Излагаются основные понятия и результаты теории конечномерных векторных пространств.

Линейное векторное пространство. Линейным векторным пространством называется совокупность векторов $\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, \ldots\right\}$, для которых определены:
1) операчия сложения, удовлетворяющая требованиям:
a) сумма любых двух векторов принадлежит тому же пространству;
б) коммутативности
\[
\mathbf{v}_{i}+\mathbf{v}_{j}=\mathbf{v}_{j}+\mathbf{v}_{i} ;
\]
в) ассоциативности
\[
\mathbf{v}_{i}+\left(\mathbf{v}_{j}+\mathbf{v}_{k}\right)=\left(\mathbf{v}_{i}+\mathbf{v}_{j}\right)+\mathbf{v}_{k} ;
\]
г) существования нулевого элемента $\mathbf{0}$, для которого при любом $\mathbf{v}_{i}$ справедливо равенство
\[
\mathbf{v}_{i}+\mathbf{0}=\mathbf{v}_{i} ;
\]
д) существования для каждого элемента $\mathbf{v}_{i}$ такого единственного элемента ( $-\mathbf{v}_{i}$ ), что
$\mathbf{v}_{i}+\left(-\mathbf{v}_{i}\right)=\mathbf{0}$;
2) операчия умножения векторов на скаляры $\{\alpha, \beta, \ldots\}$, удовлетворяющая требованиям:
a) замкнутости (т.е. произведение любого вектора на скаляр принадлежит тому же пространсгву);
б) распределительности умножения
$(\alpha+\beta) \mathbf{v}_{i}=\alpha \mathbf{v}_{i}+\beta \mathbf{v}_{i}$,
$\alpha\left(\mathbf{v}_{i}+\mathbf{v}_{j}\right)=\alpha \mathbf{v}_{i}+\alpha \mathbf{v}_{j} ;$
в) сочетательности умножения
$\alpha\left(\beta \mathbf{v}_{i}\right)=(\alpha \beta) \mathbf{v}_{i}$.
Совокупность чисел $\{\alpha, \beta, \ldots\}$ называется полем, на котором определено рассматриваемое векторное пространство. Если скаляры – вещественные числа, то векторное пространство вещественно, а если комплексныекомплексное.
Все эти определения являются прямым обобщением правил оперирования с трехмерными векторами обычного пространства.
Линейно независимые векторы. Совокупность векторов $\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\}$ называется линейно независимой, если между ними не существует линейного соотношения вида
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \mathbf{v}_{i}=0$,
за исключением тривиального случая, когда все $\alpha_{i}=0$.
Если между векторами возможно равенство (21.3), то любой из векторов $\mathbf{v}_{j}$ при $\alpha_{j}
eq 0$ может быть выражен через остальные.
Разномерность линейного пространства и его базис. Пространство имеет размерность $n$, если в нем не существует больше чем $n$ линейно независимых векторов. Если в $n$-мерном пространстве имеются некоторые $n$ линейно независимых векторов $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$, $\ldots, \mathbf{v}_{n}$, то любой другой вектор $\mathbf{v}$ может быть выражен через эти линейно независимые векторы, потому что совокупность векторов $\left\{\mathbf{v}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right.$, $\left.\ldots, \mathbf{v}_{n}\right\}$, по определению, линейно зависима, т.е. выполняется равенство
\[
\alpha \mathbf{v}+\sum_{t=1}^{n} \alpha_{t} \mathbf{v}_{t}=0,
\]

из которого следует, что
\[
\mathbf{v}=-\sum_{t=1}^{n}\left(\alpha_{t} / \alpha\right) \mathbf{v}_{t} .
\]

Нетрудно доказать, что коэффициенты разложения $\mathbf{v}$ по векторам $\mathbf{v}_{t}$ в (21.5) единственны. В самом деле, если имеется другое представление
\[
\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} \mathbf{v}_{1},
\]

то, вычитая (21.6) почленно из (21.5), получаем
$0=\sum_{i=1}^{n}\left(-\alpha_{i} / \alpha-\beta_{\imath}\right) \mathbf{v}_{\imath}$.
Отсюда ввиду линейной независимости $\mathbf{v}_{t}$ следует, что
$-\alpha_{1} / \alpha-\beta_{\imath}=0$,
т. е. $\beta_{t}=-\alpha_{t} / \alpha$. Единственность представления (21.5) доказана.

Совокупность векторов $\mathbf{v}_{l}$ называется базисом пространства, а коэффициенты $\beta_{2}$-проекциями вектора $\mathbf{\text { в }}$ этом базисе.

Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов $\mathbf{v}_{t}$ и $\mathbf{v}_{J}$, обозначаемое $\left\langle v_{t} \mid v_{J}\right\rangle$, является числом, удовлетворяющим следующим требованиям:
1) $\left\langle v_{i} \mid v_{t}\right\rangle \geqslant 0$ (0 только при $\mathrm{v}_{t}=0$ ),
2) $\left\langle v_{t} \mid v_{j}\right\rangle=\left\langle v_{J} \mid v_{i}\right\rangle^{*}$,
3) $\left\langle v_{l} \mid \alpha v_{j}+\beta v_{k}\right\rangle=$ $=\alpha\left\langle v_{\imath} \mid v_{j}\right\rangle+\beta\left\langle v_{i} \mid v_{J}\right\rangle$.
В формулах (21.9) для обозначения скалярного произведения вместо круглых использованы угловые скобки, а вместо точки-вертикальная черта. Это позволит в последующем перейg*
ти к обозначениям Дирака для векторов, которые наиболее удобны для квантовой механики. В (21.9б) звездочкой обозначено комплексное сопряжение. Кроме того, надо обратить внимание, что в (21.9) буквы $v_{\imath}$ и $v_{j}$ набраны светлым шрифтом, а не полужирным, т.е. векторный характер $\mathbf{v}_{t}$ и $\mathbf{v}_{\text {, }}$ обозначен угловыми скобками, а не полужирным шрифтом.
Равенство (21.9в) показывает, что скалярное произведение линейно относительно второго вектора в произведении. Однако относительно первого вектора оно антилинейно:
\[
\left\langle\alpha v_{t}+\beta v_{\jmath} \mid v_{k}\right\rangle=\alpha^{*}\left\langle v_{\imath} \mid v_{k}\right\rangle+\beta^{*}\left\langle v_{\jmath} \mid v_{k}\right\rangle .
\]

