Дается теоретический анализ квантовых корреляций спинов и поляризаций.
Корреляция спинов в синглетном состоянии. Для надежной экспериментальной проверки существования квантовой корреляции целесообразно выбрать такую динамическую переменную, квантовый разброс которой в различных актах измерения значительно превосходит технические ошибки в измерении динамической переменной в каждом акте. Этому условию идеально удовлетворяет спин. Идея использования спина для исследования квантовых корреляций в опыте типа ЭПР принадлежит Бору (начало $50-x$ годов).
Измерение спина атома может быть произведено в опыте ШтернаГерлаха (см. § 15). Проекция спина на любое направление у атомов со спином $1 / 2$ может принимать лишь значения $+1 / 2 ;-1 / 2$ (в единицах $\hbar$ ). Опыт типа ЭПР с использованием спина в качестве измеряемой динамической переменной может быть в принципе поставлен следующим образом (рис. 150). Частица $A$ (например, молекула) с полным спином, равным нулю, распадается на две частицы $A_{1}$ и $A_{2}$ (например, атомы) со спинами по $1 / 2$ у каждой. Разлетающиеся в разные стороны частицы $A_{1}$ и $A_{2}$ образуют единую квантовую систему в синглетном состоянии, т. е. с полным спином, равным нулю $(2 S+1=1)$. На некоторых расстояниях от места распада частицы $A$ производится измерение проекции спина разлетающихся частиц на векторы a и b, перпенди
Наблюдая достаточно много распадов частиц $A$ и измеряя каждый раз проекцию спина частицы $A_{1}$ на вектор a, можно убедиться, что проекция принимает только значения $+1 / 2$ и $-1 / 2$ независимо от направления а. При большом числе опытов убеждаемся, что в измерении значения $+1 / 2$ или $-1 / 2$ появляются случайно с равными вероятностями. Аналогичные заключения можно сделать из измерений проекции спина частицы $A_{2}$ на ось b. Для изучения корреляции проекций спина частиц $A_{1}$ на а и спина частиц $A_{2}$ на $\mathbf{b}$ необходимо фиксировать пару проекций спина у частиц, образовавшихся в результате одного и того же распада. Это составляет наибольшую трудность эксперимента, но она преодолима. Теоретически результаты эксперимента могут быть предсказаны.
Рассмотрим самый простой случай, когда а и b коллинеарны и имеют одно и то же направление (т.е. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a b$ ). Измерение сводится к фиксации проекции спина частиц $A_{1}$ и $A_{2}$ от одного и того же распада. Если проекция спина на вектор а имеет положительный знак (значение $+1 / 2$ ), результат эксперимента обозначается $a(+)$, а если отрицательный – то $a(-)$. Аналогично, для проекций спина частицы $A_{2}$ на $\mathbf{b}: b(+)$, $b(-)$. Результат одного измерения записывается в виде $a( \pm) b( \pm)$. В принципе возможны следующие четыре результата: $a(+) b(+), a(+)$ $b(-), a(-) b(+), a(-) b(-)$.
