбитального движения электрона круговая частота прецессии (ларморова частота) равна
$\omega_{L}=\mu_{\mathrm{B}} B / \hbar$.
Однако однородное магнитное поле не в состоянии само по себе изменить угол между направлениями индукции магнитного поля и магнитного момента атома. В однородном магнитном поле не возникает также никаких сил, действующих на атом в целом и стремящихся сообщить ему ускорение.
В неоднородном магнитном поле на атом с магнитным моментом $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ действует сила
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \partial \mathbf{B} / \partial x, F_{y}=\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \partial \mathbf{B} / \partial y, \\
F_{z}=\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \partial \mathbf{B} / \partial z .
\end{array}
\]
Так как атом электрически нейтрален, то других сил, действующих на него в магнитном поле, нет. Следовательно, изучая движение атома в неоднородном поле, можно измерить его магнитный момент.
Пусть атом движется в направлении оси $X$, а неоднородность магнитного поля создана в направлении оси $Z$ (рис. 52). Считая, что магнитное поле направлено вдоль оси $Z$, можем положить $B_{x}=0, B_{y}=0, B_{z}=$ $=B_{z}$ и переписать формулы (15.11) в виде
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=p_{\mathrm{m} z} \partial B_{z} / \partial x, F_{y}=p_{\mathrm{m} z} \partial B_{z} / \partial y, \\
F_{z}=p_{\mathrm{m} z} \partial B_{z} / \partial z .
\end{array}
\]
Неоднородное магнитное поле создается в достаточно длинном магните посредством придания полюсам в перпендикулярной оси $X$ плоскости формы, показанной на рис. 53. Магнитное поле симметрично относительно плоскости $y=0$. Предполагается, что атом движется в этой плоскости и, следовательно, справедливо утверждение, что $B_{x}=0$. Равенство $B_{y}=0$ нарушается лишь в небольших областях у краев магнита. Этот краевой эффект не оказывает существенного влияния на траекторию атома в целом и им можно пренебречь. Это позволяет написать уравнения (15.11) в виде (15.12). Из тех же обстоятельств следует, что $\partial B_{z} / \partial x, \partial B_{z} / \partial y=0$, и формула (15.12) принимает вид
\[
F_{x}=0, F_{y}=0, F_{z}=p_{\mathrm{mz}} \partial B_{z} / \partial z .
\]
Прецессия атомов в магнитном поле
51
Момент импульса и орбитальный магнитный момент электрона, движущегося вокруг ядра
К расчету движения магнитного момента в неоднородном магнитном поле
53
Форма полюсов магнитов для создания неоднородного магнитного поля
не изменяет проекции $p_{\mathrm{mz}}$ магнитного момента атома на направление индукции поля, $\partial B_{z} / \partial z$ также при небольшом отклонении от оси $X$ в направлении оси $Z$ может считаться по-
Область отложения атомов серебра в опыте Штерна – Герлаха
стоянной, равной $\left(\partial B_{z} / \partial z\right)_{0}$ на оси. Поэтому уравнение движения атома в пространстве между магнитами
$m \mathrm{~d} v_{z} / \mathrm{d} t=p_{\mathrm{m} z}\left(\partial B_{z} / \partial z\right)_{0}$,
где $m$-масса атома. Следовательно, при прохождении пути $a$ между магнитами атом отклоняется от оси $X$ на расстояние
$z=p_{\mathrm{m} z}\left(\partial B_{z} / \partial z\right)_{0}(a / v)^{2} /(2 m)$,
где $a$-путь атома вдоль оси $X$ в пространстве между магнитами (см. рис. 52); $v$-скорость атома по оси $X$. Выйдя из пространства между магнитами, атом продолжает двигаться под постоянным углом к оси $X$ по прямой линии и нетрудно вычислить его полное отклонение от оси $X$ на любом расстоянии от магнита. Значения величин $\left(\partial B_{z} / \partial z\right)_{0}, a, v, m$, входящих в формулу (15.15), известны и по отклонению $z$ можно определить $p_{\mathrm{mz}}$.
** В однородном магнитном поле не возникает сил, действующих на атом в целом и сообщающих ему ускорение. Однородное магнитное поле не изменяет угол между направлениями индукции магнитного поля и магнитного момента атома.
В неоднородном магнитном поле на атом в целом действует сила, сообщающая атому ускорение.
* Чем отличается соотношение между механическим и магнитным моментами электрона, обусловленными его орбитальным движениным моментом электрона?
Опыт Штерна и Герлаха. О. Штерн предложил (1921) идею эксперимента по измерению магнитного момента атома, который был выполнен им совместно с В. Герлахом (1922). По классическим представлениям в пучке атомов магнитные моменты направлены под всевозможными углами к оси $Z$ и, следовательно, $p_{\mathrm{mz}}$ в (15.15) принимает весь интервал значений от $\left|\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\right|$ до – $\left|\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\right|$, где $\left|\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\right|$-модуль магнитного момента. Пучок атомов вдоль оси $X$ (см. рис. 52) распределяется на экране $I I$ между $A$ и $B$. Наибольшие отклонения испытывают атомы, магнитные моменты которых коллинеарны оси $Z$. По этим отклонениям можно определить модуль магнитного момента атома.
Штерн и Герлах проводили опыты с атомами серебра. Пучок атомов серебра образовывали в результате нагрева до высокой температуры металлических паров в замкнутом сосуде $C$. Выходящий из маленького отверстия сосуда $C$ пучок атомов серебра коллимировали системой диафрагм и направляли между полюсами магнита. В области движения атомов был создан высокий вакуум. При попадании на холодную пластину $\Pi$ атомы серебра осаждались на ней. Плотность отложений атомов пропорциональна интенсивности пучка атомов и времени падения пучка на пластину. Результат опыта оказался весьма загадочным. Все атомы в плоскости $y=0$ сконцентрировались около точек $A$ и $B$ (см. рис. 52), а в области между $A$ и $B$ никаких атомов не оказалось. Атомы пучка вблизи плоскости $y=0$ также сконцентрировались вблизи своих максимально возможных отклонений. Область отложения атомов серебра на пластине $\Pi$ закрашена на рис. 54 . Получается, что магнитные моменты атомов направлены параллельно оси $Z$, а под углом к оси $Z$ направлены быть не могут, т.е. приходится признать, что ориентация магнитных моментов относительно магнитного поля изменяется дискретно.
Это явление получило в дальнейшем название пространственного квантования (см. § 35, 37). Таким образом, дискретны не только атомные состояния, но дискретны также и ориентировки магнитных моментов атомов во внешнем магнитном поле, что является также принципиально новым свойством движения атомных
частиц. В дальнейшем аналогичные результаты были получены в опытах с медью, золотом и рядом других атомов.
Объяснение количественных результатов этого опыта стало возможным лишь в 1925 г., когда был открыт спин электрона. Было установлено, что магнитный момент атома серебра обусловлен не орбитальными моментами электронов, а внутренним магнитным моментом электрона, связанным с его внутренним механическим моментом, называемым спином (см. § 37).