Это соотношение получается из (21.9в) с учетом (21.96) следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\boldsymbol{\alpha} v_{t}+\beta v_{\jmath} \mid v_{k}\right\rangle=\left\langle v_{k} \mid \alpha v_{l}+\beta v_{\jmath}\right\rangle^{*}= \\
=\left(\alpha\left\langle v_{k} \mid v_{l}\right\rangle+\beta\left\langle v_{k} \mid v_{\jmath}\right\rangle\right)^{*}= \\
=\alpha^{*}\left\langle v_{l} \mid v_{k}\right\rangle+\beta^{*}\left\langle v_{\jmath} \mid v_{k}\right\rangle .
\end{array}
\]

Модулем или нормой вектора называется число $|v|=\sqrt{\langle v \mid v\rangle}$. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Совокупность векторов $\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\right\}$ называется ортонормированной, если для всех векторов этой совокупности соблюдаются условия
\[
\left\langle e_{i} \mid e_{J}\right\rangle=\delta_{t J},
\]

где $\delta_{\imath}$-символ Кронекера.
Скалярное произведение удовлетворяет важному неравенству
\[
\left|\left\langle v_{t} \mid v_{J}\right\rangle\right|^{2} \leqslant\left|v_{l}\right|^{2} \cdot\left|v_{j}\right|^{2},
\]

называемому неравенством Шварца. В обычном трехмерном пространстве оно очевидно, потому что косинус угла между векторами по модулю равен или меньше единицы. Для доказательства в общем случае рассмотрим вектор
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{t}-\mathbf{v}_{j}\left\langle v_{j} \mid v_{t}\right\rangle /\left|v_{j}\right|^{2} .
\]

Соотношение (21.9a) для него принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\left\langle v_{1}-v_{j}\left\langle v_{j} \mid v_{t}\right\rangle /\left.\left|v_{j}\right|^{2}\left|v_{1}-v_{j}\left\langle v_{j} \mid v_{1}\right\rangle /\right| v_{j}\right|^{2}\right\rangle= \\
=\left\langle v_{1} \mid v_{J}\right\rangle-\left\langle v_{j} \mid v_{\imath}\right\rangle\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle /\left|v_{j}\right|^{2}- \\
-\left\langle v_{j} \mid v_{t}\right\rangle^{*}\left\langle v_{j} \mid v_{t}\right\rangle /\left|v_{j}\right|^{2}+ \\
+\left\langle v_{j} \mid v_{\imath}\right\rangle^{*}\left\langle v_{j} \mid v_{\imath}\right\rangle\left\langle v_{j} \mid v_{j}\right\rangle /\left|v_{\jmath}\right|^{4}= \\
=\left|v_{t}\right|^{2}-\left|\left\langle v_{t} \mid v_{\jmath}\right\rangle\right|^{2} /\left|v_{\jmath}\right|^{2} \geqslant 0 \text {, } \\
\end{array}
\]

где в последнем равенстве использована формула (21.9б). Из (21.12б) следует (21.11), что и требовалось доказать.

В трехмерном обычном пространстве известно неравенство треугольника: длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. В общем случае многомерных векторов неравенство треугольника записывается в виде
\[
\left|v_{t}+v_{j}\right| \leqslant\left|v_{\imath}\right|+\left|v_{j}\right| .
\]

Для доказательства этого неравенства заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\left|v_{t}+v_{\jmath}\right|^{2}=\left\langle v_{l}+v_{\jmath} \mid v_{t}+v_{J}\right\rangle= \\
=\left|v_{\imath}\right|^{2}+\left|v_{\jmath}\right|^{2}+\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle+\left\langle v_{\jmath} \mid v_{1}\right\rangle= \\
=\left|v_{\imath}\right|^{2}+\left|v_{\jmath}\right|^{2}+2 \operatorname{Re}\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle+\left\langle v_{\jmath} \mid v_{\imath}\right\rangle=\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle+\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle^{*}= \\
=2 \operatorname{Re}\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle .
\end{array}
\]

Поскольку для любого комилексного числа $z$ справедливо неравенство $\operatorname{Re} z \leqslant|z|$, соотношение (21.14) принимает вид
\[
\left|v_{t}+v_{\jmath}\right|^{2} \leqslant\left|v_{\imath}\right|^{2}+\left|v_{\jmath}\right|^{2}+2\left|\left\langle v_{\imath} \mid v_{\jmath}\right\rangle\right| \text {. }
\]

Отсюда с учетом (21.11) следует неравенство
\[
\begin{array}{l}
\left|v_{1}+v_{J}\right|^{2} \leqslant\left|v_{1}\right|^{2}+\left|v_{J}\right|^{2}+2\left|v_{1}\right|\left|v_{J}\right|= \\
=\left(\left|v_{\imath}\right|+\left|v_{j}\right|\right)^{2},
\end{array}
\]

эквивалентное (21.13).
Сопряженные векторы. В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контравариантного и ковариантного векторов и соответствующих проекций. Эาи векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются поразному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или ковариантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории-анализ инвариантов преобразований. Обычно контравариантные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, $\mathbf{e}_{\alpha}$ – ковариантный вектор, $\mathbf{e}^{\alpha}$-контравариантный вектор. Эти векторы принадлежаг различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивдет инвариантность этого произведения.

Лишь после введения метрики пространства можно скалярное произведение выразигь либо только через ковариантные, либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между ковариантными и контравариантными векторами.

В квантовой механике вектор состояния характеризуегся обычно не одним, а несколькими параметрами или символами. Выносить эти параметры и символы в индекс вектора не всегда удобно или даже возможно. Поэтому Дирак предложил специальное обозначение для векторов, которое учитывает требования к удобству написания векторов и операций с ними в квантовой механике. Вектор обозначается символом |\rangle , внутри которого в строке выписываюгся параметры или символы, относящиеся к вектору. Если, например, вектор характеризуется парой чисел $n, m$, то он записывается как $|n, m\rangle$; если символом $\otimes$, то в виде $|\otimes\rangle$, если буквой $v_{1}$, то $\left|v_{1}\right\rangle$ и т.д.