Если появление проекции спина $(+)$ или (-) -локально случайное событие, т.е. определяется лишь окрестностью той области, в которой оно происходит, и не зависит от того, что происходит в удаленных областях
150
Схема опыта типа ЭПР со спинами в качестве измеряемых динамических переменных
пространства, то результат эксперимента в рамках классического подхода легко предсказать. В этом случае появление проекций на а и на b независимые события и причем вероятность каждой проекции одинакова и равна $1 / 2$. Следовательно, вероятность любой из четырех возможных комбинаций одинакова и равна $1 / 4$. Это выражает независимосьь проекций (+) или ( – ) спина частицы $A_{1}$ на а и $A_{2}$ на в в отсутствие какой-либо корреляции между событиями. Если эксперимент покажет наличие корреляции между событиями, то для сторонников ЭПР это служит доказательством, что события не являются локально случайными. Однако нельзя допустить также, что события в отдаленных точках, разделенных пространственноподобным интервалом, связаны между собой физическими факторами. Поэтому наличие корреляции между событиями для сторонников ЭПР означает, что соответствующие физические величины – «элементы физической реальности» и их числовые значения-закодированы в частице и лишь проявляются в результате измерения. В примере ЭПР с импульсами это означает, что в момент образования пары частиц $A_{1}$ и $A_{2}$ каждая из них обладает вполне определенным импульсом, который связан с частицей и переносится ею в неизменном виде. В акте измерения фиксируется значение этого импульса, существовавшего до акта измерения. Корреляция между значениями импульсов частиц $A_{1}$ и $A_{2}$ выражает закон сохранения импульса. Выявление в эксперименте корреляции между проекциями спина означает, что проекции спина частиц $A_{1}$ или $A_{2}$ нельзя рассматривать как случайные события. Эти проекции каким-то образом закодированы в частицах в момент их образования при распаде частицы $A$. Кодированные записи переносятся частицами и раскодируются в момент измерений проекций спина. Корреляция между значениями спина объясняется свойствами кодов, которыми записывается в частице проекция спина.
Многочисленные теории скрытых параметров по своему содержанию сводятся к попыткам найти код для тех или иных динамических переменных или квантовой механики в целом. В квантовой механике проекции спина частицы $A_{1}$ на а и частицы $A_{2}$ на b являются случайными величинами. Это означает, что частицы $A_{1}$ и $A_{2}$ не несут на себе никакой кодированной записи проекций спина (+) или (-). Вместе с тем квантовая механика утверждает, что проекции спина частицы $A_{1}$ на а и спина частицы $A_{2}$ на b коррелированы между собой.
Для случая ( $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a b$ ) из-за равенства нулю полного спина системы двух частиц $A_{1}$ и $A_{2}$ сумма из проекций должна быть также равна нулю в каждом акте измерения пары проекций частиц, образовавшихся в одном и том же акте распада частицы $A$. Это означает, что из четырех возможных результатов измерения могут осуществиться лишь два: $a(+) b(-)$ и $a(-)$ $b(+)$. Результаты $a(+) b(+)$ и $a(-)$ $b(-)$ никогда не могут осуществиться. Обозначим $P_{ \pm}(a), P_{ \pm}(b), P_{ \pm \pm}(a, b)$
вероятности появления соответственно событий $a( \pm), b( \pm)$ и $a( \pm) b( \pm)$. Тогда
$P_{+}(a)=P_{-}(a)=1 / 2, P_{+}(b)=P_{-}(b)=1 / 2$,
Вероятности совместного появления событий $P_{ \pm \pm}(a, b)$ при независимости событий в $a$ и $b$ равны произведениям вероятностей соответствующих событий:
\[
P_{ \pm \pm}(a, b)=P_{ \pm}(a) \cdot P_{ \pm}(b)=1 / 4 .
\]
Вероятности совместных событий $P_{ \pm \pm}(a, b)$ при наличии закона сохранения полного спина вычисляются по формуле условных вероятностей:
\[
\begin{array}{l}
P_{ \pm \pm}(a, b)=P[a( \pm) b( \pm)]= \\
=P[a( \pm)] P[b( \pm) / a( \pm)],
\end{array}
\]
где $P[b( \pm) / a( \pm)]$ – вероятность события $b( \pm)$, если осуществилось событие $a( \pm)$. Ясно, что $P[b(+) / a(+)]=$ $=P[b(-) / a(-)]=0, \quad P[b(+) / a(-)]=$ $=P[b(-) / a(+)]=1$. Поэтому $P_{++}(a, b)=P_{–}(a, b)=0, P_{+-}(a, b)=$ $=P_{-+}(a, b)=1 / 2$.
Коэффициент корреляции двух случайных переменных $S_{1}$ и $S_{2}$ oпределяется формулой
$\gamma_{12}=\left(\left\langle S_{1} S_{2}\right\rangle-\left\langle S_{1}\right\rangle\left\langle S_{2}\right\rangle\right) \times$ $\times\left(\left\langle S_{1}^{2}\right\rangle\left\langle S_{2}^{2}\right\rangle\right)^{-1 / 2}$,
где скобками < 〉 обозначены средние значения соответствующих величин по ансамблю (по реализациям).