Пространство векторов $\left|v_{1}\right\rangle$ квантовой механики является комплексным. Вместо того чтобы говорить о контравариантных и ковариантных векторах, говорят о векторах и сопряженных векторах. Каждому вектору $\left|v_{l}\right\rangle$ сопоставляется сопряженный ему вектор $\left|v_{1}\right\rangle^{+}$. Совокупность векторов $\left|v_{t}\right\rangle^{+}$составляет линейное векторное пространство наряду с линейным векторным пространством, образуемым совокупностью векторов $\left|v_{t}\right\rangle$. Складывать векторы этих различных пространств нельзя. Все операции над векторами должны проводиться в пределах каждого из пространств. Эти пространства связаны между собой определением скалярного произведения, которое и порождает метрику пространства.

Сопряженный вектор записывается как $\left\langle v_{l}|=| v_{1}\right\rangle^{+}$. Скалярное произведение вектора $\left|v_{1}\right\rangle$ на $\left|v_{3}\right\rangle$ записывают в форме $\left|v_{\imath}\right\rangle^{+} \cdot\left|v_{j}\right\rangle=\left\langle v_{l}|\cdot| v_{j}\right\rangle=$ $=\left\langle v_{t} \mid v_{J}\right\rangle$. Знаки $|\cdot|$, стоящие между $v_{t}$ и $v_{j}$, играют лишь роль указателя, разделяющего перемножаемые векторы, и поэтому заменены одной вертикальной чертой. Это делает запись скалярного произведения компактной и удобной.

Левая угловая скобка*) с чертой относится к вектору <I, а правая-к
*’ Скобка bracket (англ.)
вектору |>. Это дало основание Дираку назвать вектор <| бра-вектором, а вектор |\rangle -кет-вектором. Поэтому часто линейное пространство кет-векторов называют кет-пространством, а бра-векторов-бра-пространством.
Операторы. Операция сложения векторов и умножения векторов на скаляры характеризует свойства векторного пространства. Операции над векторами описываются операторами, которые обозначают буквами или другими символами со значками $\wedge$ над ними, например $\hat{A}, \hat{L}, \hat{\xi}$ и т.д. Оператор $\hat{A}$ определяет правило, по которому вектору $|\Psi\rangle$ пространства кет-векторов сопоставляется вектор $|\varphi\rangle$ того же векторного пространства, т.е. по заданному вектору $|\Psi\rangle$ определяется вектор $|\varphi\rangle$. Это сопоставление записывают в виде равенства
$|\varphi\rangle=\hat{A}|\Psi\rangle$
и говорят, что оператор $\hat{A}$ действует вправо на вектор $|\Psi\rangle$, в результате чего получаем вектор $|\varphi\rangle$.
Оператору $\hat{A}$, действующему в кет-пространстве, соответствует сопряженный оператор $\hat{A}^{+}$, действующий в пространстве бра-векторов, по такому правилу:
если оператор $\hat{\hat{A}}$, действуя вправо на век гор $|\Psi\rangle$, дает $|\varphi\rangle$, то оператор $A^{+}$, действуя влево на вектор $\langle\Psi|$, дает $\langle\varphi|$ :
$\langle\varphi|=\langle\Psi| \hat{A}^{+}$.
Отметим, что
оператор $\hat{A}^{+}$действует только на векгоры $\langle\Psi|$, а оператор $\hat{A}$-только на векторы $|\Psi\rangle\rangle$.
Принцип суперпозиции состояний в квантовой механике требует, чтобы в качестве операторов использовались только линейные операторы. Оператор $\hat{A}$ называется линейным, если он для любой пары векторов $|\varphi\rangle$ и $|\Psi\rangle$ и любых комплексных чисел $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяет условию
$\hat{A}(\alpha|\varphi\rangle+\beta|\Psi\rangle)=\alpha(\hat{A}|\varphi\rangle)+\beta(\hat{A}|\Psi\rangle)$.
Суммой операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ называется оператор $\hat{A}+\hat{B}=\hat{C}$, который для любого вектора $|\Psi\rangle$ удовлетворяет требованию
\[
\hat{C}|\Psi\rangle=\hat{A}|\Psi\rangle+\hat{B}|\Psi\rangle=(\hat{A}+\hat{B})|\Psi\rangle .
\]

Произведением операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ называется оператор $\hat{A} \hat{B}=\hat{D}$, который при всех векторах $|\Psi\rangle$ обеспечивает выполнение соотношения
$\hat{D}|\Psi\rangle=\hat{A}(\hat{B}|\Psi\rangle)=\hat{A} \hat{B}|\Psi\rangle$.
Если $\hat{A} \hat{B}=\hat{B} \hat{A}$, то операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют друг с другом, если же $\hat{A} \hat{B}
eq \hat{B} \hat{A}$, то не коммутируют.

Произведением числа $\alpha$ и оператора $\hat{A}$ называется оператор $\hat{B}=\alpha \hat{A}$, удовлетворяющий для любого вектора $|\Psi\rangle$ равенству
\[
\hat{B}|\Psi\rangle=\alpha(\hat{A}|\Psi\rangle)=\alpha \hat{A}|\Psi\rangle .
\]

Умножая (21.17) слева на $\langle\xi|$ и (21.18) справа на $|\xi\rangle$, получаем равенства
\[
\begin{array}{l}
\langle\xi \mid \varphi\rangle=\langle\xi \mid \hat{A} \Psi\rangle, \\
\langle\varphi \mid \xi\rangle=\left\langle\Psi\left|\hat{A}^{+}\right| \xi\right\rangle,
\end{array}
\]

из которых с учетом (21.96) следует, что
\[
\left\langle\Psi\left|\hat{A}^{+}\right| \xi\right\rangle=\langle\xi|A| \Psi\rangle^{*},
\]

где звездочка означает комплексное сопряжение. Равенство (21.25) выражает основное свойство сопряженных операторов. С помощью этого соотношения с учетом линейности операторов и свойств скалярного произведения векторов, выражаемых равенствами (21.9), нетрудно доказать следующие правила сопряжения произведений и сумм операторов:
$(\hat{A}+\hat{B})^{+}=\hat{A}^{+}+\hat{B}^{+},(\hat{A} \hat{B})^{+}=\hat{B}^{+} \hat{A}^{+}$,
$(\alpha \hat{A})^{+}=\alpha^{*} \hat{A}^{+},\left(\hat{A}^{+}\right)^{+}=\hat{A}$.
Оператор $\hat{A}$ называется самосопряженным или эрмитовым, если для него $\hat{A}^{+}=\hat{A}$. Равенство (21.25) в этом случае
$\langle\Psi|\hat{A}| \xi\rangle=\langle\xi|\hat{A}| \Psi\rangle$
выражает основное свойство эрмитова оператора.
Единичным $\hat{I}$ называется такой оператор, который любой вектор $|\Psi\rangle$ оставляет без изменения:
$|\Psi\rangle=\hat{I}|\Psi\rangle$.
Нулевым $\hat{0}$ называется оператор, переводящий любой вектор $|\Psi\rangle$ в нулевой вектор |нуль $\rangle$ :
$\mid$ нуль $\rangle=\hat{0}|\Psi\rangle$.
Обратным к $\hat{A}$ называется оператор $\tilde{A}^{-1}$, удовлетворяющий равенствам
$\hat{A} \hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1} \hat{A}=\hat{I}$.
Заметим, что не любой оператор имеет обратный.
Унитарным называется оператор $\hat{A}$, удовлетворяющий условиям
$\hat{A} \hat{A}^{+}=\hat{A}^{+} \hat{A}=\hat{I}$.
Отсюда следует, что для унитарного оператора между собой совпадают его обратный и сопряженный. Нетрудно показать также, что произведение двух унитарных операторов является унитарным и что скалярное произведение не изменяется при одинаковом унитарном преобразовании входящих в него векторов.
Представление векторов и операторов в ортоиормированиом базисе. Формулой (21.6) любой вектор может быть представлен в виде разложения по любой совокупности линейно независимых векторов. Из этой совокупности посредством ортогонализации [см. (21.76)-(21.82)] можно построить совокупность $n$ ортонормированных векторов, которые обозначим $|i\rangle(i=1,2, \ldots, n)$. Они удовлетворяют условиям орт онормированности (21.10), которые в обозначениях Дирака имеют вид
\[
\langle i \mid \jmath\rangle=\delta_{i j} \text {. }
\]

Разложение (21.6) произвольного вектора $|v\rangle$ по ортонормированному базису из векторов $|i\rangle$ записываем также очень компактно:
$|v\rangle=\sum_{i=1}^{n} v_{t}|i\rangle$,
где $v_{1}$-проекции вектора $|v\rangle$ на орты $|i\rangle$ базиса. Умножая (21.33) слева на $\langle j|$ и принимая во внимание (21.32), получаем
\[
\langle j \mid v\rangle=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\langle j \mid i\rangle=\sum_{i=1}^{n} v_{\imath} \delta_{\jmath}=v_{j} .
\]

Формула (21.34) позволяет находить коэффициенты $v_{1}$ в разложении (21.33). Совокупность чисел $\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}$ полностью определяет вектор $|v\rangle$ в заданном базисе из векторов $|1\rangle$, $|2\rangle, \ldots,|n\rangle$. Эта совокупность называется представ.лением вектора $|v\rangle$ в базисе из векторов $|i\rangle$. Все операции с векторами могут быть выражены посредством операций над совокупностью его проекций. Кет-вектор $|v\rangle$ в представлении заданного базиса принято записывать в виде столбца его проекций:
\[
|v\rangle \rightarrow\left(\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
\vdots \\
v_{n}
\end{array}\right)
\]

Операторы в заданном базисе представляются в виде матриц. Записав векторы $|\Psi\rangle$ и $|\varphi\rangle$ в (21.17) в виде разложения (21.33)
$|\varphi\rangle=\sum_{J} \varphi_{j}|j\rangle,|\Psi\rangle=\sum_{i} \Psi_{t}|i\rangle$,
где $\varphi_{J}=\langle j \mid \varphi\rangle, \quad \Psi_{t}=\langle i \mid \Psi\rangle$-проекции векторов $|\varphi\rangle$ и $|\Psi\rangle$ на орты $|j\rangle,|i\rangle$. получаем
\[
\sum_{j} \varphi_{j}|l\rangle=\hat{A} \sum \Psi_{\imath}|i\rangle=\sum \Psi_{\mathrm{i}} \hat{A}|i\rangle .
\]

В (21.36) и (21.37) суммирование по $i$ и $j$ распространяется на все орты базиса и пределы суммирования в явном виде не указываются. Аналогично будем поступать и в дальнейшем, когда это не может привести к недоразумению. Умножая (21.37) слева на $\langle k|$ и учитывая, что $\langle k \mid j\rangle=\delta_{k}$, $\langle k \mid i\rangle=\delta_{k l}$, находим
$\varphi_{k}=\sum_{i}\langle k|\hat{A}| l\rangle \Psi_{i}=\sum A_{k l} \Psi_{i}$,
где
$A_{k l}=\langle k|\hat{A}| i\rangle$
– матричные элементы оператора $\hat{A}$. Выразив векторы $|\Psi\rangle$ и $|\varphi\rangle$ в виде $(21.35)$, запишем (21.17) как матричное равенство
\[
\left(\begin{array}{c}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2} \\
\vdots \\
\varphi_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\
\vdots & & & \\
A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2} \\
\vdots \\
\Psi_{n}
\end{array}\right)
\]

в котором правило умножения задается формулой (21.38). Таким образом, в ортонормированном базисе операторы представляются квадратными матрицами, а действие оператора на вектор сводится к умножению матрицы на столбцы из проекций вектора. Все действия над операторами могут быть выражены в виде действий над матрицами. В часгности, сложение операторов сводится к сложению соответствующих элементов их матриц; умножение операторов-к

умножению матриц; умножение числа на оператор – к умножению числа на все элементы представляющей его ма грицы.