Вычислим коэффициент корреляции, когда проекции спинов на а и b независимы. Обозначим $S_{1}(+)=1 / 2$ и $S_{1}(-)=-1 / 2$ значения проекций спинов на а и, аналогично, $S_{2}(+)=$ $1 / 2$ и $S_{2}(-)=-1 / 2$ – на b. Тогда $\left\langle S_{1}\right\rangle=S_{1}(+) P_{+}(a)+S_{1}(-) P_{-}(a)=0$, $\left\langle S_{2}\right\rangle=S_{2}(+) P_{+}(b)+S_{2}(-) P_{-}(b)=0$, $\left\langle S_{1}^{2}\right\rangle=S_{1}^{2}(+) P_{+}(a)+S_{2}^{2}(-) P_{-}(a)=1 / 4$,
\[
\begin{array}{l}
\left\langle S_{2}^{2}\right\rangle=S_{2}^{2}(+) P_{+}(a)+S_{2}^{2}(-) P_{-}(b)=1 / 4, \\
\left\langle S_{1} S_{2}\right\rangle=S_{1}(+) S_{2}(+) P_{++}(a, b)+ \\
+S_{1}(+) S_{2}(-) P_{+-}(a, b)+ \\
+S_{1}(-) S_{2}(+) P_{-+}(a, b)+ \\
+S_{1}(-) S_{2}(-) P_{–}(a, b)=0
\end{array}
\]
где для вероятностей $P_{ \pm \pm}(a, b)$ использованы значения (76.2).
При учете закона сохранения необходимо для $P_{ \pm \pm}(a, b)$ пользоваться формулами (76.4). Тогда
\[
\left\langle S_{1} S_{2}\right\rangle=-1 / 4
\]
и, следовательно, коэффициент корреляции
\[
\gamma_{12}=-1 \text {, }
\]
т. е. имеет место полная антикорреляция, выражающая взаимную зависимость проекций спинов на а и b при $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a b$.
По формулам квантовой механики аналогично можно вычислить коэффициент корреляции при произвольном угле между а и b и сравнить результаты с экспериментом. Расчет этих корреляций нетрудно провести с помощью формул § 36, в частности формул (36.24). Однако нет необходимости приводить здесь соответствующие расчеты и описывать опыты, поскольку наиболее точные последние опыты были произведены в самом начале 80 -х годов не со спинами, а с поляризациями фотонов. В теоретическом отношении вопросы о корреляции поляризаций фотонов и спинов совершенно эквивалентны, но в экспериментальном отношении исследование корреляций поляризации фотонов более эффективно и позволяет получить несравненно более надежные результаты.
Схема эксперимента типа ЭПР с поляризациями. Разлетающимися в разные стороны «частицами» являются фотоны с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ (рис.
151
Схема эксперимента типа ЭПР с поляризациями в качестве измеряемых динамических переменных
151), испускаемые парами из небольшой области $A$. Клаузером, Хорном, Симони и Хольтом было показано (1969), что подходящие коррелированные по поляризации пары фотонов испускаются Іри некоторых каскадных переходах в атомах. На рис. 152 дана схема каскадного перехода атома кальция, при котором полный момент испульса $J$ атома изменяется в последовательности $(J=0) \rightarrow(J=$ $1) \rightarrow(J=0)$, т.е. в результате излучения двух фотонов полный момент атома остается неизменным и, следовательно, суммарный момент двух фотонов равен нулю. Этот каскадный переход очень удобен для анализа поляризаций испущенных пар фотонов в схемах счета совпадений, потому что время жизни атома в промежуточном состоянии очень малое и составляет примерно 5 нс.