Выражения сопряженных векторов и матриц могут быть найдены аналогично. Разложение сопряженного к $|v\rangle$ вектора $\langle v|$ записывается аналог ично (21.33):
$\langle v|=\sum_{i-1}^{n} \xi_{t}\langle i|$,
где $\xi_{l}$ – проекции вектора $\langle v|$ на орты $\langle i|$ сопряженного базиса. Умножая равенство (21.41) справа на $|j\rangle$, находим
\[
\langle v \mid \jmath\rangle=\xi \text {. }
\]

Отсюда на основании (21.17б) следует, что $\langle v \mid j\rangle^{*}=\xi_{j}^{*}=\langle j \mid v\rangle=v_{j}$, где $v_{j}$ определено в (21.34). Тогда [см. (21.41)]
\[
\langle v|=\sum_{t} v_{t}^{*}\langle i| .
\]

Поэтому сопряженный вектор $\langle v|$ в заданном базисе выражается совокупностью чисел $\left\{v_{1}^{*}, v_{2}^{*}, \ldots, v_{n}^{*}\right\}$, комплексно сопряженных с совокупностью чисел $\left\{v_{1}, n_{2}, \ldots, v_{n}\right\}$. Скалярное произведение
\[
\langle v \mid v\rangle=\sum_{\imath} v_{\imath}^{*} v_{\imath} .
\]

Поэтому сопряженный вектор запишем в виде строки чисел
\[
\langle v| \rightarrow\left(v_{1}^{*}, v_{2}^{*}, \ldots, v_{n}^{*}\right) \text {. }
\]

что позволяет образовать скалярное произведение по правилу умножения сгрок и столбцов матрицы. Поэтому в базисном представлении векторов операция сопряжения сводится к замене столбца на строку и комплексному сопряжению элеменіов строки:
\[
\left(\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
\vdots \\
v_{n}
\end{array}\right) \rightarrow\left(v_{1}^{*}, v_{2}^{*}, \ldots, v_{n}^{*}\right) .
\]

Скалярное произведение векторов
$|v\rangle=\sum_{i} v_{\imath}|i\rangle,|w\rangle=\sum_{i} w_{1}|l\rangle$
с учетом (21.43) равно
\[
\left\langle w^{\prime} \mid v\right\rangle=\sum_{i} w_{i}^{*} v_{1} .
\]

Выражая в (21.18) бра-векторы $\langle\Psi|$ и $\langle\varphi|$ в виде (21.43), получаем соотношение
\[
\sum_{j} \varphi_{j}^{*}\langle J|=\sum_{i} \Psi_{t}^{*}\langle i| \hat{A}^{+},
\]

умножение которого справа на $|k\rangle$ приводит к равенс гву
\[
\varphi_{k}^{*}=\sum_{t} \Psi_{t}^{*}\left\langle t\left|\hat{A}^{+}\right| k\right\rangle .
\]

По формуле (21.25) имеем
\[
A_{t k}^{+}=\left\langle l\left|\hat{A}^{+}\right| k\right\rangle=\langle k|\hat{A}| i\rangle=A_{k i}^{*} \text {, }
\]

где $A_{k l}$ совпадает с (21.39). Следовательно [см. (21.48)],
\[
\varphi_{k}^{*}=\sum \Psi_{i}^{*} A_{k \mathrm{i}} .
\]

В матричном виде это равенство записывается так:
\[
\begin{array}{l}
\left(\varphi_{1}^{*}, \varphi_{2}^{*}, \ldots, \varphi_{n}^{*}\right)=\left(\Psi_{1}^{*}, \Psi_{2}^{*}, \ldots, \Psi_{n}^{*}\right) \times \\
\times\left(\begin{array}{cccc}
A_{11}^{*} & A_{21}^{*} & \cdots & A_{n 1}^{*} \\
A_{12}^{*} & A_{22}^{*} & \cdots & A_{n 2}^{*} \\
\vdots & & & \\
A_{1 n}^{*} & A_{2 n}^{*} & \cdots & A_{n n}^{*}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Значит, матрица, представляющая сопряженный оператор $\hat{A}^{+}$, получается из матрицы оператора $\hat{A}$ транспонированием строк и столбцов и комплексным сопряжением элементов матрицы:
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \\
A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)^{+} \rightarrow
\]

Это правило выражает основное свойство (21.25) сопряженных операторов в матричном виде. Свойство (21.27) эрмитовости оператора выражается равенствами $A_{k i}=A_{i k}$. Единичный оператор представляется матрицей с отличными от нуля диагональными элементами, равными единице.

Собственные векторы и собственные значения оператора. Собственным вектором оператора $\hat{A}$ называется такой вектор $|v\rangle$, действие оператора на который сводится к умножению вектора на число, называемое собственным значением оператора. Уравнение на собственные значения и собственные векторы имеет вид
$\hat{A}|v\rangle=A|v\rangle$.
В уравнении (21.53) собственное значение оператора $\hat{A}$ обозначено той же буквой $A$, что и оператор, но без символа $\wedge$. В базисном представлении это уравнение имеет вид (21.40):
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\
\vdots & & & \\
A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
\vdots \\
v_{n}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
\vdots \\
v_{n}
\end{array}\right),
\]

где
\[
A_{i j}=\langle i|\hat{A}| j\rangle, v_{i}=\langle i \mid v\rangle .
\]

Матричное уравнение эквивалентно системе $n$ линейных уравнений для определения $n$ неизвестных величин $v_{i}$, которые удобно представить в
виде
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(A_{i j}-\delta_{i j} A\right) v_{j}=0(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Чтобы эта система уравнений имела нетривиальные решения, детерминант ее определителя должен быть равным нулю:
\[
\left|\begin{array}{cccc}
A_{11}-A & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\
A_{21} & A_{22}-A & \cdots & A_{2 n} \\
\vdots & & & \\
A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right|=0 .
\]

Уравнение (21.56) является алгебраическим уравнением $n$-й степени и имеет $n$ корней. Эти корни называются собственными значениями оператора $\hat{A}$. Среди корней могут быть и одинаковые. В этом случае говорят о вырожденных собственных значениях.

Для каждого невырожденного собственного значения решение системы уравнений (21.55) дает соответствующую собственную функцию. Если все $n$ собственных значений невырожденные, то имеется $n$ различных собственных функций. Важное свойство эрмитовых операторов состоит в том, что их собственные значения вещественны. Для доказательства рассмотрим уравнение (21.53) на собственные значения, которое после умножения слева на $\langle v|$ приводит к равенству
\[
\langle v|\hat{A}| v\rangle=A\langle v \mid v\rangle \text {. }
\]

Сопряженное с (21.57) соотношение имеет вид
\[
\left\langle v\left|\hat{A}^{+}\right| v\right\rangle=A^{*}\langle v \mid v\rangle .
\]

Для эрмитовых операторов $\hat{A}^{+}=\hat{A}$ и это соотношение имеет вид равенства
\[
\langle v|\hat{A}| v\rangle=A^{*}\langle v \mid v\rangle .
\]

Вычитая почленно (21.59) из (21.57), находим
$0=\left(A-A^{*}\right)\langle v \mid v\rangle$.

Поскольку $\langle v \mid v\rangle
eq 0$, из (21.60) следует, что
\[
A=A^{*} \text {, }
\]
т.е. собственное значение $A$ вещественно.

Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Обозначим эти различные собственные значения $A_{l}$ и $A_{J}$, а собственные функции $\left|A_{l}\right\rangle$, $\left|A_{j}\right\rangle$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\hat{A}\left|A_{t}\right\rangle=A_{\imath}\left|A_{\imath}\right\rangle, \\
\hat{A}\left|A_{\jmath}\right\rangle=A_{\jmath}\left|A_{\jmath}\right\rangle .
\end{array}
\]

Умножая (21.61a) на $\left\langle A_{j}\right|$, а (21.61б)на $\left|A_{1}\right\rangle$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left\langle A_{J}|\hat{A}| A_{l}\right\rangle=A_{i}\left\langle A_{J} \mid A_{i}\right\rangle, \\
\left\langle A_{l}|\hat{A}| A_{J}\right\rangle=A_{J}\left\langle A_{\imath} \mid A_{J}\right\rangle .
\end{array}
\]

Сопряженное с (21.62б) соотношение с учетом эрмитовости $\hat{A}$ имеет вид
\[
\left\langle A_{j}|\hat{A}| A_{i}\right\rangle=A_{j}^{*}\left\langle A_{j} \mid A_{i}\right\rangle \text {. }
\]

Вычитая почленно (21.63) из (21.62a), находим
\[
0=\left(A_{l}-A_{j}^{*}\right)\left\langle A_{j} \mid A_{l}\right\rangle .
\]

Так как $A_{t}-A_{j}^{*}
eq 0$, то
\[
\left\langle A_{J} \mid A_{l}\right\rangle=0 \text {, }
\]

что и требовалось доказать.
Если собственное значение вырождено, то ему принадлежат несколько собственных функций, число которых равно числу одинаковых собственных значений (степени вырождения). Любая линейная комбинация этих собственных функций принадлежит тому же собственному значению, т. е. число собственных функций бесконечно, но число линейно независимых функций равно степени вырождения. Поэтому можно сказать, что собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, образуют собственное подпространство, раз-
мерность которого равна степени вырождения. В этом подпространстве исходя из некоторой системы линейно независимых векторов можно ортогонализацией построить ортонормированный базис подпространства. Векторы этого ортонормированного базиса ортогональны не только друг другу, но и всем собственным векторам, принадлежащим другим собственным значениям, как это следует из (21.65). Итак, каждый эрмитов оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. В базисе собственных ортонормированных векторов матрица эрмитова оператора диагональна, причем диагональными элементами матрицы являются вещественные собственные значения эрмитова оператора.
Собственные значения унитарного оператора выражаются комплексными числами, равными по модулю единице, а его собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Для доказательства рассмотрим уравнения для различных собственных функций $\left|A_{\mathrm{r}}\right\rangle$ и $\left|A_{\jmath}\right\rangle$, принадлежащих различным собственным значениям $A_{1}$ и $A_{J}$ унитарного оператора $\hat{A}$ :
$\hat{A}\left|A_{\imath}\right\rangle=A_{\imath}\left|A_{\imath}\right\rangle$,
$\hat{A}\left|A_{\jmath}\right\rangle=A_{\jmath}\left|A_{\jmath}\right\rangle$.
Сопряженным с (21.66б) является уравнение
$\left\langle A_{\jmath}\right| \hat{A}^{+}=A_{j}^{*}\left\langle A_{j}\right|$.
Умножая обе части (21.66a) слева на соответствуюцие части уравнения (21.67), получаем
\[
\left\langle A_{j}\left|\hat{A}^{+} \hat{A}\right| A_{\imath}\right\rangle=A_{\mathrm{J}}^{*} A_{\imath}\left\langle A_{j} \mid A_{\mathrm{t}}\right\rangle .
\]

Отсюда с учетом (21.31) находим
\[
\left(1-A_{J}^{*} A_{\imath}\right)\left\langle A_{\jmath} \mid A_{\imath}\right\rangle=0 .
\]

Тогда

\[
\begin{array}{l}
A_{i}^{*} A_{1}=1 \quad(i=j), \\
\left\langle A_{j} \mid A_{i}\right\rangle=0,(i
eq j),
\end{array}
\]

и утверждение доказано.
Вырожденные собственные значения унитарных операторов анализируются аналогично вырожденным собственным значениям эрмитовых операторов, как это рассмотрено выше.

Условие полноты ортонормированного базиса. Разложение произвольного вектора $|v\rangle$ по ортонормированному базису $|i\rangle$ имеет вид
$|v\rangle=\sum_{i=1}^{n}|i\rangle v_{i}$,
где
$v_{t}=\langle i \mid v\rangle$.
Подставив в (21.72) выражение $v_{1}$ из (21.73), находим
\[
|v\rangle=\sum_{i=1}^{n}|i\rangle\langle i \mid v\rangle=\left(\sum_{i=1}^{n}|i\rangle\langle i|\right)|v\rangle .
\]

Стоящее в (21.74) справа в круглых скобках выражение является оператором, который при действии на вектор $|v\rangle$ оставляет его без изменения, т. е. является единичным оператором $\hat{I}$ :
\[
\sum_{i=1}^{n}|i\rangle\langle i|=\hat{I} \text {. }
\]

Равенство (21.75) играет фундаментальную роль в теории линейных векторных пространств и называется условием полноты ортонормированного базиса.

Построение ортонормированного базиса. Исходя из любой системы $n$ линейно независимых векторов $\left|v_{1}\right\rangle,\left|v_{2}\right\rangle$ , $\ldots,\left|v_{n}\right\rangle$, можно построить ортонормированный базис следующим способом.