Для анализа поляризации полученных в каскадном переходе фотонов необходимо рассмотреть свойства промежуточного состояния с $J=1$. Проекция полного момента $J=1$ на произвольную ось может принимать значения $m_{J}=1,0,1$ [см. (37.31)]. Таким образом, переход $(J=0) \rightarrow$ $(J=1) \rightarrow(J=0)$ осуществляется по трем различным путям через промежуточные состояния $m_{J}=-1,0,1$ (рис. 152,б). В промежуточном состоянии ${ }^{1} P_{1}$ полный спин атома $S=0$
152
Двухфотонное возбуждение каскадного излучения в кальции
и, следовательно, $J=L, \quad m_{J}=m_{L}$. Приняв в качестве выделенной ось $Z$ на рис. 151 , вдоль которой распространяются фотоны, мы видим, что при $m_{J}= \pm 1$ электроны, обусловливающие отличие $J$ от нуля, движутся в плоскости $X Y$, а при $m_{J}=0$ – в плоскости, в которой лежит ось $Z$. Из принципа соответствия следует, что при переходе $(J=0) \rightarrow(J=1)$ вдоль оси $Z$ испускаются фотон с левой или правой круговой поляризацией (при $m_{J}= \pm 1$ ) или линейной поляризацией (при $m_{J}=0$ ), которая может быть представлена в виде суперпозиции левой и правой круговых поляризаций. При переходе $(J=1) \rightarrow(J=0)$ на втором шаге каскада фотон испускается с такой же поляризацией, как и на первом.
С помощью коллиматоров и фильтров можно отобрать пары фотонов по определенному направлению движения и частоте, в результате чего получается схема, изображенная на рис. 151 (коллиматоры и фильтры там не показаны). Закон сохранения момента импульса при излучении с учетом требований сохранения четности позволяет представить поляризационную часть вектора состояния пары фотонов $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ в виде
$\left|\omega_{1}, \omega_{2}\right\rangle=\left(\left|R_{1}, R_{2}\right\rangle+\left|L_{1}, L_{2}\right\rangle\right) / \sqrt{2},(76.9)$ где $R_{i}$ и $L_{i}$ – символы правой и левой
круговой поляризации фотона с частотой $\omega_{i}(i=1,2)$. Состояния круговых поляризаций $|R\rangle$ и $|L\rangle$ можно выразить в базисе линейных поляризаций $|x\rangle$ и $|y\rangle$. В результате для поляризационной части вектора состояния фотонов $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ находим выражение
\[
\left.\left|\Psi\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)\right\rangle=\langle 1 / \sqrt{2}\rangle\left\langle\mid x_{1}, x_{2}\right\rangle+\left|y_{1}, y_{2}\right\rangle\right),
\]
где $|x\rangle$ и $|y\rangle$-линейные поляризации по осям $X$ и $Y$; индексы означают принадлежность к фотонам $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Напомним, что фотон с частотой $\omega_{1}$ движется в направлении отрицательных значений оси $Z$ (см. рис. 151), а с частотой $\omega_{2}$ – положительных.
Из (76.10) следует, что фотоны с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, движущиеся в противоположных направлениях, линейно поляризованы в одинаковых направлениях. Физическое содержание этого утверждения в классическом понимании поляризации очевидно и не требует пояснений. Однако в применении к фотону в квантовом понимании состояния дело существенно осложняется. Из (76.10) следует, что каждый из фотонов с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ находится в суперпозиции состояний линейной поляризации по осям $X$ и $Y$, т.е. не имеет определенного направления линейной поляризации, как это также очевидно из исходной формулы (76.9), в которой вектор состояния представлен по базисным векторам круговой поляризации. Тем не менее утверждение об одинаковой линейной поляризации фотонов $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ имеет вполне определенный смысл, который выявляется в результате измерения.
Измерение линейной поляризации фотонов. В § 4 было подробно рассмотрено измерение линейной поляризации фотона с помощью двояко-преломляющего кристалла. На выходе из кристалла образуются два луча (обыкновенный и необыкновенный), поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти лучи могут быть использованы для анализа поляризации фотонов. В призме Николя лучи разделяются и один из них до выхода из призмы поглощается. Имеется болышое число двоякопреломляющих призм и других оптических устройств, которые могут образовывать лучи с взаимно перпендикулярными линейными поляризациями. Все они могут использоваться в качестве анализаторов поляризации фотонов.
Ориентировка анализаторов на рис. 151 характеризуется векторами а и b, которые одинаково фиксированы относительно соответствующих оптических осей анализаторов, например коллинеарны им. Оптические оси анализаторов лежат в плоскостях, перпендикулярных линии движения фотонов. Взаимная ориентировка анализаторов описывается углом между векторами а и b.
Результат измерения поляризации фотона, падающего на анализатор $I$, определяется поляризацией выходящего из анализатора фотона. Если его поляризация коллинеарна $\mathbf{a}$, то результату измерения поляризации приписывается некоторое числовое значение, например + 1; если его поляризация перпендикулярна а, то результат измерения равен – 1. Аналогично обозначают результаты измерения поляризации фотона с частотой $\omega_{2}$ анализатором II, ориентировка которого характеризуется вектором b. Взаимные ориентировки $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ произвольны в плоскостях $X Y$.
Вычисление коэффициента корреляции поляризаций. Для вычисления коэффициента корреляции необходи-
мо найти вероятности результатов измерений каждой из возможных поляризаций и совместных результатов измерений каждой из пар возможных результатов, т.е. вероятности $P_{ \pm}$(a), $P_{ \pm}(\mathbf{b}), P_{ \pm \pm}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ при произвольных ориентировках векторов a и b. Это можно сделать с помощью вектора состояния (76.10) обычными квантово-механическими методами. Однако для большей наглядности получаемого при этом физического результата целесообразно вспомнить, что исходным физическим фактом при разработке измерений линейной поляризации фотона был закон Малюса (см. § 4) в такой формулировке: если известно, что линейная поляризация фотона направлена по вектору $\mathbf{a}$, то вероятность того, что она будет в результате измерения направлена по вектору $\mathbf{b}$, равна $\cos ^{2}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$, где символом (a, b) обозначен угол между а и b. Другими словами, условная вероятность $P(\mathbf{b} / \mathbf{a})$ появления поляризации по вектору b при измерении, если известно, что она направлена по a, равна
$P(\mathbf{b} / \mathbf{a})=\cos ^{2}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$.
При произвольной ориентировке вектора а получение значений +1 и -1 в измерении поляризации фотона равновероятно и равно
$P_{+}(\mathbf{a})=P_{-}(\mathbf{a})=1 / 2$.
Аналогично,
$P_{+}(\mathbf{b})=P_{-}$(b) $=1 / 2$.
Для вычисления вероятностей совместного появления результатов одновременного измерения поляризаций пары фотонов воспользуемся обозначениями рис. 153. Поскольку линейные поляризации фотонов одинаковы, можно написать:
$P_{++}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=P_{+}(\mathbf{a}) P(\mathbf{b} / \mathbf{a})={ }^{1} / 2 \cos ^{2}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$,
153
К расчету коэффициента корреляции поляризаций
\[
\begin{array}{l}
P_{+-}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=P_{+}(\mathbf{a}) P\left(\mathbf{b}_{\perp} / \mathbf{a}\right)={ }^{1} / 2 \cos ^{2}(\mathbf{a}, \mathbf{b})= \\
=1 / 2 \cos ^{2}\left(\mathbf{a}, \mathbf{b}_{\perp}\right)=1 / 2 \sin ^{2}(\mathbf{a}, \mathbf{b}), \quad(76.13) \\
\mathbf{b}_{\perp} \perp \mathbf{b} .
\end{array}
\]
Аналогично,
\[
\begin{array}{l}
P_{–}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=1 / 2 \cos ^{2} \theta, P_{-+}(\mathbf{a}, \mathbf{b})= \\
=1 / 2 \sin ^{2} \theta,
\end{array}
\]
где $\theta$-угол между а и b. Формулы (76.12)-(76.14) являются квантовомеханическими результатами вычисления искомых вероятностей.