Сначала построим $n$ взаимно ортогональных векторов. В качестве
первого вектора $|1\rangle$ возьмем вектор $\left|v_{1}\right\rangle$ :
$|1\rangle=\left|v_{1}\right\rangle$.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что ортогональный к (21.76) вектор может быть представлен в виде
\[
|2\rangle=\left|v_{2}\right\rangle-|1\rangle\left\langle 1 \mid v_{2}\right\rangle /\langle 1 \mid 1\rangle,
\]

поскольку
$\langle 1 \mid 2\rangle=\left\langle 1 \mid v_{2}\right\rangle-\left\langle 1 \mid v_{2}\right\rangle=0$.
Аналогично, третий ортогональный вектор
\[
|3\rangle=\left|v_{3}\right\rangle-|1\rangle\left\langle 1 \mid v_{3}\right\rangle /\langle 1 \mid 1\rangle-
\]
\[
-|2\rangle\left\langle 2 \mid v_{3}\right\rangle /\langle 2 \mid 2\rangle \text {. }
\]

Непосредственно проверкой убеждаемся, что $\langle 1 \mid 3\rangle=0,\langle 2 \mid 3\rangle=0$. Таким образом, общее представление $k$-го ортогонального вектора выражается формулой
\[
|k\rangle=\left|v_{k}\right\rangle-\sum_{j=1}^{k}|j\rangle\left\langle j \mid v_{k}\right\rangle /\langle j \mid j\rangle .
\]

Вектор $|k\rangle$ ортогонален всем предыдушим векторам $|1\rangle,|2\rangle, \ldots$, $|k-1\rangle$. Ортонормированный базисный вектор получается посредством нормировки взаимно ортогональных векторов $|k\rangle$ :
\[
\left|e_{k}\right\rangle=|k\rangle / \sqrt{\langle k \mid k\rangle} \text {. }
\]

Векторы $\left|e_{k}\right\rangle$ удовлетворяют условию ортонормированности
$\left\langle e_{\imath} \mid e_{k}\right\rangle=\delta_{\imath k}$.
Связь между представлениями вектора в различных базисах. Представлением вектора $|v\rangle$ в ортонормированном базисе $\left|e_{1}\right\rangle,\left|e_{2}\right\rangle, \ldots,\left|e_{n}\right\rangle$ является совокупность проекций $\left\langle e_{1} \mid v\right\rangle$, $\left\langle e_{2} \mid v\right\rangle, \ldots,\left\langle e_{n} \mid v\right\rangle$ этого вектора на орты базиса. Записав вектор $|v\rangle$ в виде разложения по ортам другого базиса $\left\{\left|e_{i}^{\prime}\right\rangle\right\}$
\[
|v\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left|e_{i}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{i}^{\prime} \mid v\right\rangle,
\]

находим формулу, связывающую проекции вектора в различных базиcax:
\[
\left\langle e_{k} \mid v\right\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left\langle e_{k} \mid e_{i}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{i}^{\prime} \mid v\right\rangle .
\]

Эта формула выражает связь между представлениями вектора в различных базисах. Видно, что она получается непосредственно в результате использования соотношения (21.75):
\[
\begin{array}{l}
\left\langle e_{k} \mid v\right\rangle=\left\langle e_{k}|\hat{I}| v\right\rangle= \\
=\left\langle e_{k}\left|\left(\sum_{i=1}^{n}\left|e_{1}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{i}^{\prime}\right|\right)\right| v\right\rangle= \\
=\sum_{i=1}^{n}\left\langle e_{k} \mid e_{i}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{i}^{\prime} \mid v\right\rangle .
\end{array}
\]

Связь между представлениями оператора в различных базисах. Оператор в базисе представляеาся матричными элементами. Связь между матричными элементами оператора в различных базисах легко находится в результате представления единичного оператора в виде (21.75):
\[
\begin{array}{l}
\left\langle e_{k}|\hat{A}| e_{m}\right\rangle=\left\langle e_{k}|\hat{I} \hat{A} I| e_{m}\right\rangle= \\
=\left\langle e_{k} \mid\left(\sum_{i}\left|e_{i}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{i}^{\prime}\right|\right) \hat{A}\left(\sum_{j}\left|e_{j}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{j}^{\prime}\right|\right) e_{m}\right\rangle= \\
=\sum_{i, j}\left\langle e_{k} \mid e_{i}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{i}^{\prime}|\hat{A}| e_{j}^{\prime}\right\rangle\left\langle e_{j}^{\prime} \mid e_{m}\right\rangle .
\end{array}
\]

Функции от операторов. Из определения линейного оператора $\hat{A}$ и операций сложения, умножения операторов и умножения оператора на скаляр, выражаемых формулами (21.20)(21.23), следует, что функции
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$
может быть сопоставлен оператор
$\hat{f}(\hat{A})=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \hat{A}^{n}$.
Оператор $\hat{f}(\hat{A})$ [см. (21.87)] называется функцией $f(\hat{A})$ оператора $\hat{A}$. Ясно, что это определение имеет смысл лишь тогда, когда ряд (21.86) сходится по крайней мере для всех значений $x$, равных собственным значениям оператора $\hat{A}$. Если же область значений $x$, для которых ряд (21.86) сходится, ограничена, то вопрос о выражении функции $f(\hat{A})$ формулой (21.87) требует дополнительного исследования. Например, ряд
$\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} / n !$
позволяет найти оператор $\exp \hat{A}$ для весьма широкого класса операторов $\hat{A}$, а ряд
$1 /(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$,
сходящийся лишь в области $|x|<1$, допускает определение оператора $1 /(1-\hat{A})$ лишь для весьма ограниченного класса операторов $\hat{A}$.
Производная от оператора по параметру. Если оператор $\hat{A}$ зависит от параметра $\alpha$, т.е. $\hat{A}=\hat{A}(\alpha)$, то производная по $\alpha$ дается формулой
\[
\frac{\mathrm{d} \hat{A}(\alpha)}{\mathrm{d} \alpha}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{\hat{A}(\alpha+\Delta \alpha)-\hat{A}(\alpha)}{\Delta \alpha}\right] .
\]

В базисном представлении матричные элементы оператора $\mathrm{d} \hat{A}(\alpha) / \mathrm{d} \alpha$ выражаются производными по $\alpha$ от соответствующих матричных элементов оператора $\hat{A}$.