Обозначая динамические переменные поляризации фотонов $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно $S_{1}$ и $S_{2}$. а их числовые значения при измерениях
\[
\begin{array}{l}
S_{1}(+)=1, S_{1}(-)=-1, S_{2}(+)=1, \\
S_{2}(-)=-1,
\end{array}
\]
находим:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle S_{1}\right\rangle=S_{1}(+) P_{+}(\mathbf{a})+S_{1}(-) P_{-}(\mathbf{a})=0 \\
\left\langle S_{2}\right\rangle=S_{2}(+) P_{+}(\mathbf{b})+S_{2}(-) P_{-}(\mathbf{b})=0 \\
\left\langle S_{1}^{2}\right\rangle=S_{1}^{2}(+) P_{+}(\mathbf{a})+S_{1}^{2}(-) P_{-}(\mathbf{a})=1 \\
\left\langle S_{2}^{2}\right\rangle=S_{2}^{2}(+) P_{+}(\mathbf{b})+S_{2}^{2}(-) P_{-}(\mathbf{b})=1 \\
\left\langle S_{1} S_{2}\right\rangle=S_{1}(+) S_{2}(+) P_{++}(\mathbf{a}, \mathbf{b})+ \\
+S_{1}(+) S_{2}(-) P_{+-}(\mathbf{a}, \mathbf{b})+ \\
+S_{1}(-) S_{2}(+) P_{-+}(\mathbf{a}, \mathbf{b})+ \\
+S_{1}(-) S_{2}(-) P_{–}(\mathbf{a}, \mathbf{b})= \\
=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=\cos 2 \theta
\end{array}
\]
Следовательно, в соответствии с (76.5) коэффициент корреляции между результатами измерений при произвольных направлениях а и b анализаторов равен
\[
\gamma(\mathbf{a}, \mathbf{b})=\frac{\left\langle S_{1} S_{2}\right\rangle-\left\langle S_{1}\right\rangle\left\langle S_{2}\right\rangle}{\sqrt{\left\langle S_{1}^{2}\right\rangle\left\langle S_{2}^{2}\right\rangle}}=\cos 2 \theta .
\]
Видно, что при $\theta=0$ и $\theta=\pi / 2$ коэффициент корреляции равен 1 и -1 , т.е. при этих углах наблюдается полная корреляция, а равенства (76.13) и (76.14) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
P_{++}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=P_{–}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=1 / 2(\theta=0), \\
P_{+-}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=P_{-+}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0(\theta=0), \\
P_{++}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=P_{–}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0(\theta=\pi / 2), \\
P_{+-}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=P_{-+}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=1 / 2(\theta=\pi / 2) .
\end{array}
\]
Следовательно, зная результат поляризации фотона $\omega_{1}$ на а при $\theta=0$, равный, например, 1 , можно утверждать, что результат измерения поляризации фотона $\omega_{2}$ на $\mathbf{b}$ наверняка равен 1. Аналогично,
с полной достоверностью при $\theta=0$ и $\theta=\pi / 2$ связаны и другие результаты измерений, хотя измерение поляризации отдельного фотона дает случайный результат с вероятностями (76.12). Из (76.17) следует, что лишь при $\theta=\pi / 4$ результаты измерений абсолютно не коррелированы.
Теперь можно понять физический смысл утверждения, что направления линейной поляризации каждого фотона пары одинаковы, хотя и невозможно характеризовать направление линейной поляризации каждого фотона каким-то определенным направлением в пространстве. Физический смысл этого утверждения состоит в том, что при $\theta=0$ измерение поляризаций пары фотонов дает всегда либо $(+,+)$, либо $(-,-)$ и никогда
$(+,-)$ или $(-,+)$. Этот результат не изменяется при вращении анализаторов вокруг направления движения фотонов при сохранении неизменной их взаимной ориентации $(\theta=0)$. Вероятности результатов $(+,+)$ и $(-,-)$ одинаковы и равны $1 / 2$.