Важным для квантовой механики является оператор
\[
\hat{A}(\alpha)=\exp (\alpha \hat{B}) \text {, }
\]

где $\hat{B}$-эрмитов оператор. Выбирая в качестве базиса представления собственный базис оператора $\hat{B}$, находим $\mathrm{d} \hat{A}(\alpha) / \mathrm{d} \alpha=\hat{B} \exp (\alpha \hat{B})=\hat{B} \hat{A}(\alpha)=\hat{A}(\alpha) \hat{B}$.

Такую же формулу можно получить и непосредственно из представления оператора $\exp (\alpha \hat{B})$ в виде ряда (21.88):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n} \hat{B}^{n}}{n !}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \alpha^{n-1} \hat{B}^{n}}{n !}= \\
=\hat{B} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^{n-1} \hat{B}^{n-1}}{(n-1) !}=\hat{B} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n} \hat{B}^{n}}{n !}=\hat{B} \mathrm{e}^{\alpha \hat{B}} .
\end{array}
\]

Это доказательство справедливо также и для неэрмитова оператора $\hat{B}$. Из (21.92) заключаем, что решением дифференциального уравнения для оператора $\hat{A}$
$\mathrm{d} \hat{A}(\alpha) / \mathrm{d} \alpha=\hat{B} \hat{A}(\alpha)$
является
$\hat{A}(\alpha)=\hat{D} \exp \left[\int_{0}^{\alpha} \hat{B}(\beta) \mathrm{d} \beta\right]$,
где $\hat{D}=\hat{A}(0)$. В (21.95) предполагается независимость оператора $\hat{D}$ от $\alpha$ и существование экспоненциального оператора в правой части равенства.

Пример 21.1. В трехмерном пространстве состояний в базисе собственных векторов $|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle$ оператор $\hat{H}$ и операторы физических величин $\hat{A}$ и $\hat{B}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}=\hbar \omega\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \hat{A}=a\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right) \text {, } \\
\hat{B}=b \quad \begin{array}{lll}
0 & 0 & 1
\end{array} . \\
\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0
\end{array} \\
\end{array}
\]

Система находится в состоянии $|\Psi\rangle=$ $=\alpha|1\rangle+\beta|2\rangle+\gamma|3\rangle$, где $|\Psi\rangle-$ нормированный кет-вектор. Проанализи-
ровать представленную этими данными ситуацию.
Из условия нормировки $|\Psi\rangle$ следует, что $\langle\Psi \mid \Psi\rangle=|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}+$ $+|\gamma|^{2}=1$. Собственные значения энергии равны $E_{1}=\hbar \omega, \quad E_{2}=\hbar \omega$, $E_{3}=2 \hbar \omega$. Вероятность при измерении энергии получить результаты $\hbar \omega$ или $2 \hbar \omega$ равны $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}$ или $|\gamma|^{2}$. В результате измерений система переходит в стационарные состояния $(\alpha|1\rangle+\beta|2\rangle)\left(|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}\right)^{-1 / 2}$ или $|3\rangle$. Собственными векторами оператора $\hat{A}$ служат векторы $(|1\rangle+|2\rangle) / \sqrt{2}$, ( 11$\rangle-|2\rangle) / \sqrt{2},|3\rangle$, а соответствующие собственные значения равны $a$, $-a, 2 a$. Вероятности нолучения при измерении физической величины $A$ в состоянии $|\Psi\rangle$ значений $a,-a, 2 a$ равны $|\alpha+\beta|^{2} / 2,|\alpha-\beta|^{2} / 2,|\gamma|^{2}$. В результате измерения $A$ система переходит в стационарные состояния $(|1\rangle+|2\rangle) 2^{-1 / 2}, \quad(|1\rangle-|2\rangle) 2^{-1 / 2}$, $|3\rangle$. Величина $\hat{A}$ может быть измерена одновременно с $\hat{B}$. Собственными векторами оператора $\hat{B}$ являются векторы $|1\rangle,(|2\rangle+|3\rangle) 2^{-1 / 2},(|2\rangle-|3\rangle) 2^{-1 / 2}$, а соответствующие собственные значения равны $2 b, b,-b$. Вероятности получения при измерении физической величины $B$ в состоянии $|\Psi\rangle$ значений $2 b, \quad b, \quad-b$ равны $|\alpha|^{2}, \quad|\beta+\gamma|^{2} / 2$, $|\beta-\gamma|^{2} / 2$. В результате измерения $\hat{B}$ система переходит в собственные состояния олератора $\hat{B}$, зависимость от времени которых представляется в виде $\mathrm{e}^{-i \omega t}|1\rangle,\left(\mathrm{e}^{-i \omega t}|2\rangle+\mathrm{e}^{-2 i \omega t}|3\rangle\right) / \sqrt{2}$, $\left(\mathrm{e}^{-i \omega t}|2\rangle-\mathrm{e}^{-2 i \omega t}|3\rangle\right) / \sqrt{2}$.
Одновременное измерение энергии и $B$ невозможно, за исключением случая, когда $\alpha=1, \beta=\gamma=0$.
Если кет-вектор $|\Psi\rangle$ представляет состояние системы в момент времени

142 5. Основные понятия теории представлений
$t=0$, то в момент $t
eq 0$ состояние системы описывается кет-вектором $|\Psi(t)\rangle=\mathrm{e}^{-i \omega t} \alpha|1\rangle+\mathrm{e}^{-i \omega t} \beta|2\rangle+$ $+\mathrm{e}^{-2 i \omega t} \gamma|3\rangle$. Средние значения различных величин $\hat{A}$ и $\hat{B}$ задаются формулами $\langle\hat{A}\rangle=\left(\alpha^{*} \beta+\beta^{*} \alpha+2|\gamma|^{2}\right) a$, $\langle\hat{B}\rangle=\left(2|\alpha|^{2}+\beta^{*} \gamma \mathrm{e}^{-i \omega t}+\gamma^{*} \beta \mathrm{e}^{i \omega t}\right) b$, из которых следует, что
\[
\frac{\mathrm{d}\langle\hat{A}\rangle}{\mathrm{d} t}=0, \frac{\mathrm{d}\langle\hat{B}\rangle}{\mathrm{d} t}
eq 0 \text {. }
\]